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- 2021-05-13 发布
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圆
1．如图1，△ABD内接于⊙O，AD是直径，∠BAD的平分线交BD于H，交⊙O于点C，连接DC并延长，交AB的延长线于点E，
（1）求证：AE＝AD；
（2）若＝，求的值；
（3）如图2，连接CB并延长，交DA的延长线于点F，若AH＝HC，AF＝6，求△BEC的面积．[来源:%^中教&@网#]
解：（1）∵AD是直径，
∴∠ACD＝90°，即AC⊥ED，
BD是∠BAD的平分线，
故AE＝AD；
[来源*:中国教育出版^&@网~]
（2）＝，则设BE＝3a，AB＝2a，AD＝AE＝5a，
O交BD于点G，
BD是∠BAD的平分线，则，
则OC⊥BD，
第 39 页 共 39 页
故OC∥AB，则OC是△ADE的中位线，
则OG＝AB＝a，OC＝AD＝，
则CG＝OC﹣OG＝，
∵CG∥AB，则＝；[中国&^教育出*%#版网]
[w%ww^.z*zstep.com@~]
（3）设：OG＝m，则AB＝2m，
当AH＝HC时，由（2）知，△AHB≌△CHG（AAS），
则AB＝CG＝2m，则OC＝3m，即圆的半径为3m，
∵AB∥CO，则，即，[来源@#:^中教网&%]
解得：m＝1，
故AB＝2，AD＝6，BE＝4，
则BD＝＝4，
∵EC＝DC，
则△BEC的面积＝S△EBD＝×BE×BD＝×4×4＝4．
2．如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E．
（1）连接AD，求∠OAD；
（2）点F在上，∠CDF＝45°，DF交AB于点N．若DE＝，求FN的长．[来源:#z~zstep&.c%o*m]
第 39 页 共 39 页
[来源%:*中#国教~育@出版网]
解：（1）如图1，连接OD，
[来^@源:zzstep.&com#%]
∵是⊙的直径，于点
∴AB垂直平分CD，
∵M是OA的中点，
∴，[中~&国^教育#出*版网]
∴，
∴∠DOM＝60°，
∵AO＝OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠OAD＝60°；
（2）如图2，连接CF，CN，
第 39 页 共 39 页
[来源^@:~中国教育出版*网&]
∵OA⊥CD于点M，
∴点M是CD的中点，
∴AB垂直平分CD，
∴NC＝ND，
∵∠CDF＝45°，
∴∠NCD＝∠NDC＝45°，
∴∠CND＝90°，
∴∠CNF＝90°，
由（1）可知，∠AOD＝60°，
∴∠ACD＝30°，
又∵DE⊥CA交CA的延长线于点E，
∴∠E＝90°，[来源:中国%教育出版@~#*网]
∵∠ACD＝30°，DE＝．
∴CD＝2DE＝2，
∴CN＝CD•sin45°＝2，
由（1）可知，∠CAD＝2∠OAD＝120°，
∴∠F＝180°﹣120°＝60°，
在Rt△CFN中，FN＝．
3．如图1，锐角△ABC，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，连接BO并延长交AC于点D，[来源:%zzste^p.co~m*#]
（1）若∠BDC＝30°，求∠BAC的度数；[来^源:z#zstep%.&~com]
第 39 页 共 39 页
（2）如图2，当0°＜∠BAC＜60°时，作点C关于BD的对称点E，连接AE.DE，DE交AB于F．
①点E在⊙O 上 （选填“内”、“上”、“外”）；[ww&w*#.~zzste@p.com]
②证明：∠AEF＝∠EAB；
③若△BDC为等腰三角形，AD＝2，求AE的长．
解：（1）延长BD交圆O于点G，连结CG，如图：
∵，
∴∠A＝∠G，
∵直径BG，
∴∠BCG＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠BCA＝∠CBA，
设∠BCA＝∠CBA＝α，则∠A＝∠G＝180°﹣2α，∠DCG＝90°﹣α，[ww~@w.zz&ste^p.com#]
∴∠BDC＝∠G+∠DCG＝180°﹣2α+90°﹣α＝30°，
∴α＝80°，[来源^:*&中教%网~]
∴∠BAC＝∠G＝180°﹣2×80°＝20°；
（2）连结OC.OE，延长BD交圆O于点M，连结CM，如图：
第 39 页 共 39 页
①∵C.E是关于BD的对称点，
∴OC＝OE，
∴点E在⊙O上，
故答案为：上；
②证明：∵C.E是关于BD的对称点，
∴，∠2＝∠3，
∴∠4＝∠5＝∠M，
设∠1＝∠ABC＝x，则∠4＝∠5＝∠M＝180°﹣2x，∠6＝90°﹣x，
∴∠2＝∠3＝∠M+∠6＝270°﹣3x，
∴∠AEF＝∠EDC﹣∠EAD＝2∠3﹣2∠4＝2（270°﹣3x）﹣2（180°﹣2x）＝180°﹣2x，
∴∠AEF＝∠5＝180°﹣2x，
即∠AEF＝∠EAB；
③∵∠1＝∠ABC＞∠DBC，
∴BD＞DC，
∵△BDC为等腰三角形，
∴分两种情况讨论：
（Ⅰ）当BD＝BC时，∠1＝∠2，即x＝270°﹣3x，
解得：x＝67.5°，
∴∠4＝45°＜60°，满足题意，此时△AED为等腰直角三角形，AE＝AD＝2，
∴AE＝2；
（Ⅱ）当DC＝BC时，∠2＝∠DBC，即270°﹣3x＝180°﹣2x，
解得：x＝90°，
∴∠4＝0°，不满足0°＜∠BAC＜60°；
综上所述：AE＝2．
4．如图，AB是⊙O的直径，点C.D在⊙O上，AD与BC相交于点E．连接BD，作∠BDF＝∠
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BAD，DF与AB的延长线相交于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若DF∥BC，求证：AD平分∠BAC；
（3）在（2）的条件下，若AB＝10，BD＝6，求CE的长．
解：（1）连接OD，CD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADO+∠ODB＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO，
∵∠BDF＝∠BAD，
∴∠BDF+∠ODB＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
（2）∵DF∥BC，
∴∠FDB＝∠CBD，
∵＝，
∴∠CAD＝∠CBD，且∠BDF＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠CBD＝∠BDF，
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∴AD平分∠BAC；
（3）∵AB＝10，BD＝6，
∴AD＝＝＝8，
∵∠CBD＝∠BAD，∠ADB＝∠BDE＝90°，[来源:^&*@中~教网]
∴△BDE∽△ADB，
∴，
∴，
∴DE＝，
∴AE＝AD﹣DE＝，
∵∠CAD＝∠BAD，
∴sin∠CAD＝sin∠BAD
∴[来源:~中国教育%*出版&网@]
∴
∴CE＝
5．如图1，在平面直角坐标系中，⊙O1与x轴相切于点A（﹣3，0），与y轴相交于B.C两点，且BC＝8，连接AB．
[来#%源:中*国教育出^版网~]
（1）求证：∠ABO1＝∠ABO；
（2）求AB的长；
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（3）如图2，⊙O2经过A.B两点，与y轴的正半轴交于点M，与O1B的延长线交于点N，求出BM﹣BN的值．
（1）证明：如图1﹣1，连接AO1，
∵⊙O1与x轴相切于点A，
∴∠OAO1＝90°，
又∠AOB＝90°，
∴∠OAO1+∠AOB＝180°，
∴AO1∥OB，
∴∠ABO＝∠O1AB，
∵O1A＝O1B，
∴∠O1AB＝∠ABO1，
∴∠ABO1＝∠ABO；
（2）解：如图1﹣2，过点O1作O1H⊥BC于H，
则CH＝BH＝BC＝4，
∴∠O1HO＝∠HOA＝∠OAO1＝90°，
∴四边形AO1HO是矩形，
∴AO1＝AO＝3，
∴在Rt△O1HB中，
O1B＝＝5，
∴HO＝O1A＝O1B＝5，
∴OB＝HO﹣BH＝1，[中国@%教#育&出版网*]
∴在Rt△AOB中，
AB＝＝＝；
（3）解：如图2，作点B关于x轴的对称点B'，则点OB'＝OB＝1，AB＝AB'，
∴BB'＝2，∠AB'O＝∠ABO
∴由（1）知，∠ABO＝∠ABO1，
∴∠ABO1＝∠AB'O，
∴180°﹣∠ABO1＝180°﹣∠AB'O，[来^*源:&中国教育出版网#~]
第 39 页 共 39 页
即∠ABN＝∠AB'M，
又∵，
∴∠AMB'＝∠N，[来%&~源^:中#教网]
∴△AMB'≌△ANB（AAS），
∴MB'＝NB，[www#.zz*^ste&p.co@m]
∴BM﹣BN＝BM﹣B'M＝BB'＝2，[来源:^%中国教育&出版~网#]
∴BM﹣BN的值为2．
[来源:&^*中~国教育出版网#]
6．如图，P是直径AB上的一点，AB＝6，CP⊥AB交半圆于点C，以BC为直角边构造等腰Rt△BCD，∠BCD＝90°，连接OD．
小明根据学习函数的经验，对线段AP，BC，OD的长度之间的关系进行了探究．
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下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）对于点P在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP，BC，OD的长度的几组值，如下表：[来源&*#:~中国教育@出版网]
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置…
AP
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
…
BC
6.00
5.48
4.90
4.24
3.46
2.45
…
OD
6.71
7.24
7.07
6.71
6.16
5.33
…
在AP，BC，OD的长度这三个量中确定 AP 的长度是自变量， BC 的长度和 OD 的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，推断：当OD＝2BC时，线段AP的长度约为 4.5 ．
解：（1）由图表观察，可看出随着AP的变化，BC和OD都在发生变化，且都有唯一确定的值和其对应，所以AP的长度是自变量，BC和OD的长度都是这个自变量的函数，
故答案分别为：AP，BC，OD；
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（2）如右图，可先描点，再画出如图所示图象；
（3）由图象可推断：当OD＝2BC时，线段AP的长度约为4.5，
故答案为：4.5．
7．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A.B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BF＝8，DF＝，求⊙O的半径．
（3）过点B作⊙O的切线交CA的延长线于G，如果连接AE，将线段AC以直线AE为对称轴作对称线段AH，点H正好落在⊙O上，连接BH，求证：四边形AHBG为菱形．[中^#国教@育出&%版网]
（1）证明：如图1，连接OA，OD，
则∠OAF＝∠D，[中~国@%*教^育出版网]
∵D为BE的下半圆弧的中点，
∴，
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∴∠EOD＝∠BOD＝×180°＝90°，
∴∠OFD+∠D＝90°，
∵CA＝CF，
∴∠CAF＝∠CFA＝∠OFD，
∴∠CAF+∠∠OAF＝90°，[来源#:*中国教%育出~&版网]
即∠CAO＝90°，
∴OA⊥CA，
∴AC是⊙O的切线；
[来源:zz%s&tep^.c@o#m]
（2）如图1，设半径为r，
则OF＝BF﹣OB＝8﹣r，
∵在Rt△OFD中，OF2+OD2＝DF2，[来源:中国*^教&育%#出版网]
∴（8﹣r）2+r2＝（）2，
解得，r1＝6，r2＝2（舍去），
∴⊙O的半径为6；[来源%#:@*中教网&]
（3）如图2，连接EH，
由对称性可知AC＝AH，∠CAE＝∠HAE，
又∵AE＝AE，
∴△CAE≌△HAE（SAS），
∴∠C＝∠EHA，
∵，
∴∠EHA＝∠ABE，
∴∠C＝∠ABE，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，[来源*:中国教&育出^版@网~]
∵BE为⊙O的直径，
∴∠EAB＝90°，
∴∠OAB+∠OAE＝90°，
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又∵∠CAE∠+∠OAE＝90°，[www~.zzste^p.c@#*om]
∴∠CAE＝∠OAB，
∴∠C＝∠OBA＝∠∠OAB＝∠CAE，[中国教育出版~*%#@网]
∴AC＝AB，
∴△CAE≌△BAO（ASA），
∴AE＝AO＝OE，[中@国%教#&育出版*网]
∴△AEO是等边三角形，
∴∠AEO＝60°，
∴∠ABE＝90°﹣∠AEO＝30°，∠AHB＝∠AEO＝60°，
∴∠ABG＝90°﹣∠ABE＝60°，
∵CA＝AH，CA＝AB，
∴AH＝AB，
又AHB＝60°，
∴△ABH是等边三角形，
∴AB＝BH＝AH，
∵GB，GA是⊙O的切线，
∴GB＝GA，
又∠ABG＝60°，
∴△ABG是等边三角形，
∴AB＝BG＝AG，
∴BH＝AH＝BG＝AG，
∴四边形AHBG是菱形．
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[来源:#%中~国@教&育出版网]
[www.*z%zstep#.~co^m]
8．已知：△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，AC＝BC，D.E是⊙O上两点，连接AD.DE.AE．[来%源:中教~#&网^]
（1）如图1，求证：∠AED﹣∠CAD＝45°；
（2）如图2，若DE⊥AB于点H，过点D作DG⊥AC于点G，过点E作EK⊥AD于点K，交AC于点F，求证：AF＝2DG；[中国~@*教#育出&版网]
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DF、CD，若∠CDF＝∠GAD，DK＝3，求⊙O的半径．
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（1）证明：如图1，连接CO，CE，
∵AB是直径，[中^国教~*育%&出版网]
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠B＝∠CAB＝45°，[来源:~@中国^#教育%出版网]
∴∠COA＝2∠B＝90°，[中国^*教育#~&出版网]
∵，
∴∠CAD＝∠CED，
∴∠AED﹣∠CAD＝∠AED﹣∠CED＝∠AEC＝∠COA＝45°，[来源^&#*:中教网%]
即∠AED﹣∠CAD＝45°；
[中^国教育出版&~网#@]
（2）如图2，连接CO并延长，交⊙O于点N，连接AN，过点E作EM⊥AC于M，
则∠CAN＝90°，[来源:zzstep%.@~co&*m]
∵AC＝BC，AO＝BO，
∴CN⊥AB，
∴AB垂直平分CN，[w~ww.zzs^&t#ep.co*m]
∴AN＝AC，
∴∠NAB＝∠CAB，
∵AB垂直平分DE，
∴AD＝AE，
∴∠DAB＝∠EAB，
∴∠NAB﹣∠EAB＝∠CAB﹣∠DAB，
即∠GAD＝∠NAE，
∵∠CAN＝∠CME＝90°，[来源:z^@zstep&.co*%m]
∴AN∥EM，
∴∠NAE＝∠MEA，
∴∠GAD＝∠MEA，
又∵∠G＝∠AME＝90°，AD＝EA，
∴△ADG≌△EAM（AAS），
第 39 页 共 39 页
∴AG＝EM，AM＝DG，
又∵∠MEF+∠MFE＝90°，∠MFE+∠GAD＝90°，
∴∠MEF＝∠GAD，
又∵∠G＝∠FME＝90°，
∴△ADG≌△EFM（ASA），
∴DG＝MF，
∵DG＝AM，
∴AF＝AM+MF＝2DG；
[来源:*%中国教育出#版网&~]
（3）∵∠CDF＝∠GAD，∠FCD＝∠DCA，
∴△FCD∽△DCA，[中%&国教*^育出版~网]
∴∠CFD＝∠CDA＝∠CBA，
∵AC＝BC，AB为直径，[来源:%中*国~教#育出^版网]
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠CFD＝∠CDA＝∠CBA＝45°，
∴△GFD为等腰直角三角形，
设GF＝GD＝a，则FD＝a，AF＝2a，
∴＝＝，
∵∠FAK＝∠DAG，∠AKF＝∠G＝90°，
∴△AFK∽△ADG，
∴＝＝，
在Rt△AFK中，
设FK＝x，则AK＝3x，
∵FK2+AK2＝AF2，
∴x2+（3x）2＝（2a）2，
解得，x＝a（取正值），[来源:z%z&ste*^p.~com]
∴FK＝a，
在Rt△FKD中，FK2+DK2＝FD2，
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∴（a）2+32＝（a）2，
解得，a＝（取正值），
∴GF＝GD＝，AF＝，
∵△FCD∽△DCA，
∴＝，
∴CD2＝CA•FC，
∵CD2＝CG2+GD2，[来源:zz@s#t^%*ep.com]
∴CG2+GD2＝CA•FC，
设FC＝n，
则（﹣n）2+（）2＝（+n）n，
解得，n＝，[来%^~&源:中#教网]
∴AC＝AF+CF＝+＝，
∴AB＝AC＝，[www#.zz*^ste&p.co@m]
⊙O的半径为．[来源:^%中国教育&出~版#网]
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9．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠ABC＝60°．点P是边BC上一动点，作△PAB的外接圆⊙O交BD于E．
（1）如图1，当PB＝3时，求PA的长以及⊙O的半径；
（2）如图2，当∠APB＝2∠PBE时，求证：AE平分∠PAD；[来^源:z#zstep%.&~com]
（3）当AE与△ABD的某一条边垂直时，求所有满足条件的⊙O的半径．
解：（1）如图1，过点A作BP的垂线，垂足为H，作直径AM，连接MP，[中%国教*&育^出版@网]
在Rt△ABH中，∠ABH＝60°，[来*@源:中国教育出版%#网&]
∴∠BAH＝30°，
第 39 页 共 39 页
∴BH＝AB＝2，AH＝AB•sin60°＝2，
∴HP＝BP﹣BH＝1，
∴在Rt△AHP中，
AP＝＝，
∵AB是直径，
∴∠APM＝90°，
在Rt△AMP中，∠M＝∠ABP＝60°，
∴AM＝＝＝，
∴⊙O的半径为，
即PA的长为，⊙O的半径为；
（2）当∠APB＝2∠PBE时，
∵∠PBE＝∠PAE，
∴∠APB＝2∠PAE，
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠APB＝∠PAD，
∴∠PAD＝2∠PAE，
∴∠PAE＝∠DAE，
∴AE平分∠PAD；
（3）①如图3﹣1，当AE⊥BD时，∠AEB＝90°，
∴AB是⊙O的直径，
∴r＝AB＝2；
②如图3﹣2，当AE⊥AD时，连接OB，OE，延长AE交BC于F，
∵AD∥BC，
∴AF⊥BC，△BFE∽△DAE，
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∴＝，
在Rt△ABF中，∠ABF＝60°，
∴AF＝AB•sin60°＝2，BF＝AB＝2，[来^源:#中教%*网&]
∴＝，[中国^教#育~出&版%网]
∴EF＝，
在Rt△BFE中，
BE＝＝＝，
∵∠BOE＝2∠BAE＝60°，OB＝OE，
∴△OBE是等边三角形，
∴r＝；
③当AE⊥AB时，∠BAE＝90°，
∴AE为⊙O的直径，
∴∠BPE＝90°，
如图3﹣3，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点N，延开PE交AD于点Q，
在Rt△DCN中，∠DCN＝60°，DC＝4，
∴DN＝DC•sin60°＝2，CN＝CD＝2，
∴PQ＝DN＝2，[来&源:z*zstep.co~@m%]
设QE＝x，则PE＝2﹣x，
在Rt△AEQ中，∠QAE＝∠BAD﹣BAE＝30°，
∴AE＝2QE＝2x，
∵PE∥DN，
∴△BPE∽△BND，
∴＝，
∴＝，[来源@#:^中教&网%]
第 39 页 共 39 页
∴BP＝10﹣x，[来源:zzst@e%p.#co*&m]
在Rt△ABE与Rt△BPE中，
AB2+AE2＝BP2+PE2，
∴16+4x2＝（10﹣x）2+（2﹣x）2，
解得，x1＝6（舍），x2＝，
∴AE＝2，[中国*教育%出&版#网@]
∴BE＝＝＝2，
∴r＝，
∴⊙O的半径为2或或．
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10．已知：四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，AB＝AD
（1）如图1，求证：CA平分∠BCD；
（2）如图2，连接BD交AC于点E，若BD为⊙O直径，求证：tan∠CAD＝；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F为BC中点，连接AF并延长交⊙O于G，若FG＝2，tan∠GAD＝，求DE的长
．
（1）证明：∵AB＝AD，
∴＝，
∴∠ACB＝∠ACD，
∴CA平分∠BCD；[w~#@w&w.zzst*ep.com]
第 39 页 共 39 页
（2）证明：如图2，过点D作AC的平行线交BC延长线于Q，
∵＝，[来源:zzs@tep.c^%&o#m]
∴∠CAD＝∠CBD，
∵BD为直径，
∴∠BCD＝90°，
∴tan∠CAD＝tan∠CBD＝，
∵DQ∥AC
∴∠Q＝∠ACB，∠ACD＝∠CDQ，
由（1）得∠ACB＝∠ACD，
∴∠Q＝∠CDQ，
∴CD＝CQ，
∵CE∥DQ，
∴DE：EB＝CQ：BC，
即DE：EB＝CD：CB，
∴tan∠CAD＝；
（3）如图3，过点D.B分别作DH⊥AG于H，BN⊥AG于N，过O作OM⊥AG于M，
∵tan∠GAD＝，
∴设AH＝3k，DH＝4k，
∵∠BAN+∠NAD＝90°，∠NAD+∠ADH＝90°，
∴∠BAN＝∠ADH，
又∵∠BNA＝∠AHD＝90°，AB＝AD，
∴△ADH≌△BAN（AAS），[来源:中国%教育出版@#~*网]
∴BN＝AH＝3k，AN＝DH＝4k，[ww~w.z%^zs#tep.c&om]
∵DH∥OM∥BN，且OB＝OD，
∴MH＝MN，NH＝AN﹣AH＝k，[来&源#%:^中*教网]
∵OM⊥AG，[来源:zzst~#@ep&^.com]
∴MA＝MG，
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∴AH＝NG＝3k，
∴FN＝3k﹣2，
连接CG，过点C作CP∥AB，
则∠ABF＝∠PCF，∠BAF＝∠P，[来&源@:*zzstep^.c%om]
又BF＝CF，
∴△ABF≌△PCF（AAS），
∴FA＝FP，
∵＝，
∴∠BAF＝∠GCB，
∴∠GCF＝∠P，
∴△FCG∽△FPC，
∴CF2＝FG•FP，CF＝BF，
即BN2+FN2＝FG•FA，
∴（3k）2+（3k﹣2）2＝2（4k+3k﹣2），
解得k＝1 或k＝（∵FN＞0∴舍去），
∴在Rt△AHD中，
AH＝3，DH＝4，
∴AD＝＝5，[www.z@zste&p*~.co#m]
∴BD＝AB＝5，
∴BF2＝BN2+FN2＝（3k）2+（3k﹣2）2＝10，[中*国教育^@出~版网#]
∴BF＝，
∴BC＝2，
∴在Rt△BCD中，
CD＝＝，
∴tan∠CBD＝＝＝，
∴DE＝BD＝．
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11．已知：AB.AC是⊙O中的两条弦，连接OC交AB于点D，点E在AC上，连接OE，∠AEO＝∠BDO．
（1）如图1，若∠CAD＝∠COE，求证：＝；
（2）如图2，连接OA，若∠OAB＝∠COE，求证：AE＝CD；
（3）如图3，在第（2）问的条件下，延长AO交⊙O于点F，点G在AB上，连接GF，若∠ADC＝2∠BGF，AE＝5，DG＝1，求线段BG的长．
（1）证明：设OE与AB交于点H，[来#%源&:~中教^网]
∵∠CAD＝∠COE，∠EHA＝∠DHO，
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∴∠AEO＝∠ODA，
∵∠AEO＝∠BDO，
∴∠BDO+∠ADO＝180°，
∴∠ADO＝∠BDO＝90°，
∴OD⊥AB，
∴；
（2）证明：∵∠AEO+∠CEO＝180°，∠BDO+∠ADO＝180°，
∴∠AEO＝∠BDO，
∴∠CEO＝∠ADO，[来源:中国@教育^#出版网*%]
在△CEO和ODA中，
∵∠COE＝∠OAD，∠CEO＝∠ADO，OC＝OA，
∴△CEO≌△ODA（AAS），
∴CE＝OD，∠ECO＝∠AOD，
∴OA＝AC＝OC，
∴△AOC为等边三角形，
∵AE＝AC﹣CE，CD＝OC﹣OD，
∴AE＝CD；
（3）证明：延长FG交OC于点S，延长CO到点T，使OT＝OS，连接AT，BF，
设∠BGF＝α，则∠BGF＝∠SGD＝α，[来~源:#zzstep*.c&o%m]
∵∠ADC＝2∠BGF＝2α，∠ADC＝∠GSD+∠SGD
∴∠DSG＝∠DGS＝α
∴SD＝DG＝1
∵AE＝CD＝5
∴CS＝CD﹣SD＝4
在△FOS和△AOT中，
∵OS＝OT，∠SOF＝∠AOT，OF＝OA，
∴△FOS≌△AOT（SAS）[w@ww.zzs*&te#p.com~]
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∴∠ATO＝∠FSO＝α，
∵∠ADC＝2α，
∴∠DAT＝∠DTA＝α，
∴AD＝DT，
设OA＝OC＝AC＝r，
∴OT＝OS＝r﹣4，OD＝r﹣5，AD＝DT＝2r﹣9，
在△ADC中，CD＝5，AC＝r，AD＝2r﹣9，∠ACD＝60°，
解△ADC得，r＝8，AD＝7，
过点D作DK⊥OA，在△DOK中，[来&^%源:中教网@~]
∵OD＝3，∠DOK＝60°，
∴OK＝，AK＝，cos∠DAK＝＝，[来~#源^:中国教@*育出版网]
在△ABF中，AB＝AF×cos∠DAK＝，
∴BG＝AB﹣AG＝．
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12．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，直径AC与对角线BD相交于点E，作CH⊥BD于H，CH与过A点的直线相交于点F，∠FAD＝∠ABD．
（1）求证：AF为⊙O的切线；[来~%源#:中国教育出版*&网]
（2）若BD平分∠ABC，求证：DA＝DC；
（3）在（2）的条件下，N为AF的中点，连接EN，若∠AED+∠AEN＝135°，⊙O的半径为2，求EN的长．
（1）证明：如图1，∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠DCA＝90°．
∵＝，
∴∠ABD＝∠DCA，
∵∠FAD＝∠ABD，
∴∠FAD＝∠DCA，
∴∠FAD+∠DCA＝90°，
∴CA⊥AF，[来^源~:中&@*教网]
∴AF为⊙O的切线．
[来*源:中@教&%网~]
（2）证明：如图2，连接OD，∵＝，[中~国%&*教育出^版网]
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∴∠ABD＝∠AOD，
∵＝，
∴∠DBC＝∠DOC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，[w^*ww.z&zst@e%p.com]
∴∠DOA＝∠DOC，[来@^~源:#中国教育出版网%]
∴DA＝DC．
（3）如图3，连接OD交CF于M，作EP⊥AD于P，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°．[来源:zz&step%.com@#~]
∵DA＝DC，[www.z#zste&*p~.co@m]
∴DO⊥AC，
∴∠FAC＝∠DOC＝90°，[中*国教育^@出~版网#]
∴AF∥OM，
∵AO＝OC，
∴OM＝AF．
∵∠ODE+∠DEO＝90°，∠OCM+∠DEO＝90°．
∴∠ODE＝∠OCM．
∵∠DOE＝∠COM，OD＝OC，
∴∴△ODE≌△OCM，
∴OE＝OM，
设OM＝m，[来&源:中国^%教@育出版~网]
∴AE＝2﹣m，AP＝PE＝2﹣m，DP＝2+m，[来%源~&:中教*@网]
∵∠AED+∠AEN＝135°，∠AED+∠ADE＝135°，
∴∠AEN＝∠ADE，
∵∠EAN＝∠DPE，
∴△EAN∽△DPE，
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∴＝，
∴＝，
∴m＝，[中%国^教*@育出~版网]
∴AN＝，AE＝，[来@源%#:^中教网&]
∴勾股定理得NE＝．[来源:zzst@ep%.c#o*&m]
13．MN是⊙O上的一条不经过圆心的弦，MN＝4，在劣弧MN和优弧MN上分别有点A，B（不与M，N重合），且，连接AM，BM．
（1）如图1，AB是直径，AB交MN于点C，∠ABM＝30°，求∠CMO的度数；
（2）如图2，连接OM，AB，过点O作OD∥AB交MN于点D，求证：∠MOD+2∠DMO＝90°；
（3）如图3，连接AN，BN，试猜想AM•MB+AN•NB的值是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．[www.zzs%te*p.~c#om@]
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解：（1）如图1，
∵AB是⊙O的直径，[来@源:中教^网#&%]
∴∠AMB＝90°．
∵，
∴∠AMN＝∠BMN＝45°．
∵OM＝OB，
∴∠OMB＝∠OBM＝30°，
∴∠CMO＝45°﹣30°＝15°；[中国教育出@&^版~网*]
（2）如图2，连接OA，OB，ON．
∵，[w^ww.zz&step.com#~*]
∴∠AON＝∠BON．
又∵OA＝OB，
∴ON⊥AB．
∵OD∥AB，[来*源%:z#zstep.^co&m]
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∴∠DON＝90°．
∵OM＝ON，[来源:中国教&育~出版网@%#]
∴∠OMN＝∠ONM．
∵∠OMN+∠ONM+∠MOD+∠DON＝180°，
∴∠MOD+2∠DMO＝90°；
（3）如图3，延长MB至点M′，使BM′＝AM，连接NM′，作NE⊥MM′于点E．
设AM＝a，BM＝b．
∵四边形AMBN是圆内接四边形，
∴∠A+∠MBN＝180°．
∵∠NBM′+∠MBN＝180°，
∴∠A＝∠NBM′．
∵，
∴AN＝BN，[来@源:中*&国~%教育出版网]
∴△AMN≌△BM′N（SAS），
∴MN＝NM′，BM′＝AM＝a．
∵NE⊥MM′于点E．
∴．
∵ME2+（BN2﹣BE2）＝MN2，[来源:zzs*te^p&.co@m~]
∴．[来%源:#z~&z@step.com]
化简得ab+NB2＝16，
∴AM•MB+AN•NB＝16．
14．已知，在△PAB中，PA＝PB，经过A.B作⊙O．
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（1）如图1，连接PO，求证：PO平分∠APB；
（2）如图2，点P在⊙O上，PA：AB＝：2，E是⊙O上一点，连接AE.BE．求tan∠AEB的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，AE经过圆心O，AE交PB于点F，过F作FG⊥BE于点G，EF+BG＝14，求线段OF的长度．
（1）证明：连接OA，OB，[www^~.&zzstep.co@m%]
则OA＝OB，
又∵PA＝PB，
∴PO垂直平分AB，
∴∴PO平分∠APB；
（2）解：延长PO，交AB于H，过点A作AM⊥PB于M，
由（1）知PH垂直平分AB，
∵PA：AB＝：2，
∴设AB＝2，则AP＝BP＝，AH＝BH＝1，
∴在Rt△PAH中，[来*@源:zz^ste%p.~com]
PH＝＝3，
∵S△PAB＝AB•PH＝PB•AM，
∴2×3＝×AM，
∴AM＝，
在Rt△PAM中，
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PM＝＝，
∴tan∠APM＝＝：＝，
∵∠AEB＝∠APM，
∴tan∠AEB＝；
（3）连接PO并延长，交AB于点H，由（1）知，PH垂直平分AB，
∵AE为直径，
在Rt△EFG中，tan∠FEG＝，
∴设FG＝3x，则EG＝4x，EF＝5x，
∵EF+BG＝14，
∴BG＝14﹣5x，
∴∠ABE＝90°＝∠AHP＝∠PHB，
∴PH∥EB，[来源:z^z#s*tep.~co&m]
∴∠HPB＝∠GBF，
∴△HPB∽△GBF，
∴＝＝，
∴＝，
解得，x＝1，
∴EF＝5，BE＝BG+EG＝9+4＝13，
∴AB＝BE＝，[中国^教&育*出@版~网]
∴AE＝＝，[来#源:%@&中教网*]
∴OE＝AE＝，
∴OF＝OE﹣EF＝﹣5＝，
∴线段OF的长度为．
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15．如图1，在⊙O中，点A为的中点，点D在⊙O上．
（1）求证：∠BAC+2∠ADB＝180°；[来&源:中^国@教育出*版网#]
（2）如图2，点G为⊙O上一点，DG与BC的延长线交于点K，若∠CBD＝2∠ABC，BC＝CK，求证：BG＝KG；
（3）如图3，在（2）的条件下，AC与BG的延长线交于点E，CE＝3AC＝15，BE＝10，求线段BD的长．
（1）证明：如图1，连接DC，
∵点A为的中点，
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∴，
∴∠ADB＝∠ADC，[www.^z&z@ste*p.co~m]
∴∠BDC＝2∠ADB，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAC+∠BDC＝180°，
∴∠BAC+2∠ADB＝180°；
[来源:中~^&国@教育出版网#]
（2）如图2，连接CG，[来@源:中*&国教%育#出版网]
∵∠ABC＝∠ADC＝∠ADB，
∴∠BDC＝2∠ABC，
∵∠CBD＝2∠ABC，[w@w&w.zz*step.co~#m]
∴∠BDC＝∠CDB，
∴CB＝CD，
∵BC＝CK，
∴CD＝CK，
∴∠CDK＝∠K，
∵∠CBD+∠CDB+∠CDK+∠K＝180°，[ww*w.z~z#step.c^om@]
∴∠CBD+∠K＝90°，
∴∠BDK＝90°，
∴BG为⊙O的直径，
∴BCG＝90°，[来*源%:zzs#tep&.@com]
∴GC⊥BK，
又∵BC＝CK，
∴BG＝KG；[中~国%&*教育出^版网]
（3）∵CE＝3AC＝15，
∴AC＝AB＝5，
∵四边形ABGC是圆内接四边形，[来源:zzst*#~ep&^.com]
∴∠BAC+∠BGC＝180°，
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∵∠CGE+∠BGC＝180°，
∴∠BAC＝∠CGE，
又∵∠E＝∠E，
∴△ECG∽△EBA，
∴＝＝，
即＝＝，
∴GE＝6，CG＝，
∴BG＝BE﹣GE＝4，
由（2）知，BG＝KG，
∴KG＝4，
在Rt△BCG中，
BC＝＝＝5，
∴BK＝BC+CK＝10，[中%~国教育出&*版^网]
∵∠BDG＝∠GCK＝90°，∠K＝∠K，
∴△KCG∽△KDB，
∴＝，
即＝，
∴DB＝，
∴线段BD的长为．
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[来#源:中教*^&网%]
[来&源:%中国@教*育#出版网]
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