中考数学5月模拟试卷含解析6 14页

‎2016年福建省泉州市晋江市中考数学模拟试卷（5月份）‎ 一、选择题（每小题3分，共21分.每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确的，请在答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得3分，答错或不答的一律得0分.）‎ ‎1．的绝对值是（　　）‎ A． B． C．2016 D．﹣2016‎ ‎2．计算（a3）2正确的是（　　）‎ A．2a3 B．a5 C．a8 D．a6‎ ‎3．某校男子足球队的年龄如下表所示，则这些队员年龄的众数是（　　）‎ 人数 ‎2‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎2‎ 年龄（岁）‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ A．2 B．8 C．14 D．16‎ ‎4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．正方形的对称轴有（　　）‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎6．若用规格相同的正六边形地砖铺地板，则围绕在一个顶点处的地砖的块数为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎7．若关于x的一元二次方程（2k﹣1）x2﹣8x+6=0没有实数根，则k的最小整数值是（　　）‎ A．﹣1 B．2 C．3 D．4‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题4分，共40分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答．‎ ‎8．计算： =　　　　　　．‎ ‎9．在今年元霄央视主办的《中国谜语大会》（第三季）节目播出期间，前两场比赛观众和新媒体同步实时互动近170000000人次，则170000000用科学记数法表示为　　　　　　．‎ ‎10．如图，直线m∥n，若∠1=110°，则∠2=　　　　　　°．‎ ‎11．现要从甲、乙两个队员中挑选出一名队员参加射击比赛，两人各进行20次的射击测试，得到的平均数，方差S甲2＜S乙2，若要选拔出成绩比较稳定的队员参赛，则应选择　　　　　　．‎ ‎12．因式分解：a2﹣4=　　　　　　．‎ ‎13．如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD=120°，∠A=80°，则∠B=　　　　　　°．‎ ‎14．方程组的解是　　　　　　．‎ ‎15．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，且AH=1，HB=2，BC=5，则=　　　　　　．‎ ‎16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠C=140°，则的长为　　　　　　．‎ ‎17．如图，在等腰△ABC中，AB=BC=4，把△ABC沿AC翻折得到△ADC．则 ‎（1）四边形ABCD是　　　　　　形；‎ ‎（2）若∠B=120°，点P、E、F分别为线段AC、AD、DC上的任意1点，则PE+PF的最小值为　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共89分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答．‎ ‎18．计算：．‎ ‎19．先化简，再求值：（a+3）2+a（2﹣a），其中．‎ ‎20．如图，在▱ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且DE∥BF，求证：△AFB≌△CED．‎ ‎21．在一个不透明的布袋中，放入分别标注1、﹣2、3三个不同数字的小球，小球除了数字不同外，其余都相同．小明闭上眼睛先把小球搅均，再从该布袋中摸出第一个小球，记小球上的数字为A，把球重新放回布袋中搅均，摸出第二个小球，记小球上的数字为B．‎ ‎（1）求小明第一次摸出的小球上的数字为“负数”的概率；‎ ‎（2）求两次摸出的小球上的数字均是一元一次不等式2x+3＞0的解的概率．‎ ‎22．某中学初二年级抽取部分学生进行“足球科普知识”测试，测试成绩从高分到低分以A、B、C、D等级表示，测试结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列各题：‎ ‎（1）参加这次测试的共有　　　　　　人；在扇形统计图中，“A级”部分所对应的圆心角的度数是　　　　　　度；‎ ‎（2）补全条形统计图；‎ ‎（3）如果该校初二年级的总人数是600人，根据此统计数据，请你估算该校初二年级学生对“足球科普知识”了解层次达到成绩为“B级（含B级）”以上的人数．‎ ‎23．如图，把含30°角的三角板放置在如图所示的平面直角坐标系中，∠AOB=90°，∠B=30°，OA=2，斜边AB∥x轴，点A在双曲线上．‎ ‎（1）求双曲线的解析式；‎ ‎（2）把三角板AOB绕点A顺时针旋转，使得点O的对应点C落在x轴的负半轴上的对应线段为AD，试判断点D是否在双曲线上？请说明理由．‎ ‎24．如图，把一张长15cm，宽12cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的小正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．设剪去的小正方形的边长为xcm．‎ ‎（1）请用含x的代数式表示长方体盒子的底面积；‎ ‎（2）当剪去的小正方形的边长为多少时，其底面积是130cm2？‎ ‎（3）试判断折合而成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？若有，试求出最大值和此时剪去的小正方形的边长；若没有，试说明理由．‎ ‎25．如图，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧）与y轴交于点C（0，8），点D是抛物线上的动点，直线AD与y轴交于点K．‎ ‎（1）填空：c=　　　　　　；‎ ‎（2）若点D的横坐标为2，连接OD、CD、AC，以AC为直径作⊙M，试判断点D与⊙M的位置关系，并说明理由．‎ ‎（3）在抛物线上是否存在点D，使得∠BAC=2∠BAD？若存在，试求出点D的坐标；若不存在，试说明理由．‎ ‎26．阅读理解 在⊙I中，弦AF与DE相交于点Q，则AQ•QF=DQ•QE．你可以利用这一性质解决问题．‎ 问题解决 如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的边BC在x轴上，高AO在y轴的正半轴上，点Q（0，1）是等边△ABC的重心，过点Q的直线分别交边AB、AC于点D、E，直线DE绕点Q转动，设∠OQD=α（60°＜α＜120°），△ADE的外接圆⊙I交y轴正半轴于点F，连接EF．‎ ‎（1）填空：AB=　　　　　　；‎ ‎（2）在直线DE绕点Q转动的过程中，猜想：与的值是否相等？试说明理由．‎ ‎（3）①求证：AQ2=AD•AE﹣DQ•QE；‎ ‎②记AD=a，AE=b，DQ=m，QE=m（a、b、m、n均为正数），请直接写出mn的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016年福建省泉州市晋江市中考数学模拟试卷（5月份）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题3分，共21分.每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确的，请在答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得3分，答错或不答的一律得0分.）‎ ‎1．的绝对值是（　　）‎ A． B． C．2016 D．﹣2016‎ ‎【考点】绝对值．‎ ‎【分析】根据绝对值的定义：一个负数的绝对值是它的相反数，直接计算即可解答．‎ ‎【解答】解：的绝对值是．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．计算（a3）2正确的是（　　）‎ A．2a3 B．a5 C．a8 D．a6‎ ‎【考点】幂的乘方与积的乘方．‎ ‎【分析】直接利用幂的乘方运算法则，求出答案．‎ ‎【解答】解：（a3）2=a6．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．某校男子足球队的年龄如下表所示，则这些队员年龄的众数是（　　）‎ 人数 ‎2‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎2‎ 年龄（岁）‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ A．2 B．8 C．14 D．16‎ ‎【考点】众数．‎ ‎【分析】根据众数的定义即一组数据中出现次数最多的数据，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵年龄是14岁的人数最多，有8个人，‎ ‎∴这些队员年龄的众数是14；‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】在数轴上表示不等式的解集；不等式的解集．‎ ‎【分析】利用不等式组取解集的方法求出不等式组的解集，表示在数轴上即可．‎ ‎【解答】解：不等式组的解集为﹣2＜x≤3，‎ 在数轴上表示正确的是，‎ 故选B ‎　‎ ‎5．正方形的对称轴有（　　）‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎【考点】轴对称的性质．‎ ‎【分析】根据正方形的轴对称性作出图形以及对称轴，即可得解．‎ ‎【解答】解：如图，正方形对称轴为经过对边中点的直线，两条对角线所在的直线，共4条．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎6．若用规格相同的正六边形地砖铺地板，则围绕在一个顶点处的地砖的块数为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【考点】平面镶嵌（密铺）．‎ ‎【分析】正六边形的内角和为120°，看围绕一点拼在一起的正六边形地砖的内角和是否为360°，并以此为依据进行求解．‎ ‎【解答】解：因为正六边形的内角为120°，‎ 所以360°÷120°=3，‎ 即每一个顶点周围的正六边形的个数为3．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎7．若关于x的一元二次方程（2k﹣1）x2﹣8x+6=0没有实数根，则k的最小整数值是（　　）‎ A．﹣1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】根的判别式；解一元一次不等式．‎ ‎【分析】根据方程没有实数根结合根的判别式可得出△=88﹣48k＜0，解不等式即可得出k的取值范围，取期内的最小整数即可得出结论．‎ ‎【解答】解：①当2k﹣1≠0，即k≠时，‎ ‎∵关于x的一元二次方程（2k﹣1）x2﹣8x+6=0没有实数根，‎ ‎∴△=（﹣8）2﹣4×（2k﹣1）×6=88﹣48k＜0，‎ 解得：k＞；‎ ‎②当2k﹣1=0，即k=时，‎ 原方程为﹣8x+6=0有一个实数根，‎ 故不符合要求．‎ 综上可知：k＞．‎ ‎∴k的最小整数值为2；‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题4分，共40分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答．‎ ‎8．计算： =　m　．‎ ‎【考点】分式的乘除法．‎ ‎【分析】分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．依此计算即可求解．‎ ‎【解答】解： =m．‎ 故答案为：m．‎ ‎　‎ ‎9．在今年元霄央视主办的《中国谜语大会》（第三季）节目播出期间，前两场比赛观众和新媒体同步实时互动近170000000人次，则170000000用科学记数法表示为　1.7×108　．‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：170000000=1.7×108，‎ 故答案为：1.7×108．‎ ‎　‎ ‎10．如图，直线m∥n，若∠1=110°，则∠2=　70　°．‎ ‎【考点】平行线的性质．‎ ‎【分析】根据平行线的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵直线m∥n，∠1=110°，‎ ‎∴∠2=180°﹣∠1=70°，‎ 故答案为：70．‎ ‎　‎ ‎11．现要从甲、乙两个队员中挑选出一名队员参加射击比赛，两人各进行20次的射击测试，得到的平均数，方差S甲2＜S乙2，若要选拔出成绩比较稳定的队员参赛，则应选择　甲　．‎ ‎【考点】方差；算术平均数．‎ ‎【分析】直接利用方差的意义，是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，进而得出答案．‎ ‎【解答】解：∵平均数，方差S甲2＜S乙2，‎ ‎∴要选拔出成绩比较稳定的队员参赛，则应选择甲．‎ 故答案为：甲．‎ ‎　‎ ‎12．因式分解：a2﹣4=　（a+2）（a﹣2）　．‎ ‎【考点】因式分解-运用公式法．‎ ‎【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．‎ ‎【解答】解：a2﹣4=（a+2）（a﹣2）．‎ 故答案为：（a+2）（a﹣2）．‎ ‎　‎ ‎13．如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD=120°，∠A=80°，则∠B=　40　°．‎ ‎【考点】三角形的外角性质．‎ ‎【分析】根据三角形外角的性质可得∠B=∠ACD﹣∠A进而可得答案．‎ ‎【解答】解：∵∠ACD=120°，∠A=80°，‎ ‎∴∠B=120°﹣80°=40°，‎ 故答案为：40．‎ ‎　‎ ‎14．方程组的解是　　．‎ ‎【考点】二元一次方程组的解．‎ ‎【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．‎ ‎【解答】解：，‎ ‎②﹣①得：4y=﹣4，即y=﹣1，‎ 把y=﹣1代入①得：2x+1=5，即x=2，‎ 则方程组的解为，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎15．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，且AH=1，HB=2，BC=5，则=　　．‎ ‎【考点】平行线分线段成比例．‎ ‎【分析】求出AB=3，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．‎ ‎【解答】解：∵AH=2，HB=1，‎ ‎∴AB=AH+BH=3，‎ ‎∵l1∥l2∥l3，‎ ‎∴==；‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠C=140°，则的长为　　．‎ ‎【考点】圆内接四边形的性质；弧长的计算．‎ ‎【分析】连接OB、OC，根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，根据圆周角定理求出∠BOD的度数，利用弧长公式计算即可．‎ ‎【解答】解：连接OB、OC，‎ ‎∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，‎ ‎∴∠A+∠C=180°，‎ ‎∴∠A=180°﹣∠C=40°，‎ 由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°，‎ ‎∴==，‎ 故答案为：π．‎ ‎　‎ ‎17．如图，在等腰△ABC中，AB=BC=4，把△ABC沿AC翻折得到△ADC．则 ‎（1）四边形ABCD是　菱　形；‎ ‎（2）若∠B=120°，点P、E、F分别为线段AC、AD、DC上的任意1点，则PE+PF的最小值为　　．‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质；轴对称-最短路线问题．‎ ‎【分析】（1）根据四边相等的四边形是菱形即可判定．‎ ‎（2）作CM⊥AD交AD的延长线于M，连接PD，当PE⊥AD，PF⊥CD时，PE+PF最短，利用面积法证明PE+PF=CM即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）∵AB=BC，△ABC沿AC翻折得到△ADC，‎ ‎∴AB=BC=AD=CD，‎ ‎∴四边形ABCD是菱形．‎ 故答案为菱．‎ ‎（2）作CM⊥AD交AD的延长线于M，连接PD．‎ 当PE⊥AD，PF⊥CD时，PE+PF最短，‎ ‎∵∠B=∠ADC=120°，‎ ‎∴∠CDM=60°，‎ ‎∵CD=AB=4，∠CMD=90°，‎ ‎∴sin60°=，‎ ‎∴CM=2，‎ ‎∵S△ADC=S△ADP+S△CDP=•AD•PE+•CD•PF=•AD•CM，‎ ‎∴PE+PF=CM=2，‎ ‎∴PE+PF的最小值为2．‎ 故答案为2．‎ ‎　‎ 三、解答题（共89分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答．‎ ‎18．计算：．‎ ‎【考点】二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．‎ ‎【分析】原式第一项利用二次根式的除法法则计算，第二项利用零指数幂法则及乘法法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．‎ ‎【解答】解：原式=3﹣1﹣3+2‎ ‎=1．‎ ‎　‎ ‎19．先化简，再求值：（a+3）2+a（2﹣a），其中．‎ ‎【考点】整式的混合运算—化简求值．‎ ‎【分析】原式利用完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．‎ ‎【解答】解：原式=a2+6a+9+2a﹣a2=8a+9，‎ 当a=﹣时，原式=﹣4+9=5．‎ ‎　‎ ‎20．如图，在▱ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且DE∥BF，求证：△AFB≌△CED．‎ ‎【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定．‎ ‎【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB=CD，由平行线的性质得出∠FAB=∠ECD，∠BFA=∠DEC，由AAS证明△AFB≌△CED即可．‎ ‎【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥CD，AB=CD，‎ ‎∴∠FAB=∠ECD，‎ 又∵DE∥BF，‎ ‎∴∠BFA=∠DEC，‎ 在△AFB和△CED中，，‎ ‎∴△AFB≌△CED（AAS）．‎ ‎　‎ ‎21．在一个不透明的布袋中，放入分别标注1、﹣2、3三个不同数字的小球，小球除了数字不同外，其余都相同．小明闭上眼睛先把小球搅均，再从该布袋中摸出第一个小球，记小球上的数字为A，把球重新放回布袋中搅均，摸出第二个小球，记小球上的数字为B．‎ ‎（1）求小明第一次摸出的小球上的数字为“负数”的概率；‎ ‎（2）求两次摸出的小球上的数字均是一元一次不等式2x+3＞0的解的概率．‎ ‎【考点】列表法与树状图法；解一元一次不等式．‎ ‎【分析】（1）由在一个不透明的布袋中，放入分别标注1、﹣2、3三个不同数字的小球，小球除了数字不同外，其余都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案；‎ ‎（2）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两次摸出的小球上的数字均是一元一次不等式2x+3＞0的解的情况，再利用概率公式即可求得答案．‎ ‎【解答】解：（1）∵一个不透明的布袋中，放入分别标注1、﹣2、3三个不同数字的小球，小球除了数字不同外，其余都相同，‎ ‎∴P（数字为“负数”）=；‎ ‎（2）列表如下：‎ ‎1‎ ‎﹣2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎（1，1）‎ ‎（1，﹣2）‎ ‎（1，3）‎ ‎﹣2‎ ‎（﹣2，3）‎ ‎（﹣2，﹣2）‎ ‎（﹣2，3）‎ ‎3‎ ‎（3，1）‎ ‎（3，﹣2）‎ ‎（3，3）‎ ‎∵共有9种等可能结果，其中摸出的小球上的数字均是一元一次不等式2x+3＞0的解的有4种结果．‎ ‎∴P（均是不等式2x+3＞0的解）=．‎ ‎　‎ ‎22．某中学初二年级抽取部分学生进行“足球科普知识”测试，测试成绩从高分到低分以A、B、C、D等级表示，测试结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列各题：‎ ‎（1）参加这次测试的共有　50　人；在扇形统计图中，“A级”部分所对应的圆心角的度数是　36　度；‎ ‎（2）补全条形统计图；‎ ‎（3）如果该校初二年级的总人数是600人，根据此统计数据，请你估算该校初二年级学生对“足球科普知识”了解层次达到成绩为“B级（含B级）”以上的人数．‎ ‎【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．‎ ‎【分析】（1）根据C级的人数除以C级所占的百分比，可得抽取的人数；根据360°乘以A级所占的百分比，可得扇形的圆心角；‎ ‎（2）根据有理数的减法，可得B级的人数，根据B级的人数，可得扇形统计图；‎ ‎（3）根据总人数乘以A、B所占的百分比，可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）17÷34%=50，‎ ‎ 360°×=36°，‎ 故答案为：50，36；‎ ‎（2）B级的人数为50﹣5﹣17﹣3=25，‎ 如图所示，‎ ‎（3）=360（人）‎ ‎∴估计该校初二年级学生对“足球科普知识”了解层次达到成绩为“B级”以上的人数约为360人．‎ ‎　‎ ‎23．如图，把含30°角的三角板放置在如图所示的平面直角坐标系中，∠AOB=90°，∠B=30°，OA=2，斜边AB∥x轴，点A在双曲线上．‎ ‎（1）求双曲线的解析式；‎ ‎（2）把三角板AOB绕点A顺时针旋转，使得点O的对应点C落在x轴的负半轴上的对应线段为AD，试判断点D是否在双曲线上？请说明理由．‎ ‎【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-旋转．‎ ‎【分析】（1）如图，先求出∠AOE=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系求出AE和OE，从而得到A点坐标，然后利用待定系数法求反比例函数解析式；‎ ‎（2）利用旋转的性质得AC=AO，∠CAO=∠BAD，则可判断△AOC为等边三角形，得到∠CAO=∠BAD=60°，于是可判断点D在AC的延长线上，然后通过证明点A与点D关于原点对称得到点D是在双曲线上．‎ ‎【解答】解：（1）设AB与y轴相交于点E．‎ ‎∵AB∥x轴，‎ ‎∴∠AEO=90°‎ 在Rt△AEO中，∠A=90°﹣30°=60°，‎ ‎，．‎ ‎∴点A的坐标为，‎ 设双曲线的解析式为，，‎ ‎∴双曲线的解析式为；‎ ‎（2）点D是在双曲线上．理由如下：‎ ‎∵AB∥x轴，‎ ‎∴∠AOC=∠BAO=60°‎ ‎∵△ACD是由△AOB绕点A旋转得到的，‎ ‎∴AO=AC，AB=AD ‎∴△AOC是等边三角形，‎ ‎∴∠CAO=60°，即旋转角∠BAD=∠CAO=60°，‎ 又∠BAO=60°，‎ ‎∴点O在AD上，‎ 在Rt△AOB中，∠B=30°，AB=2AO，‎ ‎∴AD=2AO，AO=OD，‎ ‎∴点D与点A关于点O中心对称．‎ ‎∴点D在双曲线上．‎ ‎　‎ ‎24．如图，把一张长15cm，宽12cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的小正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．设剪去的小正方形的边长为xcm．‎ ‎（1）请用含x的代数式表示长方体盒子的底面积；‎ ‎（2）当剪去的小正方形的边长为多少时，其底面积是130cm2？‎ ‎（3）试判断折合而成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？若有，试求出最大值和此时剪去的小正方形的边长；若没有，试说明理由．‎ ‎【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．‎ ‎【分析】（1）由图可知：长方体盒子的底面的长和宽分别是原矩形的长和宽减去两个小正方形的边长，根据矩形的面积=长×宽；‎ ‎（2）得出一个关于正方形边长x的方程．从而求解；‎ ‎（2）长方体盒子的侧面积是四个小矩形，都是以正方形的边长为宽，以盒子的底面的长或宽为长，根据这个关系，我们可列出关于侧面积和正方形边长x的函数关系式，然后根据函数的性质来求出这个最值．‎ ‎【解答】解：（1）（15﹣2x）（12﹣2x）cm2；‎ ‎（2）依题意得：（15﹣2x）（12﹣2x）=130，即2x2﹣27x+25=0，‎ 解得x1=1，（不合题意，舍去），‎ ‎∴当剪去的小正方形的边长为1cm时，其底面积是130cm2；‎ ‎（3）设长方体盒子的侧面积是S，则S=2[（15﹣2x）x+（12﹣2x）x]，即S=54x﹣8x2，‎ S=﹣8（x﹣）2+，（0＜x＜6），‎ 当x=时，，‎ 即当剪去的小正方形的边长为时，长方体盒子的侧面积有最大值．‎ ‎　‎ ‎25．如图，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧）与y轴交于点C（0，8），点D是抛物线上的动点，直线AD与y轴交于点K．‎ ‎（1）填空：c=　8　；‎ ‎（2）若点D的横坐标为2，连接OD、CD、AC，以AC为直径作⊙M，试判断点D与⊙M的位置关系，并说明理由．‎ ‎（3）在抛物线上是否存在点D，使得∠BAC=2∠BAD？若存在，试求出点D的坐标；若不存在，试说明理由．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）把C（0，8）代入抛物线y=﹣x2﹣x+c，计算即可求得c的值；‎ ‎（2）点D与⊙M上，理由：由（1）得抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣x+8，进一步得到点D的坐标为（2，4），根据坐标轴上点的坐标特征可求点A的坐标为（﹣6，0），根据待定系数法可求直线AD的解析式，根据坐标轴上点的坐标特征可求点K的坐标为（0，3），在Rt△AOK中，根据三角函数得到tan∠KAO，作DE⊥y轴于点E，则DE=2，CE=8﹣4=4，在Rt△CED中，根据三角函数得到tan∠ECD，tan∠ECD===，可得∠KAO=∠ECD，进一步得到∠ECD+∠CKD=90°，∠CDK=90°，可得点D在⊙M上．‎ ‎（3）分两种情况讨论：i）当直线AD在x轴的上方时；ii）当直线AD在x轴的下方时，直线AD关于x轴的对称图形为直线AD'，进行讨论，可求符合条件的点D的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）把C（0，8）代入抛物线y=﹣x2﹣x+c，得c=8．‎ 故答案为：8；‎ ‎（2）点D与⊙M上，‎ 理由如下：‎ 由（1）得：c=8，‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣x+8，‎ 当x=2时，y=﹣×22﹣×2+8=4，‎ ‎∴点D的坐标为（2，4），‎ 在y=﹣x2﹣x+8中，‎ 令y=0，则﹣x2﹣x+8=0，‎ 解得：x1=﹣6，x2=，‎ ‎∴点A的坐标为（﹣6，0）．‎ 设直线AD的解析式为y=kx+b（k≠0），‎ 又∵直线过点A（﹣6，0）和点D（2，4），‎ ‎∴，解得：，‎ ‎∴直线AD的解析式为y=x+3．‎ 令x=0，则y=3，‎ ‎∴点K的坐标为（0，3）．‎ 在Rt△AOK中，tan∠KAO===，‎ 作DE⊥y轴于点E，则DE=2，CE=8﹣4=4，‎ 在Rt△CED中，tan∠ECD===，‎ ‎∴tan∠KAO=tan∠ECD，‎ 即∠KAO=∠ECD ‎∵∠KAO+∠AKO=90°，‎ 又∵∠AKO=∠CKD，‎ ‎∴∠ECD+∠CKD=90°，∠CDK=90°，‎ ‎∴点D在⊙M上．‎ ‎（3）分两种情况讨论：‎ i）当直线AD在x轴的上方时，由（2）中可知：tan∠ECD=，‎ 在Rt△OED中，tan∠EOD===，‎ ‎∴tan∠ECD=tan∠EOD，∠ECD=∠EOD，CD=OD，‎ ‎∵∠AOC=90°，‎ ‎∴点O在⊙M上．‎ 在⊙M中， =，∠CAD=∠DAB，即∠BAC=2∠BAD，‎ ‎∴点D（2，4）符合题意．‎ ii）当直线AD在x轴的下方时，直线AD关于x轴的对称图形为直线AD'，‎ 设直线AD'上的任意一点为（m，n），则点（m，n）关于x轴的对称点（m，﹣n）在直线AD上，‎ 把点（m，﹣n）代入直线AD的解析式y=x+3，得：﹣n=m+3，n=﹣m﹣3，即y=﹣x﹣3，‎ 联立得：﹣x﹣3=﹣x2﹣x+8，‎ 整理得：5x2+8x﹣132=0，‎ 解得：x1=﹣6，x2=，‎ ‎∴点D．‎ 综上，符合条件的点D的坐标为（2，4）或．‎ ‎　‎ ‎26．阅读理解 在⊙I中，弦AF与DE相交于点Q，则AQ•QF=DQ•QE．你可以利用这一性质解决问题．‎ 问题解决 如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的边BC在x轴上，高AO在y轴的正半轴上，点Q（0，1）是等边△ABC的重心，过点Q的直线分别交边AB、AC于点D、E，直线DE绕点Q转动，设∠OQD=α（60°＜α＜120°），△ADE的外接圆⊙I交y轴正半轴于点F，连接EF．‎ ‎（1）填空：AB=　2　；‎ ‎（2）在直线DE绕点Q转动的过程中，猜想：与的值是否相等？试说明理由．‎ ‎（3）①求证：AQ2=AD•AE﹣DQ•QE；‎ ‎②记AD=a，AE=b，DQ=m，QE=m（a、b、m、n均为正数），请直接写出mn的取值范围．‎ ‎【考点】圆的综合题．‎ ‎【分析】（1）如图1，连接BQ，由点Q（0，1）是等边△ABC的重心，得到AQ=BQ=2OQ=2，∠QBO=30°，根据等边三角形的性质即可得到结论；‎ ‎（2）根据等边三角形的性质得到∠DAF=∠FAE，根据相似三角形的性质得到=，根据相似三角形的性质得到=，等量代换即可得到结论；‎ ‎（3）①由相似三角形的性质得到，根据线段的和差得到AD•AE=（AQ+QF）•AQ，化简即可得到结论；②如图2，过点E作ET⊥AB于T，解直角三角形得到E=AE•sin60°=b，求得S△ADE=ab，当α=90°时，此时DE∥x轴，S△ADE最小，根据相似三角形的性质得到，得到，当α=120°时，此时DE经过点C，即点E和点C重合，S△ADE最大，根据三角形的面积得到，代入化简即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）如图1，连接BQ，‎ ‎∵点Q（0，1）是等边△ABC的重心，‎ ‎∴AQ=BQ=2OQ=2，∠QBO=30°，‎ ‎∴AO=3，‎ ‎∴AB=sin60°•AO=2；‎ 故答案为：2；‎ ‎（2）相等，‎ 理由：∵AO为等边△ABC的高，∴AO平分∠BAC，‎ ‎∴∠DAF=∠FAE，又∠ADE=∠AFE，‎ ‎∴△ADQ∽△AFE，‎ ‎∴=，‎ ‎∵∠QEF=∠OAE，∠AFE=∠QFE，‎ ‎∴△AFE∽△QEF，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=；‎ ‎（3）①∵△ADQ∽△AFE，‎ ‎∴，∴AD•AE=AF•AQ，即AD•AE=（AQ+QF）•AQ，‎ ‎∴AD•AE=AQ2+AQ•QF，∵AQ•QF=DQ•QE，‎ ‎∴AD•AE=AQ2+DQ•QE，‎ 即AQ2=AD•AE﹣DQ•QE；‎ ‎②如图2，过点E作ET⊥AB于T，‎ 在Rt△AET中，∠EAT=60°，ET=AE•sin60°=b，S△ADE=AD•ET=AD•AE=AD•AE=ab，‎ 当α=90°时，此时DE∥x轴，S△ADE最小，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又∵S△ABC=×（2）2=3，‎ ‎∴，‎ 当α=120°时，此时DE经过点C，即点E和点C重合，S△ADE最大，‎ ‎∴S△ADE=S△ABC=×3=，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，，‎ 由①证得：AQ2=AD•AE﹣DQ•QE，即22=ab﹣mn，‎ ‎∴ab=mn+4，‎ ‎∴≤mn+4≤6，‎ 即≤mn≤2．‎