2017辽宁数学中考圆试题集萃 10页

‎2017辽宁数学中考圆试题集萃 ‎1．（12分）（2017•葫芦岛）如图，△ABC内接于⊙O，AC是直径，BC=BA，在∠ACB的内部作∠ACF=30°，且CF=CA，过点F作FH⊥AC于点H，连接BF．‎ ‎（1）若CF交⊙O于点G，⊙O的半径是4，求的长；‎ ‎（2）请判断直线BF与⊙O的位置关系，并说明理由．‎ ‎【答案】（1）AG=4﹣4．；（2）BF是⊙O的切线．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）连接OB，首先证明四边形BOHF是矩形，求出AB、BF的长，由BF∥AC，可得===，可得=，由此即可解决问题；‎ ‎（2）结论：BF是⊙O的切线．只要证明OB⊥BF即可；‎ 试题解析：（1）∵AC是直径，‎ ‎∴∠CBA=90°，‎ ‎∵BC=BA，OC=OA，‎ ‎∴OB⊥AC，‎ ‎∵FH⊥AC，‎ ‎∴OB∥FH，‎ 在Rt△CFH中，∵∠FCH=30°，‎ ‎∴FH=CF，‎ ‎∵CA=CF，‎ ‎∴FH=AC=OC=OA=OB，‎ ‎∴四边形BOHF是平行四边形，‎ ‎∵∠FHO=90°，‎ ‎∴四边形BOHF是矩形，‎ ‎∴BF=OH，‎ 在Rt△ABC中，∵AC=8，‎ ‎∴AB=BC=4，‎ ‎∵CF=AC=8，‎ ‎∴CH=4，BF=OH=4﹣4，‎ ‎∵BF∥AC，‎ ‎∴===，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AG=4﹣4．‎ ‎∴BF是⊙O的切线．‎ 考点：切线的判定、矩形的判定．等腰三角形的性质，直角三角形30度角的性质、平行线分线段成比例定理 &‎ ‎　‎ ‎2．（10分）（2017•大连）如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD与BC相交于点E．‎ ‎（1）求证：BD=BE；‎ ‎（2）若DE=2，BD=‎5‎，求CE的长．‎ ‎【考点】MC：切线的性质；KQ：勾股定理；T7：解直角三角形．菁优网版权所有 ‎【分析】（1））设∠BAD=α，由于AD平分∠BAC，所以∠CAD=∠BAD=α，进而求出∠D=∠BED=90°﹣α，从而可知BD=BE；‎ ‎（2）设CE=x，由于AB是⊙O的直径，∠AFB=90°，又因为BD=BE，DE=2，FE=FD=1，由于BD=‎5‎，所以tanα=‎1‎‎2‎，从而可求出AB=BFsinα=2‎5‎，利用勾股定理列出方程即可求出x的值．‎ ‎【解答】解：（1）设∠BAD=α，‎ ‎∵AD平分∠BAC ‎∴∠CAD=∠BAD=α，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，‎ ‎∴∠ABC=90°﹣2α，‎ ‎∵BD是⊙O的切线，‎ ‎∴BD⊥AB，‎ ‎∴∠DBE=2α，‎ ‎∠BED=∠BAD+∠ABC=90°﹣α，‎ ‎∴∠D=180°﹣∠DBE﹣∠BED=90°﹣α，‎ ‎∴∠D=∠BED，‎ ‎∴BD=BE ‎（2）设AD交⊙O于点F，CE=x，则AC=2x，连接BF，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠AFB=90°，‎ ‎∵BD=BE，DE=2，‎ ‎∴FE=FD=1，‎ ‎∵BD=‎5‎，‎ ‎∴tanα=‎1‎‎2‎，‎ ‎∴AB=BFsinα=2‎‎5‎ 在Rt△ABC中，‎ 由勾股定理可知：（2x）2+（x+‎5‎）2=（2‎5‎）2，‎ ‎∴解得：x=﹣‎5‎或x=‎3‎‎5‎‎5‎，‎ ‎∴CE=‎3‎‎5‎‎5‎；‎ ‎【点评】本题考查圆的综合问题，涉及切线的性质，圆周角定理，勾股定理，解方程等知识，综合程度较高，属于中等题型．‎ ‎3．（8分）（2017锦州）已知：四边形OABC是菱形，以O为圆心作⊙O，与BC相切于点D，交OA于E，交OC于F，连接OD，DF．‎ ‎（1）求证：AB是⊙O的切线；‎ ‎（2）连接EF交OD于点G，若∠C=45°，求证：GF2=DG•OE．‎ ‎　‎ ‎4．（12分）（2017•辽阳）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O 交AB于点D，E、F是⊙O上两点，连接AE、CF、DF，满足EA=CA．‎ ‎（1）求证：AE是⊙O的切线；‎ ‎（2）若⊙O的半径为3，tan∠CFD=‎4‎‎3‎，求AD的长．‎ ‎5．（10分）（2017•沈阳）如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点E，过点E作EF⊥AB于点F，延长EF交CB的延长线于点G，且∠ABG=2∠C．‎ ‎（1）求证：EF是⊙O的切线；‎ ‎（2）若sin∠EGC=‎3‎‎5‎，⊙O的半径是3，求AF的长．‎ ‎【考点】ME：切线的判定与性质；T7：解直角三角形．‎ ‎【分析】（1）连接EO，由∠EOG=2∠C、∠ABG=2∠C知∠EOG=∠ABG，从而得AB∥EO，根据EF⊥AB得EF⊥OE，即可得证；‎ ‎（2）由∠ABG=2∠C、∠ABG=∠C+∠A知∠A=∠C，即BA=BC=6，在Rt△OEG中求得OG=OEsin∠EGO=5、BG=OG﹣OB=2，在Rt△FGB中求得BF=BGsin∠EGO，根据AF=AB﹣BF可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）如图，连接EO，则OE=OC，‎ ‎∴∠EOG=2∠C，‎ ‎∵∠ABG=2∠C，‎ ‎∴∠EOG=∠ABG，‎ ‎∴AB∥EO，‎ ‎∵EF⊥AB，‎ ‎∴EF⊥OE，‎ 又∵OE是⊙O的半径，‎ ‎∴EF是⊙O的切线；‎ ‎（2）∵∠ABG=2∠C，∠ABG=∠C+∠A，‎ ‎∴∠A=∠C，‎ ‎∴BA=BC=6，‎ 在Rt△OEG中，∵sin∠EGO=OEOG，‎ ‎∴OG=OEsin∠EGO=‎3‎‎3‎‎5‎=5，‎ ‎∴BG=OG﹣OB=2，‎ 在Rt△FGB中，∵sin∠EGO=BFBG，‎ ‎∴BF=BGsin∠EGO=2×‎3‎‎5‎=‎6‎‎5‎，‎ 则AF=AB﹣BF=6﹣‎6‎‎5‎=‎24‎‎5‎．‎ ‎【点评】本题主要考查切线的判定与性质及解直角三角形的应用，熟练掌握切线的判定与性质及三角函数的定义是解题的关键．‎ ‎6．（12分）（2017铁岭）如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点，连接OC，BC，以点C为顶点，CB为边作∠BCF=‎1‎‎2‎∠BOC，延长AB交CF于点D．‎ ‎（1）求证：直线CF是半圆O的切线；‎ ‎（2）若BD=5，CD=5‎3‎，求BC的长．‎ ‎7（2016本溪）．（12分）如图，△ABC中，AB=AC，点E是线段BC延长线上一点，ED⊥AB，垂足为D，ED交线段AC于点F，点O在线段EF上，⊙O经过C、E两点，交ED于点G．‎ ‎（1）求证：AC是⊙O的切线；‎ ‎（2）若∠E=30°，AD=1，BD=5，求⊙O的半径．‎ ‎　‎ ‎8．（12分）（2016•抚顺）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，∠MAC=∠CAB，作CD⊥AM，垂足为D．‎ ‎（1）求证：CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）若∠ACD=30°，AD=4，求图中阴影部分的面积．‎ ‎9．（8分）（2016•沈阳）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别于BC，AC相交于点D，E，BD=CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F．‎ ‎（1）求证：DF⊥AC；‎ ‎（2）若⊙O的半径为5，∠CDF=30°，求的长（结果保留π）．‎ ‎．‎ ‎（1）证明：连接OD，如图所示．‎ ‎∵DF是⊙O的切线，D为切点，‎ ‎∴OD⊥DF，‎ ‎∴∠ODF=90°．‎ ‎∵BD=CD，OA=OB，‎ ‎∴OD是△ABC的中位线，‎ ‎∴OD∥AC，‎ ‎∴∠CFD=∠ODF=90°，‎ ‎∴DF⊥AC．‎ ‎（2）解：∵∠CDF=30°，‎ 由（1）得∠ODF=90°，‎ ‎∴∠ODB=180°﹣∠CDF﹣∠ODF=60°．‎ ‎∵OB=OD，‎ ‎∴△OBD是等边三角形，‎ ‎∴∠BOD=60°，‎ ‎∴的长===π．‎ ‎10（2016大连）．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠A=2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED=∠ABC ‎（1）求证：DE与⊙O相切；‎ ‎（2）若BF=2，DF=，求⊙O的半径．‎ ‎【考点】切线的判定．‎ ‎【分析】（1）连接OD，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，求得∠A+∠ABC=90°，等量代换得到∠BOD=∠A，推出∠ODE=90°，即可得到结论；‎ ‎（2）连接BD，过D作DH⊥BF于H，由弦且角动量得到∠BDE=∠BCD，推出△ACF与△FDB都是等腰三角形，根据等腰直角三角形的性质得到FH=BH=BF=1，则FH=1，根据勾股定理得到HD==3，然后根据勾股定理列方程即可得到结论．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OD，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∴∠A+∠ABC=90°，‎ ‎∵∠BOD=2∠BCD，∠A=2∠BCD，‎ ‎∴∠BOD=∠A，‎ ‎∵∠AED=∠ABC，‎ ‎∴∠BOD+∠AED=90°，‎ ‎∴∠ODE=90°，‎ 即OD⊥DE，‎ ‎∴DE与⊙O相切；‎ ‎（2）解：连接BD，过D作DH⊥BF于H，‎ ‎∵DE与⊙O相切，‎ ‎∴∠BDE=∠BCD，‎ ‎∵∠AED=∠ABC，‎ ‎∴∠AFC=∠DBF，‎ ‎∵∠AFC=∠DFB，‎ ‎∴△ACF与△FDB都是等腰三角形，‎ ‎∴FH=BH=BF=1，则FH=1‎ ‎，∴HD==3，‎ 在Rt△ODH中，OH2+DH2=OD2，‎ 即（OD﹣1）2+32=OD2，‎ ‎∴OD=5，‎ ‎∴⊙O的半径是5．‎ ‎【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．‎ ‎　‎