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- 2021-05-13 发布
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2016年江苏省泰州市中考数学试卷
一、选择题:本大题共有6小题,每小题3分,共18分
1.(3分)(2016•泰州)4的平方根是( )
A.±2 B.﹣2 C.2 D.
2.(3分)(2016•泰州)人体中红细胞的直径约为0.0000077m,将数0.0000077用科学记数法表示为( )
A.77×10﹣5 B.0.77×10﹣7 C.7.7×10﹣6 D.7.7×10﹣7
3.(3分)(2016•泰州)下列图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.(3分)(2016•泰州)如图所示的几何体,它的左视图与俯视图都正确的是( )
A. B. C. D.
5.(3分)(2016•泰州)对于一组数据﹣1,﹣1,4,2,下列结论不正确的是( )
A.平均数是1 B.众数是﹣1 C.中位数是0.5 D.方差是3.5
6.(3分)(2016•泰州)实数a、b满足+4a2+4ab+b2=0,则ba的值为( )
A.2 B. C.﹣2 D.﹣
二、填空题:本大题共10小题,每小题3分,共30分
7.(3分)(2016•泰州)(﹣)0等于 .
8.(3分)(2016•泰州)函数中,自变量x的取值范围是 .
9.(3分)(2016•泰州)抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1枚,朝上一面的点数为偶数的概率是 .
10.(3分)(2018•徐州)五边形的内角和是 °.
11.(3分)(2016•泰州)如图,△ABC中,D、E分别在AB、AC上,DE∥BC,AD:AB=1:3,则△ADE与△ABC的面积之比为 .
12.(3分)(2016•泰州)如图,已知直线l1∥l2,将等边三角形如图放置,若∠α=40°,则∠β等于 .
13.(3分)(2016•泰州)如图,△ABC中,BC=5cm,将△ABC沿BC方向平移至△A′B′C′的对应位置时,A′B′恰好经过AC的中点O,则△ABC平移的距离为 cm.
14.(3分)(2016•泰州)方程2x﹣4=0的解也是关于x的方程x2+mx+2=0的一个解,则m的值为 .
15.(3分)(2016•泰州)如图,⊙O的半径为2,点A、C在⊙O上,线段BD经过圆心O,∠ABD=∠CDB=90°,AB=1,CD=,则图中阴影部分的面积为 .
16.(3分)(2016•泰州)二次函数y=x2
﹣2x﹣3的图象如图所示,若线段AB在x轴上,且AB为2个单位长度,以AB为边作等边△ABC,使点C落在该函数y轴右侧的图象上,则点C的坐标为 .
三、解答题
17.(12分)(2016•泰州)计算或化简:
(1)﹣(3+);
(2)(﹣)÷.
18.(8分)(2016•泰州)某校为更好地开展“传统文化进校园”活动,随机抽查了部分学生,了解他们最喜爱的传统文化项目类型(分为书法、围棋、戏剧、国画共4类),并将统计结果绘制成如图不完整的频数分布表及频数分布条形图.
最喜爱的传统文化项目类型频数分布表
项目类型
频数
频率
书法类
18
a
围棋类
14
0.28
喜剧类
8
0.16
国画类
b
0.20
根据以上信息完成下列问题:
(1)直接写出频数分布表中a的值;
(2)补全频数分布条形图;
(3)若全校共有学生1500名,估计该校最喜爱围棋的学生大约有多少人?
19.(8分)(2016•泰州)一只不透明的袋子中装有3个球,球上分别标有数字0,1,2,这些球除了数字外其余都相同,甲、乙两人玩摸球游戏,规则如下:先由甲随机摸出一个球(不放回),再由乙随机摸出一个球,两人摸出的球所标的数字之和为偶数时则甲胜,和为奇数时则乙胜.
(1)用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果;
(2)这样的游戏规则是否公平?请说明理由.
20.(8分)(2016•泰州)随着互联网的迅速发展,某购物网站的年销售额从2013年的200万元增长到2015年的392万元.求该购物网站平均每年销售额增长的百分率.
21.(10分)(2016•泰州)如图,△ABC中,AB=AC,E在BA的延长线上,AD平分∠CAE.
(1)求证:AD∥BC;
(2)过点C作CG⊥AD于点F,交AE于点G,若AF=4,求BC的长.
22.(10分)(2016•泰州)如图,地面上两个村庄C、D处于同一水平线上,一飞行器在空中以6千米/小时的速度沿MN方向水平飞行,航线MN与C、D在同一铅直平面内.当该飞行器飞行至村庄C的正上方A处时,测得∠NAD=60°;该飞行器从A处飞行40分钟至B处时,测得∠ABD=75°.求村庄C、D间的距离(取1.73,结果精确到0.1千米)
23.(10分)(2016•泰州)如图,△ABC中,∠ACB=90°,D为AB上一点,以CD为直径的⊙O交BC于点E,连接AE交CD于点P,交⊙O于点F,连接DF,∠CAE=∠ADF.
(1)判断AB与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若PF:PC=1:2,AF=5,求CP的长.
24.(10分)(2016•泰州)如图,点A(m,4),B(﹣4,n)在反比例函数y=(k>0)的图象上,经过点A、B的直线与x轴相交于点C,与y轴相交于点D.
(1)若m=2,求n的值;
(2)求m+n的值;
(3)连接OA、OB,若tan∠AOD+tan∠BOC=1,求直线AB的函数关系式.
25.(12分)(2016•泰州)已知正方形ABCD,P为射线AB上的一点,以BP为边作正方形BPEF,使点F在线段CB的延长线上,连接EA、EC.
(1)如图1,若点P在线段AB的延长线上,求证:EA=EC;
(2)若点P在线段AB上.
①如图2,连接AC,当P为AB的中点时,判断△ACE的形状,并说明理由;
②如图3,设AB=a,BP=b,当EP平分∠AEC时,求a:b及∠AEC的度数.
26.(14分)(2016•泰州)已知两个二次函数y1=x2+bx+c和y2=x2+m.对于函数y1,当x=2时,该函数取最小值.
(1)求b的值;
(2)若函数y1的图象与坐标轴只有2个不同的公共点,求这两个公共点间的距离;
(3)若函数y1、y2的图象都经过点(1,﹣2),过点(0,a﹣3)(a为实数)作x轴的平行线,与函数y1、y2的图象共有4个不同的交点,这4个交点的横坐标分别是x1、x2、x3、x4,且x1<x2<x3<x4,求x4﹣x3+x2﹣x1的最大值.
2016年江苏省泰州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共有6小题,每小题3分,共18分
1.(3分)(2016•泰州)4的平方根是( )
A.±2 B.﹣2 C.2 D.
【分析】直接利用平方根的定义分析得出答案.
【解答】解:4的平方根是:±=±2.
故选:A.
【点评】此题主要考查了平方根,正确把握平方根的定义是解题关键.
2.(3分)(2016•泰州)人体中红细胞的直径约为0.0000077m,将数0.0000077用科学记数法表示为( )
A.77×10﹣5 B.0.77×10﹣7 C.7.7×10﹣6 D.7.7×10﹣7
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10﹣n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
【解答】解:0.0000077=7.7×10﹣6,
故选:C.
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×10﹣n,其中1≤|a|<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
3.(3分)(2016•泰州)下列图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
【解答】解:A、不是轴对称图形.是中心对称图形,故错误;
B、是轴对称图形,又是中心对称图形.故正确;
C、是轴对称图形,不是中心对称图形.故错误;
D、是轴对称图形.不是中心对称图形,故错误.
故选:B.
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念:轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.
4.(3分)(2016•泰州)如图所示的几何体,它的左视图与俯视图都正确的是( )
A. B. C. D.
【分析】该几何体的左视图为一个矩形,俯视图为矩形.
【解答】解:该几何体的左视图是边长分别为圆的半径和厚的矩形,俯视图是边长分别为圆的直径和厚的矩形,
故选:D.
【点评】本题考查了简单几何体的三视图;用到的知识点为:主视图,左视图与俯视图分别是从物体的正面,左面,上面看得到的图形.
5.(3分)(2016•泰州)对于一组数据﹣1,﹣1,4,2,下列结论不正确的是( )
A.平均数是1 B.众数是﹣1 C.中位数是0.5 D.方差是3.5
【分析】根据众数、中位数、方差和平均数的定义和计算公式分别对每一项进行分析,即可得出答案.
【解答】解:这组数据的平均数是:(﹣1﹣1+4+2)÷4=1;
﹣1出现了2次,出现的次数最多,则众数是﹣1;
把这组数据从小到大排列为:﹣1,﹣1,2,4,最中间的数是第2、3个数的平均数,则中位数是=0.5;
这组数据的方差是:[(﹣1﹣1)2+(﹣1﹣1)2+(4﹣1)2+(2﹣1)2]=4.5;
则下列结论不正确的是D;
故选:D.
【点评】此题考查了方差、平均数、众数和中位数,一般地设n个数据,x1,x2,…xn的平均数为,则方差S2=[(x1﹣)2+(x2﹣)2+…+(xn﹣)2];一组数据中出现次数最多的数据叫做众数;将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.
6.(3分)(2016•泰州)实数a、b满足+4a2+4ab+b2=0,则ba的值为( )
A.2 B. C.﹣2 D.﹣
【分析】先根据完全平方公式整理,再根据非负数的性质列方程求出a、b的值,然后代入代数式进行计算即可得解.
【解答】解:整理得,+(2a+b)2=0,
所以,a+1=0,2a+b=0,
解得a=﹣1,b=2,
所以,ba=2﹣1=.
故选:B.
【点评】本题考查了非负数的性质:几个非负数的和为0时,这几个非负数都为0.
二、填空题:本大题共10小题,每小题3分,共30分
7.(3分)(2016•泰州)(﹣)0等于 1 .
【分析】依据零指数幂的性质求解即可.
【解答】解:由零指数幂的性质可知:(﹣)0=1.
故答案为:1.
【点评】本题主要考查的是零指数幂的性质,掌握零指数幂的性质是解题的关键.
8.(3分)(2016•泰州)函数中,自变量x的取值范围是 .
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0;令分母为0,可得到答案.
【解答】解:根据题意得2x﹣3≠0,
解可得x≠,
故答案为x≠.
【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围和分式有意义的条件,当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0.
9.(3分)(2016•泰州)抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1枚,朝上一面的点数为偶数的概率是 .
【分析】根据概率公式知,6个数中有3个偶数,故掷一次骰子,向上一面的点数为偶数的概率是.
【解答】解:根据题意可得:掷一次骰子,向上一面的点数有6种情况,其中有3种为向上一面的点数为偶数,
故其概率是=.
故答案为:.
【点评】本题主要考查了概率的求法的运用,如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=,难度适中.
10.(3分)(2018•徐州)五边形的内角和是 540 °.
【分析】根据多边形的内角和是(n﹣2)•180°,代入计算即可.
【解答】解:(5﹣2)•180°
=540°,
故答案为:540°.
【点评】本题考查的是多边形的内角和的计算,掌握多边形的内角和可以表示成(n﹣2)•180°是解题的关键.
11.(3分)(2016•泰州)如图,△ABC中,D、E分别在AB、AC上,DE∥BC,AD:AB=1:3,则△ADE与△ABC的面积之比为 1:9 .
【分析】由DE与BC平行,得到两对同位角相等,利用两对角相等的三角形相似得到三角形ADE与三角形ABC相似,利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到结果.
【解答】解:∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,
∴△ADE∽△ABC,
∴S△ADE:S△ABC=(AD:AB)2=1:9,
故答案为:1:9.
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键.
12.(3分)(2016•泰州)如图,已知直线l1∥l2,将等边三角形如图放置,若∠α=40°,则∠β等于 20° .
【分析】过点A作AD∥l1,如图,根据平行线的性质可得∠BAD=∠β.根据平行线的传递性可得AD∥l2,从而得到∠DAC=∠α=40°.再根据等边△ABC可得到∠BAC=60°,就可求出∠DAC,从而解决问题.
【解答】解:过点A作AD∥l1,如图,
则∠BAD=∠β.
∵l1∥l2,
∴AD∥l2,
∵∠DAC=∠α=40°.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=60°,
∴∠β=∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=60°﹣40°=20°.
故答案为20°.
【点评】本题主要考查了平行线的性质、平行线的传递性、等边三角形的性质等知识,当然也可延长BA与l2交于点E,运用平行线的性质及三角形外角的性质解决问题.
13.(3分)(2016•泰州)如图,△ABC中,BC=5cm,将△ABC沿BC方向平移至△A′B′C′的对应位置时,A′B′恰好经过AC的中点O,则△ABC平移的距离为 2.5 cm.
【分析】
根据平移的性质:对应线段平行,以及三角形中位线定理可得B′是BC的中点,求出BB′即为所求.
【解答】解:∵将△ABC沿BC方向平移至△A′B′C′的对应位置,
∴A′B′∥AB,
∵O是AC的中点,
∴B′是BC的中点,
∴BB′=5÷2=2.5(cm).
故△ABC平移的距离为2.5cm.
故答案为:2.5.
【点评】考查了平移的性质,平移的基本性质:
①平移不改变图形的形状和大小;
②经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等.
14.(3分)(2016•泰州)方程2x﹣4=0的解也是关于x的方程x2+mx+2=0的一个解,则m的值为 ﹣3 .
【分析】先求出方程2x﹣4=0的解,再把x的值代入方程x2+mx+2=0,求出m的值即可.
【解答】解:2x﹣4=0,
解得:x=2,
把x=2代入方程x2+mx+2=0得:
4+2m+2=0,
解得:m=﹣3.
故答案为:﹣3.
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解,先求出x的值,再代入方程x2+mx+2=0是解决问题的关键,是一道基础题.
15.(3分)(2016•泰州)如图,⊙O的半径为2,点A、C在⊙
O上,线段BD经过圆心O,∠ABD=∠CDB=90°,AB=1,CD=,则图中阴影部分的面积为 π .
【分析】通过解直角三角形可求出∠AOB=30°,∠COD=60°,从而可求出∠AOC=150°,再通过证三角形全等找出S阴影=S扇形OAC,套入扇形的面积公式即可得出结论.
【解答】解:在Rt△ABO中,∠ABO=90°,OA=2,AB=1,
∴OB==,sin∠AOB==,∠AOB=30°.
同理,可得出:OD=1,∠COD=60°.
∴∠AOC=∠AOB+(180°﹣∠COD)=30°+180°﹣60°=150°.
在△AOB和△OCD中,有,
∴△AOB≌△OCD(SSS).
∴S阴影=S扇形OAC.
∴S扇形OAC=πR2=π×22=π.
故答案为:π.
【点评】本题考查了全等三角形的判定、解直角三角以及扇形的面积公式,解题的关键是找出S阴影=S扇形OAC.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据拆补法将不规则的图形变成规则的图形,再套用规则图形的面积公式进行计算即可.
16.(3分)(2016•泰州)二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示,若线段AB在x轴上,且AB为2个单位长度,以AB为边作等边△ABC,使点C落在该函数y轴右侧的图象上,则点C的坐标为 (1+,3)或(2,﹣3) .
【分析】△ABC是等边三角形,且边长为2,所以该等边三角形的高为3,又点C在二次函数上,所以令y=±3代入解析式中,分别求出x的值.由因为使点C落在该函数y轴右侧的图象上,所以x>0.
【解答】解:∵△ABC是等边三角形,且AB=2,
∴AB边上的高为3,
又∵点C在二次函数图象上,
∴C的纵坐标为±3,
令y=±3代入y=x2﹣2x﹣3,
∴x=1或0或2
∵使点C落在该函数y轴右侧的图象上,
∴x>0,
∴x=1+或x=2
∴C(1+,3)或(2,﹣3)
故答案为:(1+,3)或(2,﹣3)
【点评】本题考查二次函数的图象性质,涉及等边三角形的性质,分类讨论的思想等知识,题目比较综合,解决问题的关键是根据题意得出C的纵坐标为±3.
三、解答题
17.(12分)(2016•泰州)计算或化简:
(1)﹣(3+);
(2)(﹣)÷.
【分析】(1)先化成最简二次根式,再去括号、合并同类二次根式即可;
(2)先将括号内的分式通分,进行减法运算,再将除法转化为乘法,然后化简即可.
【解答】解:(1)﹣(3+)
=﹣(+)
=﹣﹣
=﹣;
(2)(﹣)÷
=(﹣)•
=•
=.
【点评】本题考查了二次根式的加减法以及分式的混合运算,正确化简是解题的关键.
18.(8分)(2016•泰州)某校为更好地开展“传统文化进校园”活动,随机抽查了部分学生,了解他们最喜爱的传统文化项目类型(分为书法、围棋、戏剧、国画共4类),并将统计结果绘制成如图不完整的频数分布表及频数分布条形图.
最喜爱的传统文化项目类型频数分布表
项目类型
频数
频率
书法类
18
a
围棋类
14
0.28
喜剧类
8
0.16
国画类
b
0.20
根据以上信息完成下列问题:
(1)直接写出频数分布表中a的值;
(2)补全频数分布条形图;
(3)若全校共有学生1500名,估计该校最喜爱围棋的学生大约有多少人?
【分析】(1)首先根据围棋类是14人,频率是0.28,据此即可求得总人数,然后利用18除以总人数即可求得a的值;
(2)用50乘以0.20求出b的值,即可解答;
(4)用总人数1500乘以喜爱围棋的学生频率即可求解.
【解答】解:(1)14÷0.28=50(人),
a=18÷50=0.36.
(2)b=50×0.20=10,如图,
(3)1500×0.28=420(人),
答:若全校共有学生1500名,估计该校最喜爱围棋的学生大约有420人.
【点评】本题考查了频数分布表及频数分布直方图,用到的知识点是:频率=频数÷总数,用样本估计整体让整体×样本的百分比即可.
19.(8分)(2016•泰州)一只不透明的袋子中装有3个球,球上分别标有数字0,1,2,这些球除了数字外其余都相同,甲、乙两人玩摸球游戏,规则如下:先由甲随机摸出一个球(不放回),再由乙随机摸出一个球,两人摸出的球所标的数字之和为偶数时则甲胜,和为奇数时则乙胜.
(1)用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果;
(2)这样的游戏规则是否公平?请说明理由.
【分析】(1)根据列表,可得答案;
(2)游戏是否公平,求出游戏双方获胜的概率,比较是否相等.
【解答】解:列举所有可能:
甲
0
1
2
乙
1
0
0
2
2
1
(2)游戏不公平,理由如下:
由表可知甲获胜的概率=,乙获胜的概率=,
乙获胜的可能性大,
所以游戏是不公平的.
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件.游戏双方获胜的概率相同,游戏就公平,否则游戏不公平.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比
20.(8分)(2016•泰州)随着互联网的迅速发展,某购物网站的年销售额从2013年的200万元增长到2015年的392万元.求该购物网站平均每年销售额增长的百分率.
【分析】增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),参照本题,如果设平均增长率为x,根据“从2013年的200万元增长到2015年的392万元”,即可得出方程.
【解答】解:设该购物网站平均每年销售额增长的百分率为x,
根据题意,得:200(1+x)2=392,
解得:x1=0.4,x2=﹣2.4(不符合题意,舍去).
答:该购物网站平均每年销售额增长的百分率为40%.
【点评】本题考查一元二次方程的应用.关于平均增长率问题,可设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±
x)2=b.
21.(10分)(2016•泰州)如图,△ABC中,AB=AC,E在BA的延长线上,AD平分∠CAE.
(1)求证:AD∥BC;
(2)过点C作CG⊥AD于点F,交AE于点G,若AF=4,求BC的长.
【分析】(1)由AB=AC,AD平分∠CAE,易证得∠B=∠DAG=∠CAG,继而证得结论;
(2)由CG⊥AD,AD平分∠CAE,易得CF=GF,然后由AD∥BC,证得△AGF∽△BGC,再由相似三角形的对应边成比例,求得答案.
【解答】(1)证明:∵AD平分∠CAE,
∴∠DAG=∠CAG,
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∵∠CAG=∠B+∠ACB,
∴∠B=∠CAG,
∴∠B=∠DAG,
∴AD∥BC;
(2)解:方法一:
过点A作AH⊥BC于点H,
∵AD平分∠CAE,
∴∠CAF=∠GAF,
∵AB=AC,AH⊥BC,
∴∠BAH=∠HAC,BH=HC,
∴∠HAC+∠CAF=×180°=90°,
又∵∠AFC=∠AHC=90°
∴四边形CHAD是矩形,
∴AF=HC=4,
∴BC=2HC=8.
方法二:∵CG⊥AD,
∴∠AFC=∠AFG=90°,
在△AFC和△AFG中,
,
∴△AFC≌△AFG(ASA),
∴CF=GF,
∵AD∥BC,
∴△AGF∽△BGC,
∴GF:GC=AF:BC=1:2,
∴BC=2AF=2×4=8.
【点评】此题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质.注意证得△AGF∽△BGC是关键.
22.(10分)(2016•泰州)如图,地面上两个村庄C、D处于同一水平线上,一飞行器在空中以6千米/小时的速度沿MN方向水平飞行,航线MN与C、D在同一铅直平面内.当该飞行器飞行至村庄C的正上方A处时,测得∠NAD=60°;该飞行器从A处飞行40分钟至B处时,测得∠ABD=75°.求村庄C、D间的距离(取1.73,结果精确到0.1千米)
【分析】过B作BE⊥AD于E,三角形的内角和得到∠ADB=45°,根据直角三角形的性质得到AE=2.BE=2,求得AD=2+2,即可得到结论.
【解答】解:过B作BE⊥AD于E,
∵∠NAD=60°,∠ABD=75°,
∴∠ADB=45°,
∵AB=6×=4,
∴AE=2.BE=2,
∴DE=BE=2,
∴AD=2+2,
∵∠C=90,∠CAD=30°,
∴CD=AD=1+≈2.7千米.
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
23.(10分)(2016•泰州)如图,△ABC中,∠ACB=90°,D为AB上一点,以CD为直径的⊙O交BC于点E,连接AE交CD于点P,交⊙O于点F,连接DF,∠CAE=∠ADF.
(1)判断AB与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若PF:PC=1:2,AF=5,求CP的长.
【分析】(1)结论:AB是⊙O切线,连接DE,CF,由∠FCD+∠CDF=90°,只要证明∠ADF=∠DCF即可解决问题.
(2)只要证明△PCF∽△PAC,得=,设PF=a.则PC=2a,列出方程即可解决问题.
【解答】解:(1)AB是⊙O切线.
理由:连接DE、CF.
∵CD是直径,
∴∠DEC=∠DFC=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠DEC+∠ACE=180°,
∴DE∥AC,
∴∠DEA=∠EAC=∠DCF,
∵∠DFC=90°,
∴∠FCD+∠CDF=90°,
∵∠ADF=∠EAC=∠DCF,
∴∠ADF+∠CDF=90°,
∴∠ADC=90°,
∴CD⊥AD,
∴AB是⊙O切线.
(2)∵∠CPF=∠CPA,∠PCF=∠PAC,
∴△PCF∽△PAC,
∴=,
∴PC2=PF•PA,设PF=a.则PC=2a,
∴4a2=a(a+5),
∴a=,
∴PC=2a=.
【点评】本题考查切线的判定、相似三角形的判定和性质、圆的有关性质等知识,解题的关键是添加辅助线,记住直径所对的圆周角是直角,学会用方程的思想解决问题,属于中考常考题型.
24.(10分)(2016•泰州)如图,点A(m,4),B(﹣4,n)在反比例函数y=(k>0)的图象上,经过点A、B的直线与x轴相交于点C,与y轴相交于点D.
(1)若m=2,求n的值;
(2)求m+n的值;
(3)连接OA、OB,若tan∠AOD+tan∠BOC=1,求直线AB的函数关系式.
【分析】(1)先把A点坐标代入y=求出k的值得到反比例函数解析式为y=,然后把B(﹣4,n)代入y=可求出n的值;
(2)利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4m=k,﹣4n=k,然后把两式相减消去k即可得到m+n的值;
(3)作AE⊥y轴于E,BF⊥x轴于F,如图,利用正切的定义得到tan∠AOE==,tan∠BOF==,则+=1,加上m+n=0,于是可解得m=2,n=﹣2,从而得到A(2,4),B(﹣4,﹣2),然后利用待定系数法求直线AB的解析式.
【解答】解:(1)当m=2,则A(2,4),
把A(2,4)代入y=得k=2×4=8,
所以反比例函数解析式为y=,
把B(﹣4,n)代入y=得﹣4n=8,解得n=﹣2;
(2)因为点A(m,4),B(﹣4,n)在反比例函数y=(k>0)的图象上,
所以4m=k,﹣4n=k,
所以4m+4n=0,即m+n=0;
(3)作AE⊥y轴于E,BF⊥x轴于F,如图,
在Rt△AOE中,tan∠AOE==,
在Rt△BOF中,tan∠BOF==,
而tan∠AOD+tan∠BOC=1,
所以+=1,
而m+n=0,解得m=2,n=﹣2,
则A(2,4),B(﹣4,﹣2),
设直线AB的解析式为y=px+q,
把A(2,4),B(﹣4,﹣2)代入得,解得,
所以直线AB的解析式为y=x+2.
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题:反比例函数与一次函数的交点问题(1)求反比例函数与一次函数的交点坐标,把两个函数关系式联立成方程组求解,若方程组有解则两者有交点,方程组无解,则两者无交点.
25.(12分)(2016•泰州)已知正方形ABCD,P为射线AB上的一点,以BP为边作正方形BPEF,使点F在线段CB的延长线上,连接EA、EC.
(1)如图1,若点P在线段AB的延长线上,求证:EA=EC;
(2)若点P在线段AB上.
①如图2,连接AC,当P为AB的中点时,判断△ACE的形状,并说明理由;
②如图3,设AB=a,BP=b,当EP平分∠AEC时,求a:b及∠AEC的度数.
【分析】(1)根据正方形的性质和全等三角形的判定定理证明△APE≌△CFE,根据全等三角形的性质证明结论;
(2)①根据正方形的性质、等腰直角三角形的性质解答;
②根据PE∥CF,得到=,代入a、b的值计算求出a:b,根据角平分线的判定定理得到∠HCG=∠BCG,证明∠AEC=∠ACB,即可求出∠AEC的度数.
【解答】解:(1)∵四边形ABCD和四边形BPEF是正方形,
∴AB=BC,BP=BF,
∴AP=CF,
在△APE和△CFE中,
,
∴△APE≌△CFE,
∴EA=EC;
(2)①∵P为AB的中点,
∴PA=PB,又PB=PE,
∴PA=PE,
∴∠PAE=45°,又∠DAC=45°,
∴∠CAE=90°,即△ACE是直角三角形;
②∵EP平分∠AEC,EP⊥AG,
∴AP=PG=a﹣b,BG=a﹣(2a﹣2b)=2b﹣a
∵PE∥CF,
∴=,即=,
解得,a=b;
作GH⊥AC于H,
∵∠CAB=45°,
∴HG=AG=×(2b﹣2b)=(2﹣)b,又BG=2b﹣a=(2﹣)b,
∴GH=GB,GH⊥AC,GB⊥BC,
∴∠HCG=∠BCG,
∵PE∥CF,
∴∠PEG=∠BCG,
∴∠AEC=∠ACB=45°.
∴a:b=:1;∴∠AEC=45°.
【点评】本题考查的是正方形的性质、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质,掌握相关的性质定理和判定定理、正确作出辅助性是解题的关键.
26.(14分)(2016•泰州)已知两个二次函数y1=x2+bx+c和y2=x2+m.对于函数y1,当x=2时,该函数取最小值.
(1)求b的值;
(2)若函数y1的图象与坐标轴只有2个不同的公共点,求这两个公共点间的距离;
(3)若函数y1、y2的图象都经过点(1,﹣2),过点(0,a﹣3)(a为实数)作x轴的平行线,与函数y1、y2的图象共有4个不同的交点,这4个交点的横坐标分别是x1、x2、x3、x4,且x1<x2<x3<x4,求x4﹣x3+x2﹣x1的最大值.
【分析】(1)由于题意知x=2时,该函数取得最小值,所以x=2时该函数y1的对称轴;
(2)若函数y1的图象与坐标轴只有2个不同的公共点,则分为两种情况讨论,一种是抛物线与x轴有两个交点时,另一种是抛物线与x轴有1个交点,然后分别求出C的值即可;
(3)函数y1与y2经过(1,﹣2),所以可求出c与m的值,根据函数解析式画出图象可知,若过点(0,a﹣3)(a为实数)作x轴的平行线,与函数y1、y2的图象共有4个不同的交点时,则﹣3<a﹣3<﹣2或a﹣3>﹣2.
【解答】解:(1)由题意知:函数y1的对称轴为x=2,
∴﹣=2,
∴b=﹣4,
(2)由题意知:△=b2﹣4c=16﹣4c,
当△>0时,
∴c<4,
此时函数y1与x轴有两个不同的交点,
由于若函数y1的图象与坐标轴只有2个不同的公共点,
∴c=0,
∴y1=x2﹣4x,
令y1=0,
∴x=0或x=4,
∴两个公共点间的距离为4,
当△=0时,
∴c=4,
此时抛物线与x轴只有一个交点,与y轴只有一个交点,
∴两个公共点间的距离,由勾股定理可求得:=2,
(3)∵函数y1、y2的图象都经过点(1,﹣2),
∴将(1,﹣2)代入函数y1和函数y2,
∴﹣2=1﹣4+c,
﹣2=1+m,
∴c=1,m=﹣3,
∴函数y1=x2﹣4x+1,函数y2=x2﹣3,
联立
解得:x=1,y=﹣2,
∵过点(0,a﹣3)作x轴的平行线,与函数y1、y2的图象共有4个不同的交点,
∴﹣3<a﹣3<﹣2或a﹣3>﹣2
当﹣3<a﹣3<﹣2时,如图1,
即0<a<1,
令y=a﹣3代入y1,
∴x2﹣4x+4﹣a=0,
∴x3=2﹣,x4=2+,
令y=a﹣3代入y2,
a﹣3=x2﹣3,
∴x1=﹣,x2=,
∴x4﹣x3+x2﹣x1=4,
∵0<a<1,
∴0<4<4,
当a﹣3>﹣2,如图2,
即a>1,
令y=a﹣3代入y1,
∴x2﹣4x+4﹣a=0,
∴x2=2﹣,x4=2+,
令y=a﹣3代入y2,
a﹣3=x2﹣3,
∴x1=﹣,x3=,
∴x4﹣x3+x2﹣x1=4,
综上所述,过点(0,a﹣3)(a为实数)作x轴的平行线,与函数y1、y2的图象共有4个不同的交点时,x4﹣x3+x2﹣x1的最大值为4.
【点评】本题考查函数的综合问题,涉及待定系数法求解析式,二次函数图象的性质,一元二次方程的解法和数形结合的思想,综合程度较高,需要学生利用数形结合的思想解决问题.