中考数学第一轮总复习八四边形教案人教新课标版 5页

八、四边形(4课时)‎ 教学目标：‎ 1． 立足教材，打好基础，查漏补缺，系统复习，熟练掌握本部分的基本知识、基本方法和基本技能.‎ 2． 让学生自己总结交流所学内容，发展学生的语言表达能力和合作交流能力．‎ 3． 通过学生自己归纳总结本部分内容，使他们在动手操作方面，探索研究方面，语言表达方面，分类讨论、归纳等方面都有所发展． ‎ 教学重点与难点 重点：将本部分的知识有机结合，强化训练学生综合运用数学知识的能力，．‎ 难点：把数学知识转化为自身素质. 增强用数学的意识．‎ 教学时间：4课时 ‎【课时分布】‎ 四边形部分在第一轮复习时大约需要4个课时，其中包括单元测试．下表为内容及课时安排:‎ 课时数 内　　　容 ‎1‎ 平行四边形 ‎2‎ 特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形）‎ ‎1‎ 梯形 四边形单元测试与评析 教学过程：‎ ‎【知识回顾】‎ ‎1、知识脉络 菱　形 梯　形 等腰梯形 直角梯形 四边形 矩　形 正方形 平行四边形 ‎2、基础知识 ‎（1）平行四边形是中心对称图形，具有两组对边分别平行且相等、对角相等及邻角互补、两条对角线互相平分等特征．‎ ‎（2）平行四边形的识别方法有：‎ ‎①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；‎ ‎②两组对边分别平行的四边形是平行四边形；‎ ‎③对角线互相平分的四边形是平行四边形；‎ ‎④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；‎ ‎⑤两组对边分别相等的四边形是平行四边形．‎ ‎（3）矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们除了具有平行四边形的所有特征外，还具有以下性质：‎ 矩形：四个角都是直角、对角线互相平分且相等．‎ 菱形：四条边都相等、对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角．‎ 正方形：四条边都相等、四个角都是直角、对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角（具有矩形、菱形的所有特征）．‎ ‎（4）矩形、菱形、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形；矩形、菱形都有两条对称轴，而正方形有四条对称轴，它们的对称中心都是对角线的交点．‎ ‎（5）矩形、菱形、正方形的识别方法有：‎ ‎①有三个角是直角的四边形是矩形；‎ ‎②有一个角是直角的平行四边形是矩形；‎ ‎③两条对角线相等的平行四边形是矩形；‎ ‎④有四条边相等的四边形是菱形；‎ ‎⑤有一组邻边相等的平行四边形是菱形；‎ ‎⑥两条对角线垂直的平行四边形是菱形；‎ ‎⑦有一组邻边相等的矩形是正方形；‎ ‎⑧有一个角是直角的菱形是正方形．‎ ‎（6）有且只有一组对边平行的四边形叫做梯形，这组平行的边叫做梯形的上底与下底，不平行的两边叫做梯形的腰，两腰相等的梯形叫做等腰梯形，有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．‎ ‎（7）等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是过两底中点的直线，它有以下特征：‎ ‎①等腰梯形同一底上的两个内角相等；‎ ‎②等腰梯形的两条对角线相等．‎ ‎（8）等腰梯形的识别方法有：‎ ‎　　①同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；‎ ‎②两条对角线相等的梯形是等腰梯形．‎ ‎3、能力要求 例1　下列哪一个角度可能成为某个多边形的内角和（　　）‎ ‎　　　A．260°　　B．1980°　　C．600°　　D．2180°‎ ‎【分析】（1）多边形问题一般可转化为三角形问题来解决，从n边形的一个顶点出发可以连结（n－3）条对角线，可将n边形分割成（n－2）个三角形，内角和为，因此，n边形的内角和必为180°的整数倍．‎ ‎（2）求正多边形的内角和，可先求其每个外角的度数，因为多边形的外角和是一个常量，即360°．正n边形的每个外角为，其每个内角即为．‎ ‎【解】1980°是180°的整数倍，故选B．‎ ‎【说明】本题要求学生熟记多边形的内角和与外角和公式，也可以利用公式求出多边形的边数，教师在复习时要引导学生掌握用分割法确定多边形的对角线条数、三角形的个数等变化规律．‎ 例2　如图（8-1）ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M．‎ ‎（1）试说明：AE⊥BF；‎ ‎（2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以说明．‎ ‎【分析】要证AE⊥BF，可探求△ABM中∠BAE与∠ABF 和的度数，通过正确识图分析，把已知条件巧妙转化．判断线段DF与CE的大小关系时，先探求DE与CF的大小关系，可在△ADE、△BCF中寻求相等的数量关系，再依据ABCD对边相等的性质过渡求证．‎ ‎【解】（1）方法一：如图（8-2），‎ ‎∵在ABCD中，AD∥BC，　 ∴∠DAB＋∠ABC＝180°，‎ ‎∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，　 ∴∠DAB＝2∠BAE，∠ABC＝2∠ABF．‎ ‎∴2∠BAE＋2∠ABF＝180°，即∠BAE＋∠ABF＝90°．‎ ‎∴∠ABM＝90°． ∴AE⊥BF．‎ 方法二：如图（8-3），延长BC、AE相交于点P，‎ ‎∵在ABCD中，AD∥BC，　∴∠DAP＝∠APB．‎ ‎∵AE平分∠DAB， ∴∠DAP＝∠PAB．‎ ‎∴∠APB＝∠PAB． ∴AB＝BP．.‎ ‎∵BF平分∠ABC，　∴AP⊥BF，即AE⊥BF．‎ ‎（2）线段DF与CE是相等关系，即DF＝CE，‎ ‎∵在ABCD中，CD∥AB，∴∠DEA＝∠EAB．‎ 又AE平分∠DAB， ∴∠DAE＝∠EAB．　∴∠DEA＝∠DAE．‎ ‎∴DE＝AD．同理可得　∴CF＝BC．　‎ 又∴在ABCD中，AD＝BC，∴DE＝CF．‎ ‎∴DE－EF＝CF－EF，即DF＝CE．‎ ‎【说明】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、垂直的定义、等腰三角形的性质等知识的综合应用，同时本题的第（2）问也是一道开放性试题．‎ 例3　已知如图（8-4），在△ABC中，AB＝AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC．‎ ‎（1）猜想AE与BF有何关系？说明理由；‎ ‎（2）若△ABC面积为3cm2，求四边形ABFE的面积；‎ ‎（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？说明理由．‎ ‎【分析】根据图形旋转的性质可证△ACE≌△FCB，其实旋转变换后，△ABC与△FEC关于点C成中心对称；欲判断为矩形，可考虑证明对角线AF＝BE，再探求∠ACB的度数．‎ ‎【解】（1）旋转可知，AC＝CF，BC＝CE，∠ACE＝∠BCF，‎ ‎∴△ACE≌△FCB，　∴AE＝BF，∠EAF＝∠BFA．‎ ‎∴AE∥BF．　即AE与BF的关系为平行且相等．‎ ‎（2）由（1）知：．又∵BC＝CE，∴．‎ 同理，．∴．‎ ‎（3）当∠ACB＝60°时，四边形ABFE为矩形．‎ 理由：∵BC＝CE，AC＝CF，∴四边形ABFE为平行四边形．当∠ACB＝60°时，△ABC为等边三角形．∴BC＝AC，∴AF＝BE，∴四边形ABFE为矩形．‎ ‎【说明】《新课标》在四边形内容中加强了与对称、平移、旋转几何变换的联系．本题以两图形成对中心对称的特性为背景设计，结合三角形全等、特殊四边形的性质与判断进行考查．教师在复习时要加强几何变换中识图能力的训练．‎ 例4　将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图（8-5）所示的四边形ABCD．‎ ‎（1）求证：四边形ABCD是菱形；‎ ‎（2）如果两张纸片的长都是8，宽都是2．那么菱形ABCD的周长是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由．‎ ‎【分析】第（1）题寻求AD、AB的数量关系，依据有一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判别；第（2）题，动手实验操作寻求两矩形纸片的特殊位置关系．①互相垂直；②对角线重合时，探求菱形ABCD周长的最大值、最小值．‎ ‎【解】（1）如图（8-6），∵AD∥BC，∴AB∥DC，‎ ‎∴四边形ABCD为平行四边形．‎ 分别过点B、D作BF⊥AD，DE⊥AB，垂足为点F、E，则DE＝BF．‎ ‎∵∠DAE＝∠BAF，∴Rt△DAE≌Rt△BAF，∴AD＝AB．‎ ‎∴四边形ABCD是菱形．‎ ‎（2）存在最大值和最小值．‎ ‎①当∠DAB＝90°时，菱形ABCD为正方形，周长最小值为8；‎ ‎②当AC为矩形纸片的对角线时，设AB＝x，如图（8-7），‎ 在Rt△BCG中，，．‎ ‎∴周长最大值为17．‎ ‎【说明】本题涉及了菱形的判断、矩形的性质、三角形的全等、勾股定理及函数的综合应用，考查了学生灵活运用四边形知识识别图形、动手操作探究的能力．‎ 例5　如图（8-8），已知梯形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC于点E，DE＝a，∠DBC＝45°，∠ACB＝30°．求梯形ABCD的面积．‎ ‎【分析】梯形问题一般通过添加辅助线转化为平行四边形和特殊的三角形问题解决．‎ ‎【解】方法一：过D作DF∥AC，交BC的延长线于点F．‎ 易知：，即．‎ ‎∵∠DBC＝45°，∴∠DBE＝45°，∴BE＝DE＝a．又DE＝EF·tan∠F，∴．‎ ‎∴． ‎ 方法二：如图（8-9），过点A作AH⊥BC于H，‎ 则AH＝DE＝a，，‎ ‎∵∠DBC＝45°，∴∠DBE＝45°，∴BE＝DE＝a．‎ ‎．‎ ‎【说明】方法一：平移腰是研究梯形问题常用方法；方法二：通过作梯形高转化已知条件求解；上述两种解法同样运用了梯形中常见的辅助线的添加方法，渗透了转化的思想．‎ 例6　已知在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD，AB＝10，BC＝3．‎ ‎（1）如果M为AB上一点，如图（8-10），且满足∠DMC＝∠A，求AM的长．‎ ‎（2）如果点M在AB边上移动（点M与A，B不重合），且满足∠DMN＝∠A，MN交BC延长线于点N，如图（8-11），设AM＝x，CN＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围（写x的取值范围时，不写推理过程）．‎ ‎【分析】点M在AB边上移动，运动变化中寻求基本图形，探究出蕴含不变的关系：△ADM∽△BMC、△ADM∽△BMN，通过相似比的转化找出y与x的数量关系．解题应注意点M在AB上的两个特殊位置与自变量取值范围的联系．‎ ‎【解】（1）在等腰梯形ABCD中，∵AB∥CD，∴∠A＝∠B，‎ 又∵∠A＝∠DMC，∠1+∠A+∠2＝∠2+∠DMC+∠3＝180°，‎ ‎∴∠1＝∠3，∴△ADM∽△BMC．‎ 设AM＝x，则，∴．‎ ‎∴或，经检验都是原分式方程的根．∴AM的长为1或9．‎ ‎（2）同理可证△ADM∽△BMN．可得，‎ ‎∴（1＜x＜9）．‎ ‎【说明】这是一道集等腰梯形、方程、函数、相似形于一体的综合性试题，三角形相似的性质、方程的思想方法是解决该类问题的重要途经．‎