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  • 2021-05-13 发布

广东省各市中考数学压轴题及答案

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‎2010年广东省各市中考数学压轴题及答案 ‎1.(2010广东中山).已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF,如图(1)放置,点B、D重合,点F在BC上,AB与EF交于点G。∠C=∠EFB=90º,∠E=∠ABC=30º,AB=DE=4。‎ ‎(1)求证:△EGB是等腰三角形;‎ 第20题图(1)‎ A B C E F F B(D)‎ G G A C E D 第20题图(2)‎ ‎(2)若纸片DEF不动,问△ABC绕点F逆时针旋转最小_____度时,四边形ACDE成为以ED为底的梯形(如图(2)),求此梯形的高。‎ ‎2.(2010广东中山)阅读下列材料:‎ ‎ 1×2 = ×(1×2×3-0×1×2), 2×3 = ×(2×3×4-1×2×3), 3×4 = ×(3×4×5-2×3×4),‎ ‎ 由以上三个等式相加,可得1×2+2×3+3×4 = ×3×4×5 = 20。‎ 读完以上材料,请你计算下列各题:‎ ‎(1)1×2+2×3+3×4+···+10×11(写出过程);(2)1×2+2×3+3×4+···+n×(n+1) = _________; (3)1×2×3+2×3×4+3×4×5+···+7×8×9 = _________。‎ ‎3.(2010广东中山)如图(1),(2)所示,矩形ABCD的边长AB=6,BC=4,点F在DC上,DF=2。动点M、N分别 从点D、B同时出发,沿射线DA、线段BA向点A的方向运动(点M可运动到DA的延长线上),‎ 当动点N运动到点A时,M、N两点同时停止运动。连接FM、FN,当F、N、M不在同一直线时,‎ 可得△FMN,过△FMN三边的中点作△PQW。设动点M、N的速度都是1个单位/秒,M、N运动的时间为x秒。试解答下列问题:‎ ‎(1)说明△FMN∽△QWP;‎ ‎(2)设0≤x≤4(即M从D到A运动的时间段)。试问x为何值时,△PQW为直角三角形?‎ 当x在何范围时,△PQW不为直角三角形?‎ 第22题图(2)‎ A B C D F M N W P Q ‎(3)问当x为何值时,线段MN最短?求此时MN的值。‎ 第22题图(1)‎ A B M C F D N W P Q ‎4.(2010广东清远)如图9,直线y=x-3于x轴、y轴分别交于B、C;两点,抛物线y= x2+bx+c同时经过B、C两点,点A是抛物线与x轴的另一个交点。‎ ‎(1)求抛物线的函数表达式。‎ ‎(2)若点P在线段BC上,且S△PAC=S△PAB,求点P的坐标。‎ ‎5.(2010广东清远)如下图,在⊙O中,点P在直径AB上运动,但与A、B两点不重合,过点P作弦CE⊥AB,在上任取一点D,直线CD与直线AB交于点F,弦DE交直线AB于点M,连接CM.‎ ‎(1)如图10,当点P运动到与O点重合时,求∠FDM的度数.‎ 图10 图11 图12‎ C A B ‎(P)‎ E O M F D C A B P E O F D M O C A B P E F D M (2) 如图11、图12,当点P运动到与O点不重合时,求证:FM·OB=DF·MC.‎ ‎6.(2010广东河源)如图9,中,点P是边上的一个动点,过P作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.‎ ‎(1)求证:PE=PF;‎ ‎(2)当点P在边上运动时,四边形BCFE可能是菱形吗?说明理由;‎ ‎(3)若在AC边上存在点P,使四边形AECF是正方形,且.求此时∠A的大小.‎ ‎7.(2010广东河源)如图10,直角梯形OABC中,OC∥AB,C(0,3),B(4,1),以BC为直径的圆交轴于E,D两点(D点在E点右方).‎ ‎(1)求点E,D 的坐标;‎ ‎(2)求过B,C,D三点的抛物线的函数关系式;‎ ‎(3)过B,C,D三点的抛物线上是否存在点Q,使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形?若不存在,说明理由;若存在,求出点Q的坐标. ‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎2‎ O y x 图10‎ ‎8.(肇庆市2010)(8分)如图是反比例函数y=的图象的一支,根据图象回答下列问题:‎ ‎(1)图象的另一支在哪个象限?常数n的取值范围是什么?‎ ‎(2)若函数图象经过点(3,1),求n的值;‎ ‎(3)在这个函数图象的某一支上任取点A(a1,b1)和点B(a2,b2),如果a1<a2,试比较b1和b2的大小.‎ A B O C P E F ‎9.(肇庆市2010)如图,AB是⊙O的直径,AC切⊙O于点A,且AC=AB,CO交⊙O于点P,CO的延长线交⊙O于点F,BP的延长线交AC于点E,连接AP、AF.‎ 求证:(1)AF∥BE;(2)△ACP∽△FCA;(3)CP=AE.‎ ‎10.(肇庆市2010)已知二次函数y=x2+bx+c+1的图象过点P(2,1).‎ ‎(1)求证:c=―2b―4;‎ ‎(2)求bc的最大值;‎ ‎(3)若二次函数的图象与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0),△ABP的面积是,求b的值.‎ ‎11.(2010.广东茂名)‎ ‎12.2010.广东茂名)‎ ‎ ‎ ‎13.(2010广东湛江)病人按规定的剂量服用某药物,测得服药后2小时,每毫升血液中含药量达到最大值为4毫克.已知服药后,2小时前每毫升血液中含药量y(毫克)与时间x(小时)成正比例;2小时后y与x成反比例(如图所示).根据以上信息解答下列问题:‎ ‎(1)求当0≤x≤2时,y与x的函数关系式;‎ ‎(2)求当x>2时,y与x的函数关系式;‎ ‎(3)如果每毫升血液中含药量不低于2毫克时治疗有效,‎ O y/毫克 x/小时 ‎2‎ ‎4‎ 则那么服药一次,治疗疾病的有效时间是多长?‎ ‎14.(2010广东湛江)如图,在平面直角坐标系中,点B的坐标为(-3,-4),线段OB绕原点逆时针旋转后与x轴的正半轴重合,点B的对应点为点A.‎ ‎(1)直接写出点A的坐标,并求出经过A、O、B三点的抛物线的解析式;‎ ‎(2)在抛物线的对称轴上是否存在点C,使BC+OC的值最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由;‎ A O B y x ‎(3)点P是抛物线上的一个动点,且在x轴的上方,当点P运动到什么位置时,△PAB的面积最大?求出此时点P的坐标和△PAB的最大面积.‎ ‎15.(2010广东佛山)新知识一般有两类:第一类是不依赖于其他知识的新知识,如“数”、“字母表示数”这样的初始性的知识;第二类是在某些就只是的基础上进行联系、拓广等方式产生的知识,大多数知识是这样的知识。‎ ‎(1)多项式乘以多项式的法则,是第几类知识?‎ ‎(2)在多项式乘以多项式之前,你已拥有的有关知识是哪些?(写出三条即可)‎ ‎(3)请你用已拥有的有关知识,通过数和形两个方面说明多项式乘以多项式的法则时如何获得的?(用(a+b)(c+d)来说明)‎ ‎16.(2010广东佛山)一般来说,依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点,将数学对象分为不同种类的数学思想叫做“分类”的思想;将事物进行分类,然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做“分类讨论”的方法。请依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题:‎ 如图,在△ABC中,∠ACB>∠ABC。‎ (1) 若∠BAC是锐角,请探索在直线AB上有多少个点D,能保证△ACD~△ABC(不包括全等)?‎ (2) 请对∠BAC进行恰当的分类,直接写出每一类在直线AB上能保证△ACD~△ABC(不包括全等)的点D的个数。‎ ‎17.(2010广东广州)如图,⊙O的半径为1,点P是⊙O上一点,弦AB垂直平分线段OP,点D是上任一点(与端点A、B不重合),DE⊥AB于点E,以点D为圆心、DE长为半径作⊙D,分别过点A、B作⊙D的切线,两条切线相交于点C.‎ ‎(1)求弦AB的长;‎ ‎(2)判断∠ACB是否为定值,若是,求出∠ACB的大小;否则,请说明理由;‎ ‎(3)记△ABC的面积为S,若=4,求△ABC的周长.‎ C P D O B A E ‎18.(2010广东广州)如图所示,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1),点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线=-+交折线OAB于点E.‎ ‎(1)记△ODE的面积为S,求S与的函数关系式;‎ ‎(2)当点E在线段OA上时,若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1,试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化,若不变,求出该重叠部分的面积;若改变,请说明理由.‎ C D B A E O ‎19.(2010广东深圳)如图9,抛物线y=ax2+c(a>0)经过梯形ABCD的四个顶点,梯形的底AD在x轴上,其中A(-2,0),B(-1, -3).‎ ‎ (1)求抛物线的解析式;(3分)‎ ‎(2)点M为y轴上任意一点,当点M到A、B两点的距离之和为最小时,求此时点M的坐标;(2分)‎ ‎(3)在第(2)问的结论下,抛物线上的点P使S△PAD=4S△ABM成立,求点P的坐标.(4分)‎x y C B ‎_‎ D ‎_‎ A O 图9‎ ‎20.(2010广东深圳)以点M(-1,0)为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D,直线y=- x- 与⊙M相切于点H,交x轴于点E,交y轴于点F.‎ ‎ (1)请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长;(3分)‎ ‎(2)如图11,弦HQ交x轴于点P,且DP:PH=3:2,求cos∠QHC的值;(3分)‎ ‎(3)如图12,点K为线段EC上一动点(不与E、C重合),连接BK交⊙M于点T,弦AT交x轴于点N.是否存在一个常数a,始终满足MN·MK=a,如果存在,请求出a的值;如果不存在,请说明理由.(3分)‎ ‎ ‎ x D A B H C E M O F 图10‎ x y D A B H C E M O F 图11‎ P Q x y D A B H C E M O F 图12‎ N T K y ‎21.(2010广东珠海)21.如图,△ABC内接于⊙O,AB=6,AC=4,D是AB边上一点,P是优弧BAC的中点,连结PA、PB、PC、PD.‎ ‎(1)当BD的长度为多少时,△PAD是以AD为底边的等腰三角形?并证明;‎ ‎(2)若cos∠PCB=,求PA的长.‎ ‎22.(2010广东珠海)如图,平面直角坐标系中有一矩形ABCD(O为原点),点A、C分别在x轴、y轴上,且C点坐标为(0,6);将BCD沿BD折叠(D点在OC边上),使C点落在OA边的E点上,并将BAE沿BE折叠,恰好使点A落在BD的点F上.‎ ‎(1)直接写出∠ABE、∠CBD的度数,并求折痕BD所在直线的函数解析式;‎ ‎(2)过F点作FG⊥x轴,垂足为G,FG的中点为H,若抛物线经过B、H、D三点,求抛物线的函数解析式;‎ ‎(3)若点P是矩形内部的点,且点P在(2)中的抛物线上运动(不含B、D点),过点P作PN⊥BC分别交BC和BD于点N、M,设h=PM-MN,试求出h与P点横坐标x的函数解析式,并画出该函数的简图,分别写出使PMMN成立的x的取值范围。‎ ‎ ‎ ‎23.(2010广东梅州)如图9,中,点P是边上的一个动点,过P作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.‎ ‎(1)求证:PE=PF;‎ ‎(2)当点P在边上运动时,四边形BCFE可能是菱形吗?说明理由;‎ ‎(3)若在AC边上存在点P,使四边形AECF是正方形,且.求此时∠A的大小.‎ ‎24.(2010广东梅州)图10‎ 直角梯形OABC中,OC∥AB,C(0,3),B(4,1),以BC为直径的圆交轴于E,D两点(D点在E点右方).‎ ‎(1)求点E,D 的坐标;‎ ‎(2)求过B,C,D三点的抛物线的函数关系式;‎ ‎(3)过B,C,D三点的抛物线上是否存在点Q,使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形?若不存在,说明理由;若存在,求出点Q的坐标. ‎ 答 案 ‎1.(2010广东中山)(1)提示: (2)30(度)‎ ‎2.(2010广东中山)(1)原式 (2) ‎ ‎(3)1260‎ ‎3.(2010广东中山)提示:∵PQ∥FN,PW∥MN ∴∠QPW =∠PWF,∠PWF =∠MNF ∴∠QPW =∠MNF ‎ 同理可得:∠PQW =∠NFM或∠PWQ =∠NFM ∴△FMN∽△QWP ‎ ‎(2)当时,△PQW为直角三角形;‎ 当0≤x<,CF,‎ ‎∴PE+PF>CF 即EF>CF┄┄5′‎ 又菱形的四条边都相等,‎ 所以四边形BCFE不可能是菱形。┄┄6′‎ ‎⑶若四边形AECF 是正方形。则AP=CP, ∠ACE=‎ ‎∵∠BCE=∠PCE ‎∴∠BCA=┄┄7′‎ 又∵‎ ‎∴即tan∠B=┄┄8′‎ ‎∴∠B=60°∴∠A=90°-∠B=30°┄┄9′‎ ‎7.(2010广东河源)解:⑴,在BC上取中点G,并过G作GH⊥x轴于H ,连接GD,‎ ‎ ∵,‎ ‎∴G∴H(2,0) ┄┄1′‎ ‎∵BC=,GH=2-0=2‎ 又DG=BG=‎ ‎∴HD=‎ ‎∴D(3,0),E(1,0) ┄┄2′‎ ‎⑵设过B、C、D三点的抛物线表达式为则,‎ ‎ ┄┄3′‎ 解得, ┄┄4′‎ ‎∴┄┄5′‎ ‎⑶设Q,由(2)可得Q。过Q作QN⊥X轴于N 分2种情况:‎ ‎①当∠BDQ=90时,∴∠NDQ+∠BDA=90° ‎ ‎∵∠DNQ=∠BAD=90 ∴∠NDQ+∠NQD=90°∴∠NQD=∠BDA ‎∴△NDQ∽△ABD ∴┄┄6′‎ 即 解得,‎ 当,当,‎ ‎∴,(与点D重合,舍去) ┄┄7′‎ ‎② 当∠DBQ=90时,则有 ,‎ ‎∵B(4,1),D(3,0),Q, ‎ ‎∴BD=‎ ‎∴+2=‎ 整理得,,解得,┄┄8′‎ ‎∴当时,=1,(此时,Q点与B点重合,舍去)当时,‎ ‎∴(与点B重合,舍去),‎ 综上所述符合条件的点有2个,分别是,.┄┄9′‎ ‎8.(肇庆市2010)解:(1)图象的另一支在第三象限. (2分)‎ 由图象可知,>0,解得:>2 (4分)‎ ‎(2)将点(3,1)代入得:,‎ 解得: (6分)‎ ‎(3)∵>0,∴在这个函数图象的任一支上,随减少而增大, ‎ ‎ ∴当1<2 时 ,1>2 (8分)‎ ‎9.(肇庆市2010)(本小题满分10分)‎ ‎(1)∵∠B、∠F同对劣弧AP ,∴ ∠B =∠F (1分)‎ ‎∵BO=PO,∴∠B =∠B PO (2分)‎ ‎∴∠F=∠B P F,∴AF∥BE (3分)‎ ‎(2)∵AC切⊙O于点A,AB是⊙O的直径,‎ ‎ ∴ ∠BAC=90°‎ ‎∵ AB是⊙O的直径, ∴ ∠B PA=90° (4分)‎ ‎∴∠EA P =90°—∠BE A,∠B=90°—∠BE A,‎ ‎∴∠EA P =∠B=∠F (5分)‎ 又∠C=∠C,∴△ACP∽△FCA (6分)‎ ‎ (3)∵ ∠C PE= ∠B PO=∠B=∠EA P, ∠C=∠C ‎ ‎ ∴△P C E ∽△ACP ∴ (7分)‎ ‎∵∠EA P=∠B,∠E P A =∠A P B =90°‎ ‎∴△EA P ∽△A B P ∴ (8分)‎ 又AC=AB,∴ (9分)‎ 于是有 ∴CP=AE. (10分)‎ ‎10.(肇庆市2010)(1)证明:将点P(2,1)代入得: ‎ 整理得: (2分)‎ ‎(2)解:∵ ∴= (4分)‎ ‎∵—2<0 ∴当= —1时,有最大值2; (5分)‎ ‎(3)解:由题意得:,‎ ‎∴=︱—︱=,即︱—︱ = (6分)‎ 亦即 (7分)‎ 由根与系数关系得:, (8分)‎ 代入得:,‎ 整理得: (9分)‎ 解得:,经检验均合题意. (10分)‎ ‎11.(2010.广东茂名)‎ ‎12.(2010.广东茂名)‎ 12. ‎13.(2010广东湛江)解:(1)当0≤≤2时,设函数解析式为,由题意得 1分 ‎ 解得 3分 当0≤≤2时,函数解析式为. 4分 ‎(2)当>2时,设函数解析式为,由题意得 5分 ‎ 解得 7分 当>2时,函数解析式为. 8分 ‎(3)把代入中,得 ,解得 9分 ‎ 把代入中,得 ,解得 10分 ‎(小时) 11分 答:服药一次,治疗疾病的有效时间是3小时. 12分 ‎14.(2010广东湛江)解:(1) A(5,0), 1分 由抛物线经过原点O,可设抛物线的解析式为,得 2分 ‎ 解得 4分 抛物线的解析式为 5分 ‎(2)如图,由(1)得抛物线的对称轴是直线,点O、A关于直线对称.‎ 连接AB交直线于点C,则点C使BC+OC的值最小.……………………………6分 设直线AB的解析式为y=kx+b,得 解得 ‎ 直线AB的解析式为 ………………………8分 把x=代入,得 点C的坐标为(,). …………………………9分 ‎(3)如图,过P作y轴的平行线交AB于点D,设点P的横坐标为x,得 P , D……………10分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时,有最大值为. 12分 把代入,得 此时点P的坐标为,△PAB的最大面积为. 13分 ‎15.(2010广东佛山)(1)是第二类知识。………………………………………………1分 ‎ (2)单项式乘以多项式(分配律),字母表示数,数可以表示线段的长或图形的面积,等等。…………………………………………4分 ‎(3)用数来说明:(a+b)(c+d)=(a+b)c+(a+b)d=ac+bc+ad+bd。………(2分+1分)……………………………………………………………7分 ‎ 用形来说明:如右图,边长为a+b和c+d的矩形,……………9分 分割前后的面积相等,‎ 即(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd。……………………………………10分(1)‎ ‎16.(2010广东佛山)(i)如图,若点D在线段AB上,‎ 由于∠ACB>∠ABC,可以作一个点D满足∠ACD=∠ABC, ‎ 使得△ACD∽△ABC。………………………………………1分 ‎(ii)如图①,若点D在线段AB的延长线上,‎ 则∠ACD>∠ACB>∠ABC,与条件矛盾,‎ 因此,这样的点D不存在。…………………………2分 ‎(iii)如图②,若点D在线段AB的反向延长线上,‎ 由于∠BAC是锐角,则∠BAC<90°<∠CAD,‎ 不可能有△ACD∽△ABC.‎ 因此,这样的点D不存在。……………………………………6分 综上所述,这样的点D有一个。………………………………7分 注:(iii)中用“∠CAD是钝角,△ABC中只可能∠ACB是钝角,而∠CAD>∠ACB”说明不存在点D亦可。‎ ‎(2)若∠BAC为锐角,由(1)知,这样的点D有一个;‎ ‎ 若∠BAC为直角,这样的点D有两个;………………………9分 ‎ 若∠BAC为钝角,这样的点D有一个。………………………11分 ‎17.(2010广州)解:(1)连接OA,取OP与AB的交点为F,则有OA=1.‎C P D O B A E C P D O B A E F C P D O B A E H G ‎∵弦AB垂直平分线段OP,∴OF=OP=,AF=BF.‎ 在Rt△OAF中,∵AF===,∴AB=2AF=.‎ ‎(2)∠ACB是定值.‎ 理由:由(1)易知,∠AOB=120°,‎ 因为点D为△ABC的内心,所以,连结AD、BD,则∠CAB=2∠DAE,∠CBA=2∠DBA,‎ 因为∠DAE+∠DBA=∠AOB=60°,所以∠CAB+∠CBA=120°,所以∠ACB=60°;‎ ‎(3)记△ABC的周长为l,取AC,BC与⊙D的切点分别为G,H,连接DG,DC,DH,则有DG=DH=DE,DG⊥AC,DH⊥BC.‎ ‎∴‎ ‎=AB•DE+BC•DH+AC•DG=(AB+BC+AC) •DE=l•DE.‎ ‎∵=4,∴=4,∴l=8DE.‎ ‎∵CG,CH是⊙D的切线,∴∠GCD=∠ACB=30°,‎ ‎∴在Rt△CGD中,CG===DE,∴CH=CG=DE.‎ 又由切线长定理可知AG=AE,BH=BE,‎ ‎∴l=AB+BC+AC=2+2DE=8DE,解得DE=3,‎ ‎∴△ABC的周长为24.‎ ‎18.(2010广州)【答案】(1)由题意得B(3,1).‎ 若直线经过点A(3,0)时,则b=‎ 若直线经过点B(3,1)时,则b=‎ 若直线经过点C(0,1)时,则b=1‎ ‎①若直线与折线OAB的交点在OA上时,即1<b≤,如图25-a,‎ ‎ 此时E(2b,0)‎ ‎∴S=OE·CO=×2b×1=b 图3‎ ‎②若直线与折线OAB的交点在BA上时,即<b<,如图2‎图1‎ 图2‎ 此时E(3,),D(2b-2,1)‎ ‎∴S=S矩-(S△OCD+S△OAE +S△DBE )‎ ‎= 3-[(2b-1)×1+×(5-2b)·()+×3()]=‎ ‎∴‎ ‎(2)如图3,设O1A1与CB相交于点M,OA与C1B1相交于点N,则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。‎ 由题意知,DM∥NE,DN∥ME,∴四边形DNEM为平行四边形 根据轴对称知,∠MED=∠NED 又∠MDE=∠NED,∴∠MED=∠MDE,∴MD=ME,∴平行四边形DNEM为菱形.‎ 过点D作DH⊥OA,垂足为H,‎ 由题易知,tan∠DEN=,DH=1,∴HE=2,‎ 设菱形DNEM 的边长为a,‎ 则在Rt△DHM中,由勾股定理知:,∴‎ ‎∴S四边形DNEM=NE·DH=‎ ‎∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化,面积始终为.‎ ‎19.(2010广东深圳)(1)、因为点A、B均在抛物线上,故点A、B的坐标适合抛物线方程 ‎∴ 解之得:;故为所求 ‎(2)如图2,连接BD,交y轴于点M,则点M就是所求作的点 设BD的解析式为,则有,,‎ 故BD的解析式为;令则,故 ‎(3)、如图3,连接AM,BC交y轴于点N,由(2)知,OM=OA=OD=2,‎ 图3‎ 易知BN=MN=1, 易求 ‎;设,‎ 依题意有:,即:‎ 解之得:,,故 符合条件的P点有三个:‎ ‎20.(2010广东深圳)(1)、如图4,OE=5,,CH=2‎ F 图4‎ ‎(2)、如图5,连接QC、QD,则,‎ 易知,故,‎ ‎,,由于,‎ ‎;‎ ‎(3)、如图6,连接AK,AM,延长AM,‎ 与圆交于点G,连接TG,则 ‎,‎ 由于,故,;‎ 而,故 在和中,;‎ 故;‎ 图5‎ F ‎;‎ 即:‎ 故存在常数,始终满足 常数 F 图6‎ ‎1‎ ‎21.(2010广东珠海).解:(1)当BD=AC=4时,△PAD是以AD为底边的等腰三角形 ‎∵P是优弧BAC的中点 ∴弧PB=弧PC ‎∴PB=PC ‎∵BD=AC=4 ∠PBD=∠PCA ‎∴△PBD≌△PCA ‎∴PA=PD 即△PAD是以AD为底边的等腰三角形 ‎(2)由(1)可知,当BD=4时,PD=PA,AD=AB-BD=6-4=2‎ 过点P作PE⊥AD于E,则AE=AD=1‎ ‎∵∠PCB=∠PAD∴cos∠PAD=cos∠PCB=∴PA=‎ ‎22.(2010广东珠海)解:(1)∠ABE=∠CBD=30° ‎ 在△ABE中,AB=6‎ BC=BE=‎ CD=BCtan30°=4‎ ‎∴OD=OC-CD=2‎ ‎∴B(,6) D(0,2)‎ 设BD所在直线的函数解析式是y=kx+b ‎ ∴ ‎ 所以BD所在直线的函数解析式是 ‎(2)∵EF=EA=ABtan30°= ∠FEG=180°-∠FEB-∠AEB=60°‎ 又∵FG⊥OA ‎ ‎∴FG=EFsin60°=3 GE=EFcos60°= OG=OA-AE-GE=‎ 又H为FG中点 ‎∴H(,) …………4分 ‎∵B(,6) 、 D(0,2)、 H(,)在抛物线图象上 ‎ ‎ ∴ ‎ ‎∴抛物线的解析式是 ‎(2)∵MP=‎ MN=6-‎ H=MP-MN=‎ 由得 该函数简图如图所示:‎ 当00,即HP>MN ‎23.(2010广东梅州)(1)证明: ∵EC平分∠BCA, ∴∠BCE=∠PCE.‎ ‎∵,∴∠PEC=∠BCE.‎ ‎∴∠PEC=∠PCE, ∴PE=PC. …………2分 同理可证PC=PF.‎ ‎∴PE=PF. …………………………………3分 ‎(2)四边形不可能是菱形. …………………4分 若为菱形,则,而由(1)可知.…………………………………5分 因为在平面内过同一点不可能有两条直线同垂直于一条直线,所以不能成立,所以四边形不可能是菱形. …………………6分 ‎(3)当为正方形时,P是AC的中点,且.‎ ‎∵,∴.‎ ‎∴是以为直角的直角三角形.………………………………… …8分 ‎∵,在Rt△ABC中, .‎ ‎∴∠A=30°. ‎ ‎24.(2010广东梅州)解:(1)∵B(4,1),则A(4,0),设OD=,得DA=4-. ‎ 因为D是以BC为直径的圆与轴的交点, ‎ ‎∴∠CDB=90°,∴∠ODC+ ∠BDA=90°.‎ ‎∵∠OCD+∠ODC=90°, ∴∠OCD= ∠BDA..‎ ‎∴Rt△OCD∽Rt△ADB.‎ ‎ ∴.……………………………3分 ‎,即 解得 可得E(1,0),D(3,0). …………………………4分 ‎(2) ∵C(0,3),D(3,0),B(4,1).‎ 设过此三点的抛物线为则.……………6分 解得.‎ 过B,C,D三点的抛物线的函数关系式为. …………7分 ‎(3)假设存在,分两种情况讨论:‎ ‎①当∠BDQ=90°时,由(1)可知∠BDC=90°,且点在抛物线上,故点与点重合,所求的点为(0,3); …………………………………8分 ‎②当∠DBQ=90°时,过点B作平行于DC的直线BQ,假设直线BQ交抛物线于另一点Q.‎ ‎∵D(3,0),C(0,3),直线DC为. ………………………8.5分 ‎∵BQ∥DC,故可设直线BQ为.‎ 将B(4,1)代入,得m=5.(或直线DC向上平移2个单位与直线BQ重合)‎ 直线BQ为. …………………………………9分 由.得.或.‎ 又点B(4,1), ∴Q(-1,6).‎ 故该抛物线上存在两点(0,3),(-1,6)满足条件.…………………………………11分