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  • 2021-05-13 发布

中考二次函数专题含答案

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‎1.如图,抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣3交于A、B两点,其中点A在y轴上,点B坐标为(﹣4,﹣5),点P为y轴左侧的抛物线上一动点,过点P作PC⊥x轴于点C,交AB于点D.(1)求抛物线的解析式;(2)以O,A,P,D为顶点的平行四边形是否存在?如存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.(3)当点P运动到直线AB下方某一处时,过点P作PM⊥AB,垂足为M,连接PA使△PAM为等腰直角三角形,请直接写出此时点P的坐标.‎ ‎2. 在直角坐标系中,、,将经过旋转、平移变化后得到如图所示的.‎ ‎(1)求经过、、三点的抛物线的解析式;(2)连结,点是位于线段 上方的抛物线上一动点,若直线将的面积分成两部分,求此时点的坐标;(3)现将、分别向下、向左以的速度同时平移,求出在此运动过程中与重叠部分面积的最大值.‎ ‎3. 如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1,且经过A(1,0),C(0,3)两点,与x轴的另一个交点为B.⑴若直线y=mx+n经过B,C两点,求直线BC和抛物线的解析式;⑵在抛物线的对称轴x=-1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求点M的坐标;⑶设点P为抛物线的 对称轴x=-1上的一个动点,求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.‎ 第25题图 ‎4. 如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,直线l经过坐标原点O,与抛物线的一个交点为D,与抛物线的对称轴交于点E,连接CE,已知点A,D的坐标分别为 ‎(-2,0),(6,-8).(1)求抛物线的函数表达式,并分别求出点B和点E的坐标;(2‎ ‎)试探究抛物线上是否存在点F,使≌,若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若点P是y轴负半轴上的一个动点,设其坐标为(0,m),直线PB与直线l交于点Q.试探究:当m为何值时,是等腰三角形.‎ ‎5. 如图,抛物线y=ax2+bx﹣5(a≠0)经过点A(4,﹣5),与x轴的负半轴交于点B,与y轴交于点C,且OC=5OB,抛物线的顶点为点D.(1)求这条抛物线的表达式;(2)联结AB、BC、CD、DA,求四边形ABCD的面积;(3)如果点E在y轴的正半轴上,且∠BEO=∠ABC,求点E的坐标.‎ ‎6. 如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣3,0),B(9,0)和C(0,4).CD垂直于y轴,交抛物线于点D,DE垂直与x轴,垂足为E,l是抛物线的对称轴,点F是抛物线的顶点.(1)求出二次函数的表达式以及点D的坐标;(2)若Rt△AOC沿x轴向右平移到其直角边OC与对称轴l重合,再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合,得到Rt△A1O1F,求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形的面积;(3)若 Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度(0<t≤6)得到Rt△A2O2C2,Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分的图形面积记为S,求S与t之间的函数表达式,并写出自变量t的取值范围.‎ ‎7. 如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣2,0),点B(4,0),点D(2,4),与y轴交于点C,作直线BC,连接AC,CD.(1)求抛物线的函数表达式;(2)E是抛物线上的点,求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标;(3)点M在y轴上且位于点C上方,点N在直线BC上,点P为第一象限内抛物线上一点,若以点C,M,N,P为顶点的四边形是菱形,求菱形的边长.‎ ‎8. 如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx经过两点A(﹣1,1),B(2,2).过点B作BC∥x轴,交抛物线于点C,交y轴于点D. (1)求此抛物线对应的函数表达式及点C的坐标;(2)若抛物线上存在点M,使得△BCM的面积为,求出点M的坐标;(3)连接OA、OB、OC、AC,在坐标平面内,求使得△AOC与△OBN相似(边OA与边OB对应)的点N的坐标. ‎ ‎ ‎ ‎1.【解答】解:(1)∵直线y=x﹣3交于A、B两点,其中点A在y轴上,‎ ‎∴A(0,﹣3),∵B(﹣4,﹣5),∴,∴,∴抛物线解析式为y=x2+x﹣3,‎ ‎(2)存在,设P(m,m2+m﹣3),(m<0),∴D(m, m﹣3),∴PD=|m2+4m|∵PD∥AO,‎ ‎∴当PD=OA=3,故存在以O,A,P,D为顶点的平行四边形,∴|m2+4m|=3,‎ ‎①当m2+4m=3时,∴m1=﹣2﹣,m2=﹣2+(舍),∴m2+m﹣3=﹣1﹣,∴P(﹣2﹣,﹣1﹣),‎ ‎②当m2+4m=﹣3时,∴m1=﹣1,m2=﹣3,Ⅰ、m1=﹣1,∴m2+m﹣3=﹣,∴P(﹣1,﹣),‎ Ⅱ、m2=﹣3,∴m2+m﹣3=﹣,∴P(﹣3,﹣),‎ ‎∴点P的坐标为(﹣2﹣,﹣1﹣),(﹣1,﹣),(﹣3,﹣).‎ ‎(3)如图,∵△PAM为等腰直角三角形,∴∠BAP=45°,‎ ‎∵直线AP可以看做是直线AB绕点A逆时针旋转45°所得,‎ 设直线AP解析式为y=kx﹣3,∵直线AB解析式为y=x﹣3,∴k==3,‎ ‎∴直线AP解析式为y=3x﹣3,联立,∴x1=0(舍)x2=﹣‎ 当x=﹣时,y=﹣, ∴P(﹣,﹣).‎ ‎2. 解析:(1)∵、,将经过旋转、平移变化得到如图所示的,‎ ‎∴.∴.…………………(1分)‎ 设经过、、三点的抛物线解析式为,‎ 则有,解得:. ‎ ‎∴抛物线解析式为.‎ ‎(2)如图4.1所示,设直线与交于点. ∵直线将的面积分成两部分,‎ ‎∴或,过作于点,则∥.‎ ‎ ∴∽,∴.∴当时,,‎ ‎∴,∴.‎ 设直线解析式为,则可求得其解析式为,‎ ‎∴,∴(舍去), ∴.‎ 当时,同理可得.‎ ‎(3)设平移的距离为,与重叠部分的面积为.‎ 可由已知求出的解析式为,与轴交点坐标为.‎ 的解析式为,与轴交点坐标为. ………(9分)‎ ‎ ①如图4.2所示,当时,与重叠部分为四边形.‎ 设与轴交于点,与轴交于点,与交于点,连结.‎ 由,得 ,∴.……………(10分)‎ ‎∴‎ ‎ . ∴的最大值为.‎ ‎②如图所示,当时,与重叠部分为直角三角形. ‎ 设与轴交于点, 与交于点.则,‎ ‎,.‎ ‎∴.‎ ‎∴当时,的最大值为.‎ 综上所述,在此运动过程中与重叠部分面积的最大值为.‎ ‎3. (1)依题意,得 解之,得∴抛物线解析式为.‎ ‎∵对称轴为x=-1,且抛物线经过A(1,0),∴B(-3,0).‎ 把B(-3,0)、C(0,3)分别直线y=mx+n,得 ‎ PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10.‎ ‎①若B为直角顶点,则BC2+PB2=PC2,即18+4+t2=t2-6t+10. 解之,得t=-2.‎ ‎②若C为直角顶点,则BC2+PC2=PB2,即18+t2-6t+10=4+t2.解之,得t=4.‎ ‎③若P为直角顶点,则PB2+PC2=BC2,即 4+t2+t2-6t+10=18.解之,得t1=,t2=.‎ ‎4. 解答:(1)抛物线经过点A(-2,0),D(6,-8),‎ 解得抛物线的函数表达式为 ‎,抛物线的对称轴为直线.又抛物线与x轴交于A,B两点,点A 的坐标为(-2,0).点B的坐标为(8,0)设直线l的函数表达式为.点D(6,-8)在直线l上,‎ ‎6k=-8,解得.直线l的函数表达式为点E为直线l和抛物线对称轴的交点.点E的横坐标为3,纵坐标为,即点E的坐标为(3,-4)‎ ‎(2)抛物线上存在点F,使≌.点F的坐标为()或().‎ ‎(3)解法一:分两种情况: ‎ ‎①当时,是等腰三角形.‎ 点E的坐标为(3,-4),,过点E作直线ME//PB,‎ 交y轴于点M,交x轴于点H,则,‎ 点M的坐标为(0,-5).‎ 设直线ME的表达式为,,解得,ME的函数表达式为,令y=0,得,解得x=15,点H的坐标为(15,0)‎ 又MH//PB,,即,‎ ‎②当时,是等腰三角形.‎ 当x=0时,,点C的坐标为(0,-8),‎ ‎,OE=CE,,又因为,,‎ ‎,CE//PB设直线CE交x轴于点N,其函数表达式为,,解得,CE的函数表达式为,令y=0,得,,点N的坐标为(6,0)‎ CN//PB,,,解得 综上所述,当m的值为或时,是等腰三角形.‎ 解法二:当x=0时, ,点C的坐标为(0,-8),点E的坐标为 ‎(3,-4),,,OE=CE,,设抛物线的对称轴交直线PB于点M,交x轴于点H.分两种情况:‎ ① 当时,是等腰三角形.‎ ‎,,CE//PB 又HM//y轴,四边形PMEC是平行四边形,,‎ ‎,HM//y轴,‎ ‎∽, ‎ ‎②当时,是等腰三角形.‎ 轴,∽,,‎ ‎,,‎ 轴,∽,‎ 当m的值为或时,是等腰三角形.‎ ‎5. 解:(1)∵抛物线y=ax2+bx﹣5与y轴交于点C,∴C(0,﹣5),∴OC=5.‎ ‎∵OC=5OB,∴OB=1,又点B在x轴的负半轴上,∴B(﹣1,0).‎ ‎∵抛物线经过点A(4,﹣5)和点B(﹣1,0),‎ ‎∴,解得,∴这条抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5.‎ ‎(2)由y=x2﹣4x﹣5,得顶点D的坐标为(2,﹣9).连接AC,‎ ‎∵点A的坐标是(4,﹣5),点C的坐标是(0,﹣5),‎ 又S△ABC=×4×5=10,S△ACD=×4×4=8,‎ ‎∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=18.‎ ‎(3)过点C作CH⊥AB,垂足为点H.∵S△ABC=×AB×CH=10,AB=5,‎ ‎∴CH=2,‎ 在RT△BCH中,∠BHC=90°,BC=,BH==3,‎ ‎∴tan∠CBH==.∵在RT△BOE中,∠BOE=90°,tan∠BEO=,‎ ‎∵∠BEO=∠ABC,∴,得EO=,∴点E的坐标为(0,).‎ ‎6. 解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣3,0),B(9,0)和C(0,4).‎ ‎∴设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x﹣9),∵C(0,4)在抛物线上,∴4=﹣27a,‎ ‎∴a=﹣,∴设抛物线的解析式为y=﹣(x+3)(x﹣9)=﹣x2+x+4,‎ ‎∵CD垂直于y轴,C(0,4)∴﹣x2+x+4=4,∴x=6,∵D(6,4),‎ ‎(2)如图1,∵点F是抛物线y=﹣x2+x+4的顶点,‎ ‎∴F(3,),∴FH=,∵GH∥A1O1,∴,‎ ‎∴,∴GH=1,‎ ‎∵Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分是梯形A1O1HG,‎ ‎∴S重叠部分=S△A1O1F﹣S△FGH=A1O1×O1F﹣GH×FH=×3×4﹣×1×=.‎ ‎(3)①当0<t≤3时,如图2,∵C2O2∥DE,∴,‎ ‎∴,∴O2G=t,∴S=S△OO2G=OO2×O2G=t×t=t2,‎ ‎②当3<t≤6时,如图3,∵C2H∥OC,∴,‎ ‎∴,∴C2H=(6﹣t),∴S=S四边形A2O2HG=S△A2O2C2﹣S△C2GH ‎=OA×OC﹣C2H×(t﹣3)=×3×4﹣×(6﹣t)(t﹣3)‎ ‎=t2﹣3t+12‎ ‎∴当0<t≤3时,S=t2,当3<t≤6时,S=t2﹣3t+12.‎ ‎7. 解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣2,0),点B(4,0),点D(2,4),‎ ‎∴设抛物线解析式为y=a(x+2)(x﹣4),∴﹣8a=4,∴a=﹣,‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣(x+2)(x﹣4)=﹣x2+x+4;‎ ‎(2)如图1,①点E在直线CD上方的抛物线上,记E′,‎ 连接CE′,过E′作E′F′⊥CD,垂足为F′,由(1)知,OC=4,‎ ‎∵∠ACO=∠E′CF′,∴tan∠ACO=tan∠E′CF′,‎ ‎∴=,设线段E′F′=h,则CF′=2h,∴点E′(2h,h+4)‎ ‎∵点E′在抛物线上,∴﹣(2h)2+2h+4=h+4,‎ ‎∴h=0(舍)h=∴E′(1,),‎ ‎②点E在直线CD下方的抛物线上,记E,同①的方法得,E(3,),点E的坐标为(1,),(3,)‎ ‎(3)①CM为菱形的边,如图2,‎ 在第一象限内取点P′,过点P′作P′N′∥y轴,交BC于N′,过点P′作P′M′∥BC,‎ 交y轴于M′,∴四边形CM′P′N′是平行四边形,∵四边形CM′P′N′是菱形,‎ ‎∴P′M′=P′N′,过点P′作P′Q′⊥y轴,垂足为Q′,∵OC=OB,∠BOC=90°,‎ ‎∴∠OCB=45°,∴∠P′M′C=45°,设点P′(m,﹣ m2+m+4),‎ 在Rt△P′M′Q′中,P′Q′=m,P′M′=m,∵B(4,0),C(0,4),‎ ‎∴直线BC的解析式为y=﹣x+4,∵P′N′∥y轴,∴N′(m,﹣m+4),‎ ‎∴P′N′=﹣m2+m+4﹣(﹣m+4)=﹣m2+2m,∴m=﹣m2+2m,∴m=0(舍)或m=4﹣2,‎ 菱形CM′P′N′的边长为(4﹣2)=4﹣4.‎ ‎②CM为菱形的对角线,如图3,‎ 在第一象限内抛物线上取点P,过点P作PM∥BC,‎ 交y轴于点M,连接CP,过点M作MN∥CP,交BC于N,‎ ‎∴四边形CPMN是平行四边形,连接PN交CM于点Q,‎ ‎∵四边形CPMN是菱形,∴PQ⊥CM,∠PCQ=∠NCQ,∵∠OCB=45°,‎ ‎∴∠NCQ=45°,∴∠PCQ=45°,∴∠CPQ=∠PCQ=45°,∴PQ=CQ,‎ 设点P(n,﹣ n2+n+4),∴CQ=n,OQ=n+2,∴n+4=﹣n2+n+4,∴n=0(舍),‎ ‎∴此种情况不存在.∴菱形的边长为4﹣4.‎ ‎8. 解:(1)把A(﹣1,1),B(2,2)代入y=ax2+bx得:,解得, ‎ 故抛物线的函数表达式为y=x2﹣x,∵BC∥x轴,设C(x0,2).∴x02﹣x0=2,解得:x0=﹣或x0=2, ‎ ‎∵x0<0 ∴C(﹣,2); ‎ ‎ ‎ ‎(2)设△BCM边BC上的高为h,∵BC=, ∴S△BCM=h=, ∴h=2,点M即为抛物线上到BC的距离为2的点,∴M的纵坐标为0或4,令y=x2﹣x=0, 解得:x1=0,x2=,∴M1(0,0),M2(,0),令y=x2﹣x=4, ‎ 解得:x3=,x4=,∴M3(,0),M4(,4), ‎ 综上所述:M点的坐标为:(0,0),(,0),(,0),(,4); ‎ ‎ ‎ ‎(3)∵A(﹣1,1),B(2,2),C(﹣,2),D(0,2), ∴OB=2,OA=,OC=, ‎ ‎∴∠AOD=∠BOD=45°,tan∠COD=, ①如图1,当△AOC∽△BON时,,∠AOC=∠BON, ‎ ‎∴ON=2OC=5,过N作NE⊥x轴于E, ∵∠COD=45°﹣∠AOC=45°﹣∠BON=∠NOE, ‎ 在Rt△NOE中,tan∠NOE=tan∠COD=, ∴OE=4,NE=3, ∴N(4,3)同理可得N(3,4); ‎ ‎②如图2,当△AOC∽△OBN时,,∠AOC=∠OBN, ∴BN=2OC=5, ‎ 过B作BG⊥x轴于G,过N作x轴的平行线交BG的延长线于F, ∴NF⊥BF, ‎ ‎∵∠COD=45°﹣∠AOC=45°﹣∠OBN=∠NBF,∴tan∠NBF=tan∠COD=, ∴BF=4,NF=3, ‎ ‎∴N(﹣1,﹣2),同理N(﹣2,﹣1), ‎ 综上所述:使得△AOC与△OBN相似(边OA与边OB对应)的点N的坐标是(4,3),(3,4),(﹣1,﹣2),(﹣2,﹣1). ‎ ‎ ‎ ‎ ‎