广州市白云区中考一模数学 23页

‎2016年广东省广州市白云区中考数学一模试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．﹣0.5的相反数是（　　）‎ A．0.5 B．﹣0.5 C．﹣2 D．2‎ ‎2．已知点C是线段AB上的一点，不能确定点C是AB中点的条件是（　　）‎ A．AC=CB B．AC=AB C．AB=2BC D．AC+CB=AB ‎3．下列各组的两项是同类项的为（　　）‎ A．3m2n2与﹣m2n3 B． xy与2yx C．53与a3 D．3x2y2与4x2z2‎ ‎4．如图，直线AB和CD相交于点O，若∠AOD=134°，则∠AOC的度数为（　　）‎ A．134° B．144° C．46° D．32°‎ ‎5．一个正方形的面积为2，则它的边长是（　　）‎ A．4 B．± C．﹣ D．‎ ‎6．为了了解一批电视机的使用寿命，从中抽取100台电视机进行试验，这个问题的样本是（　　）‎ A．这批电视机 B．这批电视机的使用寿命 C．抽取的100台电视机的使用寿命 D．100台 ‎7．计算（﹣2x+1）（﹣3x2）的结果为（　　）‎ A．6x3+1 B．6x3﹣3 C．6x3﹣3x2 D．6x3+3x2‎ ‎8．若一个多边形的每个外角都等于45°，则它是（　　）‎ A．六边形 B．八边形 C．九边形 D．十二边形 ‎9．如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数y2=的图象都经过点A（2，﹣1），若y1＞y2，则x的取值范围是（　　）‎ A．﹣1＜x＜0 B．x＞2 C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．x＜﹣2或0＜x＜2‎ ‎10．如图，△ABC周长为36cm，把其边AC对折，使点C、A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连结AD，若AE=6cm，则△ABD的周长是（　　）‎ A．24cm B．26cm C．28cm D．30cm ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎11．D、E、F分别是△ABC各边的中点．若△ABC的周长是12cm，则△DEF的周长是______cm．‎ ‎12．平面直角坐标系下有序数对（2x﹣y，x+y）表示的点为（5，4），则x=______．y=______．‎ ‎13．化简=______．‎ ‎14．直线y=kx+b中，k＜0，b＞0，则此直线经过第______象限．‎ ‎15．如果菱形两邻角之比为1：2，较短的对角线长为8，则其周长为______．‎ ‎16．在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A的坐标为，若将△OAB绕O点，逆时针旋转60°后，B点到达B′点，则点B′的坐标是______．‎ 三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．解不等式组．‎ ‎18．如图，E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的两点，∠AEB=∠FCB．求证：BE=DF．‎ ‎19．如图是平面直角坐标系及其中的一条直线，该直线还经过点C（3，﹣10）．‎ ‎（1）求这条直线的解析式；‎ ‎（2）若该直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，点P在x轴上，且S△PAB=6S△OAB，求点P的坐标．‎ ‎20．图①是某手机生产厂第一季度三个月产量统计图，图②是这三个月的产量与第一季度总产量的比例分布统计图，统计员在制作图①、图②时漏填了部分数据．‎ ‎（1）该厂二月份生产的手机产量占第一季度的比例为______%；‎ ‎（2）求该厂三月份生产手机的产量；‎ ‎（3）请求出图②中一月份圆心角的度数．‎ ‎21．在一个不透明的袋子中装有三张分别标有1、2、3数字的卡片（卡片除数字外完全相同）．‎ ‎（1）从袋中任意抽取一张卡片，则抽出的是偶数的概率为______；‎ ‎（2）从袋中任意抽取二张卡片，求被抽取的两张卡片构成两位数是奇数的概率．‎ ‎22．我国水资源比较缺乏，人均水量约为世界人均水量的四分之一，其中西北地区缺水尤为严重．一村民为了蓄水，他把一块矩形白铁皮四个角各切去一个同样大小的小正方形后制作一个无盖水箱用于接雨水．已知白铁皮的长为280cm，宽为160cm（如图）．‎ ‎（1）若水箱的底面积为16000cm2，请求出切去的小正方形边长；‎ ‎（2）对（1）中的水箱，若盛满水，这时水量是多少升？（注：1升水=1000cm3水）‎ ‎23．如图1，延长⊙O的直径AB至点C，使得BC=AB，点P是⊙O上半部分的一个动点（点P不与A、B重合），连结OP，CP．‎ ‎（1）∠C的最大度数为______；‎ ‎（2）当⊙O的半径为3时，△OPC的面积有没有最大值？若有，说明原因并求出最大值；若没有，请说明理由；‎ ‎（3）如图2，延长PO交⊙O于点D，连结DB，当CP=DB时，求证：CP是⊙O的切线．‎ ‎24．已知，如图，抛物线y=﹣x2+ax+b与x轴从左至右交于A、B两点，与y轴正半轴交于点C．设∠OCB=α，∠OCA=β，且tanα﹣tanβ=2，OC2=OA•OB．‎ ‎（1）△ABC是否为直角三角形？若是，请给出证明；若不是，请说明理由；‎ ‎（2）求抛物线的解析式；‎ ‎（3）若抛物线的顶点为P，求四边形ABPC的面积．‎ ‎25．如图：△ABC中，∠C=45°，点D在AC上，且∠ADB=60°，AB为△BCD外接圆的切线．‎ ‎（1）用尺规作出△BCD的外接圆（保留作图痕迹，可不写作法）；‎ ‎（2）求∠A的度数；‎ ‎（3）求的值．‎ ‎　‎ ‎2016年广东省广州市白云区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．﹣0.5的相反数是（　　）‎ A．0.5 B．﹣0.5 C．﹣2 D．2‎ ‎【考点】相反数．‎ ‎【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．‎ ‎【解答】解：﹣0.5的相反数是0.5，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．已知点C是线段AB上的一点，不能确定点C是AB中点的条件是（　　）‎ A．AC=CB B．AC=AB C．AB=2BC D．AC+CB=AB ‎【考点】两点间的距离．‎ ‎【分析】根据线段中点的定义对每一项分别进行分析，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：A、若AC=CB，则C是线段AB中点；‎ B、若AC=AB，则C是线段AB中点；‎ C、若AB=2BC，则C是线段AB中点；‎ D、AC+BC=AB，C可是线段AB是任意一点，‎ 则不能确定C是AB中点的条件是D．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎3．下列各组的两项是同类项的为（　　）‎ A．3m2n2与﹣m2n3 B． xy与2yx C．53与a3 D．3x2y2与4x2z2‎ ‎【考点】同类项．‎ ‎【分析】依据同类项的定义回答即可．‎ ‎【解答】解：A、3m2n2与﹣m2n3字母n的指数不同不是同类项，故A错误；‎ B、xy与2yx是同类项，故B正确；‎ C、53与a3所含字母不同，不是同类项，故C错误；‎ D、3x2y2与4x2z2所含的字母不同，不是同类项，故D错误．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．如图，直线AB和CD相交于点O，若∠AOD=134°，则∠AOC的度数为（　　）‎ A．134° B．144° C．46° D．32°‎ ‎【考点】对顶角、邻补角．‎ ‎【分析】根据邻补角之和等于180°进行计算即可．‎ ‎【解答】解：∠AOD+∠AOC=180°，‎ ‎∴∠AOC=180°﹣134°=46°，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．一个正方形的面积为2，则它的边长是（　　）‎ A．4 B．± C．﹣ D．‎ ‎【考点】算术平方根．‎ ‎【分析】依据算术平方根的定义和性质求解即可．‎ ‎【解答】解：设它的边长为x，则x2=2，‎ 所以x=．‎ 所以它的边长是．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．为了了解一批电视机的使用寿命，从中抽取100台电视机进行试验，这个问题的样本是（　　）‎ A．这批电视机 B．这批电视机的使用寿命 C．抽取的100台电视机的使用寿命 D．100台 ‎【考点】总体、个体、样本、样本容量．‎ ‎【分析】本题考查的是确定总体．解此类题需要注意“考查对象实际应是表示事物某一特征的数据，而非考查的事物．”．我们在区分总体、个体、样本、样本容量这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本．‎ ‎【解答】解：本题考查的对象是了解一批电视机的使用寿命，故样本是所抽取的100台电视机的使用寿命．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．计算（﹣2x+1）（﹣3x2）的结果为（　　）‎ A．6x3+1 B．6x3﹣3 C．6x3﹣3x2 D．6x3+3x2‎ ‎【考点】单项式乘多项式．‎ ‎【分析】依据单项式乘多项式法则进行计算即可．‎ ‎【解答】解：原式=6x3﹣3x2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．若一个多边形的每个外角都等于45°，则它是（　　）‎ A．六边形 B．八边形 C．九边形 D．十二边形 ‎【考点】多边形内角与外角．‎ ‎【分析】因为多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都相等，且一个外角的度数为45°，由此即可求出答案．‎ ‎【解答】解：360÷45=8，则正多边形的边数为8，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数y2=的图象都经过点A（2，﹣1），若y1＞y2，则x的取值范围是（　　）‎ A．﹣1＜x＜0 B．x＞2 C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．x＜﹣2或0＜x＜2‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．‎ ‎【分析】根据对称性先确定它们的交点坐标，然后根据一次函数图象在反比例函数图象的上方，由此即可解决问题．‎ ‎【解答】解：如图，∵点A坐标（2，﹣1），‎ 又∵正比例函数y1=k1x和反比例函数y2=都是关于原点对称，‎ ‎∴它们的交点A、B关于原点对称，‎ ‎∴点B坐标（﹣2，1），‎ ‎∴由图象可知，y1＞y2时，x＜﹣2，或0＜x＜2．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．如图，△ABC周长为36cm，把其边AC对折，使点C、A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连结AD，若AE=6cm，则△ABD的周长是（　　）‎ A．24cm B．26cm C．28cm D．30cm ‎【考点】翻折变换（折叠问题）．‎ ‎【分析】根据翻折变换的性质可得AE=EC，AD=CD，然后求出△ABD的周长=AB+BC，代入数据计算即可得解．‎ ‎【解答】解：∵△ABC的边AC对折顶点C和点A重合，‎ ‎∴AE=EC，AD=CD，‎ ‎∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，‎ ‎∵AE=6cm，‎ ‎∴AC=AE+EC=6+6=12，‎ ‎∵△ABC的周长为36cm，‎ ‎∴AB+BC=36﹣12=24cm，‎ ‎∴△ABD的周长是24cm．‎ 故选A．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎11．D、E、F分别是△ABC各边的中点．若△ABC的周长是12cm，则△DEF的周长是　6　cm．‎ ‎【考点】三角形中位线定理．‎ ‎【分析】由于D、E分别是AB、BC的中点，则DE是△ABC的中位线，那么DE=AC，同理有EF=AB，DF=BC，于是易求△DEF的周长．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ ‎∵D、E分别是AB、BC的中点，‎ ‎∴DE是△ABC的中位线，‎ ‎∴DE=AC，‎ 同理有EF=AB，DF=BC，‎ ‎∴△DEF的周长=（AC+BC+AB）=×12=6cm．‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ ‎12．平面直角坐标系下有序数对（2x﹣y，x+y）表示的点为（5，4），则x=　3　．y=　1　．‎ ‎【考点】点的坐标．‎ ‎【分析】根据题意可得方程组，解方程组可得答案．‎ ‎【解答】解：由题意得：，‎ 解得，‎ 故答案为：3；1．‎ ‎　‎ ‎13．化简=　　．‎ ‎【考点】约分．‎ ‎【分析】首先把分子分母分解因式，再约去分子分母的公因式即可．‎ ‎【解答】解：原式=‎ ‎=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．直线y=kx+b中，k＜0，b＞0，则此直线经过第　一、二、四　象限．‎ ‎【考点】一次函数图象与系数的关系．‎ ‎【分析】根据一次函数图象与系数的关系进行判断．‎ ‎【解答】解：∵k＜0，b＞0，‎ ‎∴直线y=kx+b经过第一、二、四象限．‎ 故答案为：一、二、四．‎ ‎　‎ ‎15．如果菱形两邻角之比为1：2，较短的对角线长为8，则其周长为　32　．‎ ‎【考点】菱形的性质．‎ ‎【分析】根据菱形的性质及已知可求得△ADB是等边三角形，从而可得到菱形的边长，进而可求出其周长．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB∥CD，‎ ‎∴∠A+∠ADC=180°，‎ ‎∵∠A：∠ADC=1：2，‎ ‎∴∠A=60°，∠ADC=120°，‎ ‎∵AD=AB，‎ ‎∴△ADB为等边三角形，‎ ‎∴AD=BD=8，‎ ‎∴菱形的周长=4×8=32，‎ 故答案为32．‎ ‎　‎ ‎16．在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A的坐标为，若将△OAB绕O点，逆时针旋转60°后，B点到达B′点，则点B′的坐标是　（）　．‎ ‎【考点】坐标与图形变化-旋转．‎ ‎【分析】根据A点坐标可知∠AOB=30°，因此旋转后OA在y轴上．如图所示．作B′C′⊥y轴于C′点，运用三角函数求出B′C′、OC′的长度即可确定B′的坐标．‎ ‎【解答】解：将△OAB绕O点，逆时针旋转60°后，位置如图所示，‎ 作B′C′⊥y轴于C′点，‎ ‎∵A的坐标为，‎ ‎∴OB=，AB=1，∠AOB=30°，‎ ‎∴OB′=，∠B′OC′=30°，‎ ‎∴B′C′=，OC′=，‎ ‎∴B′（，）．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．解不等式组．‎ ‎【考点】解一元一次不等式组．‎ ‎【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．‎ ‎【解答】解：解不等式x+3＜5，得：x＜2，‎ 解不等式3x﹣1≥﹣7，得：x≥﹣2，‎ 故不等组的解集为：﹣2≤x＜2．‎ ‎　‎ ‎18．如图，E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的两点，∠AEB=∠FCB．求证：BE=DF．‎ ‎【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】根据平行四边形的性质得出AB=CD，∠B=∠D，根据AAS证出△ABE≌△CDF即可推出答案．‎ ‎【解答】证明：‎ ‎∵四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴AB=CD，∠B=∠D．‎ 又AD∥CB，‎ ‎∴∠DFC=∠FCB，‎ 又∵∠AEB=∠FCB，‎ ‎∴∠AEB=∠CFD．‎ 在△ABE和△CDF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△CDF（AAS），‎ ‎∴BE=DF．‎ ‎　‎ ‎19．如图是平面直角坐标系及其中的一条直线，该直线还经过点C（3，﹣10）．‎ ‎（1）求这条直线的解析式；‎ ‎（2）若该直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，点P在x轴上，且S△PAB=6S△OAB，求点P的坐标．‎ ‎【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征．‎ ‎【分析】（1）待定系数法求解可得；‎ ‎（2）先根据直线解析式求得A、B点坐标，进而可得S△OAB=，设点P的坐标为P（m，0），用含m的式子表示出S△PAB，根据S△PAB=6S△OAB可得关于m的方程，解方程即可得．‎ ‎【解答】解：（1）设直线的解析式为：y=kx+b，‎ 由图可知，直线经过点（﹣1，2），‎ 又已知经过点C（3，﹣10），‎ 分别把坐标代入解析式中，得：，‎ 解得，‎ ‎∴直线的解析式为：y=﹣3x﹣1；‎ ‎（2）由y=﹣3x﹣1，令y=0，‎ 解得x=﹣；‎ 令x=0，解得y=﹣1．‎ ‎∴A、B两点的坐标分别为A（﹣，0）、B（0，﹣1）．‎ S△OAB=OA•OB=××1=．‎ 设点P的坐标为P（m，0），‎ 则S△PAB=PA•OB=×|m﹣（﹣）|×1=|m+|，‎ 由S△PAB=6S△OAB，得|m+|=6×，‎ 从而得m+=2或m+=﹣2，‎ ‎∴m=或m=﹣，‎ 即点P的坐标为P（，0）或P（﹣，0）．‎ ‎　‎ ‎20．图①是某手机生产厂第一季度三个月产量统计图，图②是这三个月的产量与第一季度总产量的比例分布统计图，统计员在制作图①、图②时漏填了部分数据．‎ ‎（1）该厂二月份生产的手机产量占第一季度的比例为　34　%；‎ ‎（2）求该厂三月份生产手机的产量；‎ ‎（3）请求出图②中一月份圆心角的度数．‎ ‎【考点】条形统计图；扇形统计图．‎ ‎【分析】（1）用1减去一月、三月百分比可得；‎ ‎（2）根据一月产量和百分比求出一季度总产量，将总产量乘以三月份百分比可得；‎ ‎（3）360°×一月份百分比即可．‎ ‎【解答】解：（1）该厂二月份生产的手机产量占第一季度的比例为1﹣30%﹣36%=34%；‎ ‎（2）该厂第一季度总产量为：1500÷30%=5000（部），‎ ‎5000×36%=1800（部）；‎ 答：该厂三月份生产手机为1800部；‎ ‎（3）360°×30%=108°．‎ 答：图②中一月份圆心角的度数为：108°．‎ 故答案为：（1）34．‎ ‎　‎ ‎21．在一个不透明的袋子中装有三张分别标有1、2、3数字的卡片（卡片除数字外完全相同）．‎ ‎（1）从袋中任意抽取一张卡片，则抽出的是偶数的概率为　　；‎ ‎（2）从袋中任意抽取二张卡片，求被抽取的两张卡片构成两位数是奇数的概率．‎ ‎【考点】列表法与树状图法；概率公式．‎ ‎【分析】（1）求出1，2，3三个数中偶数的个数，再直接根据概率公式求解即可；‎ ‎（2）分别列举出可能组成的两位数，再根据概率公式解答即可．‎ ‎【解答】解：（1）随机地抽取一张，所有可能出现的结果有3个，每个结果发生的可能性都相等，其中卡片上的数字为偶数的结果有1个．‎ 故从袋中任意抽取一张卡片，则抽出的是偶数的概率为：；‎ 故答案为：；‎ ‎（2）解法一：列举法 被抽取的两张卡片所有可能是：1、2；1、3；2、3．‎ 而每一种情况，都可构成两个两位数，‎ 即是：12，21，13，31，23，32，‎ 共6个两位数．其中是奇数的为：‎ ‎21，13，31，23共4个，‎ ‎∴P（奇数）==．‎ 解法二：列表法 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎2‎ ‎21‎ ‎23‎ ‎3‎ ‎31‎ ‎32‎ 从表中看出，共有6个两位数，‎ 其中是奇数的为：13，21，23，31共4个，‎ ‎∴P（奇数）==．‎ 解法三：树状图法 由树状图可知，构成的两位数共有6个，‎ 分别是：12，13，21，23，31，32，‎ 其中是奇数的为：13，21，23，31共4个，‎ ‎∴P（奇数）==．‎ ‎　‎ ‎22．我国水资源比较缺乏，人均水量约为世界人均水量的四分之一，其中西北地区缺水尤为严重．一村民为了蓄水，他把一块矩形白铁皮四个角各切去一个同样大小的小正方形后制作一个无盖水箱用于接雨水．已知白铁皮的长为280cm，宽为160cm（如图）．‎ ‎（1）若水箱的底面积为16000cm2，请求出切去的小正方形边长；‎ ‎（2）对（1）中的水箱，若盛满水，这时水量是多少升？（注：1升水=1000cm3水）‎ ‎【考点】一元二次方程的应用．‎ ‎【分析】（1）设切去的小正方形的边长为xcm，然后用含x的式子表示水箱底面的长和宽，然后依据矩形的面积公式列方程求解即可；‎ ‎（2）依据正方体的体积=底面积×高求得水的体积，然后再依据1升水=1000cm3水求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）设切去的小正方形的边长为xcm．‎ 根据题意，得：=16000，‎ 化简整理，得：x2﹣220x+7200=0，‎ 解得x=40或x=180（舍去）．‎ 答：切去的小正方形边长为40cm．‎ ‎（2）在（1）的条件下，水箱的容积=16000×40=640000cm3．‎ ‎640000÷1000=640（升）‎ 答：这时水量为640升．‎ ‎　‎ ‎23．如图1，延长⊙O的直径AB至点C，使得BC=AB，点P是⊙O上半部分的一个动点（点P不与A、B重合），连结OP，CP．‎ ‎（1）∠C的最大度数为　30°　；‎ ‎（2）当⊙O的半径为3时，△OPC的面积有没有最大值？若有，说明原因并求出最大值；若没有，请说明理由；‎ ‎（3）如图2，延长PO交⊙O于点D，连结DB，当CP=DB时，求证：CP是⊙O的切线．‎ ‎【考点】圆的综合题．‎ ‎【分析】（1）当PC与⊙O相切时，∠OCP的度数最大，根据切线的性质即可求得；‎ ‎（2）由△OPC的边OC是定值，得到当OC边上的高为最大值时，△OPC的面积最大，当PO⊥OC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，于是得到结论；‎ ‎（3）根据全等三角形的性质得到AP=DB，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C，得到CO=OB+OB=AB，推出△APB≌△CPO，根据全等三角形的性质得到∠CPO=∠APB，根据圆周角定理得到∠APB=90°，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）当PC与⊙O相切时，∠OCP最大．如图1，所示：‎ ‎∵sin∠OCP===，‎ ‎∴∠OCP=30°‎ ‎∴∠OCP的最大度数为30°，‎ 故答案为：30°；‎ ‎（2）有最大值，理由：‎ ‎∵△OPC的边OC是定值，‎ ‎∴当OC边上的高为最大值时，△OPC的面积最大，‎ 而点P在⊙O上半圆上运动，当PO⊥OC时，‎ 取得最大值，即此时OC边上的高最大，‎ 也就是高为半径长，‎ ‎∴最大值S△OPC=OC•OP=×6×3=9；‎ ‎（3）证明：连结AP，BP，如图2，‎ 在△OAP与△OBD中，‎ ‎，‎ ‎∴△OAP≌△OBD，‎ ‎∴AP=DB，‎ ‎∵PC=DB，∴AP=PC，‎ ‎∵PA=PC，∴∠A=∠C，‎ ‎∵BC=AB=OB，‎ ‎∴CO=OB+OB=AB，‎ 在△APB和△CPO中，‎ ‎，‎ ‎∴△APB≌△CPO，‎ ‎∴∠CPO=∠APB，‎ ‎∵AB为直径，‎ ‎∴∠APB=90°，‎ ‎∴∠CPO=90°，‎ ‎∴PC切⊙O于点P，即CP是⊙O的切线．‎ ‎　‎ ‎24．已知，如图，抛物线y=﹣x2+ax+b与x轴从左至右交于A、B两点，与y轴正半轴交于点C．设∠OCB=α，∠OCA=β，且tanα﹣tanβ=2，OC2=OA•OB．‎ ‎（1）△ABC是否为直角三角形？若是，请给出证明；若不是，请说明理由；‎ ‎（2）求抛物线的解析式；‎ ‎（3）若抛物线的顶点为P，求四边形ABPC的面积．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）利用已知得出Rt△BOC∽Rt△COA，进而得出∠OCA+∠OCB=90°，即可得出答案；‎ ‎（2）由题意可得，方程﹣x2+ax+b=0有两个不同的实数根，进而得出C点坐标，可得出b的值，再利用tanα=，tanβ=，由tanα﹣tanβ=2，得出a的值进而得出答案；‎ ‎（3）作PF⊥x轴于点F，根据S四边形ABPC=S△PDB﹣S△CDA=DB•PF﹣DA•OC，进而得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）△ABC是直角三角形．‎ 理由如下：‎ ‎∵OC2=OA•OB，‎ ‎∴=，‎ 又∵∠BOC=∠COA=90°，‎ ‎∴Rt△BOC∽Rt△COA，‎ ‎∴∠OCB=∠OAC；‎ 又∵∠OCA+∠OAC=90°，‎ ‎∴∠OCA+∠OCB=90°，‎ 即∠ACB=90°，‎ ‎∴△ABC是直角三角形；‎ ‎（2）∵抛物线与x轴交于A、B两点，‎ ‎∴方程﹣x2+ax+b=0有两个不同的实数根．‎ 设这两个根分别为x1、x2，且x1＜x2，‎ 显然，x1＜0，x2＞0，‎ 得A、B两点的坐标分别为A（x1，0）、B（x2，0）．‎ 由根与系数的关系，有x1+x2=a，x1•x2=﹣b．‎ 对于抛物线y=﹣x2+ax+b，当x=0时，y=b，‎ ‎∴C点的坐标为C（0，b）；‎ 由已知条件OC2=OA•OB，‎ 得b2=（﹣x1）•x2，即b2=﹣x1•x2，‎ ‎∴b2=b，‎ ‎∵点C在y轴的正半轴上，‎ ‎∴b＞0，从而得b=1．‎ ‎∵tanα=，tanβ=，‎ 由tanα﹣tanβ=2，得﹣=2，即 OB﹣OA=2OC，‎ 得x2﹣（﹣x1）=2b，x2+x1=2b，‎ 即a=2b，‎ ‎∴a=2．‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+1；‎ ‎（3）由抛物线的解析式y=﹣x2+2x+1‎ 配方得：y=﹣（x﹣1）2+2，‎ ‎∴其顶点P的坐标为P（1，2）．‎ 解方程﹣x2+2x+1=0，‎ 得x1=1﹣，x2=1+，‎ ‎∴A（1﹣，0），B（1+，0）．‎ 解法一：设过P、C两点的直线与x轴交于点D，‎ 直线的解析式为：y=kx+1，‎ 把P（1，2）坐标代入，得k=1，‎ ‎∴直线PC：y=x+1，当y=0时，x=﹣1，‎ 即点D的坐标为D（﹣1，0）．‎ ‎∵﹣1＜1﹣，‎ ‎∴点D在点A的左边，‎ 作PF⊥x轴于点F，‎ ‎∴S四边形ABPC=S△PDB﹣S△CDA=DB•PF﹣DA•OC ‎= [（1+）+1]×2﹣ [（1﹣）+1]×1‎ ‎=，‎ 即四边形ABPC的面积为．‎ 解法二：过点P作PF⊥x轴于点F，‎ 则∴S四边形ABPC=S△OAC+S梯形COFP+S△PFB ‎=OA•OC+（OC+PF）•OF+FB•PF，‎ ‎=（﹣1）×1+（1+2）×1+（1+﹣1）×2‎ ‎=；‎ 即四边形ABPC的面积为．‎ ‎　‎ ‎25．如图：△ABC中，∠C=45°，点D在AC上，且∠ADB=60°，AB为△BCD外接圆的切线．‎ ‎（1）用尺规作出△BCD的外接圆（保留作图痕迹，可不写作法）；‎ ‎（2）求∠A的度数；‎ ‎（3）求的值．‎ ‎【考点】圆的综合题．‎ ‎【分析】（1）利用三角形外接圆的圆心是各边垂直平分线的交点即可画出图形．‎ ‎（2）只要证明△BOD是等腰直角三角形即可推出∠ABD=∠DBO=45°，利用三角形内角和定理即可解决问题．‎ ‎（3）过点B作BE⊥AC，垂足为点E，设DE=x，则BD=2x，BE==x，用x的代数式表示AD、DC即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）作BC的垂直平分线MN，作BD的垂直平分线HF，MN与FH的交点为O，以点O为圆心OB为作⊙O即可．如图所示，‎ ‎（2）连结OB、OD，‎ 由切线性质，知∠ABO=90°．‎ ‎∵∠ACB=45°，‎ ‎∴∠BOD=90°，‎ ‎（同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）．‎ ‎∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB=45°，‎ 由∠ABO=90°，得∠ABD=45°，‎ ‎∴∠A=180°﹣∠ABD﹣∠ADB ‎=180°﹣45°﹣60°=75°；‎ ‎（3）过点B作BE⊥AC，垂足为点E，‎ 在Rt△BCE中，∵∠ACB=45°，‎ ‎∴∠EBC=45°，∴BE=CE．‎ 在Rt△BDE中，∵∠DBE=90°﹣∠EDB=30°，‎ ‎∴BD=2DE，‎ 设DE=x，则BD=2x，BE==x DC=CE﹣DE=BE﹣DE=（﹣1）x．‎ AE=AD﹣DE=AD﹣x．‎ 在△ABC和△ADB中，‎ ‎∵∠ABD=∠ACB=45°，∠A为公共角，‎ ‎∴△ABC∽△ADB，‎ ‎∴=，‎ 即AB2=AC•AD，即 AB2=（AD+DC）•AD ‎=AD2+AD•（﹣1）x　　①．‎ 在Rt△ABE中，由勾股定理，‎ 得AB2=AE2+BE2=（AD﹣x）2+（x）2　　②．‎ 由①、②，得AD2+AD•（﹣1）x ‎=（AD﹣x）2+（x）2，‎ 化简整理，解得AD=2（﹣1）x．‎ ‎∴==2，‎ ‎∴=2．‎ ‎　‎ ‎2016年9月26日