山西省中考数学真题试卷和答案 23页

山西省2017年中考数学真题试卷和答案 ‎　‎ 一、选择题（每小题3分，共30分）。‎ ‎1．计算﹣1+2的结果是（　　）‎ A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3‎ ‎2．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是（　　）‎ A．∠1=∠3 B．∠2+∠4=180° C．∠1=∠4 D．∠3=∠4‎ ‎3．在体育课上，甲、乙两名同学分别进行了5次跳远测试，经计算他们的平均成绩相同．若要比较这两名同学的成绩哪一个更为稳定，通常需要比较他们成绩的（　　）‎ A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差 ‎4．将不等式组‎&2x-6≤0‎‎&x+4＞0‎的解集表示在数轴上，下面表示正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．下列运算错误的是（　　）‎ A．（‎3‎﹣1）0=1 B．（﹣3）2÷‎9‎‎4‎=‎1‎‎4‎ C．5x2﹣6x2=﹣x2 D．（2m3）2÷（2m）2=m4‎ 第23页（共23页）‎ ‎6．如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E．若∠1=35°，则∠2的度数为（　　）‎ A．20° B．30° C．35° D．55°‎ ‎7．化简‎4xx‎2‎‎-4‎﹣xx-2‎的结果是（　　）‎ A．﹣x2+2x B．﹣x2+6x C．﹣xx+2‎ D．‎xx-2‎ ‎8．2017年5月18日，我国宣布在南海神狐海域成功试采可燃冰，成为世界上首个在海域连续稳定产气的国家．据粗略估计，仅南海北部陆坡的可燃冰资源就达到186亿吨油当量，达到我国陆上石油资源总量的50%．数据186亿吨用科学记数法可表示为（　　）‎ A．186×108吨 B．18.6×109吨 C．1.86×1010吨 D．0.186×1011吨 ‎9．公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数‎2‎，导致了第一次数学危机，‎2‎是无理数的证明如下：‎ ‎ 假设‎2‎是有理数，那么它可以表示成qp（p与q是互质的两个正整数）．于是（qp）2=（‎2‎）2=2，所以，q2=2p2．于是q2‎ 第23页（共23页）‎ 是偶数，进而q是偶数，从而可设q=2m，所以（2m）2=2p2，p2=2m2，于是可得p也是偶数．这与“p与q是互质的两个正整数”矛盾．从而可知“‎2‎是有理数”的假设不成立，所以，‎2‎是无理数．‎ 这种证明“‎2‎是无理数”的方法是（　　）‎ A．综合法 B．反证法 C．举反例法 D．数学归纳法 ‎10．如图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A，B，C，D，得到四边形ABCD．若AC=10cm，∠BAC=36°，则图中阴影部分的面积为（　　）‎ A．5πcm2 B．10πcm2 C．15πcm2 D．20πcm2‎ ‎　‎ 二、填空题（每题3分，共15分）。‎ ‎11．计算：4‎18‎﹣9‎2‎=　 　．‎ ‎12．某商店经销一种品牌的洗衣机，其中某一型号的洗衣机每台进价为a元，商店将进价提高20%后作为零售价进行销售，一段时间后，商店又以9折优惠价促销，这时该型号洗衣机的零售价为　 　元．‎ ‎13．如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，4），B（﹣1，1），C（﹣2，2），将△ABC向右平移4个单位，得到△‎ 第23页（共23页）‎ A′B′C′，点A，B，C的对应点分别为A′、B′、C′，再将△A′B′C′绕点B′顺时针旋转90°，得到△A″B″C″，点A′、B′、C′的对应点分别为A″、B″、C″，则点A″的坐标为　 　．‎ ‎14．如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°．已知测角仪的架高CE=1.5米，则这棵树的高度为　 　米．（结果保留一位小数．参考数据：sin54°=0.8090，cos54°=0.5878，tan54°=1.3764）‎ ‎15．一副三角板按如图方式摆放，得到△ABD和△BCD，其中∠ADB=∠BCD=90°，∠A=60°，∠CBD=45°，E为AB的中点，过点E作EF⊥CD于点F．若AD=4cm，则EF的长为　 　cm．‎ ‎　‎ 三、解答题：‎ 第23页（共23页）‎ ‎16．（10分）（1）计算：（﹣2）3+（‎1‎‎3‎）﹣2﹣‎8‎•sin45°‎ ‎（2）分解因式：（y+2x）2﹣（x+2y）2．‎ ‎17．（6分）已知：如图，在▱ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE=DF．连接EF，与对角线AC交于点O．‎ 求证：OE=OF．‎ ‎18．（7分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，其边长为2，点A，点C分别在x轴，y轴的正半轴上，函数y=2x的图象与CB交于点D，函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象经过点D，与AB交于点E，与函数y=2x的图象在第三象限内交于点F，连接AF、EF．‎ ‎（1）求函数y=kx的表达式，并直接写出E、F两点的坐标；‎ ‎（2）求△AEF的面积．‎ 第23页（共23页）‎ ‎19．（7分）“春种一粒粟，秋收万颗子”，唐代诗人李绅这句诗中的“粟”即谷子（去皮后则称为“小米”），被誉为中华民族的哺育作物．我省有着“小杂粮王国”的美誉，谷子作为我省杂粮谷物中的大类，其种植面积已连续三年全国第一．2016年全国谷子种植面积为2000万亩，年总产量为150万吨，我省谷子平均亩产量为160kg，国内其他地区谷子的平均亩产量为60kg，请解答下列问题：‎ ‎（1）求我省2016年谷子的种植面积是多少万亩．‎ 第23页（共23页）‎ ‎（2）2017年，若我省谷子的平均亩产量仍保持160kg不变，要使我省谷子的年总产量不低于52万吨，那么，今年我省至少应再多种植多少万亩的谷子？‎ ‎20．（12分）从共享单车，共享汽车等共享出行到共享充电宝，共享雨伞等共享物品，各式各样的共享经济模式在各个领域迅速普及应用，越来越多的企业与个人成为参与者与受益者．根据国家信息中心发布的《中国分享经济发展报告2017》显示，2016年我国共享经济市场交易额约为34520亿元，比上年增长103%；超6亿人参与共享经济活动，比上年增加约1亿人．‎ 如图是源于该报告中的中国共享经济重点领域市场规模统计图：‎ 第23页（共23页）‎ ‎（1）请根据统计图解答下列问题：‎ ‎①图中涉及的七个重点领域中，2016年交易额的中位数是　 　亿元．‎ ‎②请分别计算图中的“知识技能”和“资金”两个重点领域从2015年到2016年交易额的增长率（精确到1%），并就这两个重点领域中的一个分别从交易额和增长率两个方面，谈谈你的认识．‎ ‎（2）小宇和小强分别对共享经济中的“共享出行”和“共享知识”最感兴趣，他们上网查阅了相关资料，顺便收集到四个共享经济领域的图标，并将其制成编号为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内容外，其余完全相同）他们将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率（这四张卡片分别用它们的编号A，B，C，D表示）‎ 第23页（共23页）‎ ‎21．（7分）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OD⊥AB，与AC交于点E，与过点C的⊙O的切线交于点D．‎ ‎（1）若AC=4，BC=2，求OE的长．‎ ‎（2）试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．‎ ‎22．（12分）综合与实践 背景阅读 早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载与我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为3：4：5的三角形称为（3，4，5）型三角形，例如：三边长分别为9，12，15或3‎2‎，4‎2‎，5‎2‎的三角形就是（3，4，5）型三角形，用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形．‎ 实践操作 如图1，在矩形纸片ABCD中，AD=8cm，AB=12cm．‎ 第一步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，再沿EF折叠，然后把纸片展平．‎ 第23页（共23页）‎ 第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为GH，然后展平，隐去AF．‎ 第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿AH折叠，得到△AD′H，再沿AD′折叠，折痕为AM，AM与折痕EF交于点N，然后展平．‎ 问题解决 ‎（1）请在图2中证明四边形AEFD是正方形．‎ ‎（2）请在图4中判断NF与ND′的数量关系，并加以证明；‎ ‎（3）请在图4中证明△AEN（3，4，5）型三角形；‎ 探索发现 ‎（4）在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是（3，4，5）型三角形？请找出并直接写出它们的名称．‎ ‎23．（14分）如图，抛物线y=﹣‎3‎‎9‎x2+‎2‎‎3‎‎3‎x+3‎3‎与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．过点Q作QD⊥‎ 第23页（共23页）‎ x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E，连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．‎ ‎（1）求直线BC的函数表达式；‎ ‎（2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）‎ ‎②在点P、Q运动的过程中，当PQ=PD时，求t的值；‎ ‎（3）试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点？若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ 第23页（共23页）‎ 答案 一、选择题（每小题3分，共30分）。‎ ‎1．C．‎ ‎2．D．‎ ‎3．D．‎ ‎4．A．‎ ‎5．B．　‎ ‎6．A．‎ ‎7．C ‎8．C．‎ ‎9．B．‎ ‎10．解：∵AC与BD是⊙O的两条直径，‎ ‎∴∠ABC=∠ADC=∠DAB=∠BCD=90°，‎ ‎∴四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴△ABO于△CDO的面积=△AOD与△BOD 的面积，‎ ‎∴图中阴影部分的面积=S扇形AOD+S扇形BOC=2S扇形AOD，‎ ‎∵OA=OB，‎ ‎∴∠BAC=∠ABO=36°，‎ ‎∴∠AOD=72°，‎ ‎∴图中阴影部分的面积=2×‎72⋅π×‎‎5‎‎2‎‎360‎=10π，‎ 二、填空题（每题3分，共15分）。‎ 第23页（共23页）‎ ‎11．3‎2‎．‎ ‎12．解：由题意可得，‎ 该型号洗衣机的零售价为：a（1+20%）×0.9=1.08a（元），‎ ‎13．解：如图所示：‎ ‎∵A（0，4），B（﹣1，1），C（﹣2，2），将△ABC向右平移4个单位，得到△A′B′C′，‎ ‎∴A′、B′、C′的坐标分别为（4，4），B（3，1），C（2，2），‎ 再将△A′B′C′绕点B′顺时针旋转90°，得到△A″B″C″，‎ 则点A″的坐标为 （6，0）；‎ 故答案为：（6，0）．‎ ‎14．解：解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D．则四边形CEBD是矩形，BD=CE=1.5m，‎ 在Rt△ACD中，CD=EB=10m，∠ACD=54°，‎ ‎∵tan∠ACE=ADCD，‎ ‎∴AD=CD•tan∠ACD≈10×1.38=13.8m． ‎ ‎∴AB=AD+BD=13.8+1.5=15.3m．‎ 答：树的高度AB约为15.3m． ‎ 第23页（共23页）‎ 故答案为15.3‎ ‎15．解：过点A作AG⊥DC与G．‎ ‎∵∠DCB=∠CBD=45°，∠ADB=90°，‎ ‎∴解ADG=45°．‎ ‎∴AG=AD‎2‎=2‎2‎．‎ ‎∵∠ABD=30°，‎ ‎∴BD=‎3‎AD=4‎3‎．‎ ‎∵∠CBD=45°，‎ ‎∴CB=BD‎2‎=2‎6‎．‎ ‎∵AG⊥CG，EF⊥CG，CB⊥CG，‎ ‎∴AG∥EF∥BC．‎ 又∵E是AB的中点，‎ ‎∴F为CG的中点，‎ 第23页（共23页）‎ ‎∴EF=‎1‎‎2‎（AG+BC）=‎1‎‎2‎（2‎2‎+2‎6‎）=‎2‎+‎6‎．‎ 三、 解答题 ‎16．（10分）（2017•山西）（1）计算：（﹣2）3+（‎1‎‎3‎）﹣2﹣‎8‎•sin45°‎ ‎（2）分解因式：（y+2x）2﹣（x+2y）2．‎ 解：（1）原式=﹣8+9﹣2=﹣1；‎ ‎（2）原式=[（y+2x）+（x+2y）][（y+2x）﹣（x+2y）]‎ ‎=3（x+y）（x﹣y）．‎ ‎17．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥CD，AB=CD，‎ ‎∵BE=DF，‎ ‎∴AB+BE=CD+DF，即AE=CF，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴AE∥CF，‎ ‎∴∠E=∠F，∠OAE=∠OCF，‎ 在△AOE和△COF中，‎&∠E=∠F‎&AE=CF‎&∠OAE=∠OCF，‎ ‎∴△AOE≌△COF（ASA），‎ ‎∴OE=OF．‎ ‎18．解：（1）∵正方形OABC的边长为2，‎ 第23页（共23页）‎ ‎∴点D的纵坐标为2，即y=2，‎ 将y=2代入y=2x，得x=1，‎ ‎∴点D的坐标为（1，2），‎ ‎∵函数y=kx的图象经过点D，‎ ‎∴2=k‎1‎，‎ 解得k=2，‎ ‎∴函数y=kx的表达式为y=‎2‎x，‎ ‎∴E（2，1），F（﹣1，﹣2）；‎ ‎（2）过点F作FG⊥AB，与AB的延长线交于点G，‎ ‎∵E（2，1），F（﹣1，﹣2），‎ ‎∴AE=1，‎ FG=2﹣（﹣1）=3，‎ ‎∴△AEF的面积为：‎1‎‎2‎AE•FG=‎1‎‎2‎×1×3=‎3‎‎2‎．‎ 第23页（共23页）‎ ‎19．解：（1）设我省2016年谷子的种植面积是x万亩，其他地区谷子的种植面积是y万亩，依题意有 ‎&x+y=2000‎‎&‎160‎‎1000‎x+‎60‎‎1000‎y=150‎‎，‎ 解得‎&x=300‎‎&y=1700‎．‎ 答：我省2016年谷子的种植面积是300万亩．‎ ‎（2）设我省应种植z万亩的谷子，依题意有 ‎160‎‎1000‎z≥52‎‎，‎ 解得z≥325，‎ ‎325﹣300=25（万亩）．‎ 答：今年我省至少应再多种植25万亩的谷子．‎ ‎20．解：（1）由图可知，2016年七个重点领域的交易额分别为70、245、610、2038、3300、7233、20863，‎ ‎2016年交易额的中位数是2038亿元，‎ 故答案为：2038；‎ ‎（2）“知识技能”的增长率为：‎610-200‎‎200‎×100%=205%，‎ ‎“资金”的增长率为：‎20863-10000‎‎10000‎≈109%，‎ 由此可知，“知识技能”领域交易额较小，当增长率最高，达到200%以上，其发展速度惊人．‎ 第23页（共23页）‎ ‎（3）画树状图为：‎ 共有12种等可能的结果数，其中抽到“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，‎ 所以抽到“共享出行”和“共享知识”的概率=‎2‎‎12‎=‎1‎‎6‎．‎ ‎21．解：（1）∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=AC‎2‎+BC‎2‎=‎4‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎=2‎5‎，‎ ‎∴OA=‎1‎‎2‎AB=‎5‎，‎ ‎∵OD⊥AB，‎ ‎∴∠AOE=∠ACB=90°，‎ 又∵∠A=∠A，‎ ‎∴△AOE∽△ACB，‎ ‎∴OEBC‎=‎OAAC，即OE‎2‎‎=‎‎5‎‎4‎，‎ 解得：OE=‎5‎‎2‎；‎ ‎（2）∠CDE=2∠A，理由如下：‎ 连接OC，如图所示：‎ ‎∵OA=OC，‎ ‎∴∠1=∠A，‎ ‎∵CD是⊙O的切线，‎ ‎∴OC⊥CD，‎ 第23页（共23页）‎ ‎∴∠OCD=90°，‎ ‎∴∠2+∠CDE=90°，‎ ‎∵OD⊥AB，‎ ‎∴∠2+∠3=90°，‎ ‎∴∠3=∠CDE，‎ ‎∵∠3=∠A+∠1=2∠A，‎ ‎∴∠CDE=2∠A．‎ ‎22．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠D=∠DAE=90°，‎ 由折叠的性质得，AE=AD，∠AEF=∠D=90°，‎ ‎∴∠D=∠DAE=∠AEF=90°，‎ ‎∴四边形AEFD是矩形，‎ ‎∵AE=AD，‎ ‎∴矩形AEFD是正方形；‎ ‎（2）解：NF=ND′，‎ 理由：连接HN，由折叠得，∠AD′H=∠D=90°，HF=HD=HD′，‎ ‎∵四边形AEFD是正方形，‎ 第23页（共23页）‎ ‎∴∠EFD=90°，‎ ‎∵∠AD′H=90°，‎ ‎∴∠HD′N=90°，‎ 在Rt△HNF与Rt△HND′中，‎&HN=HN‎&HF=HD'‎，‎ ‎∴Rt△HNF≌Rt△HND′，‎ ‎∴NF=ND′；‎ ‎（3）解：∵四边形AEFD是正方形，‎ ‎∴AE=EF=AD=8cm，‎ 由折叠得，AD′=AD=8cm，‎ 设NF=xcm，则ND′=xcm，‎ 在Rt△AEN中，‎ ‎∵AN2=AE2+EN2，‎ ‎∴（8+x）2=82+（8﹣x）2，‎ 解得：x=2，‎ ‎∴AN=8+x=10cm，EN=6cm，‎ ‎∴EN：AE：AN=3：4：5，‎ ‎∴△AEN是（3，4，5）型三角形；‎ ‎（4）解：图4中还有△MFN，△MD′H，△MDA是（3，4，5）型三角形，‎ ‎∵CF∥AE，‎ 第23页（共23页）‎ ‎∴△CFN∽△AEN，‎ ‎∵EN：AE：AN=3：4：5，‎ ‎∴FN：CF：CN=3：4：5，‎ ‎∴△MFN是（3，4，5）型三角形；‎ 同理，△MD′H，△MDA是（3，4，5）型三角形．‎ ‎23．解：（1）由y=0得﹣‎3‎‎9‎x2+‎2‎‎3‎‎3‎x+3‎3‎=0，‎ 解得：x1=﹣3，x2=9，‎ ‎∴B（9，0），‎ 由x=0得y=3‎3‎，‎ ‎∴C（0，3‎3‎），‎ 设直线BC的解析式为y=kx+b，∴‎&9k+b=0‎‎&b=3‎‎3‎，‎ ‎∴‎&k=-‎‎3‎‎3‎‎&b=3‎‎3‎，‎ ‎∴直线BC的解析式为y=﹣‎3‎‎3‎x+3‎3‎；‎ ‎（2）①过p作PG⊥x轴于G，‎ ‎∵A（﹣3，0），C（0，3‎3‎），‎ 第23页（共23页）‎ ‎∴OA=3．OC=3‎3‎，‎ ‎∴tan∠CAO=‎3‎，‎ ‎∴∠CAO=60°，‎ ‎∵AP=t，‎ ‎∴PG=‎3‎‎2‎t，AG=‎1‎‎2‎t，‎ ‎∴OG=3﹣‎1‎‎2‎t，‎ ‎∴P（‎1‎‎2‎t﹣3，‎3‎‎2‎t），‎ ‎∵DQ⊥x轴，BQ=2t，‎ ‎∴OQ=9﹣2t，‎ ‎∴D（9﹣2t，﹣‎4‎‎3‎‎9‎t2+‎8‎‎3‎‎3‎t），‎ ‎②过P作PH⊥QD于H，‎ 则四边形PGQH是矩形，‎ ‎∴HQ=PG，∵PQ=PD，PH⊥QD，∴DQ=2HQ=2PG，∵P（‎1‎‎2‎t﹣3，‎3‎‎2‎t），D（9﹣2t，﹣‎4‎‎3‎‎9‎t2+‎8‎‎3‎‎3‎t），‎ ‎∴﹣‎4‎‎3‎‎9‎t2+‎8‎‎3‎‎3‎t=2×‎3‎‎2‎t，‎ 解得：t1=0（舍去），t2=‎15‎‎4‎，∴当PQ=PD时，t的值是‎15‎‎4‎；‎ ‎（3）∵点F为PD的中点，‎ ‎∴F的横坐标为：‎1‎‎2‎（‎1‎‎2‎t﹣3+9﹣2t）=﹣‎3‎‎4‎t+3，F的纵坐标为‎1‎‎2‎（‎3‎‎2‎t﹣‎4‎‎3‎‎9‎t2+‎8‎‎3‎‎3‎t）=﹣‎2‎‎3‎‎9‎t2+‎19‎‎12‎‎3‎t，‎ 第23页（共23页）‎ ‎∴F（﹣‎3‎‎4‎t+3，﹣‎2‎‎3‎‎9‎t2+‎19‎‎12‎‎3‎t），‎ ‎∵点F在直线BC上，‎ ‎∴﹣‎2‎‎3‎‎9‎t2+‎19‎‎12‎‎3‎t=﹣‎3‎‎3‎（﹣‎3‎‎4‎t+3）+3‎3‎，‎ ‎∴t=3，‎ ‎∴F（‎3‎‎4‎，‎11‎‎3‎‎4‎）．‎ 第23页（共23页）‎