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- 2021-05-13 发布
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贵州省铜仁市2015年中考数学试卷
一、选择题:(本大题共10个小题.每小题4分,共40分)本题每小题均有A、B、C、D四个备选答案.其中只有一个是正确的,请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上.
1.(4分)(2015•铜仁市)2015的相反数是( )
A.2015 B.﹣2015 C.﹣ D.
考点:
相反数..
分析:
根据相反数的含义,可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”,据此解答即可.
解答:
解:根据相反数的含义,可得
2015的相反数是:﹣2015.
故选:B.
点评:
此题主要考查了相反数的含义以及求法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:相反数是成对出现的,不能单独存在;求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”
2.(4分)(2015•铜仁市)下列计算正确的是( )
A.a2+a2=2a4 B.2a2×a3=2a6
C.3a﹣2a=1 D.(a2)3=a6
考点:
单项式乘单项式;合并同类项;幂的乘方与积的乘方..
分析:
根据合并同类项法则、单项式乘法、幂的乘方的运算方法,利用排除法求解.
解答:
解:A、应为a2+a2=2a2,故本选项错误;
B、应为2a2×a3=2a5,故本选项错误;
C、应为3a﹣2a=1,故本选项错误;
D、(a2)3=a6,正确.
故选:D.
点评:
本题主要考查了合并同类项的法则,幂的乘方的性质,单项式的乘法法则,熟练掌握运算法则是解题的关键.
3.(4分)(2015•铜仁市)河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系,其函数的关系式为y=﹣x2,当水面离桥拱顶的高度DO是4m时,这时水面宽度AB为( )
A.﹣20m B.10m C.20m D.﹣10m
考点:
二次函数的应用..
分析:
根据题意,把y=﹣4直接代入解析式即可解答.
解答:
解:根据题意B的纵坐标为﹣4,
把y=﹣4代入y=﹣x2,
得x=±10,
∴A(﹣10,﹣4),B(10,﹣4),
∴AB=20m.
即水面宽度AB为20m.
故选C.
点评:
本题考查了点的坐标的求法及二次函数的实际应用.此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题.
4.(4分)(2015•铜仁市)已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0,下列说法不正确的是( )
A.方程有两个相等的实数根 B.方程有两个不相等的实数根
C.没有实数根 D.无法确定
考点:
根的判别式..
分析:
先求出△的值,再判断出其符号即可.
解答:
解:∵△=42﹣4×3×(﹣5)=76>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
故选B.
点评:
本题考查的是根的判别式,熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△的关系是解答此题的关键.
5.(4分)(2015•铜仁市)请你观察下面四个图形,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.B.C.D.
考点:
中心对称图形;轴对称图形..
分析:
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
解答:
解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形.故错误;
B、是轴对称图形,不是中心对称图形.故错误;
C、是轴对称图形,也是中心对称图形.故正确;
D、是轴对称图形,不是中心对称图形.故错误.
故选C.
点评:
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念:轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.
6.(4分)(2015•铜仁市)如果一个多边形的每一个外角都是60°,则这个多边形的边数是( )
A.3 B,4 C.5 D.6
考点:
多边形内角与外角..
分析:
由一个多边形的每一个外角都等于60°,且多边形的外角和等于360°,即可求得这个多边形的边数.
解答:
解:∵一个多边形的每一个外角都等于60°,且多边形的外角和等于360°,
∴这个多边形的边数是:360÷60=6.
故选:D.
点评:
此题考查了多边形的外角和定理.此题比较简单,注意掌握多边形的外角和等于360度是关键.
7.(4分)(2015•铜仁市)在一次数学模拟考试中,小明所在的学习小组7名同学的成绩分别为:129,136,145,136,148,136,150.则这次考试的平均数和众数分别为( )
A.145,136 B.140,136 C.136,148 D.136,145
考点:
众数;加权平均数..
分析:
众数的定义求解;众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个;再利用平均数的求法得出答案.
解答:
解:在这一组数据中136是出现次数最多的,故众数是136;
他们的成绩的平均数为:(129+136+145+136+148+136+150)÷7=140.
故选B.
点评:
此题主要考查了众数以及平均数的求法,此题比较简单注意计算时要认真减少不必要的计算错误.
8.(4分)(2015•铜仁市)如图,在矩形ABCD中,BC=6,CD=3,将△BCD沿对角线BD翻折,点C落在点C1处,BC1交AD于点E,则线段DE的长为( )
A.3 B. C.5 D.
考点:
翻折变换(折叠问题)..
分析:
首先根据题意得到BE=DE,然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程,解方程即可解决问题.
解答:
解:设ED=x,则AE=8﹣x;
∵四边形ABCD为矩形,
∴AD∥BC,
∴∠EDB=∠DBC;
由题意得:∠EBD=∠DBC,
∴∠EDB=∠EBD,
∴EB=ED=x;
由勾股定理得:
BE2=AB2+AE2,
即x2=42+(8﹣x)2,
解得:x=5,
∴ED=5.
故选:C.
点评:
本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题;解题的关键是根据翻折变换的性质,结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识,灵活进行判断、分析、推理或解答.
9.(4分)(2015•铜仁市)如图,在平行四边形ABCD中,点E在边DC上,DE:EC=3:1,连接AE交BD于点F,则△DEF的面积与△BAF的面积之比为( )
A.3:4 B.9:16 C.9:1 D.3:1
考点:
相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质..
分析:
可证明△DFE∽△BFA,根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案.
解答:
解:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴DC∥AB,
∴△DFE∽△BFA,
∵DE:EC=3:1,
∴DE:DC=1=3:4,
∴DE:AB=3:4,
∴S△DFE:S△BFA=9:16.
故选:B.
点评:
本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质,注:相似三角形的面积之比等于相似比的平方
10.(4分)(2015•铜仁市)如图,在平面直角坐标系系中,直线y=k1x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点B,连接B0.若S△OBC=1,tan∠BOC=,则k2的值是( )
A.﹣3 B.1 C.2 D.3
考点:
反比例函数与一次函数的交点问题..
分析:
首先根据直线求得点C的坐标,然后根据△BOC的面积求得BD的长,然后利用正切函数的定义求得OD的长,从而求得点B的坐标,求得结论.
解答:
解:∵直线y=k1x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,
∴点C的坐标为(0,2),
∴OC=2,
∵S△OBC=1,
∴BD=1,
∵tan∠BOC=,
∴=,
∴OD=3,
∴点B的坐标为(1,3),
∵反比例函数y=在第一象限内的图象交于点B,
∴k2=1×3=3.
故选D.
点评:
本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标,解题的关键是仔细审题,能够求得点B的坐标,难度不大.
二、填空题:(本题共8个小题,每小题4分分,共32分)
11.(4分)(2015•铜仁市)|﹣6.18|= 6.18 .
考点:
绝对值..
分析:
一个数到原点的距离叫做该数的绝对值.一个负数的绝对值是它的相反数.
解答:
解:﹣6.18的绝对值是6.18.
故答案为:6.18.
点评:
此题考查绝对值问题,一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.
12.(4分)(2015•铜仁市)定义一种新运算:x*y=,如2*1==2,则(4*2)*(﹣1)= 0 .
考点:
有理数的混合运算..
专题:
新定义.
分析:
先根据新定义计算出4*2=2,然后再根据新定义计算2*(﹣1)即可.
解答:
解:4*2==2,
2*(﹣1)==0.
故(4*2)*(﹣1)=0.
故答案为:0.
点评:
本题考查了有理数混合运算:先算乘方,再算乘除,最后算加减;同级运算,应按从左到右的顺序进行计算;如果有括号,要先做括号内的运算.
13.(4分)(2015•铜仁市)不等式5x﹣3<3x+5的最大整数解是 3 .
考点:
一元一次不等式的整数解..
分析:
首先利用不等式的基本性质解不等式,再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可.
解答:
解:不等式的解集是x<4,
故不等式5x﹣3<3x+5的正整数解为1,2,3,
则最大整数解为3.
故答案为:3.
点评:
本题考查了一元一次不等式的整数解,正确解不等式,求出解集是解答本题的关键.解不等式应根据不等式的基本性质.
14.(4分)(2015•铜仁市)已知点P(3,a)关于y轴的对称点为Q(b,2),则ab= ﹣6 .
考点:
关于x轴、y轴对称的点的坐标..
分析:
根据关于y轴对称点的坐标特点:横坐标互为相反数,纵坐标不变可得a=2,b=﹣3,进而可得答案.
解答:
解:∵点P(3,a)关于y轴的对称点为Q(b,2),
∴a=2,b=﹣3,
∴ab=﹣6,
故答案为:﹣6.
点评:
此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点,关键是掌握点的坐标的变化规律
15.(4分)(2015•铜仁市)已知一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm,则这个菱形的面积为 24 cm2.
考点:
菱形的性质..
分析:
根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可.
解答:
解:∵一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm,
∴这个菱形的面积=×6×8=24(cm2).
故答案为:24.
点评:
本题考查的是菱形的性质,熟知菱形的面积等于两对角线乘积的一半是解答此题的关键
16.(4分)(2015•铜仁市)小明掷一枚均匀的骰子,骰子的六个面上分别刻有1,2,3,4,5,6点,得到的点数为奇数的概率是 .
考点:
概率公式..
分析:
根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.
解答:
解:根据题意知,掷一次骰子6个可能结果,而奇数有3个,所以掷到上面为奇数的概率为.
故答案为:.
点评:
本题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.
17.(4分)(2015•铜仁市)如图,∠ACB=9O°,D为AB中点,连接DC并延长到点E,使CE=CD,过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F.若BF=10,则AB的长为 8 .
考点:
三角形中位线定理;直角三角形斜边上的中线..
分析:
先根据点D是AB的中点,BF∥DE可知DE是△ABF的中位线,故可得出DE的长,根据CE=CD可得出CD的长,再根据直角三角形的性质即可得出结论.
解答:
解:∵点D是AB的中点,BF∥DE,
∴DE是△ABF的中位线.
∵BF=10,
∴DE=BF=5.
∵CE=CD,
∴CD=5,解得CD=4.
∵△ABC是直角三角形,
∴AB=2CD=8.
故答案为:8.
点评:
本题考查的是三角形中位线定理,熟知三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半是解答此题的关键.
18.(4分)(2015•铜仁市)请看杨辉三角(1),并观察下列等式(2):
根据前面各式的规律,则(a+b)6= a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6 .
考点:
完全平方公式;规律型:数字的变化类..
分析:
通过观察可以看出(a+b)6的展开式为6次7项式,a的次数按降幂排列,b的次数按升幂排列,各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1.
解答:
解:(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
故本题答案为:a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
点评:
此题考查数字的规律,通过观察,分析、归纳并发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力.
二、解答题:(本题共4个小题,第19题每小题20分,第20、21、22题每小题20分,共40分,要有解题的主要过程)
19.(20分)(2015•铜仁市)(1)﹣÷|﹣2×sin45°|+(﹣)﹣1÷(﹣14×)
(2)先化简(+)×,然后选择一个你喜欢的数代入求值.
考点:
分式的化简求值;实数的运算;负整数指数幂;特殊角的三角函数值..
分析:
(1)分别根据数的开方法则、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则计算出各数,再根据实数混合运算的法则进行计算即可;
(2)先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再选取合适的x的值代入进行计算即可.
解答:
解:(1)原式=﹣2÷|2×|﹣2÷(﹣)
=﹣2÷2﹣2×(﹣2)
=﹣1+4
=3;
(2)原式=•
=•
=,
当x=1时,原式=1.
点评:
本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.
20.(10分)(2015•铜仁市)为了增强学生的身体素质,教育部门规定学生每天参加体育锻炼时间不少于1小时,为了了解学生参加体育锻炼的情况,抽样调查了900名学生每天参加体育锻炼的时间,并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息解答下列问题:
(1)请补充这次调查参加体育锻炼时间为1小时的频数分布直方图.
(2)求这次调查参加体育锻炼时间为1.5小时的人数.
(3)这次调查参加体育锻炼时间的中位数是多少?
考点:
频数(率)分布直方图;扇形统计图;中位数..
分析:
(1)根据时间是2小时的有90人,占10%,据此即可求得总人数,利用总人数乘以百分比即可求得时间是1小时的一组的人数,即可作出直方图;
(2)总数减去其它各组的人数即可求解;
(3)根据中位数的定义就是大小处于中间位置的数,据此即可求解.
解答:
解:(1)调查的总人数是好:90÷10%=900(人),
锻炼时间是1小时的人数是:900×40%=460(人).
;
(2)这次调查参加体育锻炼时间为1.5小时的人数是:900﹣270﹣360﹣90=180(人);
(3)锻炼的中位数是:1小时.
点评:
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力;利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题.
21.(10分)(2015•铜仁市)已知,如图,点D在等边三角形ABC的边AB上,点F在边AC上,连接DF并延长交BC的延长线于点E,EF=FD.
求证:AD=CE.
考点:
全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质..
专题:
证明题.
分析:
作DG∥BC交AC于G,先证明△DFG≌△EFC,得出GD=CE,再证明△ADG是等边三角形,得出AD=GD,即可得出结论.
解答:
证明:作DG∥BC交AC于G,如图所示:
则∠DGF=∠ECF,
在△DFG和△EFC中,,
∴△DFG≌△EFC(AAS),
∴GD=CE,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠ACB=60°,
∵DG∥BC,
∴∠ADG=∠B,∠AGD=∠ACB,
∴∠A=∠ADG=∠AGD,
∴△ADG是等边三角形,
∴AD=GD,
∴AD=CE.
点评:
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质;熟练掌握等边三角形的判定与性质,并能进行推理论证是解决问题的关键.
22.(2015•铜仁市)如图,一艘轮船航行到B处时,测得小岛A在船的北偏东60°的方向,轮船从B处继 续向正东方向航行200海里到达C处时,测得小岛A在船的北偏东30°的方向.己知在小岛周围170海里内有暗礁,若轮船不改变航向继续向前行驶,试问轮船有无触礁的危险?(≈1.732)
考点:
解直角三角形的应用-方向角问题..
分析:
如图,直角△ACD和直角△ABD有公共边AD,在两个直角三角形中,利用三角函数即可用AD表示出CD与BD,根据CB=BD﹣CD即可列方程,从而求得AD的长,与170海里比较,确定轮船继续向前行驶,有无触礁危险.
解答:
解:该轮船不改变航向继续前行,没有触礁危险
理由如下:如图所示.
则有∠ABD=30°,∠ACD=60°.
∴∠CAB=∠ABD,
∴BC=AC=200海里.
在Rt△ACD中,设CD=x海里,
则AC=2x,AD===x,
在Rt△ABD中,AB=2AD=2x,
BD===3x,
又∵BD=BC+CD,
∴3x=200+x,
∴x=100.
∴AD=x=100≈173.2,
∵173.2海里>170海里,
∴轮船不改变航向继续向前行使,轮船无触礁的危险.
点评:
本题主要考查了三角形的计算,一般的三角形可以通过作高线转化为解直角三角形的计算,计算时首先计算直角三角形的公共边是常用的思路.
四、解答题(共1小题,满分12分)
23.(12分)(2015•铜仁市)2015年5月,某县突降暴雨,造成山体滑坡,挢梁垮塌,房屋大面积受损,该省民政厅急需将一批帐篷送往灾区.现有甲、乙两种货车,己知甲种货车比乙种货车每辆车多装20件帐篷,且甲种货车装运1000件帐篷所用车辆与乙种货车装运800件帐蓬所用车辆相等.
(1)求甲、乙两种货车每辆车可装多少件帐蓬?
(2)如果这批帐篷有1490件,用甲、乙两种汽车共16辆来装运,甲种车辆刚好装满,乙种车辆最后一辆只装了50件,其它装满,求甲、乙两种汽车各有多少辆?
考点:
分式方程的应用;二元一次方程组的应用..
分析:
(1)可设甲种货车每辆车可装x件帐蓬,乙种货车每辆车可装y件帐蓬,根据等量关系:①甲种货车比乙种货车每辆车多装20件帐篷;②甲种货车装运1000件帐篷所用车辆与乙种货车装运800件帐蓬所用车辆相等;列出方程组求解即可;
(2)可设甲种汽车有z辆,乙种汽车有(16﹣z)辆,根据等量关系:这批帐篷有1490件,列出方程求解即可.
解答:
解:(1)设甲种货车每辆车可装x件帐蓬,乙种货车每辆车可装y件帐蓬,依题意有
,
解得,
经检验,是原方程组的解.
故甲种货车每辆车可装100件帐蓬,乙种货车每辆车可装80件帐蓬;
(2)设甲种汽车有z辆,乙种汽车有(16﹣z)辆,依题意有
100z+80(16﹣z﹣1)+50=1490,
解得z=6,
16﹣z=16﹣6=10.
故甲种汽车有6辆,乙种汽车有10辆.
点评:
考查了分式方程的应用和二元一次方程组的应用,利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系,准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键.
五、解答题(共1小题,满分12分)
24.(12分)(2015•铜仁市)如图,已知三角形ABC的边AB是⊙0的切线,切点为B.AC经过圆心0并与圆相交于点D、C,过C作直线CE丄AB,交AB的延长线于点E.
(1)求证:CB平分∠ACE;
(2)若BE=3,CE=4,求⊙O的半径.
考点:
切线的性质..
分析:
(1)证明:如图1,连接OB,由AB是⊙0的切线,得到OB⊥AB,由于CE丄AB,的OB∥CE,于是得到∠1=∠3,根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2,通过等量代换得到结果.
(2)如图2,连接BD通过△DBC∽△CBE,得到比例式,列方程可得结果.
解答:
(1)证明:如图1,连接OB,
∵AB是⊙0的切线,
∴OB⊥AB,
∵CE丄AB,
∴OB∥CE,
∴∠1=∠3,
∵OB=OC,
∴∠1=∠2,
∴∠2=∠3,
∴CB平分∠ACE;
(2)如图2,连接BD,
∵CE丄AB,
∴∠E=90°,
∴BC===5,
∵CD是⊙O的直径,
∴∠DBC=90°,
∴∠E=∠DBC,
∴△DBC∽△CBE,
∴,
∴BC2=CD•CE,
∴CD==,
∴OC==,
∴⊙O的半径=.
点评:
本题考查了切线的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,圆周角定理,平行线的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.
六、解答题
25.(14分)(2015•铜仁市)如图,关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0)和点B与y轴交于点C(0,3),抛物线的对称轴与x轴交于点D.
(1)求二次函数的表达式;
(2)在y轴上是否存在一点P,使△PBC为等腰三角形?若存在.请求出点P的坐标);
(3)有一个点M从点A出发,以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动,另一个点N从 点D与点M同时出发,以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动,当点M到达点B时,点M、N同时停止运动,问点M、N运动到何处时,△MNB面积最大,试求出最大面积.
考点:
二次函数综合题..
分析:
(1)代入A(1,0)和C(0,3),解方程组即可;
(2)求出点B的坐标,再根据勾股定理得到BC,当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论:①CP=CB;②BP=BC;③PB=PC;
(3)设AM=t则DN=2t,由AB=2,得BM=2﹣t,S△MNB=×(2﹣t)×2t=﹣t2+2t,运用二次函数的顶点坐标解决问题;此时点M在D点,点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处.
解答:
解:(1)把A(1,0)和C(0,3)代入y=x2+bx+c,
解得:b=﹣4,c=3,
∴二次函数的表达式为:y=x2﹣4x+3;
(2)令y=0,则x2﹣4x+3=0,
解得:x=1或x=3,
∴B(3,0),
∴BC=3,
点P在y轴上,当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论:如图1,
①当CP=CB时,PC=3,∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3
∴P1(0,3+3),P2(0,3﹣3);
②当PB=PC时,OP=OB=3,
∴P3(﹣3,0);
③当BP=BC时,
∵OC=OB=3
∴此时P与O重合,
∴P4(0,0);
综上所述,点P的坐标为:(0,3+3)或(0,3﹣3)或(﹣3,0)或(0,0);
(3)如图2,设AM=t,由AB=2,得BM=2﹣t,则DN=2t,
∴S△MNB=×(2﹣t)×2t=﹣t2+2t=﹣(t﹣1)2+1,
当点M出发1秒到达D点时,△MNB面积最大,试求出最大面积是1.此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处.
点评:
本题是二次函数的综合题型,其中涉及到运用待定系数法求二次函数,等腰三角形的性质,轴对称的性质等知识,运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键.