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- 2021-05-13 发布
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第一轮复习之几何——三角形相似
Ⅰ.三角形相似的判定
例1 (珠海)如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,
连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B.
(1)求证:△ADF∽△DEC
(2)若AB=4,AD=3,AE=3,求AF的长.
例2(襄阳)如图9,点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点A.B重合),连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE, PE交边BC于点F.连接BE、DF。
(1)求证:∠ADP=∠EPB;
(2)求∠CBE的度数;
(3)当的值等于多少时.△PFD∽△BFP?并说明理由.
2.相似与圆结合,注意求证线段乘积,一般是转化证它所在的三角形相似。
将乘积式转化为比例式→比例式边长定位到哪个三角形→找条件证明所在的三角形相似
例3 (日照)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交AC与E,交BC与D.
求证:(1)D是BC的中点;
(2)△BEC∽△ADC;
(3)BC2=2AB•CE.
3.相似与三角函数结合,
①若题目给出三角函数值一般会将给出的三角函数值用等角进行转化,然后求线段的长度
②求某个角的三角函数值,一般会先将这个角用等角转化,间接求三角函数值
例4 (2011四川南充市)如图,点E是矩形ABCD中CD边上一点,⊿BCE沿BE折叠为
⊿BFE,点F落在AD上.(1)求证:⊿ABE∽⊿DFE;(2)若sin∠DFE=,求tan∠EBC的值.
课外作业
一、选择题
1、如图1,将非等腰的纸片沿折叠后,使点落在边上的点处.若点 为边的中点,则下列结论:①是等腰三角形;②;③是的中位线,成立的有( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
图1 图2
2.如图,等边△ABC中,BD=CE,AD与BE相交于点P,则∠APE的度数是( )
A.45° B.55° C.60° D.75°
3. (四川凉山州)如图3,在中,,,点为的中点,,垂足为点,则等于( )
A. B. C. D.
D
图3 图4 图5
4. (四川南充市)如图4,⊿ABC和⊿CDE均为等腰直角三角形,点B,C,D在一条直线上,点M是AE的中点,下列结论:①tan∠AEC=;②S⊿ABC+S⊿CDE≧S⊿ACE ;③BM⊥DM;④BM=DM.
正确结论的个数是( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
5. (山东济宁)如图5,等边三角形ABC中,D、E分别为AB、BC边上的两个动点,且总使AD=BE,AE与CD交于点F,AG⊥CD于点G,则 .
6.(深圳)如图6,已知点A、B、C、D均在已知圆上,AD∥BC,AC 平分∠BCD,
∠ADC = 120°,四边形ABCD的周长为10cm.图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
A
O
B
C
X
Y
图6 图7
7.如图7,在直角坐标系中,将矩形OABC沿OB对折,使点A落在点 处。已知,,则点的坐标是( )。
A、(,) B、(,) C、(,) D、(,)
三、解答题
1如图,矩形ABCD中,点E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE于F,连结DE.
求证:DF=DC.
2.如图,四边形ABCD是矩形,△PBC和△QCD都是等边三角形A
C
B
D
P
Q
,且点P在矩形上方,点Q在矩形内.求证:(1)∠PBA=∠PCQ=30°;(2)PA=PQ.
3. (山东日照)如图9,已知点D为等腰直角△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°,E为AD延长线上的一点,且CE=CA.
(1)求证:DE平分∠BDC;(2)若点M在DE上,且DC=DM,求证: ME=BD.
4. (山东日照)如图5AB是⊙O的直径,AC是弦,CD是⊙O的切线,C为切点,AD⊥CD于点D.求证:(1)∠AOC=2∠ACD;
(2)AC2=AB·AD.
5.(遵义) 把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠,使点A与点E重合,点C与点F重合(E、F两点均在BD上),折痕分别为BH、DG。
(1)求证:△BHE≌△DGF;
(2)若AB=6cm,BC=8cm,求线段FG的长。
第一轮复习之几何——四边形
例1 (广东)如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等
A
B
C
D
E
F
边△ABE。已知∠BAC=30º,EF⊥AB,垂足为F,连结DF。
(1)试说明AC=EF;
(2)求证:四边形ADFE是平行四边形。
例2 (安徽省中中考)如图,AD∥FE,点B、C在AD上,∠1=∠2,BF=BC
⑴求证:四边形BCEF是菱形
⑵若AB=BC=CD,求证:△ACF≌△BDE
例3 (潼南中考)如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,点G是BC延长线上一
点,连结AG,点E、F分别在AG上,连接BE、DF,∠1=∠2 , ∠3=∠4.
(1)证明:△ABE≌△DAF;
(2)若∠AGB=30°,求EF的长.
例4 (崇左中考)如图,在等腰梯形中,已知,,, 延长到,使.
(1)证明:;
D
A
B
E
C
F
(2)如果,求等腰梯形的高的值.
【对应练习】
1.(海南) 如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,点P、Q分别在边AB、BC上,且AP=BQ.
(1)求证:△BDQ≌△ADP;
(2)已知AD=3,AP=2,求cos∠BPQ的值(结果保留根号).
2、(新疆)如图,是四边形的对角线上两点,.
A
B
D
E
F
C
求证:(1).
(2)四边形是平行四边形.
3.(肇庆) 如罔7,在一方形ABCD中.E为对角线AC上一点,连接EB、ED,
(1)求证:△BEC≌△DEC:
(2)延长BE交AD于点F,若∠DEB=140°.求∠AFE的度数.
4. (河南)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,延长CB到点E,使BE=AD,连接DE交AB于点M.
(1)求证:△AMD≌△BME;
(2)若N是CD的中点,且MN=5,BE=2,求BC的长.
第一轮复习之几何——圆
Ⅰ、证线段相等
A
C
B
D
E
F
O
例1:(金华)如图,AB是⊙O的直径,C是的中点,CE⊥AB于 E,BD交CE于点F.
(1)求证:CF =BF;(2)若CD =6, AC =8,则⊙O的半径为 ___ ,CE的长是 ___ .
2、证角度相等
例2(株洲市)如图,是⊙O的直径,为圆周上一点,,过点的切线与的延长线交于点.:求证:(1);(2)≌.
3、证切线
点拨:证明切线的方法——连半径,证垂直。根据:过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线
例3如图,四边形ABCD内接于⊙O,BD是⊙O的直径,
AE⊥CD于点E,DA平分∠BDE。
(1)求证:AE是⊙O的切线。
(2)若∠DBC=30°,DE=1cm,求BD的长。
例4 (曲靖)如图,点A、B、C、D都在⊙O上,OC⊥AB,∠ADC=30°.
(1)求∠BOC的度数;
(2)求证:四边形AOBC是菱形.
对应练习
F
A
DO
E
E
O
C
B
1.〔浙江省义乌〕如图,已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直,垂足为点E. ⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F,且AD=3,cos∠BCD=.
(1)求证:CD∥BF;
(2)求⊙O的半径;
(3)求弦CD的长.
2.(深圳市)如图,点D是⊙O的直径CA延长线上一点,点B在⊙O上,
且AB=AD=AO.
(1)求证:BD是⊙O的切线.
(2)若点E是劣弧BC上一点,AE与BC相交于点F,
且△BEF的面积为8,cos∠BFA=,求△ACF的面积.
课外作业
1. (山东东营)一副三角板,如图所示叠放在一起,则图中∠的度数是( )
A. B. C. D.
图1 图2
2.如图2,在边长为4的等边三角形ABC中,AD是BC边上的高,点E、F是AD上的两点,则图中阴影部分的面积是( )
A.4 B.3 C.2 D.
3. (贵州贵阳)如图3,△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,点P是BC边上的动点,则AP长不可能是
6
8
C
E
A
B
D
图3 图4
(A)3.5 (B)4.2 (C)5.8 (D)7
4. 如图4,直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将如图那样折叠,使点与点重合,折痕为,则的值是( )
A. B. C. D.
5.如图5,是等腰直角三角形,是斜边,将绕点逆时针旋转后,能与重合,如果,那么的长等于( )
A. B. C. D.
6. (浙江台州)图6,已知等边△ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,把△BDE沿直线DE翻折,使点B落在点Bˊ处,DBˊ,EBˊ分别交边AC于点F,G,若∠ADF=80º ,则∠EGC的度数为
图5 图6
7.如图,已知:在平行四边形ABCD中,AB=4cm,AD=7cm,∠ABC的平分线交AD于点E,交CD的延长线于点F,则DF=______cm.
8.如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=3,对角线AC的垂直平分线分别交AD,BC于点E、F,连接CE,则CE的长________.
9.(安徽芜湖)如图,BD是⊙O的直径,OA⊥OB,M是劣弧上一点,过点M作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点,MD与OA交于点N。
(1)求证:PM=PN;
(2)若BD=4,PA=AO,过B点作BC∥MP交⊙O于C点,求BC的长.
10.(湛江)如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O交BC于点P,PD⊥AC于点D,且PD与⊙O相切.
C
B
A
O
P
D
(1)求证:AB=AC;(2)若BC=6,AB=4,求CD的值.
11.一副直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°, ∠ E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长.
12.(山东日照)如图,四边形ABCD是边长为a的正方形,点G,E分别是边AB,BC的中点,∠AEF=90o,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.
(1)证明:∠BAE=∠FEC;
(2)证明:△AGE≌△ECF;
(3)求△AEF的面积.
几何之——解直角三角形
1(湖北黄冈市)在△ABC中,∠C=90°,sinA=,则tanB=( )
A. B. C. D.
2、在∆ABC中,若|sinA- |+(-cosB)2=0, ∠A.∠B都是锐角,则∠C的度数是( )
A. 750 B. 900 C.1050 D.1200
3、(温州)如下左图,在△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=5,则sinA的值是( )
A、 B、 C、 D、
4、(苏州)如上右图,在四边形ABCD中,E、F分別是AB、AD的中点,若EF=2, BC=5,CD=3,则tanC等于( )
A、 B、 C、 D、
5、如,在矩形ABCD中,DE⊥AC于E,设∠ADE=,且, AB = 4, 则AD的长为( ).
(A)3 (B) (C) (D)
6、(牡丹江)在锐角△ABC中,∠BAC=60°,BD、CE为高,F为BC的中点,连接DE、DF、EF,则结论:①DF=EF;②AD:AB=AE:AC;③△DEF是等边三角形;④BE+CD=BC;⑤当∠ABC=45°时,BE=DE中,一定正确的有( )
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
7.=
A
B
C
D
αA
8.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米,此时他与水平地面的垂直距离为米,则这 个破面的坡度为 .
9.如图,已知直线∥∥∥,相邻两条平行直线间的距离都是1,如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上,则 .
直角三角形常见模型
1 张华同学在学校某建筑物的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为30°,旗杆底部B点的俯角为45°.若旗杆底部B点到建筑物的水平距离BE=9米,旗杆台阶高1米,试求旗杆AB的高度。
2.海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶,在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向,2小时后船行驶到C处,发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向,求此时灯塔B到C处的距离。
3(漠河)某年入夏以来,松花江哈尔滨段水位不断下降,一条船在松花江某段自西向东沿直线航行,在A处测得航标C在北偏东60°方向上。前进100m到达B处,又测得航标C在北偏东45°方向上(如图),在以航标C为圆心,120m为半径的圆形区域内有浅滩,如果这条船继续前进,是否有被浅滩阻碍的危险?
A
D
B
E
图6
i=1:
C
4: (·东莞市)如图6,梯形ABCD是拦水坝的横断面图,(图中是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比),∠B=60°,AB=6,AD=4,求拦水坝的横断面ABCD的面积.(结果保留三位有效数字.参考数据:≈1.732,≈1.414)