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  • 2021-05-13 发布

中考数学压轴题解题策略五相似三角形的存在性问题

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中考数学压轴题解题策略 相似三角形的存在性问题解题策略 专题攻略 相似三角形的判定定理有3个,其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件,因此探求两个三角形相似的动态问题,一般情况下首先寻找一组对应角相等.‎ 判定定理2是最常用的解题依据,一般分三步:寻找一组等角,分两种情况列比例方程,解方程并检验,如例题1、2、3、4.‎ 应用判定定理1解题,先寻找一组等角,再分两种情况讨论另外两组对应角相等,如例题6.‎ 应用判定定理3解题不多见,如例题5,根据三边对应成比例列连比式解方程(组).‎ 例题解析 例❶ 如图1-1,抛物线与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧),与y轴交于点C.动直线EF(EF//x轴)从点C开始,以每秒1个单位的速度沿y轴负方向平移,且分别交y轴、线段BC于E、F两点,动点P同时从点B出发,在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O运动.是否存在t,使得△BPF与△ABC相似.若存在,试求出t的值;若不存在,请说明理由.‎ 图1-1‎ ‎【解析】△BPF与△ABC有公共角∠B,那么我们梳理两个三角形中夹∠B的两条边.‎ ‎△ABC是确定的.由,可得A(4, 0)、B(8, 0)、C(0, 4).‎ 于是得到BA=4,BC=.还可得到.‎ ‎△BPF中,BP=2t,那么BF的长用含t的式子表示出来,问题就解决了.‎ 在Rt△EFC中,CE=t,EF=2t,所以.‎ 因此.‎ 于是根据两边对应成比例,分两种情况列方程:‎ ‎①当时,.解得(如图1-2).‎ ‎②当时,.解得(如图1-3).‎ ‎ ‎ 图1-2 图1-3‎ 例❷ 如图2-1,在平面直角坐标系中,顶点为M的抛物线y=ax2+bx(a>0)经过点A和x轴正半轴上的点B,AO=BO=2,∠AOB=120°.‎ ‎(1)求这条抛物线的解析式;‎ ‎(2)连结OM,求∠AOM的大小;‎ ‎(3)如果点C在x轴上,且△ABC与△AOM相似,求点C的坐标.‎ ‎ 图2-1 ‎ ‎【解析】△ABC与△AOM中相等的一组角在哪里呢?‎ 本题由简到难,层层深入.第(1)题求出抛物线的解析式,得到顶点M的坐标,为第(2)题求∠AOM的大小作铺垫;求得了∠AOM的大小,第(3)题暗示了要在△ABC中寻找与∠AOM相等的角.‎ ‎(1)如图2-2,过点A作AH⊥y轴,垂足为H.容易得到A.‎ 再由A、B(2,0)两点,可求得抛物线的解析式为.‎ ‎(2)由,得顶点M .‎ 所以.所以∠BOM=30°.所以∠AOM=150°.‎ 图2-2‎ ‎(3)由A、B(2,0),可得∠ABO=30°.‎ 因此当点C在点B右侧时,∠ABC=∠AOM=150°.‎ 所以△ABC与△AOM相似,存在两种情况:‎ ‎①当时,.此时C(4,0)(如图2-3).‎ ‎②当时,.此时C(8,0)(如图2-4).‎ ‎ 图2-3 图2-4‎ 例❸ 如图3-1,抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A(1, 0)、B(3, 0)两点,与y轴交于点D,顶点为C.‎ ‎(1)求此抛物线的解析式;‎ ‎(2)在x轴下方的抛物线上是否存在点M,过M作MN⊥x轴于点N,使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 图3-1‎ ‎【解析】△AMN是直角三角形,因此必须先证明△BCD是直角三角形.一般情况下,根据直角边对应成比例分两种情况列方程.‎ ‎(1)抛物线的解析式为y=-x2+4x-3.‎ ‎(2)由y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,得D(0,-3),C(2, 1).‎ 如图3-2,由B(3, 0)、D(0,-3)、C(2, 1),可知∠CBO=45°,∠DBO=45°.‎ 所以∠CBD=90°,且.‎ 图3-2 图3-3 图3-4‎ 设点M、N的横坐标为x,那么NM=-yM,而NA的长要分N在A的右边或左边两种情况,因此列方程要“两次分类”:‎ 当N在A右侧时,NA=x-1,分两种情况列方程:‎ ‎①当时,.解得.此时M(如图3-3).‎ ‎②当时,.解得x=6.此时M(6,-15)(如图3-5).‎ 当N在A左侧时,NA=1-x,也要分两种情况列方程:‎ ‎①当时,.解得>1,不符合题意(如图3-4).‎ ‎②当时,.解得x=0,此时M(0,-3)(如图3-6).‎ 图3-5 图3-6‎ 例❹ 如图4-1,在平面直角坐标系中,A(8,0),B(0,6),点C在x轴上,BC平分∠OBA.点P在直线AB上,直线CP与y轴交于点F,如果△ACP与△BPF相似,求直线CP的解析式.‎ 图4-1‎ ‎【解析】首先求得点C(3,0).△ACP与△BPF中,相等的角在哪里啊?‎ ‎①如图4-2,当点P在线段AB上时,△ACP与△BPF中,∠APC与∠BPF是邻补角,如果这两个邻补角一个是锐角,一个是钝角,两个三角形怎么可能相似呢?因此CP与AB是垂直的.可以求得F(0,-4),于是直线CF(CP)为.‎ ‎②如图4-3,当点P在AB的延长线上时,△ACP与△BPF有公共角∠P.于是∠OFC=∠PFB=∠A,可以求得F(0, 4),因此直线CF(CP)为.‎ ‎③如图4-4,当点P在BA的延长线上时,∠B与∠PCA不可能相等.在△AOB 中,根据大边对大角,∠B>∠BAO;∠BAO又是△PCA的一个外角,∠BAO>∠PCA.‎ 图4-2 图4-3 图4-4‎ 例❺ 如图5-1,二次函数y=x2+3x的图象经过点A(1,a),线段AD平行于x轴,交抛物线于点D.在y轴上取一点C(0, 2),直线AC交抛物线于点B,连结OA、OB、OD、BD.求坐标平面内使△EOD∽△AOB的点E的坐标;‎ 图5-1‎ ‎【解法一】点A、D、B都是确定的,可以求得A(1, 4),D(-4, 4),B(-2,-2).‎ 所以,,,.‎ ‎△EOD∽△AOB,对应边已经确定,因此我们可以根据判定定理3列方程.‎ 由,得.所以,.‎ 设点E的坐标为(x, y),根据EO2=68,DE2=180,列方程组解得 ‎ 所以点E的坐标为(8,-2)或(-2, 8).‎ 上面的解题过程是“盲解”,我们并不明白两个三角形的位置关系.‎ ‎【解法二】如图5-2,△AOB是确定的,△AOB与△EOD有公共点O,OB∶OD=1∶2,∠BOD=90°.‎ 如果△EOD∽△AOB,我们可以把△AOB绕着点O顺时针旋转,使得点B′落在OD上,此时旋转角为90°,点B′恰好落在OD的中点.‎ 按照这个运动规则,点A(1, 4) 绕着点O顺时针旋转90°,得到点A′(4,-1),点A′是线段OE的中点,因此点E的坐标为(8,-2).‎ 如图5-3,点E(8,-2)关于直线OD(即直线y=-x)对称的点为E′(2,-8).‎ 图5-2 图5-3‎ 例❻ 如图6-1,在△ABC中,AB=AC=4,BC=8.⊙A的半径为2,动点P从点B出发沿BC方向以每秒1个单位的速度向点C运动.延长BA交⊙A于点D,连结AP交⊙A于点E,连结DE并延长交BC于点F.设点P运动的时间为t秒,当△ABP与△FBD相似时,求t的值.‎ 图6-1‎ ‎【解析】△ABC是等腰直角三角形,⊙A是确定的,先按照题意把图形补充完整.‎ 如图6-2,容易发现△ABP与△FBD有公共角∠B,如果根据对应边成比例列方程或,其中BA=4,BP=t,BD=4+2,但是用含t的式子表示BF困难重重啊!‎ 图6-2 图6-3 图6-4‎ 我们另起炉灶,按照判定定理1来解决.‎ ‎△ABP与△FBD有公共角∠B,我们以∠D为分类标准,分两种情况讨论它们相似:‎ 第一种情况,如图6-3,∠BAP=∠D是不可能的,这是因为∠BAP是等腰三角形ADE的外角,∠BAP=2∠D.‎ 第二种情况,如图6-4,当∠BPA=∠D时,在△ABP中,由于∠BAP=2∠D=2∠BPA,‎ 因此45°+3∠BPA=180°.解得∠BPA=45°.‎ 此时△ABP是等腰直角三角形,P与C重合,所以t=8.‎ 解答这道题目,如果选取点P的3‎ 个不同位置,按照题意画图,可以帮助我们探究.在讨论第二种情况∠BPA=∠D时,我们容易被已知图6-1给定的点P的位置所误导,以为图6-2中“锐角∠D”与“钝角∠BPA”不可能相等.‎ ‎ ‎