中考真题等腰三角形题型 26页

等腰三角形 一.选择题 ‎1,（2015威海,第9题4分）‎ ‎【答案】：B ‎【解析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC=∠ACB，再求出∠CBD，然后根据∠ABD=∠ABC﹣∠CBD计算即可得解．‎ ‎【备考指导】‎ 本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．‎ ‎2.．（2015·山东潍坊第11 题3分）如图，有一块边长为‎6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ cm2‎ B．‎ cm2‎ C．‎ cm2‎ D．‎ cm2‎ 考点： 二次函数的应用；展开图折叠成几何体；等边三角形的性质．.‎ 分析： 如图，由等边三角形的性质可以得出∠A=∠B=∠C=60°，由三个筝形全等就可以得出AD=BE=BF=CG=CH=AK，根据折叠后是一个三棱柱就可以得出DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO为矩形，且全等．连结AO证明△AOD≌△AOK就可以得出∠OAD=∠OAK=30°，设OD=x，则AO=2x，由勾股定理就可以求出AD=x ‎，由矩形的面积公式就可以表示纸盒的侧面积，由二次函数的性质就可以求出结论．‎ 解答： 解：∵△ABC为等边三角形，‎ ‎∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC．‎ ‎∵筝形ADOK≌筝形BEPF≌筝形AGQH，‎ ‎∴AD=BE=BF=CG=CH=AK．‎ ‎∵折叠后是一个三棱柱，‎ ‎∴DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO都为矩形．‎ ‎∴∠ADO=∠AKO=90°．‎ 连结AO，‎ 在Rt△AOD和Rt△AOK中，，‎ ‎∴Rt△AOD≌Rt△AOK（HL）．‎ ‎∴∠OAD=∠OAK=30°．‎ 设OD=x，则AO=2x，由勾股定理就可以求出AD=x，‎ ‎∴DE=6﹣2x，‎ ‎∴纸盒侧面积=3x（6﹣2x）=﹣6x2+18x，‎ ‎=﹣6（x﹣）2+，‎ ‎∴当x=时，纸盒侧面积最大为．‎ 故选C．‎ 点评： 本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，矩形的面积公式的运用，二次函数的性质的运用，解答时表示出纸盒的侧面积是关键．‎ ‎3．(2015•江苏苏州,第7题3分)如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为 A．35° B．45° C．55° D．60°‎ ‎（第7题）‎ ‎【难度】★‎ ‎【考点分析】考察等腰三角形三线合一，往年选择填空也常考察三角形基础题目，难度很 小。‎ ‎【解析】QAB=AC，D为BC中点 ‎∴AD 平分∠BAC，AD⊥BC ‎∴∠DAC=∠BAD=35°，∠ADC=90°∴∠C=∠ADC -∠DAC=55° 故选C 此题方法不唯一 ‎4．(2015•江苏无锡,第10题2分)如图，Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点： 翻折变换（折叠问题）．‎ 分析： 首先根据折叠可得CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，然后求得△ECF是等腰直角三角形，进而求得∠B′FD=90°，CE=EF=，ED=AE，从而求得B′D=1，DF=，在Rt△B′DF，由勾股定理即可求得B′F的长．‎ 解答： 解：根据折叠的性质可知CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，‎ ‎∴B′D=4﹣3=1，∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF，‎ ‎∵∠ACB=90°，‎ ‎∴∠ECF=45°，‎ ‎∴△ECF是等腰直角三角形，‎ ‎∴EF=CE，∠EFC=45°，‎ ‎∴∠BFC=∠B′FC=135°，‎ ‎∴∠B′FD=90°，‎ ‎∵S△ABC=AC•BC=AB•CE，‎ ‎∴AC•BC=AB•CE，‎ ‎∵根据勾股定理求得AB=5，‎ ‎∴CE=，‎ ‎∴EF=，ED=AE==，‎ ‎∴DF=EF﹣ED=，‎ ‎∴B′F==．‎ 故选B．‎ 点评： 此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的相等相等的角是本题的关键．‎ ‎5. （2015•浙江衢州,第9题3分）如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60长的绑绳，，则“人字梯”的顶端离地面的高度是【 】‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B．‎ ‎【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；圆周角定理．‎ ‎【分析】∵“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6‎ 份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60长的绑绳，‎ ‎∴.‎ ‎∵，∴.∴.‎ ‎∴，解得.‎ ‎∵，即.‎ 故选B．‎ ‎6. （2015•四川泸州,第11题3分）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=24，tanC=2，如果将△ABC沿直线翻折后，点B落在边AC的中点E处，直线与边BC交于点D，那么BD的长为 ‎ A.13 B. C. 　D.12 ‎ 考点：翻折变换（折叠问题）．.‎ 专题：计算题．‎ 分析：利用三线合一得到G为BC的中点，求出GC的长，过点A作AG⊥BC于点G，在直角三角形AGC中，利用锐角三角函数定义求出AG的长，再由E为AC中点，求出EC的长，进而求出FC的长，利用勾股定理求出EF的长，在直角三角形DEF中，利用勾股定理求出x的值，即可确定出BD的长．‎ 解答：解：过点A作AG⊥BC于点G，‎ ‎∵AB=AC，BC=24，tanC=2，‎ ‎∴=2，GC=BG=12，‎ ‎∴AG=24，‎ ‎∵将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，‎ 过E点作EF⊥BC于点F，‎ ‎∴EF=AG=12，‎ ‎∴=2，‎ ‎∴FC=6，‎ 设BD=x，则DE=x，‎ ‎∴DF=24﹣x﹣6=18﹣x，‎ ‎∴x2=（18﹣x）2+122，‎ 解得：x=13，‎ 则BD=13．‎ 故选A．‎ 点评：此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和锐角三角函数关系，根据已知表示出DE的长是解题关键．‎ ‎7. （2015•四川泸州,第12题3分）在平面直角坐标系中，点A，B，动点C在轴上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为 ‎ A.2 B‎.3 C.4 　D.5 ‎ 考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质．.‎ 分析：首先根据线段的中垂线上的点到线段两端点的距离相等，求出AB的中垂线与x轴的交点，即可求出点C1的坐标；然后再求出AB的长，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴的交点为点C2、C3；最后判断出以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴没有交点，据此判断出点C的个数为多少即可．‎ 解答：解：如图，，‎ ‎∵AB所在的直线是y=x，‎ ‎∴设AB的中垂线所在的直线是y=﹣x+b，‎ ‎∵点A（，），B（3，3），‎ ‎∴AB的中点坐标是（2，2），‎ 把x=2，y=2代入y=﹣x+b，‎ 解得b=4，‎ ‎∴AB的中垂线所在的直线是y=﹣x+4，‎ ‎∴；‎ 以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴的交点为点C2、C3；‎ AB==4，‎ ‎∵3＞4，‎ ‎∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴没有交点 综上，可得 若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为3．‎ 故选：B．‎ 点评：（1）此题主要考查了等腰三角形的性质和应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．‎ ‎（2）此题还考查了坐标与图形性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．‎ ‎8．(2015·南宁，第7题3分)如图4，在△ABC中，AB=AD=DC，B=70°，则C的度数为（ ）.‎ ‎（A）35° （B）40° 　 （C）45° （D）50°‎ 图4‎ 考点：等腰三角形的性质．.‎ 分析：先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．‎ 解答：解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=70°，‎ ‎∴∠B=∠ADB=70°，‎ ‎∴∠ADC=180°﹣∠ADB=110°，‎ ‎∵AD=CD，‎ ‎∴∠C=（180°﹣∠ADC）÷2=（180°﹣110°）÷2=35°，‎ 故选：A．‎ 点评：本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．[来1.（2015•江苏泰州,第6题3分）如图，△中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交 AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是 A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 ‎ ‎ ‎【答案】D．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据已知条件“AB=AC，D为BC中点”，得出△ABD≌△ACD，然后再由AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，推出△AOE≌△EOC，从而根据“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到难，不重不漏．‎ 试题解析：∵AB=AC，D为BC中点， ∴CD=BD，∠BDO=∠CDO=90°， 在△ABD和△ACD中， ‎ ‎，∴△ABD≌△ACD； ‎ ‎ ‎ 考点：1.全等三角形的性质；2.线段垂直平分线的性质；3.等腰三角形的性质.‎ ‎9. （2015•四川广安，第8题3分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　）‎ ‎　 A． 12 B． 9 C． 13 D． 12或9‎ 考点： 解一元二次方程－因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．.‎ 分析： 求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可．‎ 解答： 解：x2﹣7x+10=0，‎ ‎（x﹣2）（x﹣5）=0，‎ x﹣2=0，x﹣5=0，‎ x1=2，x2=5，‎ ‎①等腰三角形的三边是2，2，5‎ ‎∵2+2＜5，‎ ‎∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；‎ ‎②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5=12；‎ 即等腰三角形的周长是12．‎ 故选：A．‎ 点评： 本题考查了等腰三角形性质、解一元二次方程、三角形三边关系定理的应用等知识，关键是求出三角形的三边长．‎ ‎10 . （2015•四川省内江市，第8题，3分）如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（　　）‎ ‎　 A． 40° B． 45° C． 60° D． 70°‎ 考点： 等腰三角形的性质；平行线的性质．.‎ 分析： 根据平行线的性质可得∠CBD的度数，根据角平分线的性质可得∠CBA的度数，根据等腰三角形的性质可得∠C的度数，根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数．‎ 解答： 解：∵AE∥BD，‎ ‎∴∠CBD=∠E=35°，‎ ‎∵BD平分∠ABC，‎ ‎∴∠CBA=70°，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴∠C=∠CBA=70°，‎ ‎∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°．‎ 故选：A．‎ 点评： 考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理．关键是得到∠C=∠CBA=70°．‎ 二.填空题 ．(2015•江苏苏州,第17题3分)如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A、D关于点F对称，过点F作FG∥CD，交AC边于点G，连接GE．若AC=18，BC=12，则△CEG 的周长为 ▲ ．‎ ‎（第17题）‎ ‎【难度】★★★‎ ‎【考点分析】考查三角形中边长计算，主要涉及垂直平分线、中位线，以往中考三角形题 目涉及全等或相似的题型比较常见，所以此题涉及的考点比较新颖。‎ ‎【解析】由题意可直接得到：CE=CB=12， 因为点F 是AD 中点、FG∥CD，所以FG 是△ADC的中位线，，因为点E是AB 的中点，所以EG 是△ABC 的中位线，‎ 所以，所以△CEG 的周长为：CE＋GE＋CG=12＋6＋9=27.‎ ‎【提示】此题关键在于发现中点及中位线。‎ ‎2.（2015湖北荆州第13题3分）如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是‎40cm，‎24cm，则AB=　‎16　cm．‎ 考点： 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．‎ 分析： 首先根据DE是AB的垂直平分线，可得AE=BE；然后根据△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，可得△ABC的周长﹣△EBC的周长=AB，据此求出AB的长度是多少即可．‎ 解答： 解：∵DE是AB的垂直平分线，‎ ‎∴AE=BE；‎ ‎∵△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，‎ ‎∴△ABC的周长﹣△EBC的周长=AB，‎ ‎∴AB=40﹣24=16（cm）．‎ 故答案为：16．‎ 点评： （1）此题主要考查了垂直平分线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．‎ ‎（2）此题还考查了等腰三角形的性质，以及三角形的周长的求法，要熟练掌握．‎ ‎3.（2015•福建泉州第11题4分）如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD=　30°　°．‎ 解：∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠BAC=60°，‎ ‎∵AB=AC，AD⊥BC，‎ ‎∴∠BAD=∠BAC=30°，‎ 故答案为：30°．‎ ‎　‎ ‎4. （2015•浙江省绍兴市，第13题，5分）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作。小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可。如图1，衣架杆OA=OB=‎18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是 ▲ cm 考点：等边三角形的判定与性质．.‎ 专题：应用题．‎ 分析：根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行解答即可．‎ 解答：解：∵OA=OB，∠AOB=60°，‎ ‎∴△AOB是等边三角形，‎ ‎∴AB=OA=OB=‎18cm，‎ 故答案为：18‎ 点评：此题考查等边三角形问题，关键是根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行分析．‎ ‎5. （2015•浙江嘉兴，第14题5分）如图，一张三角形纸片ABC，AB=AC=5.折叠该纸片使点A落在边BC的中点上，折痕经过AC上的点E，则线段AE的长为____▲____.‎ 考点：翻折变换（折叠问题）．.‎ 分析：如图，D为BC的中点，AD⊥BC，因为折叠该纸片使点A落在BC的中点D上，所以折痕EF垂直平分AD，根据平行线等分线段定理，易知E是AC的中点，故AE=2.5．‎ 解答：解：如图所示，‎ ‎∵D为BC的中点，AB=AC，‎ ‎∴AD⊥BC，‎ ‎∵折叠该纸片使点A落在BC的中点D上，‎ ‎∴折痕EF垂直平分AD，‎ ‎∴E是AC的中点，‎ ‎∵AC=5‎ ‎∴AE=2.5．‎ 故答案为：2.5．‎ 点评：本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质以及平行线等分线段定理，意识到折痕EF 垂直平分AD，是解决问题的关键．‎ ‎6. （2015•四川成都,第12题4分）如图，直线，为等腰直角三角形，，则________度.‎ ‎【答案】：‎ ‎【解析】：本题考查了三线八角，因为为等腰直角三角形，所以 ‎ ，又，‎ ‎7. （2015•四川眉山，第18题3分）如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是　①②　．（请写出正确结论的番号）．‎ 考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的判定；正方形的判定．.‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 由三角形ABE与三角形BCF都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，∠ABE=∠CBF=60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形EBF与三角形DFC全等，利用全等三角形对应边相等得到EF=AC，再由三角形ADC为等边三角形得到三边相等，等量代换得到EF=AD，AE=DF，利用对边相等的四边形为平行四边形得到AEFD为平行四边形，若AB=AC，∠BAC=120°，只能得到AEFD为菱形，不能为正方形，即可得到正确的选项．‎ 解答： 解：∵△ABE、△BCF为等边三角形，‎ ‎∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°，‎ ‎∴∠ABE﹣∠ABF=∠FBC﹣∠ABF，即∠CBA=∠FBE，‎ 在△ABC和△EBF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABC≌△EBF（SAS），选项①正确；‎ ‎∴EF=AC，‎ 又∵△ADC为等边三角形，‎ ‎∴CD=AD=AC，‎ ‎∴EF=AD，‎ 同理可得AE=DF，‎ ‎∴四边形AEFD是平行四边形，选项②正确；‎ 若AB=AC，∠BAC=120°，则有AE=AD，∠EAD=120°，此时AEFD为菱形，选项③错误，‎ 故答案为：①②．‎ 点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定，以及正方形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．‎ ‎8. （2015•四川乐山,第14题3分）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE=40°，则∠DBC= _____________°．‎ ‎【答案】15．‎ 考点：1．线段垂直平分线的性质；2．等腰三角形的性质．‎ ‎9. （2015·四川甘孜、阿坝，第13题4分）边长为2的正三角形的面积是　　．‎ 考点：‎ 等边三角形的性质．.‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 求出等边三角形一边上的高，即可确定出三角形面积．‎ 解答：‎ 解：过A作AD⊥BC，‎ ‎∵AB=AB=BC=2，‎ ‎∴BD=CD=BC=1，‎ 在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AD==，‎ 则S△ABC=BC•AD=，‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 此题考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎10.（2015•江苏徐州,第16题3分）如图，在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A=　87　°．‎ 考点： 线段垂直平分线的性质．.‎ 分析： 根据DE垂直平分BC，求证∠DBE=∠C，再利用角平分线的性质和三角形内角和定理，即可求得∠A的度数．‎ 解答： 解：∵在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，‎ ‎∴∠DBE=∠ABC=（180°﹣31°﹣∠A）=（149°﹣∠A），‎ ‎∵DE垂直平分BC，‎ ‎∴BD=DC，‎ ‎∴∠DBE=∠C，‎ ‎∴∠DBE=∠ABC=（149°﹣∠A）=∠C=31°，‎ ‎∴∠A=87°．‎ 故答案为：87．‎ 点评： 此题本题考查的知识点为线段垂直平分线的性质，关键是根据角平分线的性质，三角形内角和定理等知识点进行分析．‎ ‎　‎ ‎11．（（2015•山东日照 ，第14题3分））边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC的面积为　　．‎ 考点： 正方形的性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．.‎ 分析： 过点C作CD和CE垂直正方形的两个边长，再利用正方形和等边三角形的性质得出CE的长，进而得出△ABC的面积即可．‎ 解答： 解：过点C作CD和CE垂直正方形的两个边长，如图，‎ ‎∵一个正方形和一个等边三角形的摆放，‎ ‎∴四边形DBEC是矩形，‎ ‎∴CE=DB=，‎ ‎∴△ABC的面积=AB•CE=×1×=，‎ 故答案为：．‎ 点评： 此题考查正方形的性质，关键是根据正方形和等边三角形的性质得出BE和CE的长．‎ ‎12．（2015·山东潍坊第17 题3分）如图，正△ABC的边长为2，以BC边上的高AB1‎ 为边作正△AB‎1C1，△ABC与△AB‎1C1公共部分的面积记为S1；再以正△AB‎1C1边B‎1C1上的高AB2为边作正△AB‎2C2，△AB‎1C1与△AB‎2C2公共部分的面积记为S2；…，以此类推，则Sn=　（）n　．（用含n的式子表示）‎ 考点： 等边三角形的性质．.‎ 专题： 规律型．‎ 分析： 由AB1为边长为2的等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B1为BC的中点，求出BB1的长，利用勾股定理求出AB1的长，进而求出S1，同理求出S2，依此类推，得到Sn．‎ 解答： 解：∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC，‎ ‎∴BB1=1，AB=2，‎ 根据勾股定理得：AB1=，‎ ‎∴S1=××（）2=（）1；‎ ‎∵等边三角形AB‎1C1的边长为，AB2⊥B‎1C1，‎ ‎∴B1B2=，AB1=，‎ 根据勾股定理得：AB2=，‎ ‎∴S2=××（）2=（）2；‎ 依此类推，Sn=（）n．‎ 故答案为：（）n．‎ 点评： 此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．‎ 三.解答题 ‎　‎ ‎1.（2015湖南邵阳第21题8分）如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF．‎ ‎（1）求证：DE=CF；‎ ‎（2）求EF的长．‎ 考点： 三角形中位线定理；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质．.‎ 分析： （1）直接利用三角形中位线定理得出DEBC，进而得出DE=FC；‎ ‎（2）利用平行四边形的判定与性质得出DC=EF，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出EF的长．‎ 解答： （1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，‎ ‎∴DEBC，‎ ‎∵延长BC至点F，使CF=BC，‎ ‎∴DEFC，‎ 即DE=CF；‎ ‎（2）解：∵DEFC，‎ ‎∴四边形DEFC是平行四边形，‎ ‎∴DC=EF，‎ ‎∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，‎ ‎∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，‎ ‎∴DC=EF=．‎ 点评： 此题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质和三角形中位线定理等知识，得出DEBC是解题关键．‎ ‎2. （2015山东菏泽，20，8分）如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．‎ ‎（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；‎ ‎（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）△CDF是等腰三角形；（2）∠APD=45°．‎ 考点：全等三角形的判定与性质．‎ ‎3. （2015山东济宁，21，9分）(本题满分9分)‎ 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.即.利用上述结论可以求解如下题目.如：‎ 在中，若，，，求.‎ 解：在中，‎ 问题解决：‎ 如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，且乙船从处按北偏东方向匀速直线航行，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里.‎ （1） 判断的形状，并给出证明.‎ （1） 乙船每小时航行多少海里？‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）是等边三角形.（2）海里 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据图形和已知可得，，及 ，可证得是等边三角形；‎ ‎（2）由图可求，然后可求 ， ，由，再根据正弦定理可求解 ，然后根据乙船行驶的时间求出速度即可.‎ 试题解析：解：（1）是等边三角形.‎ 证明：如图，由已知，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又，‎ 是等边三角形. ‎ ‎ ‎ ‎（2）是等边三角形，‎ ‎，‎ 由已知，‎ ‎.‎ ‎，‎ 在中，由正弦定理得：‎ 因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）．‎ 答：乙船每小时航行海里．‎ 考点：等边三角形，正弦定理 ‎4. （2015•浙江丽水，第19题6分）如图，已知△ABC，∠C=Rt∠，ACAC)，∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E ‎（1）若，AE=2，求EC的长 ‎（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P，问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由 ‎【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，DE⊥AC，∴DE∥BC.‎ ‎∴.‎ ‎∵，AE=2，∴，解得.‎ ‎（2）①若，此时线段CP1为△CFG1的斜边FG1上的中线.证明如下：‎ ‎∵，∴.‎ 又∵，∴.‎ ‎∴. ∴.‎ 又∵，∴. ∴.‎ ‎∴线段CP1为△CFG1的斜边FG1上的中线.‎ ②若，此时线段CP2为△CFG2的斜边FG2上的高线.证明如下：‎ ‎∵，‎ 又∵DE⊥AC，∴. ∴.‎ ‎∴. ∴CP2⊥FG2.‎ ‎∴线段CP2为△CFG2的斜边FG2上的高线.‎ ③当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线.‎ ‎【考点】平行线分线段成比例的性质；直角三角形两锐角的关系；等腰三角形的判定；分类思想的应用.‎ ‎【分析】（1）证明DE∥BC，根据平行线分线段成比例的性质列式求解即可.‎ ‎（2）分，和CD为∠ACB的平分线三种情况讨论即可.‎ ‎7．（2015•北京市,第20题，5分）如图，在中，，AD是BC边上的中线，于点E。求证：。‎ A B C D E ‎【考点】三角形 ‎【难度】容易 ‎【答案】‎ ‎【点评】本题考查三角形的基本概念。‎