2017年度中考数学（三角形与全等三角形））一轮专项练习题 31页

2013 年中考数学专题复习第十七讲 三角形与全等三角形 【基础知识回顾】 三角形的概念： 1、由 直线上的三条线段 组成的图形叫三角形 2、三角形的基本元素：三角形有 条边 个顶点 个内角 二、三角形的分类： 按边可分为 三角形和 三角形，按角可分为 三角 形 三角形 三角形 【名师提醒：等边三角形属于特殊的 三角形，锐角三角形和钝角三 角形有事称为 三角形】 三、三角形的性质： 1、三角形的内角和是 三角形的任意一个外角 和它不相得 两个内角的和三角形的一个外角 任意一个和它不相邻的内角 2、三角形任意两边之和 第三边，任意两边之差 第三边 3、三角形具有 性 【名师提醒：1、三角形的外角是指三角形一边和另一边的 组成的角， 三角形有 个外角，三角形的外角和事 ，是其中 各外 角的和 2、三角形三边关系定理是确定三条线段否构成三角形和判断限度 间不等关系的主要依据】 四、三角形中的主要线段： 1、角平分线：三角形的三条角平分线都在三角形 部 且交于一点，这 些是三角形的 心 它到 得距离相等 2、中线：三角形的三条中线都在三角形 部，且交于一点 3、高线：不同三角 形 的 三 条高线位置不同，锐角三角形三条高都连三角 形 直角三角形有一条高线在 部，另两条河 重合，钝 角三角形有一条高线在三角形 部，两条在三角形 部 4、中位线：连接三角形任意两边 的线段叫做三角形的中位线。 定理：三角形的中位线 第三边且等于第三边的 【名师提醒：三角形的平分线、中线、高线、中位线都是 且都有 条】 五、全等三角形的概念和性质： 1、 的两个三角形叫做全等三角形 2、性质：全等三角形的 、 分别相等，全等三角形的对应线 段（角平分线、中线、高线）周长、面积分别对应 【名师提醒：全等三角形的性质是证明线段、角等之间数量关系的最主要依据】 一、全等三角形的判定： 1、一般三角形的全等判定方法：①边角边，简记为 ②角边角：简 记为 ③角角边：简记为 ④边边边：简记为 2、直角三角形的全等判定除可用一般三角形全等判定的所有方法以外，还可以 用 来判定 【名师提醒：1、判定全等三角形的条件中，必须至少有一组 对应相 等，用 SAS 判定全等，切记角为两边的 2、判定全等三角形的有关条件要特别注意对应两个字】 【重点考点例析】 考点一：三角形内角、外角的应用 例 1 （2012•南通）如图，△ABC 中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2= （　　） A．360° B．250° C．180° D．140° 思路分析：先利用三角形内角与外角的关系，得出∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4），再根据 三角形内角和定理即可得出结果． 解：∵∠1、∠2 是△CDE 的外角， ∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C， 即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=70°+180°=250°． 故选 B． 点评：此题主要考查了三角形内角和定理及外角的性质，三角形内角和是 180°；三角形的 任一外角等于和它不相邻的两个内角之和． 对应训练 1．（2012•泉州）如图，在△ABC 中，∠A=60°，∠B=40°，点 D、E 分别在 BC、AC 的 延长线上，则∠1= °． 1．80 分析：先根据三角形内角和定理求出∠ACB 的度数，再根据对顶角相等求出∠1 的度数即 可． 解：∵△ABC 中，∠A=60°，∠B=40°， ∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-60°-40°=80°， ∴∠1=∠ACB=80°． 故答案为：80． 点评：本题考查的是三角形的内角和定理，即三角形内角和是 180°． 考点二：三角形三边关系 例 2 （2012•泸州）已知三角形两边的长分别是 3 和 6，第三边的长是方程 x2-6x+8=0 的根， 则这个三角形的周长等于（　　） A．13 B．11 C．11 或 13 D．12 或 15 2．分析：首先从方程 x2-6x+8=0 中，确定第三边的边长为 2 或 4；其次考查 2，3，6 或 4， 3，6 能否构成三角形，从而求出三角形的周长． 解：由方程 x2-6x+8=0，得： 解得 x1=2 或 x2=4， 当第三边是 2 时，2+3＜6，不能构成三角形，应舍去； 当第三边是 4 时，三角形的周长为 4+3+6=13． 故选 A． 点评：考查了三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成 检验三边长能否成三角形的好习惯，不符合题意的应弃之． 对应训练 1．（2012•义乌市）如果三角形的两边长分别为 3 和 5，第三边长是偶数，则第三边长可以 是（　　） A．2 B．3 C．4 D．8 思路分析：根据三角形三边关系，可令第三边为 X，则 5-3＜X＜5+3，即 2＜X＜8，又因为 第三边长为偶数，所以第三边长是 4，6．问题可求． 解：由题意，令第三边为 X，则 5-3＜X＜5+3，即 2＜X＜8， ∵第三边长为偶数，∴第三边长是 4 或 6． ∴三角形的三边长可以为 3、5、4． 故选：C． 点评：此题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解决此类问题的关 键． 考点三：三角形全等的判定 例 3 （2012•乐山）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4，D 是 AB 的中点，点 E、 F 分别在 AC、BC 边上运动（点 E 不与点 A、C 重合），且保持 AE=CF，连接 DE、DF、 EF．在此运动变化的过程中，有下列结论： ①△DFE 是等腰直角三角形； ②四边形 CEDF 不可能为正方形； ③四边形 CEDF 的面积随点 E 位置的改变而发生变化； ④点 C 到线段 EF 的最大距离为 ． 其中正确结论的个数是（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2 思路分析：①作常规辅助线连接 CD，由 SAS 定理可证△CDF 和△ADE 全等，从而可证∠ EDF=90°，DE=DF．所以△DFE 是等腰直角三角形； ②当 E 为 AC 中点，F 为 BC 中点时，四边形 CEDF 为正方形； ③由割补法可知四边形 CDFE 的面积保持不变； ④△DEF 是等腰直角三角形 DE= EF，当 DF 与 BC 垂直，即 DF 最小时，FE 取最小值 2 ，此时点 C 到线段 EF 的最大距离． 解：①如图，连接 CD； ∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB； ∵AE=CF， ∴△ADE≌△CDF； ∴ED=DF，∠CDF=∠EDA； ∵∠ADE+∠EDC=90°， ∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°， ∴△DFE 是等腰直角三角形．故此选项正确； ②当 E、F 分别为 AC、BC 中点时，四边形 CDFE 是正方形，故此选项错误； ③如图 2 所示，分别过点 D，作 DM⊥AC，DN⊥BC，于点 M，N， 可以利用割补法可知四边形 CDFE 的面积等于正方形 CMDN 面积，故面积保持不变；故此 选项错误； ④△DEF 是等腰直角三角形 DE= EF， 当 EF∥AB 时，即 EF 取最小值 2 ，此时点 C 到线段 EF 的最大距离为 ．故此选项正 确； 2 2 2 2 2 故正确的有 2 个， 故选：B． 点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形、等腰三角形、直角三角形性质 等知识，根据图形利用割补法可知四边形 CDFE 的面积等于正方形 CMDN 面积是解题关键． 例 4 （2012•珠海）如图，把正方形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转 45°得到正方形 A′ B′CD′（此时，点 B′落在对角线 AC 上，点 A′落在 CD 的延长线上），A′B′交 AD 于点 E，连接 AA′、CE． 求证：（1）△ADA′≌△CDE； （2）直线 CE 是线段 AA′的垂直平分线． 思路分析：（1）根据正方形的性质可得 AD=CD，∠ADC=90°，∠EA′D=45°，则∠A′ DE=90°，再计算出∠A′ED=45°，根据等角对等边可得 AD=ED，即可利用 SAS 证明△AA ′D≌△CED； （2）首先由 AC=A′C，可得点 C 在 AA′的垂直平分线上；再证明△AEB′≌△A′ED， 可得 AE=A′E，进而得到点 E 也在 AA′的垂直平分线上，再根据两点确定一条直线可得 直线 CE 是线段 AA′的垂直平分线． 证明：（1）∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD=CD，∠ADC=90°， ∴∠A′DE=90°， 根据旋转的方法可得：∠EA′D=45°，， ∴∠A′ED=45°， ∴A′D=DE， 在△AA′D 和△CED 中： AD=CD，∠ADA′=∠EDC，A′D=ED， ∴△AA′D≌△CED（SAS）； （2）∵AC=A′C， ∴点 C 在 AA′的垂直平分线上， ∵AC 是正方形 ABCD 的对角线， ∴∠CAE=45°， ∵AC=A′C，CD=CB′， ∴AB′=A′D， 在△AEB′和△A′ED 中：∠EAB′=∠EA′D，∠AEB′=∠A′ED ，AB′=A′D， ∴△AEB′≌△A′ED， ∴AE=A′E， ∴点 E 也在 AA′的垂直平分线上， ∴直线 CE 是线段 AA′的垂直平分线． 点评：此题主要考查了正方形的性质，以及旋转的性质，关键是熟练掌握正方形的性质：正 方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每 条对角线平分一组对角；找准旋转后相等的线段． 对应训练 3．（2012•鸡西）Rt△ABC 中，AB=AC，点 D 为 BC 中点．∠MDN=90°，∠MDN 绕点 D 旋转，DM、DN 分别与边 AB、AC 交于 E、F 两点．下列结论：①（BE+CF）= BC；② S△AEF≤ S△ABC；③S 四边形 AEDF=AD•EF；④AD≥EF；⑤AD 与 EF 可能互相平分， 其中正确结论的个数是（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 3．分析：先由 ASA 证明△AED≌△CFD，得出 AE=CF，再由勾股定理即可得出 BE+CF=AB= BC，从而判断①； 设 AB=AC=a，AE=CF=x，先由三角形的面积公式得出 S△AEF=- （x- a）2+ a2， S△ABC= × a2= a2，再根据二次函数的性质即可判断②； 由勾股定理得到 EF 的表达式，利用二次函数性质求得 EF 最小值为 a，而 AD= a， 所以 EF≥AD，从而④错误； 先得出 S 四边形 AEDF=S△ADC= AD，再由 EF≥AD 得到 AD•EF≥AD2，∴AD•EF＞S 四边形 AEDF，所以③错误； 如果四边形 AEDF 为平行四边形，则 AD 与 EF 互相平分，此时 DF∥AB，DE∥AC，又 D 为 BC 中点，所以当 E、F 分别为 AB、AC 的中点时，AD 与 EF 互相平分，从而判断⑤． 解：∵Rt△ABC 中，AB=AC，点 D 为 BC 中点， ∴∠C=∠BAD=45°，AD=BD=CD， ∵∠MDN=90°， ∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF=90°， ∴∠ADE=∠CDF． 在△AED 与△CFD 中， 2 2 1 4 2 2 1 2 1 2 1 8 1 4 1 4 1 2 1 8 2 2 2 2 1 2 ， ∴△AED≌△CFD（ASA）， ∴AE=CF， 在 Rt△ABD 中，BE+CF=BE+AE=AB= ． 故①正确； 设 AB=AC=a，AE=CF=x，则 AF=a-x． ∵S△AEF= AE•AF= x（a-x）=- （x- a）2+ a2， ∴当 x= a 时，S△AEF 有最大值 a2， 又∵ S△ABC= × a2= a2， ∴S△AEF≤ S△ABC． 故②正确； EF2=AE2+AF2=x2+（a-x）2=2（x- a）2+1 2 a2， ∴当 x= a 时，EF2 取得最小值 a2， ∴EF≥ a（等号当且仅当 x= a 时成立）， 而 AD= a，∴EF≥AD． 故④错误； 由①的证明知△AED≌△CFD， ∴S 四边形 AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=1 2 AD2， ∵EF≥AD，∴AD•EF≥AD2，∴AD•EF＞S 四边形 AEDF 故③错误； 当 E、F 分别为 AB、AC 的中点时，四边形 AEDF 为正方形，此时 AD 与 EF 互相平分． 故⑤正确． 综上所述，正确的有：①②⑤，共 3 个． 故选 C．点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定 理，图形的面积，函数的性质等知识，综合性较强，有一定难度． 4．（2012•肇庆）如图，已知 AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与 BD 交于 O，AC=BD． 求证：（1）BC=AD； （2）△OAB 是等腰三角形． EAD C AD CD ADE CDF ∠ = ∠  = ∠ = ∠ 2 2 2 2 2AD BD BD BC+ = = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 8 1 2 1 8 1 4 1 4 1 2 1 8 1 4 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 4．分析：（1）根据 AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC 与△BAD 是直角三角形，再根据 AC=BD， AB=BA，得出△ABC≌△BAD，即可证出 BC=AD， （2）根据△ABC≌△BAD，得出∠CAB=∠DBA，从而证出 OA=OB，△OAB 是等腰三角 形． 证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴△ABC 与△BAD 是直角三角形， 在△ABC 和△BAD 中， ∵ AC=BD， AB=BA， ∠ACB=∠ADB ， ∴△ABC≌△BAD， ∴BC=AD， （2）∵△ABC≌△BAD， ∴∠CAB=∠DBA， ∴OA=OB， ∴△OAB 是等腰三角形． 点评：本题考查了全等三角形的判定及性质；用到的知识点是全等三角形的判定及性质、等 腰三角形的判定等，全等三角形的判定是重点，本题是道基础题，是对全等三角形的判定的 训练． 考点四：全等三角形开放性问题 例 5 （2012•义乌市）如图，在△ABC 中，点 D 是 BC 的中点，作射线 AD，在线段 AD 及其延长线上分别取点 E、F，连接 CE、BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加 以证明．你添加的条件是 ．（不添加辅助线）． 思路分析：由已知可证∠ECD﹦∠FBD，又∠EDC﹦∠FDB，因为三角形全等条件中必须是 三个元素，并且一定有一组对应边相等．故添加的条件是：DE=DF（或 CE∥BF 或∠ECD= ∠DBF 或∠DEC=∠DFB 等）； 解：（1）添加的条件是：DE=DF（或 CE∥BF 或∠ECD=∠DBF 或∠DEC=∠DFB 等）． （2）证明：在△BDF 和△CDE 中 ∵ ， ∴△BDF≌△CDE． 点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角 形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看 缺什么条件，再去证什么条件． 对应训练 5．（2012•衡阳）如图，AF=DC，BC∥EF，请只补充一个条件，使得△ABC≌△DEF，并 说明理由． 5．分析：首先由 AF=DC 可得 AC=DF，再由 BC∥EF 根据两直线平行，内错角相等可得∠ EFD=∠BCA，再加上条件 EF=BC 即可利用 SAS 证明△ABC≌△DEF． 解：补充条件：EF=BC，可使得△ABC≌△DEF．理由如下： ∵AF=DC， ∴AF+FC=DC+FC， 即：AC=DF， ∵BC∥EF， ∴∠EFD=∠BCA， 在△EFD 和△BCA 中， EF=BC ∠EFD=∠BCA EF=BC ， ∴△EFD≌△BCA（SAS）． 点评：此题主要考查了全等三角形的判定，关键是熟练掌握判定定理：SSS、SAS、ASA、 AAS，HL． 【聚焦山东中考】 1.（2012•烟台）一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点 D 恰好放在等腰直角三角 板的斜边 AB 上，BC 与 DE 交于点 M．如果∠ADF=100°，那么∠BMD 为 度． BD CD EDC FDB DE DF = ∠ = ∠  = 1.85 分析：先根据∠ADF=100°求出∠MDB 的度数，再根据三角形内角和定理得出∠BMD 的度数即 可．解答：解：∵∠ADF=100°，∠EDF=30°， ∴∠MDB=180°-∠ADF-∠EDF=180°-100°-30°=50°， ∴∠BMD=180°-∠B-∠MDB=180°-45°-50°=85°． 故答案为：85．点评：本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是 180°． 2．（2012•聊城）将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是（　　） A．75° B．90° C．105° D．120° 2．分析：先根据直角三角形的性质得出∠BAE 及∠E 的度数，再由三角形内角和定理及对顶 角的性质即可得出结论．解答：解：∵图中是一副直角三角板， ∴∠BAE=45°，∠E=30°， ∴∠AFE=180°-∠BAE-∠E=105°， ∴∠α=105°． 故选 C． 点评：本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是 180°． 3．（2012•德州）不一定在三角形内部的线段是（　　） A．三角形的角平分线 B．三角形的中线 C．三角形的高 D．三角形的中位线 3．分析：根据三角形的高、中线、角平分线的性质解答．解答： 解：因为在三角形中， 它的中线、角平分线一定在三角形的内部， 而钝角三角形的高在三角形的外部． 故选 C． 点评：本题考查了三角形的高、中线和角平分线，要熟悉它们的性质方可解答． 4．（2012•济宁）用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠ BOC 的依据是（　　） A．SSS B．ASA C．AAS D．角平分线上的点到角两边距离相等 4．分析：连接 NC，MC，根据 SSS 证△ONC≌△OMC，即可推出答案． 解：如图，连接 NC，MC， 在△ONC 和△OMC 中 ， ∴△ONC≌△OMC（SSS）， ∴∠AOC=∠BOC， 故选 A． 点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应，主要考查学生运用性质进行推理的能力， 题型较好，难度适中． 5．（2012•滨州）如图，在△ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C= ． 5．40° ON OM NC MC OC OC =  =  = 分析：先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠B 的度数，再根据三角形外角 的性质可求出∠ADC 的度数，再由三角形内角和定理解答即可． 解：∵AB=AD，∠BAD=20°， ∴∠B= =80°， ∵∠ADC 是△ABD 的外角， ∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°， ∵AD=DC， ∴∠C= =40°． 点评：本题涉及到三角形的内角和定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，属较简单 题目． 6．（2012•潍坊）如图所示，AB=DB，∠ABD=∠CBE，请你添加一个适当的条件 ， 使△ABC≌△DBE．（只需添加一个即可） 6．∠BDE=∠BAC 分析：根据∠ABD=∠CBE 可以证明得到∠ABC=∠DBE，然后根据利用的证明方法，“角边 角”“边角边”“角角边”分别写出第三个条件即可． 解：∵∠ABD=∠CBE， ∴∠ABD+∠ABE=∠CBE+∠ABE， 即∠ABC=∠DBE， ∵AB=DB， ∴①用“角边角”，需添加∠BDE=∠BAC， ②用“边角边”，需添加 BE=BC， ③用“角角边”，需添加∠ACB=∠DEB． 故答案为：∠BDE=∠BAC 或 BE=BC 或∠ACB=∠DEB．（写出一个即可） 点评：本题考查了全等三角形的判定，根据已知条件有一边与一角，根据不同的证明方法可 以选择添加不同的条件，需要注意，不能使添加的条件符合“边边角”，这也是本题容易出 180 180 20 2 2 BAD°− ∠ °− °= 180 180 100 2 2 ADC°− ∠ °− °= 的地方． 7．（2012•临沂）在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在 AC 上取一点 E，使 EC=BC，过点 E 作 EF⊥AC 交 CD 的延长线于点 F，若 EF=5cm，则 AE= cm． 7．3 分析：根据直角三角形的两锐角互余的性质求出∠ECF=∠B，然后利用“角边角”证明△ABC 和△FEC 全等，根据全等三角形对应边相等可得 AC=EF，再根据 AE=AC-CE，代入数据计算即 可得解． 解：∵∠ACB=90°， ∴∠ECF+∠BCD=90°， ∵CD⊥AB， ∴∠BCD+∠B=90°， ∴∠ECF=∠B， 在△ABC 和△FEC 中， ∠ECF=∠B EC=BC ∠ACB=∠FEC=90° ， ∴△ABC≌△FEC（ASA）， ∴AC=EF， ∵AE=AC-CE，BC=2cm，EF=5cm， ∴AE=5-2=3cm． 故答案为：3．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，根据直角三角形的性质证明得 到∠ECF=∠B 是解题的关键． 8．（2012•济宁）如图，在等边三角形 ABC 中，D 是 BC 边上的一点，延长 AD 至 E，使 AE=AC，∠BAE 的平分线交△ABC 的高 BF 于点 O，则 tan∠AEO= ． 8． 分析：根据等边三角形性质和三线合一定理求出∠BAF=30°，推出 AB=AE，根据 SAS 证△BAO ≌△EAO，推出∠AEO=∠ABO=30°即可．解答：解：∵△ABC 是等边三角形， ∠ABC=60°，AB=BC， ∵BF⊥AC， ∴∠ABF= ∠ABC=30°， ∵AB=AC，AE=AC， ∴AB=AE， ∵AO 平分∠BAE， ∴∠BAO=∠EAO， ∵在△BAO 和△EAO 中 ∵ AB=AE，∠BAO=∠EAO， AO=AO ， ∴△BAO≌△EAO， ∴∠AEO=∠ABO=30°， ∴tan∠AEO=tan30°= ， 故答案为： ．点评：本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，特殊角的 三角函数值等知识点的应用，关键是证出∠AEO=∠ABO，题目比较典型，难度适中． 3 3 1 2 3 3 3 3 【备考真题过关】 一、选择题 1．（2012•云南）如图，在△ABC 中，∠B=67°，∠C=33°，AD 是△ABC 的角平分线， 则∠CAD 的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 1．分析：首先利用三角形内角和定理求得∠BAC 的度数，然后利用角平分线的性质求得∠ CAD 的度数即可． 解：∵∠B=67°，∠C=33°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-67°-33°=80° ∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠CAD= ∠BAC= ×80°=40° 故选 A． 点评：本题考查了三角形的内角和定理，属于基础题，比较简单．三角形内角和定理在小学 已经接触过． 2．（2012•梅州）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点 D、E 分别是边 AB、AC 上，将△ABC 沿着 DE 折叠压平，A 与 A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（　　） A．150° B．210° C．105° D．75° 2．分析：先根据图形翻折变化的性质得出△ADE≌△A′DE，∠AED=∠A′ED，∠ADE= ∠A′DE，再根据三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE 及∠A′ED+∠A′DE 的度数，然 后根据平角的性质即可求出答案． 解：∵△A′DE 是△ABC 翻折变换而成， ∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°， 1 2 1 2 ∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°-75°=105°， ∴∠1+∠2=360°-2×105°=150°． 故选 A． 点评：本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前 后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3．（2012•漳州）将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　） A．45° B．60° C．75° D．90° 3．分析：根据直角三角形的两锐角互余求出∠1 的度数，再根据三角形的一个外角等于与 它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 解：如图，∠1=90°-60°=30°， 所以，∠α=45°+30°=75°． 故选 C． 点评：本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角 形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键． 4．（2012•广东）已知三角形两边的长分别是 4 和 10，则此三角形第三边的长可能是（　　） A．5 B．6 C．11 D．16 4．分析：设此三角形第三边的长为 x，根据三角形的三边关系求出 x 的取值范围，找出符 合条件的 x 的值即可． 解：设此三角形第三边的长为 x，则 10-4＜x＜10+4，即 6＜x＜14，四个选项中只有 11 符 合条件． 故选 C． 点评：本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第 三边． 5．（2012•郴州）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．1cm，2cm，4cm B．4cm，6cm，8cm C．5cm，6cm，12cm D．2cm，3cm，5cm 5．分析：根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”， 进行分析． 解：根据三角形的三边关系，知 A、1+2＜4，不能组成三角形； B、4+6＞8，能够组成三角形； C、5+6＜12，不能组成三角形； D、2+3=5，不能组成三角形． 故选 B． 点评：此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的 和是否大于第三个数． 6．（2012•玉林）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 AC≠BD，则 图中全等三角形有（　　） A．4 对 B．6 对 C．8 对 D．10 对 6．分析：根据菱形四边形等，对角线互相垂直且平分，结合全等三角形的判定即可得出答 案． 解：图中全等三角形有：△ABO≌△ADO、△ABO≌△CDO，△ABO≌△CBO； △AOD≌△COD，△AOD≌△COB； △DOC≌△BOC； △ABD≌△CBD， △ABC≌△ADC， 共 8 对． 故选 C． 点评：此题考查了全等三角形的判定及菱形的性质，注意掌握全等三角形的几个判定定理， 在查找时要有序的进行，否则很容易出错． 7．（2012•贵阳）如图，已知点 A、D、C、F 在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC ≌△DEF，还需要添加一个条件是（　　） A．∠BCA=∠F B．∠B=∠E C．BC∥EF D．∠A=∠EDF 7．分析：全等三角形的判定方法 SAS 是指有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角 形全等，已知 AB=DE，BC=EF，其两边的夹角是∠B 和∠E，只要求出∠B=∠E 即可． 解：A、根据 AB=DE，BC=EF 和∠BCA=∠F 不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误； B、∵在△ABC 和△DEF 中 ， ∴△ABC≌△DEF（SAS），故本选项正确； C、∵BC∥EF， ∴∠F=∠BCA，根据 AB=DE，BC=EF 和∠F=∠BCA 不能推出△ABC≌△DEF，故本选项 错误； D、根据 AB=DE，BC=EF 和∠A=∠EDF 不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误． 故选 B． 点评：本题考查了对平行线的性质和全等三角形的判定的应用，注意：有两边对应相等，且 这两边的夹角相等的两三角形才全等，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目． 三、填空题 8．（2012•呼和浩特）如图，在△ABC 中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平 分线交于点 E，则∠AEC= ． 8．66.5° 分析：根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得 ∠DAC+ ACF= （∠B+∠B+∠BAC+∠BCA）= ；最后在△AEC 中利用三角形内角和定理可 以求得∠AEC 的度数． 解：∵三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点 E， ∴∠EAC= ∠DAC，∠ECA= ∠ACF； 又∵∠B=47°（已知），∠B+∠BAC+∠BCA=180°（三角形内角和定理）， AB DE B E BC EF = ∠ = ∠  = 1 2 1 2 1 2 227 2  1 2 1 2 ∴ ∠DAC+ ACF= （∠B+∠ACB）+ （∠B+∠BAC）= （∠B+∠B+∠BAC+∠ BCA）= （外角定理）， ∴∠AEC=180°-（ ∠DAC+ ACF）=66.5°； 故答案是：66.5°． 点评：本题考查了三角形内角和定理、三角形外角性质．解题时注意挖掘出隐含在题干中已 知条件“三角形内角和是 180°”． 9．（2012•娄底）如图，FE∥ON，OE 平分∠MON，∠FEO=28°，则∠MFE= 度． 9．56 分析：先根据平行线的性质得出∠NOE=∠FEO，再根据角平分线的性质得出∠NOE=∠ EOF，由三角形外角的性质即可得出结论． 解：∵FE∥ON，∠FEO=28°， ∴∠NOE=∠FEO=28°， ∵OE 平分∠MON， ∴∠NOE=∠EOF=28°， ∵∠MFE 是△EOF 的外角， ∴∠MFE=∠NOE+∠EOF=28°+28°=56°． 故答案为：56． 点评：本题考查的是三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的 和． 10．（2012•白银）如图，在△ABC 中，AC=BC，△ABC 的外角∠ACE=100°，则∠A= 度． 10．50 分析：根据等角对等边的性质可得∠A=∠B，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 227 2  1 2 1 2 个内角的和列式计算即可得解． 解：∵AC=BC， ∴∠A=∠B， ∵∠A+∠B=∠ACE， ∴∠A= ∠ACE= ×100°=50°． 故答案为：50． 点评：本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等边对等 角的性质，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键． 11．（2012•绥化）若等腰三角形两边长分别为 3 和 5，则它的周长是 ． 11．11 或 13 分析：题目给出等腰三角形有两条边长为 3 和 5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进 行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．解答：解：有两种情况：①腰长 为 3，底边长为 5，三边为：3，3，5 可构成三角形，周长=3+3+5=11； ②腰长为 5，底边长为 3，三边为：5，5，3 可构成三角形，周长=5+5+3=13． 故答案为：11 或 13．点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有 明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三 角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 12．（2012•柳州）如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的角平分线，已知∠ABC=80°，则∠ DBC= °． 12．40 分析：根据角平分线的性质得出∠ABD=∠DBC 进而得出∠DBC 的度数．解答：解：∵BD 是∠ABC 的角平分线，∠ABC=80°， ∴∠DBC=∠ABD= ∠ABC= ×80°=40°， 故答案为：40． 点评：此题主要考查了角平分线的性质，根据角平分线性质得出∠ABD=∠DBC 是解题关 键． 13．（2012•绵阳）如图，BC=EC，∠1=∠2，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件 为 ．（答案不唯一，只需填一个）． 13．AC=CD 1 2 1 2 1 2 1 2 分析：根据∠1=∠2，求出∠BCA=∠ECD，根据 SAS 证明亮三角形全等即可．解答：解： 添加的条件是 AC=CD， 理由是：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA， ∴∠BCA=∠ECD， ∵在△ABC 和△DCE 中 ， ∴△ABC≌△DCE， 故答案为：AC=CD． 点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，通过做此题培养了学生的发散思维能力，本题 题型较好，是一道具有开放性的题目，答案不唯一． 三、解答题 14．（2012•铜仁地区）如图，E、F 是四边形 ABCD 的对角线 BD 上的两点，AE∥CF， AE=CF，BE=DF．求证：△ADE≌△CBF． 14．考点：全等三角形的判定．专题：证明题．分析：首先利用平行线的性质得出∠AED= ∠CFB，进而得出 DE=BF，利用 SAS 得出即可． 证明：∵AE∥CF ∴∠AED=∠CFB， ∵DF=BE， ∴DF+EF=BE+EF， 即 DE=BF， 在△ADE 和△CBF 中， AE=CF ∠AED=∠CFB DE=BF， ∴△ADE≌△CBF（SAS）． 点评：此题主要考查了全等三角形的判定，利用两边且夹角对应相等得出三角形全等是解题 BC CE BCA ECD AC CD = ∠ = ∠  = 关键． 15．（2012•赤峰）如图所示，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB． （1）尺规作图：过顶点 A 作△ABC 的角平分线 AD；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在 AD 上任取一点 E，连接 BE、CE．求证：△ABE≌△ACE． 15．分析：（1）以 A 为圆心，以任意长为比较画弧，分别交 AB 和 AC 于一点，分别以这 两点为圆心，以大于这两点之间的距离为半径画弧，两弧交于一点，过这点和 A 作射线， 交 BC 于 D，则，AD 为所求； （2）推出∠BAE=∠CAE，根据 SAS 证△BAE 和△CAE 全等即可． （1）解：如图所示： （2）证明：∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAD=∠CAD， ∵∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC， ∵在△ABE 和△ACE 中 AB=AC ∠BAE=∠CAE AE=AE ， ∴△ABE≌△ACE（SAS）． 点评：本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定，作图-基本作图的应用，主要考 查学生的动手操作能力和推理能力． 16．（2012•重庆）已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED． 16．分析：由∠1=∠2 可得：∠EAD=∠BAC，再有条件 AB=AE，∠B=∠E 可利用 ASA 证 明△ABC≌△AED，再根据全等三角形对应边相等可得 BC=ED． 证明：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD， 即：∠EAD=∠BAC， 在△EAD 和△BAC 中：∠B=∠E，AB=AE，∠BAC=∠EAD， ∴△ABC≌△AED（ASA）， ∴BC=ED． 点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法： SSS、SAS、ASA、AAS、HL．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相 等的重要工具． 1．（2012•扬州）如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD，垂足 为 E．求证：BE=DE． 考点：全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质。810360 专题：证明题。 分析：作 CF⊥BE，垂足为 F，得出矩形 CFED，求出∠CBF=∠A，根据 AAS 证 △BAE≌△CBF，推出 BE=CF 即可． 解答： 证明：作 CF⊥BE，垂足为 F， ∵BE⊥AD， ∴∠AEB=90°， ∴∠FED=∠D=∠CFE=90°，∠CBE+∠ABE=90°，∠BAE+∠ABE=90°， ∴∠BAE=∠CBF， ∴四边形 EFCD 为矩形， ∴DE=CF， 在△BAE 和△CBF 中，有∠CBE=∠BAE，∠BFC=∠BEA=90°，AB=BC， ∴△BAE≌△CBF， ∴BE=CF=DE， 即 BE=DE． 点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，矩形的判定和性质的应用，关键是求出 △BAE≌△CBF，主要考查学生运用性质进行推理的能力． 　 2．（2012•镇江）如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，E 是 AB 的中点，连接 DE 并延长交 CB 的延长线于点 F，点 G 在边 BC 上，且∠GDF=∠ADF． （1）求证：△ADE≌△BFE； （2）连接 EG，判断 EG 与 DF 的位置关系并说明理由． 考点：全等三角形的判定与性质。810360 专题：证明题。 分析：（1）由 AD 与 BC 平行，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，再由一对对 顶角相等及 E 为 AB 中点得到一对边相等，利用 AAS 即可得出△ADE≌△BFE； （2）∠GDF=∠ADE，以及（1）得出的∠ADE=∠BFE，等量代换得到∠GDF=∠BFE， 利用等角对等边得到 GF=GD，即三角形 GDF 为等腰三角形，再由（1）得到 DE=FE，即 GE 为底边上的中线，利用三线合一即可得到 GE 与 DF 垂直． 解答：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE， ∵E 为 AB 的中点，∴AE=BE， 在△AED 和△BFE 中， ， ∴△AED≌△BFE（AAS）； （2）解：EG 与 DF 的位置关系是 EG⊥DF， 理由为：连接 EG， ∵∠GDF=∠ADE，∠ADE=∠BFE， ∴∠GDF=∠BFE， 由（1）△AED≌△BFR 得：DE=EF，即 GE 为 DF 上的中线， ∴GE⊥DF． 点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等腰三角形的判定与性质， 熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 　 3．（2012•佛山）如图，已知 AB=DC，DB=AC （1）求证：∠ABD=∠DCA．注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据． （2）在（1）的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？ 考点：全等三角形的判定与性质。810360 分析：（1）连接 AD，证明三角形 BAD 和三角形 CAD 全等即可得到结论； （2）作辅助线的意图是构造全等的三角形． 解答：证明：（1）连接 AD， 在△BAD 和△CDA 中 ∴△BAD≌△CDA（SSS） ∴∠ABD=∠DCA（全等三角形对应角相等） （2）作辅助线的意图是构造全等的三角形即两个三角形的公共边． 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，属于基础题，相对比较简单． 　 4．（2012•滨州）如图 1，l1，l2，l3，l4 是一组平行线，相邻 2 条平行线间的距离都是 1 个 单位长度，正方形 ABCD 的 4 个顶点 A，B，C，D 都在这些平行线上．过点 A 作 AF⊥l3 于 点 F，交 l2 于点 H，过点 C 作 CE⊥l2 于点 E，交 l3 于点 G． （1）求证：△ADF≌△CBE； （2）求正方形 ABCD 的面积； （3）如图 2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为 h1，h2，h3，试 用 h1，h2，h3 表示正方形 ABCD 的面积 S． 考点：全等三角形的判定与性质；平行线之间的距离；正方形的性质。810360 专题：几何综合题。 分析：（1）直接根据 HL 定理得出 Rt△AFD≌Rt△CEB； （2）由 ASA 定理得出△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，再根据 S 正方形 ABCD=4S△ABH+SH 正方形 EGF 即可得出结论； （3）由△AFD≌△CEB 可得出 h1=h3，再根据（2）中△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF， 可知 S 正方形 ABCD=4S△ABH+S 正方形 HEGF，进而得出结论． 解答：（1）证明：在 Rt△AFD 和 Rt△CEB 中， ∵AD=BC，AF=CE， ∴Rt△AFD≌Rt△CEB； （2）解：∵∠ABH+∠CBE=90°，∠ABH+∠BAH=90°， ∴∠CBE=∠BAH 又∵AB=BC，∠AHB=∠CEB=90° ∴△ABH≌△BCE， 同理可得，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF， ∴S 正方形 ABCD=4S△ABH+S 正方形 HEGF =4× ×2×1+1×1 =5； （3）解：由（1）知，△AFD≌△CEB，故 h1=h3， 由（2）知，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF， ∴S 正方形 ABCD=4S△ABH+S 正方形 HEGF =4× （h1+h2）•h1+h22=2h12+2h1h2+h22． 点评：本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质及平行线之间的距离，熟知判 定全等三角形的 SSS、SAS、ASA 及 HL 定理是解答此题的关键． 　 5．（2012•长春）感知：如图①，点 E 在正方形 ABCD 的边 BC 上，BF⊥AE 于点 F，DG⊥AE 于点 G，可知△ADG≌△BAF．（不要求证明） 拓展：如图②，点 B、C 分别在∠MAN 的边 AM、AN 上，点 E、F 在∠MAN 内部的射线 AD 上，∠1、∠2 分别是△ABE、△CAF 的外角．已知 AB=AC，∠1=∠2=∠BAC，求证： △ABE≌△CAF． 应用：如图③，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，AB＞BC．点 D 在边 BC 上，CD=2BD， 点 E、F 在线段 AD 上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC 的面积为 9，则△ABE 与△CDF 的面积之 和为　6　． 考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；正方形的性质。810360 分析：拓展：利用∠1=∠2=∠BAC，利用三角形外角性质得出∠4=∠ABE，进而利用 AAS 证明 △ABE≌△CAF； 应用：首先根据△ABD 与△ADC 等高，底边比值为：1：2，得出△ABD 与△ADC 面 积比为：1：2，再证明△ABE≌△CAF，即可得出△ABE 与△CDF 的面积之和为△ADC 的面积得出答案即可． 解答：拓展： 证明：∵∠1=∠2， ∴∠BEA=∠AFC， ∵∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC， ∴∠BAC=∠ABE+∠3， ∴∠4=∠ABE， ∴ ， ∴△ABE≌△CAF（AAS）． 应用： 解：∵在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，CD=2BD， ∴△ABD 与△ADC 等高，底边比值为：1：2， ∴△ABD 与△ADC 面积比为：1：2， ∵△ABC 的面积为 9， ∴△ABD 与△ADC 面积分别为：3，6； ∵∠1=∠2， ∴∠BEA=∠AFC， ∵∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC， ∴∠BAC=∠ABE+∠3， ∴∠4=∠ABE， ∴ ， ∴△ABE≌△CAF（AAS）， ∴△ABE 与△CAF 面积相等， ∴△ABE 与△CDF 的面积之和为△ADC 的面积， ∴△ABE 与△CDF 的面积之和为 6， 故答案为：6． 点评：此题主要考查了三角形全等的判定与性质以及三角形面积求法，根据已知得出 ∠4=∠ABE，以及△ABD 与△ADC 面积比为：1：2 是解题关键． 　 6．（2012•阜新）（1）如图，在△ABC 和△ADE 中，AB=AC，AD=AE， ∠BAC=∠DAE=90°． ①当点 D 在 AC 上时，如图 1，线段 BD、CE 有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你 猜想的结论； ②将图 1 中的△ADE 绕点 A 顺时针旋转 α 角（0°＜α＜90°），如图 2，线段 BD、CE 有怎样 的数量关系和位置关系？请说明理由． （2）当△ABC 和△ADE 满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段 BD、CE 在（1）中 的位置关系仍然成立？不必说明理由． 甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°； 乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°； 丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°． 考点：全等三角形的判定与性质。810360 专题：几何综合题。 分析：（1）①BD=CE，BD⊥CE．根据全等三角形的判定定理 SAS 推知△ABD≌△ACE，然 后由全等三角形的对应边相等证得 BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA；然后在△ABD 和△CDF 中，由三角形内角和定理可以求得∠CFD=90°，即 BD⊥CF； ②BD=CE，BD⊥CE．根据全等三角形的判定定理 SAS 推知△ABD≌△ACE，然后由 全等三角形的对应边相等证得 BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA；作辅助线（延长 BD 交 AC 于 F，交 CE 于 H）BH 构建对顶角∠ABF=∠HCF，再根据三角形内角和定理证 得∠BHC=90°； （2）根据结论①、②的证明过程知，∠BAC=∠DFC（或∠FHC=90°）时，该结论成 立了，所以本条件中的∠BAC=∠DAE≠90°不合适． 解答：解：（1）①结论：BD=CE，BD⊥CE； ②结论：BD=CE，BD⊥CE…1 分 理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90° ∴∠BAD﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE…1 分 在 Rt△ABD 与 Rt△ACE 中， ∵ ∴△ABD≌△ACE…2 分 ∴BD=CE…1 分 延长 BD 交 AC 于 F，交 CE 于 H． 在△ABF 与△HCF 中， ∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC ∴∠CHF=∠BAF=90° ∴BD⊥CE…3 分 （2）结论：乙．AB：AC=AD：AE，∠BAC=∠DAE=90°…2 分 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质．SSS，SAS，ASA，AAS，HL 均可作为判定三 角形全等的定理． 注意：在全等的判定中，没有 AAA（角角角）和 SSA（边边角） （特例：直角三角形为 HL，因为勾股定理，只要确定了斜边和一条直角边，另一直 角边也确定，属于 SSS），因为这两种情况都不能唯一确定三角形的形状；另外三条 中线（或高、角平分线）分别对应相等的两个三角形也全等． 　 7．（2012•内江）已知△ABC 为等边三角形，点 D 为直线 BC 上的一动点（点 D 不与 B、C 重合），以 AD 为边作菱形 ADEF（A、D、E、F 按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接 CF． （1）如图 1，当点 D 在边 BC 上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD； （2）如图 2，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，结论 AC=CF+CD 是否成立？ 若不成立，请写出 AC、CF、CD 之间存在的数量关系，并说明理由； （3）如图 3，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出 AC、 CF、CD 之间存在的数量关系． 考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；菱形的性质。810360 专题：几何综合题。 分析：（1）根据已知得出 AF=AD，AB=BC=AC，∠BAC=∠DAF=60°，求出∠BAD=CAF， 证△BAD≌△CAF，推出 CF=BD 即可； （2）求出∠BAD=∠CAF，根据 SAS 证△BAD≌△CAF，推出 BD=CF 即可； （3）画出图形后，根据 SAS 证△BAD≌△CAF，推出 CF=BD 即可． 解答：（1）证明：∵菱形 AFED， ∴AF=AD， ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF， ∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC， 即∠BAD=∠CAF， ∵在△BAD 和△CAF 中 ， ∴△BAD≌△CAF， ∴CF=BD， ∴CF+CD=BD+CD=BC=AC， 即①BD=CF，②AC=CF+CD． （2）解：AC=CF+CD 不成立，AC、CF、CD 之间存在的数量关系是 AC=CF﹣CD， 理由是：由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°， ∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC， 即∠BAD=∠CAF， ∵在△BAD 和△CAF 中 ， ∴△BAD≌△CAF， ∴BD=CF， ∴CF﹣CD=BD﹣CD=BC=AC， 即 AC=CF﹣CD． （3）AC=CD﹣CF．理由是： ∵∠BAC=∠DAF=60°， ∴∠DAB=∠CAF， ∵在△BAD 和△CAF 中 ， ∴△BAD≌△CAF， ∴CF=BD， ∴CD﹣CF=CD﹣BD=BC=AC， 即 AC=CD﹣CF． 点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，菱形的性质的应用，主要 考查学生的推理能力，注意：证明过程类似，题目具有一定的代表性，难度适中．