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- 2021-05-13 发布
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B
A
C
D
图8
1.如图8,△ABC中,BA=BC,∠B=120°,AB的垂直平分线交AC于D,求证:
M
N
P
Q
O
A
B
图10
2.如图10,MN切⊙O于P,AB是⊙O的弦,AM⊥MN于M,BN⊥MN于N,PQ⊥AB于Q.
求证:AM·BN.
3.如图11,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=4,对角线AC=5,BD=3,试求此梯形的面积.
A
B
C
D
图11
4. (本题6分)如图,正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O,∠OCF=∠OBE。
求证:OE=OF。
5.. (本题9分)如图1,AB是圆O直径,直线l交圆O于C1、C2,AD⊥l,垂足为D。
(1)求证:
(2)若将直线l向上平移(如图2),交圆O于C1、C2,使弦C1C2与直线AB相交(交点不与A、B重合),其它条件不变,请你猜想,AC1、AC2、AB、AD之间的关系,并说明理由。
(3)若将直线l平移到与圆O相切时,切点为C,其他条件不变,请你在图3上画出变化后的图形,标好相应字母并猜想AC、AB、AD的关系是什么?(只写出关系,不加以说明)
6.(本小题满分8分)如图12,在中,,的垂直平分线交于,交于,且.(1)求证:四边形是菱形.
B
F
C
A
E
D
图12
(2)当的大小满足什么条件时,菱形是正方形?请回答并证明你的结论.
7.如图14(),两个不全等的等腰直角三角形和叠放在一起,并且有公共的直角顶点.
(1)将图14()中的绕点顺时针旋转角,在图14()中作出旋转后的
(保留作图痕迹,不写作法,不证明).
(2)在图14()中,你发现线段,的数量关系是 ,直线,相交成 度角.
C
D
B
A
O
C
O
D
D
C
O
B
A
图14()
图14()
图14()
(3)将图14()中的绕点顺时针旋转一个锐角,得到图14(),这时(2)中的两个结论是否成立?作出判断并说明理由.若绕点继续旋转更大的角时,结论仍然成立吗?作出判断,不必说明理由.
8.
图14
如图14,在中,,是的中点,以为直径的交的边于点.
求证:(1)是的中点;(2).
9.我们给出如下定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称这个四边形为勾股四边形,这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.
(1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 , ;
图16(1)
(2)如图16(1),已知格点(小正方形的顶点),,,请你画出以格点为顶点,为勾股边且对角线相等的勾股四边形;
(3)如图16(2),将绕顶点按顺时针方向旋转,得到,连结,
.
图16(2)
求证:,即四边形是勾股四边形.
10.(本小题满分8分)
E
C
B
A
D
O
第22题图
如图,把矩形沿直线折叠,点落在点处,与交于点,连接.
(1)四边形是什么图形?说明理由.
(2)若,,求的长.
11.(本小题满分7分)
如图,扇形是圆锥的侧面展开图,圆锥的母线,底面圆半径.
O
C
B
H
A
第23题图
(1)当时,求的度数.
(2)当,时,分别求的度数(直接写出结果)
(3)当(为大于1的整数)时,猜想的度数(直接写出结果).
12.(本小题满分9分)
已知,如图,在中,,点是的中点,经过,,三点,与交于另一点.
(1)请你仔细观察图形,连接图中已标明字母的某两点,得到一条新线段,证明它与线段相等.
D
C
O
E
B
第12题图
A
(2)在图中,过点作的切线,交于点.
①求证:;
②若,求的值.
A
E
D
O
B
C
第13题图
13.(本小题满分8分)
如图,已知是的直径,过的中点,
且于点.
(1)求证:是的切线;
(2)若,,求的半径.
14.(本小题满分8分)
如图,在梯形中,为的中点,交于点.
第14题图
(1)求证:;
(2)当,且平分时,求的长.
15.(本小题满分9分)
如图,为的直径,劣弧,连接并延长交于.
求证:(1)是的切线;
第15题图
(2).
16.(本小题8分)
在图1和图2中,已知OA=OB,AB=24,⊙O的直径为10.
(1)如图l,若AB与⊙O相切于点C,试求OA的值;
(2)如图2,若AB与⊙O相交于D、E两点,且D、E均为AB的三等分点,试求tan A的值.
17..(本小题9分)
如图,已知线段AB与直线CD交于点B.
(1)若点P是CD上离点A最近的点,请你用尺规作出点P和以AP为直径的⊙O(允许用三角尺作垂线;不写作法,保留作图痕迹);
(2)若⊙O交A B于点E,F是PB的中点,试利用你作出的图证明EF与⊙O相切.
18.(本题7分)如图,在中,,是上的一点,且,点是的中点,连结.
(1)求证:
A
C
D
E
B
(2)求证:
(3)若,,那么的周长是多少?
19.(本题10分)已知:如图等边内接于,点是劣弧上的一点(端点除外),延长至,使,连结.
(1)若过圆心,如图①,请你判断是什么三角形?并说明理由.
A
O
C
D
P
B
图①
A
O
C
D
P
B
图②
(2)若不过圆心,如图②,又是什么三角形?为什么?
20.(10分)如图,已知AB是⊙O的直径,AC为弦,且平分∠BAD,AD⊥CD,垂足为D.
(1)求证:CD是⊙O切线;
(2)若⊙O的直径为4,AD=3,求∠BAC的度数.
21.(本题满分10分)
如图中,,,如果将在坐标平面内,绕原点按顺时针方向旋转到的位置.
y
x
A
B
O
(1)求点的坐标.
(2)求顶点从开始到点结束经过的路径长.
23.(本题满分13分)
三角形中位线定理,是我们非常熟悉的定理.
①请你在下面的横线上,完整地叙述出这个定理: .
②根据这个定理画出图形,写出已知和求证,并对该定理给出证明.
24.(本题满分10分)
A
B
C
D
如图,用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起,重合的四边形是菱形吗?如果是菱形请给出证明,如果不是菱形请说明理由.
25.(本题满分14分)
如图(1),两半径为的等圆和相交于两点,且过点.过点作直线垂直于,分别交和于两点,连结.
(1)猜想点与有什么位置关系,并给出证明;
(2)猜想的形状,并给出证明;
(3)如图(2),若过的点所在的直线不垂直于,且点在点的两侧,那么(2)中的结论是否成立,若成立请给出证明.
O2
O1
N
M
B
A
图(1)
O2
O1
N
M
B
A
图(2)
26.(本题7分)将图(1)中的矩形沿对角线剪开,再把沿着方向平移,得到图(2)中的.其中是与的交点,是与的交点.在图(2)中除与全等外,还有几对全等三角形(不得添加辅助线和字母)?请一一指出,并选择其中一对证明.
A
B
C
D
A
C
D
E
F
图(1)
图(2)
27.(本题8分)如图,已知为坐标原点,点的坐标为,的半径为1,过作直线平行于轴,点在上运动.
(1)当点运动到圆上时,求线段的长.
(2)当点的坐标为时,试判断直线与的位置关系,并说明理由.
A
l
y
x
O
28.(10分)(2008•包头)如图,△ABC中,AD平分∠BAC交△ABC的外接圆⊙O于点H,过点H作EF∥BC交AC、AB的延长线于点E、F.
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(2)若AH=8,DH=2,求CH的长;
(3)若∠CAB=60°,在(2)的条件下,求的长.
29、(10分)一副斜边相等的直角三角形(∠DAC=45°,∠BAC=30°),按如图所示的方式在平面内拼成一个四边形。
(1)A、B、C、D四点在同一个圆上吗?如果在,请写出证明过程;如果不在,请说明理由。
A
B
D
l
C
(2)过点D作直线ι∥AC,求证:ι是这个圆的切线
30、(10分)公园里有一块形如四边形ABCD的草地,测得BC=CD=10米,∠B=∠C=120°,∠A=45°。
Al
BAl
DAl
Cl
请你求出这块草地的面积
31、(10分)如图,在四边形ABCD中,AB=BC,BF是∠ABC的平分线,AF∥DC,连接AC、CF,求证:CA是∠DCF的平分线。
B
A
C
F
D
32.(7分)如图所示,正方形的边在正方形的边上,连接.
(1)求证:.
(2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形?若存在,说出旋转过程;若不存在,请说明理由.
E
F
G
D
A
B
C
33.(8分)如图,在直角梯形中,
A
D
B
O
C
Q
P
,,为的直径,动点从点开始沿边向点以1cm/s的速度运动,动点从点开始沿边向点以2cm/s的速度运动.分别从点同时出发,当其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,设运动时间为.
(1)当为何值时,四边形为平行四边形?
(2)当为何值时,与相切?
34.(本小题满分10分)
O
N
B
P
C
A
M
如图,已知是的直径,点在上,过点的直线与的延长线交于点,,.
(1)求证:是的切线;
(2)求证:;BC= AB
(3)点是的中点,交于点,若,求的值.
35.(本小题满分12分)
如图,已知中,厘米,厘米,点为的中点.
(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,与是否全等,请说明理由;
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使与全等?
A
Q
C
D
B
P
(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇?
36.(2010•赤峰)在▱ABCD中,AC是一条对角线,∠B=∠CAD,延长BC至点E,使CE=BC,连接DE.
(1)求证:四边形ABED是等腰梯形;
(2)若AB=AD=4,求梯形ABED的面积.
37.(2010•赤峰)如图,AB是⊙O的直径,BC是一条弦,连接OC并延长至点P,使PC=BC,∠BOC=60°.
(1)求证:PB是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为1,且AB、PB的长是方程x2+bx+c=0的两根,求b、c的值.
38.(2010•赤峰)两块完全相同的三角板Ⅰ(△ABC)和Ⅱ(△A1B1C1)如图①放置在同一平面上(∠C=∠C1=90°,∠ABC=∠A1B1C1=60°),斜边重合.若三角板Ⅱ不动,三角板Ⅰ在三角板Ⅱ所在的平面上向右滑动,图②是滑动过程中的一个位置.
(1)在图②中,连接BC1、B1C,求证:△A1BC1≌△AB1C;
(2)三角板Ⅰ滑到什么位置(点B1落在AB边的什么位置)时,四边形BCB1C1是菱形?说明理由.
39. (2011内蒙古赤峰,22,12分)如图,等圆⊙和⊙相交于A、B两点,⊙经过⊙的圆心,两圆的连心线交⊙于点M,交AB于点N,连结BM,已知AB=2 (1)求证:BM是⊙的切线;(2)求的长。
40. (2011内蒙古赤峰,25,14分)如图(图1、图2),四边形ABCD是边长为4的正方形,点E在线段BC上,∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分线CP于点F,FN⊥BC,交BC的延长线于点N。
(1)若点E是BC的中点(如图1),AE与EF相等吗?为什么?
(2)点E在BC间运动时(如图2),设BE=x, △ECF的面积为y。
①求y与x的函数关系式;
②当x取何值时,y有最大值,并求出这个最大值。
41.(本小题满分7分)在□ ABCD中,对角线 AC、BD相交于点O,BD = 2AB,点E、F分别是OA、BC的中点.连接BE、EF.(1)求证:EF = BF
(2)在上述条件下,若AC = BD,G是BD上一点,且BG∶GD = 3∶1,连接EG、FG,试判断四边形EBFG的形状,并证明你的结论.
第22题图①
第22题图②
42.(本小题满分8分)
第42题图
如图,在Rt△ABC中,∠ACB = 90o,△MDB的一边DB在AB上,边MD与AC交于点N ,以BD为直径的⊙O与边AC恰相切于点N,与MB交于点E.
(1)求证:∠AND = ∠MBD
DN
⌒ ⌒
(2)若BC = 6,AD = 4,求 的长.(结果保留π)
43、(6分)如图所示,再一次课外实践活动中,同学们要测量某公园人工湖两侧A、B两个凉亭之间的距离,现测得AC=30m,BC=70m,∠CAB=120°,请计算A、B两个凉亭之间的距离.
44、(7分)如图所示,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点且∠AEF=90°,EF交正方形外角平分线CF于点F,取边AB的中点G,连接EG.
(1)求证:EG=CF;
(2)将△ECF绕点E逆时针旋转90°,请在图中直接画出旋转后的图形,并指出旋转后CF与EG的位置关系.
45、(8分)如图所示,AC为⊙O的直径且PA⊥AC,BC是⊙O的一条弦,直线PB交直线AC于点D,.
(1)求证:直线PB是⊙O的切线;
(2)求cos∠BCA的值
46.(2012赤峰)如图所示,在△ABC中,∠ABC=∠ACB.
(1)尺规作图:过顶点A作△ABC的角平分线AD;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在AD上任取一点E,连接BE、CE.求证:△ABE≌△ACE.
47.(2012赤峰)如图,点O是线段AB上的一点,OA=OC,OD平分∠AOC交AC于点D,OF平分∠COB,CF⊥OF于点F.
(1)求证:四边形CDOF是矩形;
(2)当∠AOC多少度时,四边形CDOF是正方形?并说明理由.
48.(2012赤峰)如图,AB是⊙O的弦,点D是半径OA上的动点(与点A.O不重合),过点D垂直于OA的直线交⊙O于点E、F,交AB于点C.
(1)点H在直线EF上,如果HC=HB,那么HB是⊙O的切线吗?请说明理由;
(2)连接AE、AF,如果,并且CF=16,FE=50,求AF的长.
49.如图,四边形ABCD是正方形,点G是BC边上任意一点,DE⊥AG于E,BF∥DE,交AG于F.
(1)求证:AF﹣BF=EF;
(2)将△ABF绕点A逆时针旋转,使得AB与AD重合,记此时点F的对应点为点F′,若正方形边长为3,求点F′与旋转前的图中点E之间的距离.
50.如图,已知AB为⊙O的直径,PA与⊙O相切于点A,线段OP与弦AC垂直并相交于点D,OP与弧AC相交于点E,连接BC.
(1)求证:∠PAC=∠B,且PA•BC=AB•CD;
(2)若PA=10,sinP=,求PE的长.
51.(6分)(2013•呼和浩特)如图,CD=CA,∠1=∠2,EC=BC,求证:DE=AB.
52.(9分)(2013•呼和浩特)如图,在边长为3的正方形ABCD中,点E是BC边上的点,BE=1,∠AEP=90°,且EP交正方形外角的平分线CP于点P,交边CD于点F,
(1)的值为 ;
(2)求证:AE=EP;
(3)在AB边上是否存在点M,使得四边形DMEP是平行四边形?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由.
53.(12分)(2013•赤峰)如图,已知MN是⊙O的直径,直线PQ与⊙O相切于P点,NP平分∠MNQ.
(1)求证:NQ⊥PQ;
(2)若⊙O的半径R=3,NP=,求NQ的长.
54.(7分)(2014•呼和浩特)如图,四边形ABCD是矩形,把矩形沿AC折叠,点B落在点E处,AE与DC的交点为O,连接DE.
(1)求证:△ADE≌△CED;
(2)求证:DE∥AC.
55.(8分)(2014•呼和浩特)如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C作⊙O的切线CM.
(1)求证:∠ACM=∠ABC;
(2)延长BC到D,使BC=CD,连接AD与CM交于点E,若⊙O的半径为3,ED=2,求△ACE的外接圆的半径.
56.(10分)如图(8),已知△ABC中AB=AC
(1)作图:在AC上有一点D,延长BD,并在BD的延长线上取点E,使AE=AB,连AE,作∠EAC的平分线AF,AF交DE于点F(用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)在(1)条件下,连接CF,求证:∠E=∠ACF
57. 24.如图,在中,以为直径的⊙交于点,弦∥交于点,且.
(1)求证:是⊙的切线;
(2)求⊙的半径.
58.以为直径作半圆,=10,点是该半圆上一动点,连接、,延长至点,使=,过点作于点,交于点,在点运动过程中:
(1)如图1,当点与点重合时,连接,试判断的形状,并证明你的结论;
(2)如图2,当=8时,求线段的长;
(3)当点在线段上时,是否存在以点、、为顶点的三角形与相似?若存在,请求出此时线段的长;若不存在,请说明理由.
59.(10分)(2015•赤峰)如图,AB为⊙O的直径,PD切⊙O于点C,与BA的延长线交于点D,DE⊥PO交PO延长线于点E,连接PB,∠EDB=∠EPB.
(1)求证:PB是的切线.
(2)若PB=6,DB=8,求⊙O的半径.
60.(12分)(2015•赤峰)如图,四边形ABCD是边长为2,一个锐角等于60°的菱形纸片,小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合,按顺时针方向旋转三角形纸片,使它的两边分别交CB、BA(或它们的延长线)于点E、F,∠EDF=60°,当CE=AF时,如图1小芳同学得出的结论是DE=DF.
(1)继续旋转三角形纸片,当CE≠AF时,如图2小芳的结论是否成立?若成立,加以证明;若不成立,请说明理由;
(2)再次旋转三角形纸片,当点E、F分别在CB、BA的延长线上时,如图3请直接写出DE与DF的数量关系;
(3)连EF,若△DEF的面积为y,CE=x,求y与x的关系式,并指出当x为何值时,y有最小值,最小值是多少?
61.(5分)(2015•通辽)如图,在平行四边形ABCD中,若AB=6,AD=10,∠ABC的平分线交AD于点E,交CD的延长线于点F,求DF的长.
62.(7分)(2015•通辽)如图,四边形ABCD中,E点在AD上,其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°,且BC=CE,求证:△ABC与△DEC全等.
63. (本题满分9分)
如图,在□ABCD中,E、F分别为AB、BC的中点,连接EC、AF,AF与EC交
第21题图
于点M,AF的延长线与DC的延长线交于点N.
(1)求证:AB=CN
(2)若AB=,BE=2MF,试用含的式子表示线段AN的长.
64. (本题满分8分)
如图,⊙O是△ABC的外接圆,圆心O在AB上,且∠B=2∠A,M是OA上一点,过M作AB的垂线交AC于点N,交BC的延长线于点E,直线CF交EN于点F,EF=FC.
(1)求证:CF是⊙O的切线.
(2)设⊙O的半径为2,且AC=CE,求AM的长.
第22题图
66.
67.(10分)(2015•包头)如图,AB是⊙O的直径,点D是上一点,且∠BDE=∠CBE,BD与AE交于点F.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若BD平分∠ABE,求证:DE2=DF•DB;
(3)在(2)的条件下,延长ED,BA交于点P,若PA=AO,DE=2,求PD的长和⊙O的半径.
68.(12分)(2015•包头)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AD=1厘米,AB=3厘米,BC=5厘米,动点P从点B出发以1厘米/秒的速度沿BC方向运动,动点Q从点C出发以2厘米/秒的速度沿CD方向运动,P,Q两点同时出发,当点Q到达点D时停止运动,点P也随之停止,设运动时间为t秒(t>0).
(1)求线段CD的长;
(2)t为何值时,线段PQ将四边形ABCD的面积分为1:2两部分?
(3)伴随P,Q两点的运动,线段PQ的垂直平分线为l.
①t为何值时,l经过点C?
②求当l经过点D时t的值,并求出此时刻线段PQ的长.
69.(9分)(2015•鄂尔多斯)如图,在▱ABCD中,E、F分别为AB、BC的中点,连接EC、AF,AF与EC交于点M,AF的延长线与DC的延长线交于点N.
(1)求证:AB=CN;
(2)若AB=2n,BE=2MF,试用含n的式子表示线段AN的长.
70.(8分)(2015•鄂尔多斯)如图,⊙O是△ABC的外接圆,圆心O在AB上,且∠B=2∠A,M是OA上一点,过M作AB的垂线交AC于点N,交BC的延长线于点E,直线CF交EN于点F,EF=FC.
(1)求证:CF是⊙O的切线.
(2)设⊙O的半径为2,且AC=CE,求AM的长.
71.如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE,已知∠ABC=60°,EF⊥AB,垂足为F,连接DF.
(1)求证:△ABC≌△EAF;
(2)试判断四边形EFDA的形状,并证明你的结论.
72.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线交AC于点E,过点E作BE的垂线交AB于点F,⊙O是△BEF的外接圆.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)过点E作EH⊥AB,垂足为H,求证:CD=HF;
(3)若CD=1,EH=3,求BF及AF长.
73.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=CB,以AB为直径的⊙O交AC于点D,点E是AB边上一点(点E不与点A、B重合),DE的延长线交⊙O于点G,DF⊥DG,且交BC于点F.
(1)求证:AE=BF;
(2)连接GB,EF,求证:GB∥EF;
(3)若AE=1,EB=2,求DG的长.
74.(2016包头).如图,已知一个直角三角形纸片ACB,其中∠ACB=90°,AC=4,BC=3,E、F分别是AC、AB边上点,连接EF.
(1)图①,若将纸片ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在AB边上的点D处,且使S四边形ECBF=3S△EDF,求AE的长;
(2)如图②,若将纸片ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在BC边上的点M处,且使MF∥CA.
①试判断四边形AEMF的形状,并证明你的结论;
②求EF的长;
(3)如图③,若FE的延长线与BC的延长线交于点N,CN=1,CE=,求的值.
75.如图,已知⊙O的直径为AB,AC⊥AB于点A,BC与⊙O相交于点D,在AC上取一点E,使得ED=EA.
(1)求证:ED是⊙O的切线;
(2)当OE=10时,求BC的长.
76.(本题满分8分)
(改2013•湖州)如图,O为坐标原点,点B在x轴上,四边形OACB为平行四边形,cos∠AOB= ,反比例函数y= (k>0)在第一象限内的图像经过点A,与BC交于点F.
(1)若OA=5,OB=6,求反比例函数解析式及C点的坐标.
(2)若点F为BC的中点,且△AOF的面积为6,求OA的长.
77.(本题满分9分)
如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直经作⊙O交BC与D点,过点D作⊙O的切线EF,交AB于点E,交AC的延长线于点F.
(1)求证:FE⊥AB.
(2)当AE=6,AF=10时,示BE的长.
78.(本题满分11分)
(改2008·武汉)如图,正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,点P是线段AO上(不与A,O重合)的一个动点,过点P作PE⊥PB且PE交边CD于点E.
(1)求证:PB=PE
(2)如图,若正方形ABCD的边长为2,过E作EF⊥AC于点F,在P点运动的过程中,PF的长度是否发生变化?若不变,试求出这个不变的值;若变化,请说明理由.
(3)如图,用等式表示线段PC,PA,CE之间的数量关系:(不需证明)
图
图
图
79.(7分)(2016•呼和浩特)已知,如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点.
(1)求证:△ACE≌△BCD;
(2)求证:2CD2=AD2+DB2.
80.(9分)(2016•呼和浩特)如图,已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,交BC的延长线于点D,延长DA交△ABC的外接圆于点F,连接FB,FC.
(1)求证:∠FBC=∠FCB;数学加专项强化班
(2)已知FA•FD=12,若AB是△ABC外接圆的直径,FA=2,求CD的长.
81.(2017赤峰)如图,点A是直线AM与⊙O的交点,点B在⊙O上,BD⊥AM垂足为D,BD与⊙O交于点C,OC平分∠AOB,∠B=60°.
(1)求证:AM是⊙O的切线;
(2)若DC=2,求图中阴影部分的面积(结果保留π和根号).
82(2017赤峰).如图1,在△ABC中,设∠A、∠B、∠C的对边分别为a,b,c,过点A作AD⊥BC,垂足为D,会有sin∠C=,则
S△ABC=BC×AD=×BC×ACsin∠C=absin∠C,
即S△ABC=absin∠C
同理S△ABC=bcsin∠A
S△ABC=acsin∠B
通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理:
如图2,在△ABC中,若∠A、∠B、∠C的对边分别为a,b,c,则
a2=b2+c2﹣2bccos∠A
b2=a2+c2﹣2accos∠B
c2=a2+b2﹣2abcos∠C
用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题:
(1)如图3,在△DEF中,∠F=60°,∠D、∠E的对边分别是3和8.求S△DEF和DE2.
解:S△DEF=EF×DFsin∠F= ;
DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F= .
(2)如图4,在△ABC中,已知AC>BC,∠C=60°,△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形,设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S1、S2、S3、S4,求证:S1+S2=S3+S4.
83(2017赤峰).△OPA和△OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形,点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点.
(1)当∠AOB=90°时如图1,连接PE、QE,直接写出EP与EQ的大小关系;
(2)将△OQB绕点O逆时针方向旋转,当∠AOB是锐角时如图2,(1)中的结论是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请加以说明.
(3)仍将△OQB绕点O旋转,当∠AOB为钝角时,延长PC、QD交于点G,使△ABG为等边三角形如图3,求∠AOB的度数.
84.(2017呼和浩特)如图,等腰三角形ABC中,BD,CE分别是两腰上的中线.
(1)求证:BD=CE;
(2)设BD与CE相交于点O,点M,N分别为线段BO和CO的中点,当△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时,判断四边形DEMN的形状,无需说明理由.
85.(2017呼和浩特)如图,点A,B,C,D是直径为AB的⊙O上的四个点,C是劣弧的中点,AC与BD交于点E.
(1)求证:DC2=CE•AC;
(2)若AE=2,EC=1,求证:△AOD是正三角形;
(3)在(2)的条件下,过点C作⊙O的切线,交AB的延长线于点H,求△ACH的面积.