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- 2021-05-13 发布
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专题讲练5 圆与相似(一)——求线段的长度
【例1】如图,已知AB=AC,点O在AB上,⊙O过点B,分别与边BC.AB交
于D.E两点,过D 点作DF⊥AC,垂足为F。
(1)判断DF与⊙O的位置关系,并证明。
(2)若AC与⊙O相切于点G,⊙O的半径为3,CF=1,
①求BD的长;②求AC的长。
证:(1)证∠OBD=∠ODB=∠ACB,OD//AC,∠ODF=,∴DF与⊙O相切。
(2)①;②;证四边形ODFG为正方形,,
证ΔCDF∽ΔBED,,∴。证ΔOBD∽ΔABC,∴。
【例2】已知: 如图, 在△ABC中, AB=AC, AE是角平分线, BM平分∠ABC交AE于点M, 经过B.M两点的⊙O交BC于点G, 交AB于点F, FB恰为⊙O的直径.
(1) 求证: AE与⊙O相切;
(2) 当BC=4, cos C=时, 求⊙O的半径.
证:(1)连结OM,证 , ∥.易证
(2),证, ,
设⊙的半径为r,则。
证∽。,。 解得。
1.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=900,D是AC的中点,⊙O经过A.B.D三点,
CB的延长线交⊙O于E。
(1)求证:AE=CE;
(2)EF与⊙O相切于点E,交AC的延长线于点F,若CD=CF=2cm。
求⊙O的直径。
证:(1)连ED,证ED垂直平分AC,∴AE=CE
(2)证ED2=AD·DF=2×4=8, ED=,AE=
2.如图,△ABC内接于⊙O,过点A的直线交⊙O于点P,交BC的延长线于点D,AB2=AP·AD。
(1)求证:AB=AC
(2)如果∠ABC=600,⊙O的半径为1,
且P为弧AC的中点,求线段AD的长。
证:(1)ΔABP∽ΔADB,∠APB=∠ABC=∠ACB,ΔABC为等腰Δ。
(2)ΔABC为等边Δ,∠APB=60°,∠ABP=∠CBP=30°,
∠BAP=,故BP为⊙O的直径,BP=2,PA=1,
AB=,AD=
3.如图,直线MN交⊙O于A.B两点,AC是直径。AD平分∠CAM,交⊙O于D,过D作DE⊥MN于E点。
(1)求证:DE是⊙O的切线
(2)若DE=6cm,AE=3cm,求⊙O的半径。
证:(1)连OD.DC,证∠DAE=∠OAD=∠ODA,OD//AE;
(2);易求,证ΔADE∽ΔACD,
,∴AC=15,
K
4.如图,已知⊙O的直径AB=4。过B点作⊙O的切线MN,D.C是⊙O上的两点,连接AD.BD.CD和BC。
(1)求证:∠CBN=∠CDB;
(2)若DC是∠ADB的平分线,且∠DAB=150,求DC的长。
证:(1)连AC,∠CDB=∠CAB,∠CAB+∠CBA=,∠CBN+∠CBA=,
∴
(2)作CK⊥AD于K,证=∠CAB=∠CBA,∠CAD=,,
,证CK=DK,,∴
5.如图,AB为⊙O的直径,PQ与⊙O相切于点T,过A点作AC⊥PQ于C点,交⊙O于D点。
(1)求证:AT平分∠BAC
(2)若AD=2,TC=,求⊙O的半径。
证:(1)连OT,OT//AC,∠OAT=∠OTA=∠TAC
(2)连BD,BD//TC,OT⊥BD,BD=2CT=,
AB=,R=2
6.如图,AB.BC.CD分别与⊙O相切于E、F、G三点,且AB∥CD,连接OB.OC,
延长CO交⊙O于点M,过点M作MN∥OB交CD于N点。
(1)求证:MN是⊙O的切线。
(2)当OB=6cm,OC=8cm时,求⊙O的半径及MN的长。
证:(1)证∠ABC+∠BCD=,∠ABO=∠CBO,∠BCO=∠DCO
∠CBO+∠BCO==∠BOM=∠CMN
(2)连OF,,
证ΔCOB∽ΔCMN,
即
7.如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,D是AB延长线上的一点,AE⊥CD交DC的延长线于E,CF⊥AB于点F,且CE=CF。
(1)求证:DE是⊙O的切线。
(2)若AB=6,BD=3,求AE和BC的长。
证:(1)连OC,
∴∥,∴
(2),,
证ΔAEC∽ΔACB,,∴
8.如图,AB.AC分别是⊙O的直径和弦,点D为劣弧AC上一点,DE⊥AB于点H,
交⊙O于点E,交AC于点F。点P为ED延长线上一点,连PC。
(1)若PC与⊙O相切,判断△PCF的形状,并证明。
(2)若D为弧AC的中点,且,DH=8,求⊙O的半径。
证:(1)连OC,∠OCA=∠OAC,∠OCA+∠PCF=,∠PFC+∠OAC=,
∠PCF=∠PFC,
(2)设,则,证,则,
9.如图,AB为⊙O的直径,点D为⊙O上一点,CD=BD。过D点作DE⊥AC,垂足为E点,延长DE交
BA的延长线于 P点。
(1)求证:DE为⊙O的切线。
(2)若AB=6,AD=,求PE的长。
证:(1) 证,∠ODE=∠DEC=
(2)证ΔAED∽ΔADB,,
ΔPEA∽ΔPDO,
10.如图,已知⊙O的半径为6cm,射线PM经过点O,OP=10cm,射线PN与⊙O相切于点Q,A.B两点同时从点P出发,点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动,点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动,设运动时间为ts。
(1)求PQ的长。
(2)当t为何值时,直线AB与⊙O相切?
证:(1)PQ=8cm
(2)或,分两种情况:
①直线AB与⊙O第一次相切时,设切点为F,则PA=5t,PB=4t,
,又∠P公共,
∴ΔPAB∽ΔPOQ,,易证四边形OFBQ为正方形,QB=8-4t=OQ=6,
②直线AB与⊙O第二次相切时,同理可得,QB=4t-8=OQ=6,
11.如图在Rt△ABC中,BC=9,CA=12,∠ABC的平分线BD交AC于点D,过D点作DE⊥DB交AB于点E。
(1)设⊙O是△BDE的外接圆,求证:AC是⊙O的切线。
(2)设⊙O交BC于点F,连结EF,求的值。
证: (1)证∠DBC=∠DBO=∠ODB,OD//BC, ∴∠ODA=∠C=90°。
(2)9;证∠EFB=90°=∠C,EF//AC,ΔBEF∽ΔBAC,
易求AB=15,设EF=4x,BF=3x,则EB=5x,OD=
证ΔOAD∽ΔBAC,,∴,EF=4x=9
12.如图,BC为⊙O的直径,点F在⊙O上,∠FCA=∠FOC,CD=AD,AB交⊙O点E.
(1)求证:CA为⊙O的切线;
(2)若EF=1.5,CF=2,BE=4,求⊙O的半径.
证:(1) 略 (2) 连CE, ∵△BCF∽△BCD,
∴①证,△BEF∽△BAD, ∴②
又AD=CD, 由①、②可得, ∴BC=, ∴R=.