中考数学一元二次方程应用题经典题型汇总 11页

一元二次方程应用题经典题型汇总 一、增长率问题 例1　恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.‎ 解:　设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，‎ 即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）.‎ 答　这两个月的平均增长率是10%.‎ 说明　这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n.‎ 二、商品定价 例2　益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？‎ 解　根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，‎ 解这个方程，得a1＝25，a2＝31.‎ 因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去.‎ 所以350－10a＝350－10×25＝100（件）.‎ 答　需要进货100件，每件商品应定价25元.‎ 说明　商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.‎ 三、储蓄问题 例3　王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）‎ 解　设第一次存款时的年利率为x.‎ 则根据题意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得90x2+145x－3＝0.‎ 解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2≈－1.63舍去.‎ 答　第一次存款的年利率约是2.04%.‎ 说明　这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税.‎ 四、趣味问题 例4　一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？‎ 解　设渠道的深度为xm，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m.‎ 则根据题意，得(x+0.1+x+1.4+0.1)·x＝1.8，整理，得x2+0.8x－1.8＝0.‎ 解这个方程，得x1＝－1.8（舍去），x2＝1.‎ 所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5.‎ 答　渠道的上口宽2.5m，渠深1m.‎ 说明　求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.‎ 五、古诗问题 例5　读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）.‎ 大江东去浪淘尽，千古风流数人物；‎ 而立之年督东吴，早逝英年两位数；‎ 十位恰小个位三，个位平方与寿符；‎ 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？‎ 解　设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x－3.‎ 则根据题意，得x2＝10(x－3)+x，即x2-11x+30＝0，解这个方程，得x＝5或x＝6.‎ 当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；‎ 当x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.‎ 答　周瑜去世的年龄为36岁.‎ 说明　本题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题，通过求解同学们应从中认真口味.‎ 六、象棋比赛 例6　象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.‎ 解　设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n－1)个选手比赛一局，共计n(n－1)局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为n(n－1)局.由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n(n－1)分.显然(n－1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，故总分不可能是1979，1984，1985，因此总分只能是1980，于是由n(n－1)＝1980，得n2－n－1980＝0，解得n1＝45，n2＝－44（舍去）.‎ 答　参加比赛的选手共有45人.‎ 说明　类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解.‎ 七、情景对话 例7　春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.‎ 某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？‎ 解　设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为1000×25＝25000＜27000，所以员工人数一定超过25人.‎ 则根据题意，得[1000－20(x－25)]x＝27000.‎ 整理，得x2－75x+1350＝0，解这个方程，得x1＝45，x2＝30.‎ 当x＝45时，1000－20(x－25)＝600＜700，故舍去x1；‎ 当x2＝30时，1000－20(x－25)＝900＞700，符合题意.‎ 答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.‎ 说明　求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论.‎ 图1‎ 如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元.‎ 如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元.‎ ‎　　‎ 八、等积变形 例8　将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）‎ ‎（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.‎ ‎（2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.‎ 以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.‎ 解　都能.（1）设小路宽为x，则18x+16x－x2＝×18×15，即x2－34x+180＝0，‎ 解这个方程，得x＝，即x≈6.6.‎ ‎（2）设扇形半径为r，则3.14r2＝ ×18×15，即r2≈57.32，所以r≈7.6.‎ 图2‎ 图4 ‎ 图3‎ 说明　等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变，但重量不变，等等.‎ 九、动态几何问题 例9　如图4所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.‎ ‎（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？‎ ‎（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.‎ 解　因为∠C＝90°，所以AB＝＝＝10（cm）.‎ ‎（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以 AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2xcm.‎ 则根据题意，得·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x+8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4.‎ 所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.‎ ‎（2）设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.‎ 则根据题意，得(6－x)·2x＝××6×8.整理，得x2－6x+12＝0.‎ 由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.‎ 说明　本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程＝速度×时间.‎ 十、梯子问题 例10　一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.‎ ‎（1）若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？‎ ‎（2）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？‎ ‎（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？‎ 解　依题意，梯子的顶端距墙角＝8（m）.‎ ‎（1）若梯子顶端下滑1m，则顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm.‎ 则根据勾股定理，列方程72+(6+x)2＝102，整理，得x2+12x－15＝0，‎ 解这个方程，得x1≈1.14，x2≈－13.14（舍去），‎ 所以梯子顶端下滑1m，底端水平滑动约1.14m.‎ ‎（2）当梯子底端水平向外滑动1m时，设梯子顶端向下滑动xm.‎ 则根据勾股定理，列方程(8－x)2+(6+1)2＝100.整理，得x2－16x+13＝0.‎ 解这个方程，得x1≈0.86，x2≈15.14（舍去）.‎ 所以若梯子底端水平向外滑动1m，则顶端下滑约0.86m.‎ ‎（3）设梯子顶端向下滑动xm时，底端向外也滑动xm.‎ 则根据勾股定理，列方程 (8－x)2+(6+x)2＝102，整理，得2x2－4x＝0，‎ 解这个方程，得x1＝0（舍去），x2＝2.‎ 所以梯子顶端向下滑动2m时，底端向外也滑动2m.‎ 说明　求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.‎ 十一、航海问题 图5‎ 例11　如图5所示，我海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C 匀速巡航．一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.‎ ‎（1）小岛D和小岛F相距多少海里？‎ ‎（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到0.1海里）‎ 解（1）F位于D的正南方向，则DF⊥BC.因为AB⊥BC，D为AC的中点，所以DF＝AB＝100海里，所以，小岛D与小岛F相距100海里.‎ ‎（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE＝x海里，AB+BE＝2x海里，EF＝AB+BC－(AB+BE)－CF＝(300－2x)海里.‎ 在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x2＝1002+(300－2x)2，整理，得3x2－1200x+100000＝0.‎ 解这个方程，得x1＝200－≈118.4，x2＝200+（不合题意，舍去）.‎ 所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里.‎ 说明　求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程.‎ 十二、图表信息 例12　如图6所示，正方形ABCD的边长为12，划分成12×12个小正方形格，将边长为n（n为整数，且2≤n≤11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n－1)×(n－1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.‎ 请你认真观察思考后回答下列问题：‎ ‎（1）由于正方形纸片边长n的取值不同，完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：‎ 纸片的边长n ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 使用的纸片张数 ‎（2）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S1，未被盖住的面积为S2.‎ ‎①当n＝2时，求S1∶S2的值；‎ ‎②是否存在使得S1＝S2的n值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由.‎ 图6‎ 解（1）依题意可依次填表为：11、10、9、8、7.‎ ‎（2）S1＝n2+(12－n)[n2－(n－1)2]＝－n2+25n－12.‎ ‎①当n＝2时，S1＝－22+25×2－12＝34，S2＝12×12－34＝110.‎ 所以S1∶S2＝34∶110＝17∶55.‎ ‎②若S1＝S2，则有－n2+25n－12＝×122，即n2－25n+84＝0，‎ 解这个方程，得n1＝4，n2＝21（舍去）.‎ 所以当n＝4时，S1＝S2.所以这样的n值是存在的.‎ 说明　求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第（3）小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.‎ 十三、探索在在问题 例13　将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.‎ ‎（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?‎ ‎（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.‎ 解（1）设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20－x）cm.‎ 则根据题意，得+＝17，解得x1＝16，x2＝4，‎ 当x＝16时，20－x＝4，当x＝4时，20－x＝16，‎ 答　这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm和16cm.‎ ‎（2）不能.理由是：不妨设剪成两段后其中一段为ycm，则另一段为（20－y）cm.则由题意得+＝12，整理，得y2－20y+104＝0，移项并配方，得(y－10)2＝－4＜0，所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为12cm2.‎ 说明　本题的第（2）小问也可以运用求根公式中的b2－4ac来判定.若b2－4ac≥0，方程有两个实数根，若b2－4ac＜0，方程没有实数根，本题中的b2－4ac＝－16＜0即无解.‎ 十四、平分几何图形的周长与面积问题 例14　如图7，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10.点E在下底边BC上，点F在腰AB上.‎ ‎（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；‎ ‎（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由.‎ 图7‎ K G 解（1）由已知条件得，梯形周长为12，高4，面积为28.‎ 过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K.‎ 则可得，FG＝×4，‎ 所以S△BEF＝BE·FG＝－x2+x（7≤x≤10）.‎ ‎（2）存在.由（1）得－x2+x＝14，解这个方程，得x1＝7，x2＝5（不合题意，舍去），‎ 所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE＝7.‎ ‎（3）不存在.假设存在，显然有S△BEF∶S多边形AFECD ＝1∶2，‎ 即(BE+BF)∶(AF+AD+DC)＝1∶2.则有－x2+x＝，‎ 整理，得3x2－24x+70＝0，此时的求根公式中的b2－4ac＝576－840＜0，‎ 所以不存在这样的实数x.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分.‎ 说明　求解本题时应注意：一是要能正确确定x的取值范围；二是在求得x2＝5时，并不属于7≤x≤10，应及时地舍去；三是处理第（3）个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性.‎ 十五、利用图形探索规律 例15　在如图8中，每个正方形有边长为1 的小正方形组成：‎ 图8‎ ‎（1）观察图形，请填写下列表格：‎ 正方形边长 ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎…‎ n（奇数）‎ 黑色小正方形个数 ‎…‎ 正方形边长 ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎…‎ n（偶数）‎ 黑色小正方形个数 ‎…‎ ‎（2）在边长为n（n≥1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数n，使P2＝5P1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由.‎ 解（1）观察分析图案可知正方形的边长为1、3、5、7、…、n 时，黑色正方形的个数为1、5、9、13、2n－1（奇数）；正方形的边长为2、4、6、8、…、n 时，黑色正方形的个数为4、8、12、16、2n（偶数）.‎ ‎（2）由（1）可知n为偶数时P1＝2n，所以P2＝n2－2n.根据题意，得n2－2n＝5×2n，即n2－12n＝0，解得n1＝12，n2＝0（不合题意，舍去）.所以存在偶数n＝12，使得P2＝5P1.‎ 说明　本题的第（2）小问是属于存在性问题，求解时，可以先假设结论存在，进而从中找到数量关系，使问题获解.‎