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  • 2021-05-13 发布

中考复习二次函数综合测试题及答案

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‎2016年中考复习《二次函数》综合测试题及答案 一、与线段、周长有关的问题 ‎01.如图,抛物线y=x2+bx+c过点A(3,0),B(1,0),交y轴于点C,点P是该抛物线上一动点,点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与点A重合),过点P作PD∥y轴交直线AC于点D.‎ ‎⑴求抛物线的解析式;‎ ‎⑵求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值;‎ ‎⑶在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA-MC|的值最大?‎ 若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎ ‎ 第1题图 备用图 解:⑴∵抛物线y=x2+bx+c过点A(3,0),B(1,0),‎ ‎∴,解得,∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3.‎ ‎⑵令x=0,则y=3,∴点C(0,3),‎ 又∵点A(3,0),∴直线AC的解析式为y= -x+3,设点P(x,x2-4x+3),‎ ‎∵PD∥y轴且点D在AC上,∴点D(x,-x+3),‎ ‎∴PD=(-x+3)-(x2-4x+3)=-x2+3x=-(x-)2+,‎ ‎∵a=-1<0,∴当x=时,线段PD的长度有最大值,最大值为.‎ ‎⑶存在.由抛物线的对称性可知,对称轴垂直平分AB,可得MA=MB,‎ 由三角形的三边关系,|MA-MC|-4,∴当x=-2时,线段PD取得最大值,‎ 将x=-2代入y= -x2-x+4中得y=4,‎ ‎∴线段PD取得最大值时,点P的坐标为(-2,4).‎ ‎②过点P作PF∥OC交AC于点F,如解图.‎ ‎∵PF∥OC,∴△PEF∽△OEC,∴.‎ 又∵=,OC=4,∴PF=.‎ ‎∴由①得PF=(-x2-x+4)-(x+4)= .‎ 化简得:x2+4x+3=0,解得x1= -1,x2= -3.‎ 当x= -1时,y=;当x= -3时,y=.‎ 即满足条件的P点坐标是(-1,)或(-3,).‎ 又∵点P在直线y=kx上,∴k= -或k= -.‎ ‎04.在平面直角坐标系中,已知抛物线y=-x2+bx+c(b、c为常数)的顶点为P,等腰直角△ABC的顶点A的坐标为(0,-1),点C的坐标为(4,3),直角顶点B在第四象限.‎ ‎⑴如图,若抛物线经过A、B两点,求抛物线的解析式;‎ ‎⑵平移⑴中的抛物线,使顶点P在AC上并沿AC方向 滑动距离为时,试证明:‎ 平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点;‎ ‎⑶在⑵的情况下,若沿AC方向任意滑动时,设抛物线 与直线AC的另一交点为Q,取BC的中点N,试探究NP+BQ是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.‎ 解:⑴设AC与x轴的交点为M,‎ ‎∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,-1),C的坐标为(4,3),‎ ‎∴直线AC的解析式为y=x-1,‎ ‎∴直线AC与x轴的交点M(1,0).∴OM=OA,∠CAO=45°.‎ ‎∵△CAB是等腰直角三角形,∴∠ACB=45°,∴BC∥y轴 ‎∵∠OMA=45°,∴∠OAB=90°,∴AB∥x轴,∴点B的坐标为(4,-1).‎ ‎∵抛物线过A(0,-1),B(4,-1)两点,‎ ‎∴,解得,‎ ‎∴抛物线的解析式为y=-x2+2x-1.‎ ‎⑵抛物线y=-x2+2x-1=-(x2-4x)-1=-(x-2)2+1,∴顶点P(2,1)‎ ‎∵抛物线y= -(x-2)2+1顶点P平移到直线AC上并沿AC方向移动的距离为,‎ ‎∴其实是先向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,‎ ‎∴平移后的二次函数的解析式为y= -(x-3)2+2,‎ ‎∵当y=0时,有0= -(x-3)2+2,解得x1=1,x2=5,‎ ‎∴y=-(x-3)2+2过点(1,0)和(5,0),‎ ‎∵直线AC的解析式为y=x-1,∴直线AC与x轴的交点坐标为(1,0),‎ ‎∴平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点.‎ ‎⑶如解图,NP+BQ存在最小值,最小值为2.理由如下:‎ 取AB的中点F,连接FN,FQ,‎ 作B点关于直线AC的对称点B′,‎ 设平移后的抛物线的顶点为P′.‎ 连接BB′,B′Q,BQ,则BQ=B′Q,‎ ‎∵抛物线y= -(x-2)2+1的顶点P(2,1),A(0,-1),‎ ‎∴PA==2,‎ ‎∴抛物线沿AC方向任意滑动时,P′Q=2,‎ ‎∵A(0,-1),B(4,-1),∴AB中点F(2,-1),‎ ‎∵B(4,-1),C(4,3),∴N(4,1),‎ ‎∴FN= =2,∴FN=P′Q,‎ ‎∵在△ABC中,F、N分别为AB、BC的中点,∴FN∥P′Q,‎ ‎∴四边形P′NFQ是平行四边形,∴NP′=FQ,‎ ‎∴NP′+BQ=FQ+B′Q≥FB′==2.‎ ‎∴当B′、Q、F三点共线时,NP+BQ最小,最小值为2.‎ ‎05.如图,抛物线y= -x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA=2,OC=3.‎ ‎⑴求抛物线的解析式;‎ ‎⑵作Rt△OBC的高OD,延长OD与抛物线在第一象限内 交于点E,求点E的坐标;‎ ‎⑶抛物线对称轴上是否存在点Q使得△BEQ的周长最小?‎ 若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.‎ 解:⑴∵OA=2,∴点A的坐标为(-2,0).∵OC=3,∴点C的坐标为(0,3).‎ 把A(-2,0),C(0,3)分别代入抛物线y= -x2+bx+c,‎ ‎∴,解得,‎ ‎∴抛物线的解析式为y=-x2+x+3.‎ ‎⑵把y=0代入y= -x2+x+3,解得x1=3,x2=-2,‎ ‎∴点B的坐标为(3,0),∴OB=OC=3,‎ ‎∵OD⊥BC,∴OE所在的直线为y=x.‎ 解方程组得,‎ ‎∵点E在第一象限内,∴点E的坐标为(2,2).‎ ‎⑶存在,如解图,设Q是抛物线对称轴上的一点,‎ 连接QA、QB、QE、BE,‎ ‎∵QA=QB,∴△BEQ的周长=BE+QA+QE ‎∵BE为定值且QA+QE≥AE ‎∴当A、Q、E三点在同一直线上时,△BEQ的周长最小,‎ 由A(-2,0)、E(2,2)可得直线AE的解析式为y=x+1,‎ 由⑵易得抛物线的对称轴为x=,∴点Q的坐标为(,),‎ ‎∴在抛物线的对称轴上,存在点Q(,),使得△BEQ的周长最小.‎ ‎06.如图,已知在平面直角坐标系xOy中,四边形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,AB∥OC,OA=AB=2,OC=3,过点B作BD⊥BC,交OA于点D,将∠DBC绕点B顺时针方向旋转,角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E、F.‎ ‎⑴求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;‎ ‎⑵当BE经过⑴中抛物线的顶点时,求CF的长;‎ ‎⑶在抛物线对称轴上取两点P、Q(Q在P的上方)‎ 且PQ=1,要使四边形BCPQ的周长最小,‎ 求出P、Q两点的坐标.‎ 解:⑴由题意得A(0,2)、B(2,2)、C(3,0).‎ 设经过A,B,C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+2(a≠0)‎ 将点B、C分别代入得,解得 ‎∴抛物线的解析式为y= - x2+ x+2.‎ ‎⑵∵y= -x2+ x+2= -+,‎ 设抛物线的顶点为G,则顶点G的坐标为(1,),‎ 过G作GH⊥AB,垂足为H,如解图①,则AH=BH=1,GH=-2=,‎ ‎∵EA⊥AB,GH⊥AB,∴EA∥GH,∴GH是△BEA的中位线,∴EA=2GH=.‎ 过B作BM⊥OC,垂足为M,如解图①,则MB=OA=AB.‎ 解图① 解图②‎ ‎∵∠EBF=∠ABM=90°,∴∠EBA=∠FBM=90°-∠ABF.‎ ‎∴Rt△EBA≌Rt△FBM,∴FM=EA=.‎ ‎∵CM=OC-OM=3-2=1,∴CF=FM+CM=.‎ ‎⑶如解图②,‎ 要使四边形BCPQ的周长最小,将B点向下平移一个单位至点K,取C点关于对称轴对称的点M,连接KM交对称轴于P,将P向上平移1个单位至Q,此时M、P、K三点共线可使KP+PM最短,则QPKB为平行四边形,QB=PK,连接CP,根据轴对称求出CP=MP,则CP+BQ最小,∵CB,QP为定值,∴四边形BCPQ周长最短.‎ ‎∵将点C向上平移一个单位,坐标为(3,1),‎ 再作其关于对称轴对称的对称点C1,‎ ‎∴得点C1的坐标为(-1,1).可求出直线BC1的解析式为y=x+.‎ 直线y=x+与对称轴x=1的交点即为点Q,坐标为(1, ).‎ ‎∴点P的坐标为(1,).‎ 综上所述,满足条件的P、Q两点的坐标分别为(1,)、(1,).‎ 二、与面积有关的问题 ‎01.如图,抛物线y= -x2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,8)、B(8,0)和点E,动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动,动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动,动点C、D同时出发,当动点D到达原点O时,点C、D停止运动.‎ ‎⑴求抛物线的解析式;‎ ‎⑵求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式:‎ 当t为何值时,△CED的面积最大?最大面积是多少?‎ ‎⑶当△CED的面积最大时,在抛物线上是否存在一点P ‎(点E除外),使△PCD的面积等于△CED的最大面积,‎ 若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 解:⑴将点A(0,8)、B(8,0)代入抛物线y= -x2+bx+c,‎ 得,解得,‎ ‎∴抛物线的解析式为y= -x2+3x+8.‎ ‎⑵∵点A(0,8)、B(8,0),∴OA=8,OB=8,‎ 令y=0,得-x2+3x+8=0,解得:x1=8,x2=-2,‎ ‎∵点E在x轴的负半轴上,∴点E(-2,0),∴OE=2,‎ 由题意知:当D点运动t秒时,BD=t,OC=t,∴OD=8-t,∴DE=OE+OD=10-t,‎ ‎∴S△CED=DE·OC=(10-t)·t=-t2+5t=-(t-5)2+‎ ‎∴当t=5时,S△CED最大=‎ ‎⑶存在.由⑵知:当t=5时,S△CED最大=‎ ‎∴当t=5时,OC=5,OD=3,∴C(0,5),D(3,0),由勾股定理得CD=,‎ 设直线CD的解析式为:y=kx+b(k≠0),‎ 将C(0,5),D(3,0)代入上式得解得,‎ ‎∴直线CD的解析式为y= - x+5‎ 过E点作EF∥CD,交抛物线于点P1,则S△CED=,‎ 如解图,设直线EF的解析式为y= -x+m 将E(-2,0)代入得m= -,‎ ‎∴直线EF的解析式为y= -x-,‎ 将y= -x-与y= -x2+3x+8联立成方程组 ‎∴,∴(与E点重合,舍去),‎ ‎∴P1(,- );‎ 过点E作EG⊥CD,垂足为G,‎ ‎∵当t=5时,S△ECD=CD·EG=,CD=,∴EG=‎ 过点D作DN⊥CD于点N,且使DN=,‎ 过点N作NM⊥x轴,垂足为M,可得△EGD∽△DMN,‎ ‎∴=,即=,解得:DM=,∴OM=,‎ 由勾股定理得MN= ==,‎ ‎∴N(,),‎ 过点N作NP2∥CD,与抛物线交于点P2,P3(与B点重合),‎ 则S△CED=,S△CED=,‎ 设直线NP2的解析式为y= -x+n,将N(,)代入上式得n=,‎ ‎∴直线NP2的解析式为y= -x+,‎ 将y= -x+与y= -x2+3x+8联立成方程组 ‎∴,∴,,‎ ‎∴P2(,)或P3(8,0)‎ 综上所述,当△CED的面积最大时,在抛物线上存在点P(点E除外),使△PCD的面积等于△CED的最大面积,点P的坐标为(,-)或(,)或(8,0).‎ ‎02.如图①,二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A(-3,0)、B(1,0),与y轴相交于点C,点G是二次函数图象的顶点,直线GC交x轴于点H(3,0),AD平行GC交y轴于点D.‎ ‎⑴求该二次函数的表达式;‎ ‎⑵求证:四边形ACHD是正方形;‎ ‎⑶如图②,点M(t,p)是该二次函数图象上的动点,并且点M在第二象限内,过点M的直线y=kx交二次函数的图象于另一点N.‎ ‎①若四边形ADCM的面积为S,请求出S关于t的函数表达式,并写出t的取值范围;‎ ‎②若△CMN的面积等于,请求出此时①中S的值.‎ 图① 图②‎ 解:⑴∵二次函数y=ax2+bx+3过点A(-3,0)、B(1,0),‎ ‎∴,∴,∴二次函数的表达式为y=-x2-2x+3.‎ ‎⑵由⑴知二次函数的表达式为y=-x2-2x+3,‎ 令x=0,则y=3,∴点C的坐标为(0,3),∴OC=3,‎ 又点A、H的坐标分别为(-3,0)、(3,0),‎ ‎∴OA=OH=OC=3,∴∠OCH=∠OHC,‎ ‎∵AD∥GC,∴∠OCH=∠ODA,∠OHC=∠OAD ‎∴∠OAD=∠ODA,∴OA=OD=OC=OH=3‎ 又∵AH⊥CD,∴四边形ACHD为正方形.‎ ‎⑶①S四边形ADCM=S四边形AOCM+S△AOD,‎ 由(2)知OA=OD=3,∴S△AOD=×3×3=,‎ ‎∵点M(t,p)是直线y=kx与抛物线y= -x2-2x+3在第二象限内的交点,‎ ‎∴点M的坐标为(t,-t2-2t+3),‎ 如解图,作MK⊥x轴于点K,ME⊥y轴于点E,‎ 则MK=-t2-2t+3,ME=︱t︱=-t,‎ ‎∴S四边形AOCM=S△AOM+S△MOC=×3(-t2-2t+3)+ ×3(-t)‎ 即S四边形AOCM= -t2-t+‎ S四边形ADCM=S四边形AOCM+S△AOD=-t2-t++= -t2-t+9‎ ‎∴S= -t2-t+9,-3<t<0.‎ ‎②设点N的坐标为(t1,p1),过点N作NF⊥y轴于点F,∴NF=︱t1︱,‎ 又由①知ME=︱t︱,则S△CMN=S△COM+S△CON=OC·(︱t︱+︱t1︱),‎ 又∵点M(t,p)、N(t1,p1)分别在第二、四象限内,∴t<0,t1>0,‎ ‎∴S△CMN= (t1-t),即 (t1-t)= ,∴t1-t=.‎ 由直线y=kx交二次函数的图象于点M、N得,‎ 则x2+(2+k)x-3=0‎ ‎∴x=‎ ‎∴t=,t1=‎ ‎∴t1-t==,∴是(2+k)2+12的算术平方根,‎ ‎∴(2+k)2+12=,解得k1=-,k2=-,‎ 又(k+2)2+12恒大于0且k<0,∴k1=-,k2=-都符合条件.‎ Ⅰ若k= -,有x2+(2-)x-3=0,解得x1=-2,x2=(舍去);‎ Ⅱ若k= -,有x2+(2-)x-3=0,解得x3=-,x4=2(舍去),‎ ‎∴t= -2或-,当t= -2时S=12;当t=-时S=,‎ ‎∴S的值是12或.‎ ‎03.如图①,关于x的二次函数y= -x2+bx+c经过点A(-3,0),点C(0,3),点D为二次函数的顶点,DE为二次函数的对称轴,E在x轴上.‎ ‎⑴求抛物线的解析式;‎ ‎⑵DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等?若存在,求出点P;若不存在,请说明理由;‎ ‎⑶如图②,DE的左侧抛物线上是否存在点F,使2S△FBC=3S△EBC?若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 图① 图②‎ 解:⑴将A(-3,0),C(0,3)代入y=-x2+bx+c得,解得.‎ ‎∴抛物线的解析式为y= -x2-2x+3.‎ ‎⑵存在,由⑴知抛物线的解析式可化为顶点式y=-(x+1)2+4,则D(-1,4),‎ 当P在∠DAB的平分线上时,如解图①,‎ 作PM⊥AD,设P(-1,y0),‎ ‎∵sin∠ADE= ==,PE=y0,‎ 则PM=PD·sin∠ADE= (4-y0),‎ ‎∵PM=PE,∴ (4-y0)=y0,解得y0=-1.‎ 当P在∠DAB的外角平分线上时,如解图②,‎ 作PN⊥AD,设P(-1,y0),PE=-y0,‎ 则PN=PD·sin∠ADE= (4-y0)‎ ‎∵PN=PE,∴ (4-y0)=-y0,解得y0=--1.‎ ‎∴存在满足条件的点P,且点P的坐标为(-1,-1)或(-1,--1).‎ ‎⑶存在.∵S△EBC=3,2S△FBC=3S△EBC,∴S△FBC=S△EBC=×3=‎ 过点F作FH⊥x轴,交BC的延长线于点Q,如解图③‎ 连接BF,设BF交y轴于点M,易得△BMC∽△BFQ,‎ ‎∴=,即CM=,‎ ‎∴S△FBC=CM·OB+CM·OH=OB·QF.‎ ‎∵S△FBC=FQ·OB=FQ=,∴FQ=9.‎ ‎∵BC的解析式为y=-3x+3,‎ 设F(x0,-x20-2x0+3),则Q点的坐标为(x0,-3x0+3),‎ ‎∴QF=-3x0+3+x02+2x0-3=9,解得x0=或 (舍去),‎ ‎∴满足条件的点F的坐标是(,).‎ ‎04.如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),其对称轴与x轴相交于点M.‎ ‎⑴求抛物线的解析式和对称轴;‎ ‎⑵在抛物线的对称轴上是否存在点P使△PAB的周长最小?‎ 若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎⑶连接AC,在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N,‎ 使△NAC的面积最大?若存在,请求出点N的坐标;‎ 若不存在,请说明理由.‎ 解:⑴∵抛物线过点A(0,4)、B(1,0)、C(5,0),‎ ‎∴设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a(x-1)·(x-5)(a≠0),‎ ‎∴将点A(0,4)代入y=a(x-1)(x-5),得a=,‎ ‎∴此抛物线的解析式为y=x2-x+4,‎ ‎∵抛物线过点B(1,0)、C(5,0),∴抛物线的对称轴为直线x==3.‎ ‎⑵存在,如解图①,‎ 连接AC交对称轴于点P,连接BP、BA,‎ ‎∵点B与点C关于对称轴对称,∴PB=PC,‎ ‎∴AB+AP+PB=AB+AP+PC=AB+AC,‎ ‎∵AB为定值且AP+PC≥AC,‎ ‎∴当A、P、C三点共线时△PAB的周长最小,‎ ‎∵A(0,4)、C(5,0),‎ 设直线AC的解析式为y=ax+b(a≠0),‎ 将A、C两点坐标代入解析式得,解得,‎ ‎∴直线AC的解析式为y= -x+4.‎ ‎∵在y= -x+4中,当x=3时,y=,∴P点的坐标为(3,),‎ ‎∴当对称轴上的点P的坐标为(3,)时,△ABP的周长最小.‎ ‎⑶在直线AC下方的抛物线上存在点N使△NAC面积最大.‎ 如解图②,设N点的横坐标为t,∴点N(t,t2-t+4)(0<t<5),‎ 过点N作y轴的平行线,分别交x轴、AC于点F、G,‎ 过点A作AD⊥NG于点D,‎ 由(2)可知直线AC的解析式为y= -x+4,‎ 把x=t代入y= -x+4得y=-t+4,‎ 则G点的坐标为(t,-t+4 ),‎ 此时NG=-t+4-(t2-t+4)=-t2+4t.‎ ‎∵AD+CF=OC=5,‎ ‎∴S△NAC=S△ANG+S△CGN=NG·AD+NG·CF=NG·OC ‎=×(-t2+4t)×5=-2t2+10t=-2(t-)2+.‎ ‎∵-2<0,即在对称轴处取得最大值.‎ ‎∴当t=时,△NAC面积有最大值为,‎ 由t=,得y=t2t+4=-3,∴N(,-3).‎ ‎∴存在满足条件的点N,使△NAC的面积最大,N点的坐标为(,-3).‎ 三、与特殊三角形有关的问题 ‎01.如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,0)、B(4,0)、C(0,3)三点.‎ ‎⑴求抛物线的解析式;‎ ‎⑵如图①,在抛物线的对称轴上是否存在点P使得四边形PAOC的周长最小?若存在,求出四边形PAOC周长的最小值;若不存在,说明理由;‎ ‎⑶如图②,点Q是线段OB上一动点,连接BC,在线段BC上是否存在这样的点M,使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形?若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 图① 图②‎ 解:⑴∵点A(1,0),B(4,0)在抛物线上,∴设抛物线解析式为y=a(x-1)(x-4),‎ 将点C(0,3)代入得a(0-1)(0-4)=3,解得a=,‎ ‎∴抛物线解析式为y=(x-1)(x-4)=x2-x+3.‎ ‎⑵存在.连接BC交对称轴于点P,连接PA,如解图①,‎ ‎∵点A与点B关于对称轴x=对称,‎ ‎∴BC≤PB+PC=PA+PC,即当点P在直线BC上时四边形PAOC的周长最小,‎ 在Rt△BOC中,OB=4,OC=3,∠BOC=90°,∴BC==5,‎ ‎∴四边形PAOC的周长的最小值为OA+OC+BC=1+3+5=9.‎ ‎⑶存在.设直线BC的解析式为y=kx+t,‎ 将点B(4,0),点C(0,3)代入得,解得,‎ ‎∴直线BC的解析式为y= - x+3.‎ 点M在BC上,设点M的坐标为(m,-m+3)(0<m<4),‎ 要使△CQM是等腰三角形且△BQM是直角三角形,则只有以下两种情况:‎ ‎①当MQ⊥OB,CM=MQ时,如解图②所示,‎ 则CM=MQ=- m+3,MB=BC-CM=5-(- m+3)=2+m,‎ 由sin∠CBO= = =,‎ 即=,解得m=,‎ 则点M的坐标为(,);‎ ‎②当CM=MQ,MQ⊥BC时,如解图③,‎ 过M作MN⊥OB于N,则ON=m,MN=-m+3,‎ 在Rt△BMN中,易得BM==×(-m+3)=-m+5,‎ ‎∴CM=BC-BM=m,在Rt△BMQ中,QM=BM·tan∠MBQ= (-m+5),‎ 由CM=MQ得 (-m+5)=m,m=,∴点M的坐标为(,)‎ 综上所述,存在满足条件的点M,坐标为(,)或(,).‎ ‎02.如图,直线y=-x+2与x轴交于点B,与y轴交于点C,已知二次函数的图象经过点B、C和点A(-1,0).‎ ‎⑴求B、C两点坐标;‎ ‎⑵求该二次函数的关系式;‎ ‎⑶设抛物线的对称轴与x轴交于 点D,则在抛物线的对称轴上是否存在点P使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?若存在,直接写出P点的坐标;若不存在,说明理由;‎ ‎⑷点E是线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线 与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,‎ 四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大 面积及此时E点的坐标.‎ 解:⑴令x=0,可得y=2,令y=0,可得x=4,∴点B(4,0),C(0,2).‎ ‎⑵设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,‎ 将点A、B、C的坐标代入解析式得,解得,‎ 即该二次函数的关系式为y=-x2+x+2.‎ ‎⑶存在.‎ 满足条件的点P的坐标分别为P1(,4),P2(,),P3(,-).‎ ‎∵y= -x2+x+2,∴y=-(x-)2+,‎ ‎∴抛物线的对称轴是x=,∴OD=.‎ ‎∵C(0,2),∴OC=2.在Rt△OCD中,由勾股定理得CD=.‎ ‎∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形,∴CP1=DP2=DP3=CD.‎ 如解图①所示,作CE⊥对称轴于点E,‎ ‎∴EP1=ED=2,∴DP1=4.‎ ‎∴P1(,4),P2(,),P3(,-).‎ ‎⑷如解图②,过点C作CM⊥EF于点M,‎ 设E(a,-a+2),F(a,-a2+a+2),‎ ‎∴EF=-a2+a+2-(-a+2)‎ ‎=-a2+2a(0≤a≤4).‎ ‎∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF ‎=BD·OC+EF·CM+EF·BN ‎=+a(-a2+‎2a)+(4-a)·(-a2+‎2a)‎ ‎=-a2+4a+=-(a-2)2+(0≤a≤4),‎ ‎∴a=2时,S四边形CDBF最大=,∴E(2,1).‎ 四、与特殊四边形有关的问题 ‎01.已知正方形OABC中,O为坐标原点,点A在y轴的正半轴上,点C在x轴的正半轴上,点B(4,4).二次函数y= -x2+bx+c的图象经过点A、B.点P(t,0)是x轴上一动点,连接AP.‎ ‎⑴求此二次函数的解析式;‎ ‎⑵如图①,过点P作AP的垂线与线段BC交于点G,当点P在线段OC(点P不与点C、O重合)上运动至何处时,线段GC的长有最大值,求出这个最大值;‎ ‎⑶如图②,过点O作AP的垂线与直线BC交于点D,二次函数y= -x2‎ ‎+bx+c的图象上是否存在点Q,使得以P、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ 图① 图② 备用图 解:⑴∵B(4,4),∴AB=BC=4,‎ ‎∵四边形ABCO是正方形,∴OA=4,∴A(0,4),‎ 将点A(0,4),B(4,4)代入y= -x2+bx+c,‎ ‎∴,∴,‎ ‎∴二次函数解析式为y=-x2+x+4.‎ ‎⑵∵P(t,0),∴OP=t,PC=4-t,‎ ‎∵AP⊥PG,∴∠APO+∠CPG=180°-90°=90°,‎ ‎∵∠OAP+∠APO=90°,∴∠OAP=∠CPG,‎ 又∵∠AOP=∠PCG=90°,∴△AOP∽△PCG,‎ ‎∴=,即=,整理得GC=-(t-2)2+1,‎ ‎∴当t=2时,GC有最大值是1,即P(2,0)时,GC的最大值是1.‎ ‎⑶存在点Q使得以P、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形.理由如下:‎ 如解图①、②,易得∠OAP=∠COD,‎ 在△AOP和△OCD中,‎ ‎∴△AOP≌△OCD(ASA),∴OP=CD,‎ 由P、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形得,PC∥DQ且PC=DQ,‎ ‎∵P(t,0),D(4,t),∴PC=DQ=|t-4|,‎ ‎∴点Q的坐标为(t,t)或(8-t,t),‎ ‎①当Q(t,t)时,-t2+t+4=t,‎ 整理得t2+2t-24=0,解得t1=4(舍去),t2=-6,‎ ‎②当Q(8-t,t)时,-(8-t)2+(8-t)+4=t,‎ 整理得,t2-6t+8=0,解得t1=2,t2=4(舍去),‎ 综上所述,存在点Q(-6,-6)或(6,2),使得以P、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形.‎ ‎02.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点左侧,B点的坐标为(4,0),与y轴交于C(0,-4)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点.‎ ‎⑴求这个二次函数的表达式;‎ ‎⑵连接PO、PC并把△POC沿CO翻折得到四边形POP′C,‎ 是否存在点P使四边形POP′C为菱形?若存在,求出 此时点P的坐标;若不存在,说明理由;‎ ‎⑶当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大?‎ 求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.‎ 解:⑴将B、C两点的坐标代入得,解得,‎ ‎∴二次函数的表达式为y=x2-3x-4.‎ ‎⑵存在点P使四边形POP′C为菱形;‎ 设P点坐标为(x,x2-3x-4),PP′交CO于点E,‎ 若四边形POP′C是菱形,则有PC=PO;‎ 如解图①,连接PP′,则PE⊥CO于点E,‎ ‎∵C(0,-4),∴CO=4,‎ 又∵OE=EC,∴OE=EC=2,∴y=-2,‎ ‎∴x2-3x-4=-2,解得x1=,x2=(不合题意,舍去),‎ ‎∴P点的坐标为(,-2).‎ ‎⑶如解图②,‎ 过点P作y轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点F,‎ 设P(x,x2-3x-4),设直线BC的解析式为y=kx+d,‎ 则,解得,∴直线BC的解析式为y=x-4,‎ 则Q点的坐标为(x,x-4);‎ 当0=x2-3x-4,解得:x1=-1,x2=4,∴AO=1,AB=5,‎ S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ=AB·OC+QP·BF+QP·OF ‎=×5×4+(4-x)[x-4-(x2-3x-4)]+x[x-4-(x2-3x-4)]‎ ‎=-2x2+8x+10=-2(x-2)2+18‎ 当x=2时,四边形ABPC的面积最大,‎ 此时P点的坐标为(2,-6),四边形ABPC的面积的最大值为18.‎ 五、与三角形相似有关的问题 ‎01.如图,抛物线y=-(x+2)(x-m)(m>0)与x轴相交于点A、B,与y 轴相交于点C,且点A在点B的左侧.‎ ‎⑴若抛物线过点G(2,2),求实数m的值.‎ ‎⑵在⑴的条件下,解答下列问题:‎ ‎①求△ABC的面积.‎ ‎②在抛物线的对称轴上找一点H,使AH+CH最小,‎ 并求出点H的坐标.‎ ‎⑶在第四象限内,抛物线上是否存在点M,使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.‎ 解:⑴∵抛物线过点G(2,2),∴2=- (2+2)(2-m),∴m=4.‎ ‎⑵①y=0,- (x+2)(x-m)=0,解得x1=-2,x2=m,‎ ‎∵m>0,∴A(-2,0)、B(m,0),又∵m=4,∴AB=6.‎ 令x=0,得y=2,∴C(0,2),OC=2,S△ABC=×AB×OC=×6×2=6‎ ‎②∵m=4,∴抛物线y= - (x+2)(x-4)的对称轴为x=1,‎ 如解图①,连接BC交对称轴于点H,‎ 由轴对称的性质和两点之间线段最短的性质可知,‎ 此时AH+CH=BH+CH=BC最小.‎ 设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0).‎ 则,解得,‎ ‎∴直线BC的解析式为y=-x+2.‎ 当x=1时,y=,∴H(1, ).‎ ‎⑶存在.如解图②,分两种情况讨论:‎ Ⅰ当△ACB∽△ABM时, =,即AB2=AC·AM.‎ ‎∵A(-2,0),C(0,2),即OA=OC=2,∴∠CAB=45°,∴∠BAM=45°.‎ 过点M作MN⊥x轴于点N,则AN=MN,∴OA+ON=2+ON=MN,‎ ‎∴令M(x,-x-2)(x>0),‎ 又∵点M在抛物线上,∴-x-2=- (x+2)(x-m),‎ ‎∵x>0,∴x+2>0,又∵m>0,∴x=2m,即M(2m,-2m-2).‎ ‎∴AM==2 (m+1),‎ 又∵AB2=AC·AM,AC=2,AB=m+2,‎ ‎∴(m+2)2=2×2 (m+1),解得m=2±2.‎ ‎∵m>0,∴m=2+2.‎ Ⅱ当△ACB∽△MBA时,则=,∴AB2=CB·MA,‎ ‎∵∠CBA=∠BAM,∠ANM=∠BOC=90°,∴△ANM∽△BOC,∴=‎ ‎∵OB=m,令ON=x,∴=,∴NM= (x+2),‎ ‎∴令M(x,- (x+2))(x>0),‎ 又∵点M在抛物线上,∴- (x+2)=- (x+2)(x-m),‎ ‎∵x>0,∴x+2>0,∵m>0,∴x=m+2,∴M(m+2,-(m+4)),‎ 又∵AB2=CB·MA,CB=,AN=m+4,MN= (m+4),‎ ‎∴(m+2)2=·整理得16=0,舍去.‎ 综上ⅠⅡ得,在第四象限内,当m=2+2时,抛物线上存在点M使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似.‎ ‎02.如图,抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三点.‎ ‎⑴求出抛物线的解析式;‎ ‎⑵P是抛物线上一动点,过P作PM⊥x轴于点M,‎ 是否存在P点使得以A,P,M为顶点的三角形 与△OAC相似?若存在,求出符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎⑶若在直线AC上方的抛物线上有一点D使得 ‎△DCA的面积最大,求出点D的坐标.‎ 解:⑴∵该抛物线过点C(0,-2),∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx-2.‎ 将A(4,0),B(1,0)代入得,解得,‎ ‎∴此抛物线的解析式为y= - x2+ x-2.‎ ‎⑵存在.如解图①,设P点的横坐标为m,则P点的纵坐标为-m2+m-2,‎ 当1<m<4时,AM=4-m,PM=-m2+m-2.‎ 又∵∠COA=∠PMA=90°,‎ ‎①当=时,∴===,‎ ‎∴△APM∽△ACO,即4-m=2(-m2+m-2).解得m1=2,m2=4(舍去),‎ ‎∴P(2,1).‎ ‎②当==时,△APM∽△CAO,即2(4-m)= -m2+m-2.‎ 解得m1=4,m2=5(均不合题意,舍去),‎ ‎∴当1<m<4时,P(2,1).‎ 当m>4时,AM=m-4,PM=m2-m+2,‎ ‎①==或②==2,‎ ‎2(m2-m+2)=m-4,2(m-4)=m2-m+2,‎ 解得:第一个方程的解是m=2<4(舍去),m=4(舍去),‎ 第二个方程的解是m=5,m=4(舍去),‎ 求出m=5,-m2+m-2=-2,则P(5,-2),‎ 当m<1时,AM=4-m,PM=m2-m+2.‎ ‎①==或②==2,‎ ‎2(m2-m+2)=4-m,2(4-m)=m2-m+2,‎ 解得:第一个方程的解是m=0(舍去),m=4(舍去),‎ 第二个方程的解是m=4(舍去),m=-3,‎ m=-3时,-m2+m-2=-14,则P(-3,-14),‎ 综上所述,符合条件的点P的坐标为(2,1)或(5,-2)或(-3,-14)(解图中未画出来).‎ ‎⑶如解图②,设D点横坐标为t(0<t<4),则D点纵坐标为-t2+t-2.‎ 过点D作y轴的平行线交AC于点E.‎ 由题意可求得直线AC的解析式为y=x-2.‎ ‎∴E点的坐标为(t,t-2).‎ ‎∴DE=-t2+t-2-(t-2)=-t2+2t,‎ ‎∴S△DAC=S△DCE+S△DEA=DE·t+DE·(4-t)=DE·4,‎ ‎∴S△DAC=×(-t2+2t)×4=-t2+4t=-(t-2)2+4,‎ ‎∴当t=2时,△DAC面积最大,∴D(2,1).‎