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  • 2021-05-13 发布

2020年浙江省丽水市中考数学试卷(含解析)

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‎2020年浙江省丽水市中考数学试卷 一、选择题(本题有10小题,每小题3分,共30分)‎ ‎1.(3分)实数3的相反数是(  )‎ A.﹣3 B.3 C.‎-‎‎1‎‎3‎ D.‎‎1‎‎3‎ ‎2.(3分)分式x+5‎x-2‎的值是零,则x的值为(  )‎ A.2 B.5 C.﹣2 D.﹣5‎ ‎3.(3分)下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是(  )‎ A.a2+b2 B.2a﹣b2 C.a2﹣b2 D.﹣a2﹣b2‎ ‎4.(3分)下列四个图形中,是中心对称图形的是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎5.(3分)如图,有一些写有号码的卡片,它们的背面都相同,现将它们背面朝上,从中任意摸出一张,摸到1号卡片的概率是(  )‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎1‎‎3‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎1‎‎6‎ ‎6.(3分)如图,工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b,得到a∥b.理由是(  )‎ A.连结直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短 ‎ B.在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ‎ C.在同一平面内,过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线 ‎ 第25页(共25页)‎ D.经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 ‎7.(3分)已知点(﹣2,a)(2,b)(3,c)在函数y‎=‎kx(k>0)的图象上,则下列判断正确的是(  )‎ A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.c<b<a ‎8.(3分)如图,⊙O是等边△ABC的内切圆,分别切AB,BC,AC于点E,F,D,P是DF上一点,则∠EPF的度数是(  )‎ A.65° B.60° C.58° D.50°‎ ‎9.(3分)如图,在编写数学谜题时,“□”内要求填写同一个数字,若设“□”内数字为x.则列出方程正确的是(  )‎ A.3×2x+5=2x B.3×20x+5=10x×2 ‎ C.3×20+x+5=20x D.3×(20+x)+5=10x+2‎ ‎10.(3分)如图,四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”,得到正方形ABCD与正方形EFGH.连结EG,BD相交于点O、BD与HC相交于点P.若GO=GP,则S正方形ABCDS正方形EFGH的值是(  )‎ 第25页(共25页)‎ A.1‎+‎‎2‎ B.2‎+‎‎2‎ C.5‎-‎‎2‎ D.‎‎15‎‎4‎ 二、填空题(本题有6小题,每小题4分,共24分)‎ ‎11.(4分)点P(m,2)在第二象限内,则m的值可以是(写出一个即可)   .‎ ‎12.(4分)数据1,2,4,5,3的中位数是   .‎ ‎13.(4分)如图为一个长方体,则该几何体主视图的面积为   cm2.‎ ‎14.(4分)如图,平移图形M,与图形N可以拼成一个平行四边形,则图中α的度数是   °.‎ ‎15.(4分)如图是小明画的卡通图形,每个正六边形的边长都相等,相邻两正六边形的边重合,点A,B,C均为正六边形的顶点,AB与地面BC所成的锐角为β.则tanβ的值是   .‎ ‎16.(4分)图1是一个闭合时的夹子,图2是该夹子的主视示意图,夹子两边为AC,BD(点A与点B重合),点O是夹子转轴位置,OE⊥AC于点E,OF⊥BD于点F,OE=OF=1cm,AC=BD=6cm,CE=DF,CE:AE=2:3.按图示方式用手指按夹子,夹子两边绕点O转动.‎ ‎(1)当E,F两点的距离最大时,以点A,B,C,D为顶点的四边形的周长是   cm.‎ ‎(2)当夹子的开口最大(即点C与点D重合)时,A,B两点的距离为   cm.‎ 第25页(共25页)‎ 三、解答题(本题有8小题,共66分,各小题都必须写出解答过程)‎ ‎17.(6分)计算:(﹣2020)0‎+‎4‎-‎tan45°+|﹣3|.‎ ‎18.(6分)解不等式:5x﹣5<2(2+x).‎ ‎19.(6分)某市在开展线上教学活动期间,为更好地组织初中学生居家体育锻炼,随机抽取了部分初中学生对“最喜爱的体育锻炼项目”进行线上问卷调查(每人必须且只选其中一项),得到如图两幅不完整的统计图表.请根据图表信息回答下列问题:‎ 抽取的学生最喜爱体育锻炼项目的统计表 ‎ 类别 项目 ‎ 人数(人)‎ ‎ A 跳绳 ‎59‎ ‎ B 健身操 ‎▲‎ ‎ C 俯卧撑 ‎31‎ ‎ D 开合跳 ‎▲‎ ‎ E 其它 ‎22‎ ‎(1)求参与问卷调查的学生总人数.‎ ‎(2)在参与问卷调查的学生中,最喜爱“开合跳”的学生有多少人?‎ ‎(3)该市共有初中学生约8000人,估算该市初中学生中最喜爱“健身操”的人数.‎ ‎20.(8分)如图,AB的半径OA=2,OC⊥AB于点C,∠AOC=60°.‎ ‎(1)求弦AB的长.‎ ‎(2)求AB的长.‎ 第25页(共25页)‎ ‎21.(8分)某地区山峰的高度每增加1百米,气温大约降低0.6℃,气温T(℃)和高度h(百米)的函数关系如图所示.‎ 请根据图象解决下列问题:‎ ‎(1)求高度为5百米时的气温;‎ ‎(2)求T关于h的函数表达式;‎ ‎(3)测得山顶的气温为6℃,求该山峰的高度.‎ ‎22.(10分)如图,在△ABC中,AB=4‎2‎,∠B=45°,∠C=60°.‎ ‎(1)求BC边上的高线长.‎ ‎(2)点E为线段AB的中点,点F在边AC上,连结EF,沿EF将△AEF折叠得到△PEF.‎ ‎①如图2,当点P落在BC上时,求∠AEP的度数.‎ ‎②如图3,连结AP,当PF⊥AC时,求AP的长.‎ ‎23.(10分)如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数y‎=-‎‎1‎‎2‎(x﹣m)2+4图象的顶点为A,与y轴交于点B,异于顶点A的点C(1,n)在该函数图象上.‎ 第25页(共25页)‎ ‎(1)当m=5时,求n的值.‎ ‎(2)当n=2时,若点A在第一象限内,结合图象,求当y≥2时,自变量x的取值范围.‎ ‎(3)作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方,且在线段OD上时,求m的取值范围.‎ ‎24.(12分)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上,分别过OB,OC的中点D,E作AE,AD的平行线,相交于点F,已知OB=8.‎ ‎(1)求证:四边形AEFD为菱形.‎ ‎(2)求四边形AEFD的面积.‎ ‎(3)若点P在x轴正半轴上(异于点D),点Q在y轴上,平面内是否存在点G,使得以点A,P,Q,G为顶点的四边形与四边形AEFD相似?若存在,求点P的坐标;若不存在,试说明理由.‎ 第25页(共25页)‎ ‎2020年浙江省丽水市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本题有10小题,每小题3分,共30分)‎ ‎1.(3分)实数3的相反数是(  )‎ A.﹣3 B.3 C.‎-‎‎1‎‎3‎ D.‎‎1‎‎3‎ ‎【解答】解:实数3的相反数是:﹣3.‎ 故选:A.‎ ‎2.(3分)分式x+5‎x-2‎的值是零,则x的值为(  )‎ A.2 B.5 C.﹣2 D.﹣5‎ ‎【解答】解:由题意得:x+5=0,且x﹣2≠0,‎ 解得:x=﹣5,‎ 故选:D.‎ ‎3.(3分)下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是(  )‎ A.a2+b2 B.2a﹣b2 C.a2﹣b2 D.﹣a2﹣b2‎ ‎【解答】解:A、a2+b2不能运用平方差公式分解,故此选项错误;‎ B、2a﹣b2不能运用平方差公式分解,故此选项错误;‎ C、a2﹣b2能运用平方差公式分解,故此选项正确;‎ D、﹣a2﹣b2不能运用平方差公式分解,故此选项错误;‎ 故选:C.‎ ‎4.(3分)下列四个图形中,是中心对称图形的是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【解答】解:A、该图形不是中心对称图形,故本选项不合题意;‎ B、该图形不是中心对称图形,故本选项不合题意;‎ C、该图形是中心对称图形,故本选项符合题意;‎ 第25页(共25页)‎ D、该图形不是中心对称图形,故本选项不合题意;‎ 故选:C.‎ ‎5.(3分)如图,有一些写有号码的卡片,它们的背面都相同,现将它们背面朝上,从中任意摸出一张,摸到1号卡片的概率是(  )‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎1‎‎3‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎1‎‎6‎ ‎【解答】解:∵共有6张卡片,其中写有1号的有3张,‎ ‎∴从中任意摸出一张,摸到1号卡片的概率是‎3‎‎6‎‎=‎‎1‎‎2‎;‎ 故选:A.‎ ‎6.(3分)如图,工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b,得到a∥b.理由是(  )‎ A.连结直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短 ‎ B.在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ‎ C.在同一平面内,过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线 ‎ D.经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 ‎【解答】解:由题意a⊥AB,b⊥AB,‎ ‎∴a∥b(垂直于同一条直线的两条直线平行),‎ 故选:B.‎ ‎7.(3分)已知点(﹣2,a)(2,b)(3,c)在函数y‎=‎kx(k>0)的图象上,则下列判断正确的是(  )‎ A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.c<b<a ‎【解答】解:∵k>0,‎ ‎∴函数y‎=‎kx(k>0)的图象分布在第一、三象限,在每一象限,y随x的增大而减小,‎ ‎∵﹣2<0<2<3,‎ 第25页(共25页)‎ ‎∴b>c>0,a<0,‎ ‎∴a<c<b.‎ 故选:C.‎ ‎8.(3分)如图,⊙O是等边△ABC的内切圆,分别切AB,BC,AC于点E,F,D,P是DF上一点,则∠EPF的度数是(  )‎ A.65° B.60° C.58° D.50°‎ ‎【解答】解:如图,连接OE,OF.‎ ‎∵⊙O是△ABC的内切圆,E,F是切点,‎ ‎∴OE⊥AB,OF⊥BC,‎ ‎∴∠OEB=∠OFB=90°,‎ ‎∵△ABC是等边三角形,‎ ‎∴∠B=60°,‎ ‎∴∠EOF=120°,‎ ‎∴∠EPF‎=‎‎1‎‎2‎∠EOF=60°,‎ 故选:B.‎ ‎9.(3分)如图,在编写数学谜题时,“□”内要求填写同一个数字,若设“□”内数字为x.则列出方程正确的是(  )‎ 第25页(共25页)‎ A.3×2x+5=2x B.3×20x+5=10x×2 ‎ C.3×20+x+5=20x D.3×(20+x)+5=10x+2‎ ‎【解答】解:设“□”内数字为x,根据题意可得:‎ ‎3×(20+x)+5=10x+2.‎ 故选:D.‎ ‎10.(3分)如图,四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”,得到正方形ABCD与正方形EFGH.连结EG,BD相交于点O、BD与HC相交于点P.若GO=GP,则S正方形ABCDS正方形EFGH的值是(  )‎ A.1‎+‎‎2‎ B.2‎+‎‎2‎ C.5‎-‎‎2‎ D.‎‎15‎‎4‎ ‎【解答】解:∵四边形EFGH为正方形,‎ ‎∴∠EGH=45°,∠FGH=90°,‎ ‎∵OG=GP,‎ ‎∴∠GOP=∠OPG=67.5°,‎ ‎∴∠PBG=22.5°,‎ 又∵∠DBC=45°,‎ ‎∴∠GBC=22.5°,‎ ‎∴∠PBG=∠GBC,‎ ‎∵∠BGP=∠BG=90°,BG=BG,‎ ‎∴△BPG≌△BCG(ASA),‎ ‎∴PG=CG.‎ 设OG=PG=CG=x,‎ 第25页(共25页)‎ ‎∵O为EG,BD的交点,‎ ‎∴EG=2x,FG‎=‎‎2‎x,‎ ‎∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”,‎ ‎∴BF=CG=x,‎ ‎∴BG=x‎+‎‎2‎x,‎ ‎∴BC2=BG2+CG2‎=x‎2‎(‎2‎+1‎)‎‎2‎+x‎2‎=(4+2‎2‎)‎x‎2‎,‎ ‎∴S正方形ABCDS正方形EFGH‎=‎(4+2‎2‎)‎x‎2‎‎2‎x‎2‎=2+‎‎2‎.‎ 故选:B.‎ 二、填空题(本题有6小题,每小题4分,共24分)‎ ‎11.(4分)点P(m,2)在第二象限内,则m的值可以是(写出一个即可) ﹣1(答案不唯一). .‎ ‎【解答】解:∵点P(m,2)在第二象限内,‎ ‎∴m<0,‎ 则m的值可以是﹣1(答案不唯一).‎ 故答案为:﹣1(答案不唯一).‎ ‎12.(4分)数据1,2,4,5,3的中位数是 3 .‎ ‎【解答】解:数据1,2,4,5,3按照从小到大排列是1,2,3,4,5,‎ 则这组数据的中位数是3,‎ 故答案为:3.‎ ‎13.(4分)如图为一个长方体,则该几何体主视图的面积为 20 cm2.‎ ‎【解答】解:该几何体的主视图是一个长为4,宽为5的矩形,所以该几何体主视图的面积为20cm2.‎ 故答案为:20.‎ ‎14.(4分)如图,平移图形M,与图形N可以拼成一个平行四边形,则图中α的度数是 30 °.‎ 第25页(共25页)‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴∠D=180°﹣∠C=60°,‎ ‎∴∠α=180°﹣(540°﹣70°﹣140°﹣180°)=30°,‎ 故答案为:30.‎ ‎15.(4分)如图是小明画的卡通图形,每个正六边形的边长都相等,相邻两正六边形的边重合,点A,B,C均为正六边形的顶点,AB与地面BC所成的锐角为β.则tanβ的值是 ‎19‎‎3‎‎15‎ .‎ ‎【解答】解:如图,作AT∥BC,过点B作BH⊥AT于H,设正六边形的边长为a,则正六边形的半径为,边心距‎=‎‎3‎‎2‎a.‎ 观察图象可知:BH‎=‎‎19‎‎2‎a,AH‎=‎‎5‎‎3‎‎2‎a,‎ ‎∵AT∥BC,‎ ‎∴∠BAH=β,‎ 第25页(共25页)‎ ‎∴tanβ‎=BHAH=‎19‎‎2‎a‎5‎‎3‎‎2‎a=‎‎19‎‎3‎‎15‎.‎ 故答案为‎19‎‎3‎‎15‎.‎ ‎16.(4分)图1是一个闭合时的夹子,图2是该夹子的主视示意图,夹子两边为AC,BD(点A与点B重合),点O是夹子转轴位置,OE⊥AC于点E,OF⊥BD于点F,OE=OF=1cm,AC=BD=6cm,CE=DF,CE:AE=2:3.按图示方式用手指按夹子,夹子两边绕点O转动.‎ ‎(1)当E,F两点的距离最大时,以点A,B,C,D为顶点的四边形的周长是 16 cm.‎ ‎(2)当夹子的开口最大(即点C与点D重合)时,A,B两点的距离为 ‎60‎‎13‎ cm.‎ ‎【解答】解:(1)当E,F两点的距离最大时,E,O,F共线,此时四边形ABCD是矩形,‎ ‎∵OE=OF=1cm,‎ ‎∴EF=2cm,‎ ‎∴AB=CD=2cm,‎ ‎∴此时四边形ABCD的周长为2+2+6+6=16(cm),‎ 故答案为16.‎ ‎(2)如图3中,连接EF交OC于H.‎ 第25页(共25页)‎ 由题意CE=CF‎=‎2‎‎5‎×‎6‎=‎‎12‎‎5‎(cm),‎ ‎∵OE=OF=1cm,‎ ‎∴CO垂直平分线段EF,‎ ‎∵OC‎=CE‎2‎+OE‎2‎=‎(‎12‎‎5‎‎)‎‎2‎+‎‎1‎‎2‎=‎‎13‎‎5‎(cm),‎ ‎∵‎1‎‎2‎•OE•EC‎=‎‎1‎‎2‎•CO•EH,‎ ‎∴EH‎=‎1×‎‎12‎‎5‎‎13‎‎5‎=‎‎12‎‎13‎(cm),‎ ‎∴EF=2EH‎=‎‎24‎‎13‎(cm)‎ ‎∵EF∥AB,‎ ‎∴EFAB‎=CECB=‎‎2‎‎5‎,‎ ‎∴AB‎=‎5‎‎2‎×‎24‎‎13‎=‎‎60‎‎13‎(cm).‎ 故答案为‎60‎‎13‎.‎ 三、解答题(本题有8小题,共66分,各小题都必须写出解答过程)‎ ‎17.(6分)计算:(﹣2020)0‎+‎4‎-‎tan45°+|﹣3|.‎ ‎【解答】解:原式=1+2﹣1+3=5.‎ ‎18.(6分)解不等式:5x﹣5<2(2+x).‎ ‎【解答】解:5x﹣5<2(2+x),‎ ‎5x﹣5<4+2x ‎5x﹣2x<4+5,‎ ‎3x<9,‎ x<3.‎ ‎19.(6分)某市在开展线上教学活动期间,为更好地组织初中学生居家体育锻炼,随机抽取了部分初中学生对“最喜爱的体育锻炼项目”进行线上问卷调查(每人必须且只选其中一项),得到如图两幅不完整的统计图表.请根据图表信息回答下列问题:‎ 抽取的学生最喜爱体育锻炼项目的统计表 ‎ 类别 项目 ‎ 人数(人)‎ ‎ A 跳绳 ‎59‎ 第25页(共25页)‎ ‎ B 健身操 ‎▲‎ ‎ C 俯卧撑 ‎31‎ ‎ D 开合跳 ‎▲‎ ‎ E 其它 ‎22‎ ‎(1)求参与问卷调查的学生总人数.‎ ‎(2)在参与问卷调查的学生中,最喜爱“开合跳”的学生有多少人?‎ ‎(3)该市共有初中学生约8000人,估算该市初中学生中最喜爱“健身操”的人数.‎ ‎【解答】解:(1)22÷11%=200(人),‎ 答:参与调查的学生总数为200人;‎ ‎(2)200×24%=48(人),‎ 答:最喜爱“开合跳”的学生有48人;‎ ‎(3)最喜爱“健身操”的学生数为200﹣59﹣31﹣48﹣22=40(人),‎ ‎8000‎×‎40‎‎200‎=‎1600(人),‎ 答:最喜爱“健身操”的学生数大约为1600人.‎ ‎20.(8分)如图,AB的半径OA=2,OC⊥AB于点C,∠AOC=60°.‎ ‎(1)求弦AB的长.‎ ‎(2)求AB的长.‎ ‎【解答】解:(1)∵AB的半径OA=2,OC⊥AB于点C,∠AOC=60°,‎ ‎∴AC=OA•sin60°=2‎×‎3‎‎2‎=‎‎3‎,‎ 第25页(共25页)‎ ‎∴AB=2AC=2‎3‎;‎ ‎(2)∵OC⊥AB,∠AOC=60°,‎ ‎∴∠AOB=120°,‎ ‎∵OA=2,‎ ‎∴AB的长是:‎120π×2‎‎180‎‎=‎‎4π‎3‎.‎ ‎21.(8分)某地区山峰的高度每增加1百米,气温大约降低0.6℃,气温T(℃)和高度h(百米)的函数关系如图所示.‎ 请根据图象解决下列问题:‎ ‎(1)求高度为5百米时的气温;‎ ‎(2)求T关于h的函数表达式;‎ ‎(3)测得山顶的气温为6℃,求该山峰的高度.‎ ‎【解答】解:(1)由题意得,高度增加2百米,则气温降低2×0.6=1.2(°C),‎ ‎∴13.2﹣1.2=12,‎ ‎∴高度为5百米时的气温大约是12°C;‎ ‎(2)设T关于h的函数表达式为T=kh+b,‎ 则:‎3k+b=13.2‎‎5k+b=12‎,‎ 解得k=-0.6‎b=15‎,‎ ‎∴T关于h的函数表达式为T=﹣0.6h+15;‎ ‎(3)当T=6时,6=﹣0.6h+15,‎ 解得h=15.‎ ‎∴该山峰的高度大约为15百米.‎ 第25页(共25页)‎ ‎22.(10分)如图,在△ABC中,AB=4‎2‎,∠B=45°,∠C=60°.‎ ‎(1)求BC边上的高线长.‎ ‎(2)点E为线段AB的中点,点F在边AC上,连结EF,沿EF将△AEF折叠得到△PEF.‎ ‎①如图2,当点P落在BC上时,求∠AEP的度数.‎ ‎②如图3,连结AP,当PF⊥AC时,求AP的长.‎ ‎【解答】解:(1)如图1中,过点A作AD⊥BC于D.‎ 在Rt△ABD中,AD=AB•sin45°=4‎2‎‎×‎2‎‎2‎=‎4.‎ ‎(2)①如图2中,‎ ‎∵△AEF≌△PEF,‎ ‎∴AE=EP,‎ ‎∵AE=EB,‎ ‎∴BE=EP,‎ 第25页(共25页)‎ ‎∴∠EPB=∠B=45°,‎ ‎∴∠PEB=90°,‎ ‎∴∠AEP=180°﹣90°=90°.‎ ‎②如图3中,由(1)可知:AC‎=ADsin60°‎=‎‎8‎‎3‎‎3‎,‎ ‎∵PF⊥AC,‎ ‎∴∠PFA=90°,‎ ‎∵△AEF≌△PEF,‎ ‎∴∠AFE=∠PFE=45°,‎ ‎∴∠AFE=∠B,‎ ‎∵∠EAF=∠CAB,‎ ‎∴△AEF∽△ACB,‎ ‎∴AFAB‎=‎AEAC,即AF‎4‎‎2‎‎=‎‎2‎‎2‎‎8‎‎3‎‎3‎,‎ ‎∴AF=2‎3‎,‎ 在Rt△AFP,AF=FP,‎ ‎∴AP‎=‎‎2‎AF=2‎6‎.‎ ‎23.(10分)如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数y‎=-‎‎1‎‎2‎(x﹣m)2+4图象的顶点为A,与y轴交于点B,异于顶点A的点C(1,n)在该函数图象上.‎ ‎(1)当m=5时,求n的值.‎ ‎(2)当n=2时,若点A在第一象限内,结合图象,求当y≥2时,自变量x的取值范围.‎ ‎(3)作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方,且在线段OD上时,求m的取值范围.‎ 第25页(共25页)‎ ‎【解答】解:(1)当m=5时,y‎=-‎‎1‎‎2‎(x﹣5)2+4,‎ 当x=1时,n‎=-‎1‎‎2‎×‎42+4=﹣4.‎ ‎(2)当n=2时,将C(1,2)代入函数表达式y‎=-‎‎1‎‎2‎(x﹣m)2+4,得2‎=-‎‎1‎‎2‎(1﹣m)2+4,‎ 解得m=3或﹣1(舍弃),‎ ‎∴此时抛物线的对称轴x=3,‎ 根据抛物线的对称性可知,当y=2时,x=1或5,‎ ‎∴x的取值范围为1≤x≤5.‎ ‎(3)∵点A与点C不重合,‎ ‎∴m≠1,‎ ‎∵抛物线的顶点A的坐标是(m,4),‎ ‎∴抛物线的顶点在直线y=4上,‎ 当x=0时,y‎=-‎‎1‎‎2‎m2+4,‎ ‎∴点B的坐标为(0,‎-‎‎1‎‎2‎m2+4),‎ 抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置,m逐渐减小,点B沿y轴向上移动,‎ 当点B与O重合时,‎-‎‎1‎‎2‎m2+4=0,‎ 解得m=2‎2‎或﹣2‎2‎,‎ 当点B与点D重合时,如图2,顶点A也与B,D重合,点B到达最高点,‎ ‎∴点B(0,4),‎ ‎∴‎-‎‎1‎‎2‎m2+4=4,解得m=0,‎ 第25页(共25页)‎ 当抛物线从图2的位置继续向左平移时,如图3点B不在线段OD上,‎ ‎∴B点在线段OD上时,m的取值范围是:0≤m<1或1<m<2‎2‎.‎ ‎24.(12分)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上,分别过OB,OC的中点D,E作AE,AD的平行线,相交于点F,已知OB=8.‎ ‎(1)求证:四边形AEFD为菱形.‎ ‎(2)求四边形AEFD的面积.‎ ‎(3)若点P在x轴正半轴上(异于点D),点Q在y轴上,平面内是否存在点G,使得以点A,P,Q,G为顶点的四边形与四边形AEFD相似?若存在,求点P的坐标;若不存在,试说明理由.‎ ‎【解答】(1)证明:如图1中,‎ 第25页(共25页)‎ ‎∵AE∥DF,AD∥EF,‎ ‎∴四边形AEFD是平行四边形,‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AC=AB=OC=OB,∠ACE=∠ABD=90°,‎ ‎∵E,D分别是OC,OB的中点,‎ ‎∴CE=BD,‎ ‎∴△CAE≌△ABD(SAS),‎ ‎∴AE=AD,‎ ‎∴四边形AEFD是菱形.‎ ‎(2)解:如图1中,连接DE.‎ ‎∵S△ADB=S△ACE‎=‎1‎‎2‎×‎8×4=16,‎ S△EOD‎=‎1‎‎2‎×‎4×4=8,‎ ‎∴S△AED=S正方形ABOC﹣2S△ABD﹣S△EOD=64﹣2×16﹣8=24,‎ ‎∴S菱形AEFD=2S△AED=48.‎ ‎(3)解:如图1中,连接AF,设AF交DE于K,‎ ‎∵OE=OD=4,OK⊥DE,‎ ‎∴KE=KD,‎ ‎∴OK=KE=KD=2‎2‎,‎ ‎∵AO=8‎2‎,‎ ‎∴AK=6‎2‎,‎ 第25页(共25页)‎ ‎∴AK=3DK,‎ ‎①当AP为菱形的一边,点Q在x轴的上方,有图2,图3两种情形:‎ 如图2中,设AG交PQ于H,过点H作HN⊥x轴于N,交AC于M,设AM=t.‎ ‎∵菱形PAQG∽菱形ADFE,‎ ‎∴PH=3AH,‎ ‎∵HN∥OQ,QH=HP,‎ ‎∴ON=NP,‎ ‎∴HN是△PQO的中位线,‎ ‎∴ON=PN=8﹣t,‎ ‎∵∠MAH=∠PHN=90°﹣∠AHM,∠PNH=∠AMH=90°,‎ ‎∴△HMA∽△PNH,‎ ‎∴AMNH‎=MHPN=AHPH=‎‎1‎‎3‎,‎ ‎∴HN=3AM=3t,‎ ‎∴MH=MN﹣NH=8﹣3t,‎ ‎∵PN=3MH,‎ ‎∴8﹣t=3(8﹣3t),‎ ‎∴t=2,‎ ‎∴OP=2ON=2(8﹣t)=12,‎ ‎∴P(12,0).‎ 如图3中,过点H作HI⊥y轴于I,过点P作PN⊥x轴交IH于N,延长BA交IN于M.‎ 第25页(共25页)‎ 同法可证:△AMH∽△HNP,‎ ‎∴AMHN‎=MHPN=AHHP=‎‎1‎‎3‎,设MH=t,‎ ‎∴PN=3MH=3t,‎ ‎∴AM=BM﹣AB=3t﹣8,‎ ‎∵HI是△OPQ的中位线,‎ ‎∴OP=2IH,‎ ‎∴HIHN,‎ ‎∴8+t=9t﹣24,‎ ‎∴t=4,‎ ‎∴OP=2HI=2(8+t)=24,‎ ‎∴P(24,0).‎ ‎②当AP为菱形的边,点Q在x轴的下方时,有图4,图5两种情形:‎ 如图4中,QH=3PH,过点H作HM⊥OC于M,过D点P作PN⊥MH于N.‎ 第25页(共25页)‎ ‎∵MH是△QAC的中位线,‎ ‎∴MH‎=‎‎1‎‎2‎AC=4,‎ 同法可得:△HPN∽△QHM,‎ ‎∴NPHM‎=HNMQ=PHQH=‎‎1‎‎3‎,‎ ‎∴PN‎=‎‎1‎‎3‎HM‎=‎‎4‎‎3‎,‎ ‎∴OM=PN‎=‎‎4‎‎3‎,设HN=t,则MQ=3t,‎ ‎∵MQ=MC,‎ ‎∴3t=8‎-‎‎4‎‎3‎,‎ ‎∴t‎=‎‎20‎‎9‎,‎ ‎∴OP=MN=4+t‎=‎‎56‎‎9‎,‎ ‎∴点P的坐标为(‎56‎‎9‎,0).‎ 如图5中,QH=3PH,过点H作HM⊥x轴于M交AC于I,过点Q作QN⊥HM于N.‎ ‎∵IH是△ACQ的中位线,‎ ‎∴CQ=2HI,NQ=CI=4,‎ 同法可得:△PMH∽△HNQ,‎ ‎∴MHNQ‎=PMHN=PHHQ=‎‎1‎‎3‎,则MH‎=‎‎1‎‎3‎NQ‎=‎‎4‎‎3‎,‎ 第25页(共25页)‎ 设PM=t,则HN=3t,‎ ‎∵HN=HI,‎ ‎∴3t=8‎+‎‎4‎‎3‎,‎ ‎∴t‎=‎‎28‎‎9‎,‎ ‎∴OP=OM﹣PM=QN﹣PM=4﹣t‎=‎‎8‎‎9‎,‎ ‎∴P(‎8‎‎9‎,0).‎ ‎③如图6中,当AP为菱形的对角线时,有图6一种情形:‎ 过点H作HM⊥y轴于于点M,交AB于I,过点P作PN⊥HM于N.‎ ‎∵HI∥x轴,AH=HP,‎ ‎∴AI=IB=4,‎ ‎∴PN=IB=4,‎ 同法可得:△PNH∽△HMQ,‎ ‎∴PNHM‎=HNMQ=PHHQ=‎‎1‎‎3‎,‎ ‎∴MH=3PN=12,HI=MH﹣MI=4,‎ ‎∵HI是△ABP的中位线,‎ ‎∴BP=2IH=8,‎ ‎∴OP=OB+BP=16,‎ ‎∴P(16,0),‎ 综上所述,满足条件的点P的坐标为(12,0)或(24,0)或(‎56‎‎9‎,0)或(‎8‎‎9‎,0)或(16,0).‎ 第25页(共25页)‎