中考数学第一轮复习导学案相似三角形 13页

相似三角形 ‎◆课前热身 ‎1．如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ A C D B ‎（第2题图）‎ A B D C E F ‎1题 ‎ ‎ ‎2.如图所示，给出下列条件：‎ ‎①；　②；‎ ‎③；　　④．‎ 其中单独能够判定的个数为（ ）‎ A．1 B．‎2 ‎‎ ‎ C．3 D．4‎ ‎3.已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（ ）‎ ‎ A．1：2 B．1：‎4 ‎‎ C．2：1 D．4：1 ‎ ‎4.如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：‎ ‎（1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4.‎ 其中正确的有：（ ）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【参考答案】‎ 1. A 2. C 3. B 4. D ‎◆考点聚焦 ‎1．了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质．‎ ‎ 2．探索并掌握三角形相似的性质及条件，并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题． ‎ ‎ 3．掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小．‎ ‎ 4．掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置．‎ ‎◆备考兵法 ‎1．证明三角形相似的方法常用的有三个，到底用哪个要根据具体情况而定，要注意基本图形的应用，如“A型”“X型”“母子型”等．‎ ‎ 2．用相似三角形的知识解决现实生活中实际问题，关键是要先把实际问题转化为数学问题，识别或作出相似三角形，再利用相似三角形的性质求解，并回答实际问题，注意题目的解一定要符合题意．‎ ‎ 3．用直角坐标系中的点描述物体的位置，用坐标的方法来研究图形的运动变换，是较为常见的考法，要注意训练． ‎ ‎◆考点链接 一、相似三角形的定义 三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．‎ 二、相似三角形的判定方法 ‎1. 若DE∥BC（A型和X型）则______________．‎ ‎2. 射影定理：若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）‎ 则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=________，CD2=_______，BC2=__ ____．‎ ‎ ‎ ‎3. 两个角对应相等的两个三角形__________．‎ ‎4. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．‎ ‎5. 三边对应成比例的两个三角形___________．‎ 三、相似三角形的性质 ‎1. 相似三角形的对应边_________，对应角________．‎ ‎2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k表示．‎ ‎3. 相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________． ‎ ‎◆典例精析 例1（山西太原）甲、乙两盏路灯底部间的距离是‎30米，一天晚上，当小华走到距路灯乙底部‎5米处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为‎1.5米，那么路灯甲的高为 米． ‎ 甲 小华乙 ‎【答案】9.‎ ‎【解析】本题考查相似的有关知识，相似三角形的应用.设路灯高为米，由相似得 ‎，解得，所以路灯甲的高为‎9米，故填9.‎ 例2（浙江丽水）如图，在已建立直角坐标系的4×4正方形方格纸中，△划格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P，A，B为顶点的三角形与△ABC相似（全等除外），则格点P的坐标是_______．‎ ‎ ‎ ‎【答案】 P1（1，4），P2（3，4）．‎ ‎ 点拨：这种题常见的错误是漏解，平时要多加强这方面的训练，以培养思维的严密性．‎ ‎ 拓展变式 在Rt△ABC中，斜边AC上有一动点D（不与点A，C重合），过D点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，则满足这样条件的直线共有______条．‎ ‎ 【答案】 3‎ 例3 如图，已知平行四边形ABCD中，E是AB边的中点，DE交AC于点F，AC，DE 把平行四边形ABCD分成的四部分的面积分别为S1，S2，S3，S4．下面结论：①只有一对相似三角形；②EF：ED=1：2；③S1：S2：S3：S4=1：2：4：5．其中正确的结论是（ ）‎ A．①③ B．③ C．① D．①②‎ ‎【答案】 B ‎ 【解析】 ∵AB∥DC，∴△AEF∽△CDF，但本题还有一对相似三角形是△ABC≌△CDA（全等是相似的特例）．‎ ‎ ∴①是错的．‎ ‎ ∵，∴②EF：ED=1：2是错的．‎ ‎ ∴S△AEF：S△CDF =1：4，S△AEF：S△ADF =1：2． ‎ ‎ ∴S1：S2：S3：S4=1：2：4：5，③正确．‎ ‎ 点拨 ①利用相似三角形的特征和等高三角形的面积比等于底边之比；（共底三角形的面积之比等于高之比）‎ ‎ ②和全等三角形一样，中考试题往往把需要证明的两个相似三角形置于其他图形（如等边三角形、等腰直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形）中，在解题时要充分挖掘其中隐含的相等角、成比例的线段和平行线，注意从复杂的图形中分离出基本的相似三角形．‎ ‎ 拓展变式 点E是ABCD的边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点G，则图中相似三角形共有（ ）‎ A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 ‎【答案】 C ‎◆迎考精练 一、选择题 ‎1.（江苏省）如图，在方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②‎ 中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（ ）‎ A．先向下平移3格，再向右平移1格 B．先向下平移2格，再向右平移1格 C．先向下平移2格，再向右平移2格 D．先向下平移3格，再向右平移2格 ‎ ‎ ‎2.（浙江杭州）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（ ）‎ A．只有1个 B．可以有2个 ‎ C．有2个以上但有限 D．有无数个 D B C A N M O ‎3.（浙江宁波）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（ ） ‎ A．△AOM和△AON都是等边三角形 B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形 C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形 D．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形 ‎4.(浙江义乌)在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为‎20cm，则它的宽约为（ ）‎ A．‎12.36cm B.‎13.6cm C.‎32.36cm D.‎‎7.64cm ‎5.（湖南娄底）小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上，如图所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′，若OA=‎0.2米，OB=‎40米，AA′=‎0.0015米，则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为 （ ）‎ A．‎3米 B．‎0.3米 C．‎0.03米 D．‎0.2米 ‎6.（甘肃白银）如图，小东用长为‎3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距‎8m ‎、与旗杆相距‎22m，则旗杆的高为（　　）‎ A．‎12m B．‎10m C．‎8m D．‎‎7m ‎7.（天津市）在和中，，如果的周长是16，面积是12，那么的周长、面积依次为（ ）‎ A．8，3　　 B．8，‎6　‎‎　 ‎ C．4，3　　 D．４，6‎ 二、填空题 ‎1. (山东滨州)在平面直角坐标系中，顶点的坐标为，若以原点O为位似中心，画的位似图形，使与的相似比等于，则点的坐标为 ．‎ ‎2.(黑龙江牡丹江)如图，中，直线交于点交于点交于点若则 ． ‎ A E F D G C B 第2题 ‎3.（湖北孝感）如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是 ．‎ ‎4.（山东日照）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF的长度是 ．‎ E ‎（第4题图）‎ A B′‎ C F B ‎5.（福建莆田）如图，两处被池塘隔开，为了测量两处的距离，在外选一适当的点，连接，并分别取线段的中点，测得=‎20m，则=__________m．‎ A E C F B 第5题图 三、解答题 A C B D E ‎1.（湖南郴州）如图，在ABC中，已知DE∥BC，AD=4，DB=8，DE=3，‎ ‎（1）求的值，（2）求BC的长 ‎2.（湖南常德）如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE，△ABE与△ADC相似吗？请证明你的结论．‎ ‎3.(湖北武汉)如图1，在中，，于点，点是边上一点，连接交于，交边于点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当为边中点，时，如图2，求的值；‎ ‎（3）当为边中点，时，请直接写出的值．‎ B B A A C O E D D E C O F 图1‎ 图2‎ F ‎4.（安徽）如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．‎ ‎（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；‎ A B M F G D E C 第4题图 ‎（2）连结FG，如果α＝45°，AB＝，AF＝3，求FG的长．‎ ‎5.（吉林省）如图，⊙中，弦相交于的中点，连接并延长至点，使，连接BC、．‎ 第5题图 O F D A E B C ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当时，求的值 ‎6.(广东梅州)如图，梯形ABCD中，，点在上，连与的延长线交于点G．‎ ‎（1）求证：； ‎ D C F E A B G ‎6题 ‎（2）当点F是BC的中点时，过F作交于点，若，求的长．‎ ‎【参考答案】‎ 选择题 1. D 2. B 3. C 4. A ‎ 5. B 6. A 7. A 填空题 1. ‎（4，6）‎ 2. 3. ‎144‎ 4. 或2; ‎ 5. ‎40‎ 解答题 ‎1. 解：（1）∵‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴‎ ‎（2）∵，所以 ‎ ∴‎ ‎ ∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎2. △ABE 与△ADC相似．理由如下：‎ 在△ABE与△ADC中 ‎∵AE是⊙O的直径， ∴∠ABE=90o，‎ ‎∵AD是△ABC的边BC上的高，‎ ‎∴∠ADC=90o， ∴∠ABE=∠ADC．‎ 又∵同弧所对的圆周角相等， ‎ ‎∴∠BEA=∠DCA．‎ ‎∴△ABE ～△ADC．‎ ‎3. 解：（1），．‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎，．‎ ‎；‎ B A D E C O F G ‎（2）解法一：作，交的延长线于．‎ ‎，是边的中点，．‎ 由（1）有，，‎ ‎．‎ ‎，，‎ 又，．‎ ‎，．‎ ‎，，，‎ ‎，．‎ B A D E C O F 解法二：于，‎ ‎．．‎ 设，则，‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎．‎ 由（1）知，设，，．‎ 在中，．‎ ‎．．‎ ‎（3）．‎ ‎4. （1）证：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM（写出两对即可）以下证明△AMF∽△BGM．‎ ‎∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B ‎∴△AMF∽△BGM．‎ ‎（2）解：当α＝45°时，可得AC⊥BC且AC＝BC ‎∵M为AB的中点，∴AM＝BM＝‎ 又∵AMF∽△BGM，∴‎ ‎∴‎ 又，∴，‎ ‎∴‎ ‎5. （1）证明：‎ 是的中位线，‎ ‎ ‎ 又 ‎（2）解：由（1）知，‎ 又 ‎．‎ ‎6. （1）证明：∵梯形，， ‎ ‎∴， ‎ ‎∴． ‎ D C F E A B G ‎6题图 ‎（2） 由（1），‎ 又是的中点，‎ ‎∴， ‎ ‎∴ ‎ 又∵，， ‎ ‎∴，得． ‎ ‎ ∴， ‎ ‎∴．‎