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- 2021-05-13 发布
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以经典题型为纲 求异求变求发展
——谈中考数学复习的有效性
[摘要]以经典的习题为根本,通过拓展延伸,我们可以找到许多变式。这个学习过程,既是知识的深化,更是创新思维的培养。本文从三个习题入手,联用延伸、应用拓展、演变深化着眼,分别研究它们的不同变式,求异求变,以点带面,使各个知识点串联贯通,发展学生思维,从而提高中考复习有效性。
[关键词]习题 变式 思维发展 有效性
教材丰富的内涵,其中的习题均是专家多次筛选后的精品,是编拟中考试题的基础。所以,在中考复习教学中, 教师要加强对典型习题的研究,不断挖掘习题的内在“潜能”;在题目选编中,要优先考虑课本中习题,适当拓深、演变,使其源于教材,又不拘泥于教材。立足基础,力求变化,形成问题链,以达到“做一题,通一类,会一片”的教学效果,从而达到提高中考复习的有效性。。
一、联用延伸
[原题]在数学浙教版七年级下册“1.2三角形的角平分线和中线”,作业题4:如图,CE、CF分别是△ABC的内角平分线和外角平分线,求∠ECF的度数
B
C
D
F
E
A
复习过程中,教师首先指出:“此题属于三角形同一顶点处的内角平分线和外角平分线的夹角问题。”然后提问:“三角形内角或外角平分线相交,还有其他的情形吗?你们能画出相应的图形吗?”让学生带着这个问题去思考,画出图形,并引导学生归纳、总结。
变式一:P为两内角平分线的交点
如图,点P在△ABC内部,∠BPC与∠A的关系是
B
C
P
A
变式二:P为两外角平分线的交点
如图,点P是∠ABC与∠ACB两外角平分线的交点,∠BPC与∠A的关系是
A
P
B
C
变式三:P为内、外角平分线的交点
如图,点P是∠ABC平分线和∠ACB外角平分线的交点,∠BPC与∠A的关系是;
B
C
D
P
A
变式四:P为内角平分线和外角平分线的反向延长线的交点
如图,在△ABC中,∠C=90°,点P是∠ABC平分线和∠BAC外角平分线的交点,则∠P的度数为。
C
B
P
A
变式五:P为内角线和外角平分线的反向延长线的交点
如图,点E是∠ABC平分线和∠ACB外角平分线的交点,P是∠EBC平分线和∠ECB外角平分线的交点,∠BPC与∠A的关系是;
p
B
C
D
E
A
通过这一组问题的训练,激发了学生的思维,有效的培养了学生的发散思维能力,提高了学生的创新意识。
二、应用拓展
[原题](七年级下册)如图,要在街道旁修建一个奶站,向居民区A、B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使从A,B到它的距离之和最短?
本题来源于浙教版七年级下册,考查一定的直线同旁有两定点,在直线上确定一个点,使这点到两点的距离和最短,其实质是利用轴对称的知识,找出一个定点关于直线的对称点,对称点与另一直线的连线和定直线的交点即为所求作的点。此题潜在价值很大,复习时值得研究:可以在不同背景下探索结论;可以在同一背景下改变结论;可以通过图形位置变换,让图形动起来,变成动态问题。
变式一:背景为等腰三角形
(08黄岩)如图,已知在等腰△ABC 中, ∠ABC=1200,P是底边AC上的一个动点, M、N分别是AB、BC的中点,若PM+PN的最小值为2, 求△ ABC的周长
.B
C
D
N
M
A
变式二:背景为正方形
(2009年漳州)如图,正方形的边长为2,为的中点,是上一动点.连结,由正方形对称性可知,与关于直线对称.连结交于,则的最小值是___________;
A
B
E
C
P
D
变式三:背景为圆
如图,的半径为2,点在上,,,是上一动点,求的最小值;
A
C
B
O
变式四:背景为抛物线
(衢州卷2009)如图,已知点A(-4,8)和点B(2,n)在抛物线上, (1) 求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标,并在x轴上找一点Q,使得AQ+QB最短,求出点Q的坐标;
(2) 平移抛物线,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,
点C(-2,0)和点D(-4,0)是x轴上的两个定点.
① 当抛物线向左平移到某个位置时,A′C+CB′ 最短,求此时抛物线的
函数解析式;
② 当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形A′B′CD
的周长最短?若存在,求出此时抛物线的函数解析式;若不存在,请说明理由.
4
x
2
2
A
8
-2
O
-2
-4
y
6
B
C
D
-4
4
变式五:逆向应用
O
A
B
P
R
Q
如图,,是内一点,,分别是上的动点,求周长的最小值.
此题从学生比较熟悉的几何模型入手,设计了五个逐层递进的问题让学生尝试解决、通过对结论的直接应用、对模型的重新构建和拓展创新,引导学生深入探究轴对称的应用和轴对称图形的本质,这种对同一知识逐步深化的问题设计方式,既尊重学生的认知规律,又体现了对学生过程的关注。
三、演变深化
[原题]浙教版八年级上册P47第2题:如图,在和中,AC=CE,点D在边BC的延长线上,且。求证:△CAB≌△ECD。
变式一:背景为梯形
如图,梯形中,,,AB=2cm,CD=4cm,以上一点为圆心的圆经过两点,且∠AOD=90°,则圆心到弦的距离是( )
A.cm B.cm C.cm D.c
O
变式二:基本图形的构造应用
几何综合性问题通常是由若干个基本问题组合而成,其图形也是由若干个基本图形组合而成,因而,学生不仅要具备必需的图形分解能力,同时,还应具备必需的添加辅助线构造基本图形的技能。
例1、如图1,已知△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线l1,l2,l3上,且l1,l2之间的距离为2 , l2,l3之间的距离为3 ,则AC的长是( )
A.B.C.D.7
例2、如图2,在平面直角坐标系中,,且,点的坐标是.
(1)求点的坐标;
(2)求过点的抛物线的表达式;
(3)连接,在(2)中的抛物线上求出点,使得
y
O
B
A
x
1
1
图2
图1
l1
l2
l3
A
C
B
变式三:弱化条件“直角”,则“全等”结论仍然成立
如图3,在和中,点D在边BC的延长线上,AC=CE,且。则:△ABC≌△CDE。
例:如图4,为等边三角形,点D,E,F分别在边BC,CA,AB上,且也为等边三角形。
(1)除已知等边三角形的边相等以外,请你猜想还有哪些线段相等,并证明你的结论;
(2)你所证明相等的线段,可以通过怎样的变换相互得到?写出变换过程。
图4
图3
变式四:三角形全等弱化为三角形相似
图5,在和中,点D在边BC的延长线上,且。求证:△CAB∽△ECD。
例:已知A、D是一段圆弧上的两点,且在直线的同侧,分别过这两点作的垂线,垂足为B、C,E是BC上一动点,连结AD、AE、DE,且∠AED=90°。
(1)如图6–①,如果AB=6,BC=16,且BE:CE=1:3,求AD的长。
(2)如图6–②,若点E恰为这段圆弧的圆心,则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明。再探究:当A、D分别在直线两侧且AB≠CD,而其余条件不变时,线段AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系?请
直接写出结论,不必证明。
图6–②
图6–①
图5
变式五:同时弱化“线段相等”和“直角”,结论由全等弱化为相似
如图7,在和中,点D在边BC的延长线上,。则△CAB∽△ECD。(这里的条件为三个角相等,至于等于多少度,并无要求,可以是一个一般的度数,可以是下面例题中的、或等特殊的度数。因而,演变命题3在中考命题中的拓展与应用更为广泛。)
例1、如图8,M为线段AB的中点,AE与BD交于点C,∠DME=∠A=∠B=α,且DM交AC于F,ME交BC于G.
(1)写出图中三对相似三角形,并证明其中的一对;
A
B
M
F
G
D
E
C
图8
(2)连结FG,如果α=45°,AB=,AF=3,求FG的长.
图7
图10
A
D
C
P
B
图9
60°
例2如图9,等边的边长为3,为上一点,且,为 上一点,若,则的长为( )
A. B. C. D.
例3、如图10,在中,,AB=AC=2,点D在BC上运动(不能到达点B,C),过点D作,DE交AC于点E。
求证:(1)△ABC∽△CDE。
(2)设,求关于的函数关系式。
变式六:改变图形形状,变“三角形”为“等腰梯形”
如图11,梯形ABCD中,AB∥CD,E为AD上一点,且满足∠ A=∠BEF=∠D, 则△ABE∽△DEF。
例1、如图11,在梯形中,,,,点分别在线段上(点与点不重合),且,设,.
(1)求与的函数表达式;
(2)当为何值时,有最大值,最大值是多少?
例2、如图12,在等腰梯形中,,=4=,=45°.直角三角板含45°角的顶点在边上移动,一直角边始终经过点,斜边与交于点.若为等腰三角形,则的长等于.
A
E
D
F
C
B
D
B
C
A
E
F
.
图11
图12
变式七:图形的变式延伸
结合基本图形所具有的特殊性,可作一系列的变化,如将习题中的和相向移动交叉重叠。
问题背景;课外学习小组在一次学习研讨中,得到了如下三个命题:
①如图(1),在正三角形ABC中,M,N分别是AC、AB上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=60°.则BM=CN:
②如图(2),在正方形ABCD中,M、N分别是CD、AD上的点.BM与CN相交于点O,若∠BON=90°.则BM=CN.
然后运用类似的思想提出了如下命题:
③如图(3),在正五边形ABCDE中,M、N分别是CD,DE上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=108°,则BM=CN.
任务要求:
(1)请你从①.②,③三个命题中选择一个进行证明;
(2) 请你继续完成下面的探索:
①试在图(3)中画出一条与CN相等的线段DH,使点H在正五边形的边上,且与CN相交所成的一个角是,这样的线段有几条?
②如图(4),在正五边形ABCDE中,M,N分别是DE,DA上的点,BM与CN相交于点O,若,请问结论BM=CN是否还成立?若成立,试给予证明;若不成立,试说明理由。
经典的习题最符合《数学课程标准》的理念,因此,教师应该把握其中的精髓,立足教材,创新复习方法,拓展延伸习题内涵,激发学生的求异思维,稳中求变,提高学生的解题能力和探究推理能力,使复习达到事半功倍的效果。
参考文献:
1.《初中数学新课程标准》 2007年
2.《义务教育数学课本》 浙江教育出版社
3.《中学数学教育》初中版 2009年第9期
4.《绍兴市初中学业评价指导用书·数学》 2010年版
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