中考复习二次函数综合测试题及答案 15页

‎2016年中考复习《二次函数》综合测试题及答案 一、与线段、周长有关的问题 ‎01．如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D.‎ ‎⑴求抛物线的解析式；‎ ‎⑵求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；‎ ‎⑶在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA-MC|的值最大？‎ 若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎ ‎ 第1题图 备用图 解：⑴∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），‎ ‎∴，解得,∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3.‎ ‎⑵令x=0，则y=3，∴点C（0，3），‎ 又∵点A(3,0)，∴直线AC的解析式为y= -x+3，设点P（x,x2-4x+3），‎ ‎∵PD∥y轴且点D在AC上，∴点D(x,-x+3)，‎ ‎∴PD=(-x+3)-(x2-4x+3)=-x2+3x=-(x-)2+，‎ ‎∵a=-1<0，∴当x=时，线段PD的长度有最大值，最大值为.‎ ‎⑶存在.由抛物线的对称性可知，对称轴垂直平分AB，可得MA＝MB，‎ 由三角形的三边关系，｜MA-MC｜-4,∴当x=-2时，线段PD取得最大值，‎ 将x=-2代入y= -x2-x+4中得y=4,‎ ‎∴线段PD取得最大值时,点P的坐标为（-2,4）.‎ ‎②过点P作PF∥OC交AC于点F，如解图.‎ ‎∵PF∥OC,∴△PEF∽△OEC，∴.‎ 又∵=,OC=4,∴PF=.‎ ‎∴由①得PF＝（-x2-x+4）-(x+4)= .‎ 化简得：x2+4x+3=0,解得x1= -1,x2= -3.‎ 当x= -1时，y=；当x= -3时，y=.‎ 即满足条件的P点坐标是（-1，）或（-3，）.‎ 又∵点P在直线y=kx上，∴k= -或k= -.‎ ‎04．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝-x2+bx+c(b、c为常数)的顶点为P，等腰直角△ABC的顶点A的坐标为（0，-1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限.‎ ‎⑴如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式;‎ ‎⑵平移⑴中的抛物线，使顶点P在AC上并沿AC方向 滑动距离为时，试证明：‎ 平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点;‎ ‎⑶在⑵的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线 与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.‎ 解：⑴设AC与x轴的交点为M，‎ ‎∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,-1),C的坐标为(4,3),‎ ‎∴直线AC的解析式为y=x-1，‎ ‎∴直线AC与x轴的交点M(1，0).∴OM=OA，∠CAO=45°.‎ ‎∵△CAB是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴BC∥y轴 ‎∵∠OMA=45°，∴∠OAB＝90°，∴AB∥x轴，∴点B的坐标为(4，-1).‎ ‎∵抛物线过A(0，-1)，B(4，-1)两点，‎ ‎∴,解得，‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝-x2+2x-1.‎ ‎⑵抛物线y=-x2+2x-1=-(x2-4x)-1=－(x－2)2+1，∴顶点P(2，1)‎ ‎∵抛物线y= -(x－2)2+1顶点P平移到直线AC上并沿AC方向移动的距离为，‎ ‎∴其实是先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度,‎ ‎∴平移后的二次函数的解析式为y= -(x-3)2+2，‎ ‎∵当y=0时，有0= -(x-3)2+2，解得x1=1，x2=5，‎ ‎∴y＝-(x-3)2+2过点(1，0)和(5,0)，‎ ‎∵直线AC的解析式为y=x-1，∴直线AC与x轴的交点坐标为(1，0)，‎ ‎∴平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点.‎ ‎⑶如解图，NP+BQ存在最小值，最小值为2.理由如下：‎ 取AB的中点F，连接FN，FQ，‎ 作B点关于直线AC的对称点B′，‎ 设平移后的抛物线的顶点为P′.‎ 连接BB′，B′Q，BQ，则BQ＝B′Q,‎ ‎∵抛物线y= -(x-2)2+1的顶点P(2，1)，A(0,-1)，‎ ‎∴PA==2,‎ ‎∴抛物线沿AC方向任意滑动时，P′Q=2，‎ ‎∵A(0，-1)，B(4，-1)，∴AB中点F(2，-1)，‎ ‎∵B(4，-1)，C(4，3)，∴N(4，1)，‎ ‎∴FN= =2，∴FN＝P′Q,‎ ‎∵在△ABC中，F、N分别为AB、BC的中点，∴FN∥P′Q，‎ ‎∴四边形P′NFQ是平行四边形，∴NP′=FQ,‎ ‎∴NP′+BQ=FQ+B′Q≥FB′==2.‎ ‎∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为2.‎ ‎05．如图，抛物线y= -x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,且OA=2,OC=3.‎ ‎⑴求抛物线的解析式；‎ ‎⑵作Rt△OBC的高OD，延长OD与抛物线在第一象限内 交于点E，求点E的坐标；‎ ‎⑶抛物线对称轴上是否存在点Q使得△BEQ的周长最小？‎ 若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.‎ 解：⑴∵OA=2，∴点A的坐标为（-2，0）.∵OC=3，∴点C的坐标为（0，3）.‎ 把A（-2，0），C（0，3）分别代入抛物线y= -x2+bx+c,‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝-x2+x+3.‎ ‎⑵把y=0代入y= -x2+x+3，解得x1=3,x2=-2,‎ ‎∴点B的坐标为（3，0），∴OB=OC=3,‎ ‎∵OD⊥BC，∴OE所在的直线为y=x.‎ 解方程组得,‎ ‎∵点E在第一象限内，∴点E的坐标为（2，2）.‎ ‎⑶存在，如解图，设Q是抛物线对称轴上的一点，‎ 连接QA、QB、QE、BE，‎ ‎∵QA=QB，∴△BEQ的周长＝BE+QA+QE ‎∵BE为定值且QA+QE≥AE ‎∴当A、Q、E三点在同一直线上时，△BEQ的周长最小，‎ 由A(-2,0)、E(2，2)可得直线AE的解析式为y=x+1,‎ 由⑵易得抛物线的对称轴为x=,∴点Q的坐标为（，）,‎ ‎∴在抛物线的对称轴上，存在点Q（，），使得△BEQ的周长最小.‎ ‎06．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，AB∥OC,OA=AB=2,OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D，将∠DBC绕点B顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E、F.‎ ‎⑴求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；‎ ‎⑵当BE经过⑴中抛物线的顶点时，求CF的长；‎ ‎⑶在抛物线对称轴上取两点P、Q（Q在P的上方）‎ 且PQ=1，要使四边形BCPQ的周长最小，‎ 求出P、Q两点的坐标.‎ 解：⑴由题意得A(0，2)、B(2，2)、C(3，0).‎ 设经过A,B,C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+2(a≠0)‎ 将点B、C分别代入得，解得 ‎∴抛物线的解析式为y= - x2+ x+2.‎ ‎⑵∵y= -x2+ x+2= -+，‎ 设抛物线的顶点为G，则顶点G的坐标为（1，），‎ 过G作GH⊥AB，垂足为H，如解图①，则AH=BH=1,GH=-2=,‎ ‎∵EA⊥AB,GH⊥AB，∴EA∥GH，∴GH是△BEA的中位线，∴EA=2GH=.‎ 过B作BM⊥OC,垂足为M,如解图①,则MB=OA=AB.‎ 解图① 解图②‎ ‎∵∠EBF=∠ABM=90°，∴∠EBA=∠FBM=90°-∠ABF.‎ ‎∴Rt△EBA≌Rt△FBM，∴FM=EA=.‎ ‎∵CM=OC-OM=3-2=1，∴CF=FM+CM=.‎ ‎⑶如解图②，‎ 要使四边形BCPQ的周长最小，将B点向下平移一个单位至点K，取C点关于对称轴对称的点M，连接KM交对称轴于P，将P向上平移1个单位至Q，此时M、P、K三点共线可使KP+PM最短，则QPKB为平行四边形，QB=PK，连接CP，根据轴对称求出CP=MP，则CP+BQ最小，∵CB，QP为定值，∴四边形BCPQ周长最短.‎ ‎∵将点C向上平移一个单位，坐标为（3，1），‎ 再作其关于对称轴对称的对称点C1，‎ ‎∴得点C1的坐标为（-1，1）.可求出直线BC1的解析式为y=x+.‎ 直线y＝x+与对称轴x＝1的交点即为点Q，坐标为（1， ）.‎ ‎∴点P的坐标为（1，）.‎ 综上所述，满足条件的P、Q两点的坐标分别为（1，）、（1，）.‎ 二、与面积有关的问题 ‎01．如图，抛物线y= -x2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0，8)、B(8，0)和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动.‎ ‎⑴求抛物线的解析式；‎ ‎⑵求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式：‎ 当t为何值时，△CED的面积最大?最大面积是多少?‎ ‎⑶当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在一点P ‎(点E除外)，使△PCD的面积等于△CED的最大面积，‎ 若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ 解：⑴将点A(0，8)、B(8，0)代入抛物线y= -x2+bx+c，‎ 得,解得，‎ ‎∴抛物线的解析式为y= -x2+3x+8.‎ ‎⑵∵点A(0,8)、B(8，0)，∴OA=8,OB=8，‎ 令y=0，得-x2+3x+8=0，解得:x1=8,x2=-2，‎ ‎∵点E在x轴的负半轴上，∴点E(-2，0)，∴OE=2，‎ 由题意知：当D点运动t秒时，BD=t，OC=t，∴OD=8-t，∴DE=OE+OD=10-t，‎ ‎∴S△CED=DE·OC=(10-t)·t=-t2+5t=-(t-5)2+‎ ‎∴当t=5时，S△CED最大＝‎ ‎⑶存在.由⑵知：当t=5时，S△CED最大＝‎ ‎∴当t=5时，OC=5，OD=3，∴C(0,5)，D(3,0)，由勾股定理得CD=，‎ 设直线CD的解析式为：y=kx+b（k≠0），‎ 将C(0,5)，D(3,0)代入上式得解得，‎ ‎∴直线CD的解析式为y= - x+5‎ 过E点作EF∥CD，交抛物线于点P1，则S△CED＝，‎ 如解图，设直线EF的解析式为y= -x+m 将E(-2，0)代入得m= -，‎ ‎∴直线EF的解析式为y= -x-，‎ 将y= -x-与y= -x2+3x+8联立成方程组 ‎∴,∴（与E点重合，舍去），‎ ‎∴P1(,- );‎ 过点E作EG⊥CD，垂足为G，‎ ‎∵当t=5时，S△ECD=CD·EG=，CD=，∴EG=‎ 过点D作DN⊥CD于点N，且使DN=，‎ 过点N作NM⊥x轴，垂足为M，可得△EGD∽△DMN，‎ ‎∴=，即＝，解得：DM=，∴OM=，‎ 由勾股定理得MN= =＝，‎ ‎∴N(,)，‎ 过点N作NP2∥CD，与抛物线交于点P2，P3(与B点重合)，‎ 则S△CED＝，S△CED＝，‎ 设直线NP2的解析式为y= -x+n，将N(,)代入上式得n=，‎ ‎∴直线NP2的解析式为y= -x+，‎ 将y= -x+与y= -x2+3x+8联立成方程组 ‎∴，∴,，‎ ‎∴P2(,)或P3(8,0)‎ 综上所述，当△CED的面积最大时，在抛物线上存在点P(点E除外)，使△PCD的面积等于△CED的最大面积，点P的坐标为(,-)或(,)或(8,0).‎ ‎02．如图①，二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A（-3，0）、B(1,0)，与y轴相交于点C，点G是二次函数图象的顶点，直线GC交x轴于点H(3,0)，AD平行GC交y轴于点D.‎ ‎⑴求该二次函数的表达式；‎ ‎⑵求证：四边形ACHD是正方形；‎ ‎⑶如图②，点M(t,p)是该二次函数图象上的动点，并且点M在第二象限内，过点M的直线y=kx交二次函数的图象于另一点N.‎ ‎①若四边形ADCM的面积为S，请求出S关于t的函数表达式，并写出t的取值范围；‎ ‎②若△CMN的面积等于，请求出此时①中S的值.‎ 图① 图②‎ 解：⑴∵二次函数y=ax2+bx+3过点A(-3，0)、B(1，0)，‎ ‎∴，∴，∴二次函数的表达式为y=－x2－2x+3.‎ ‎⑵由⑴知二次函数的表达式为y=－x2－2x+3，‎ 令x=0，则y=3，∴点C的坐标为(0，3)，∴OC=3，‎ 又点A、H的坐标分别为(-3,0)、(3,0)，‎ ‎∴OA=OH=OC=3，∴∠OCH＝∠OHC，‎ ‎∵AD∥GC，∴∠OCH＝∠ODA，∠OHC=∠OAD ‎∴∠OAD＝∠ODA，∴OA=OD=OC=OH=3‎ 又∵AH⊥CD，∴四边形ACHD为正方形.‎ ‎⑶①S四边形ADCM=S四边形AOCM+S△AOD，‎ 由(2)知OA=OD=3，∴S△AOD=×3×3=，‎ ‎∵点M(t,p)是直线y=kx与抛物线y= -x2-2x+3在第二象限内的交点，‎ ‎∴点M的坐标为(t,-t2-2t+3)，‎ 如解图，作MK⊥x轴于点K，ME⊥y轴于点E，‎ 则MK=-t2-2t+3，ME=︱t︱=-t，‎ ‎∴S四边形AOCM=S△AOM+S△MOC=×3(-t2-2t+3)+ ×3(-t)‎ 即S四边形AOCM= -t2-t+‎ S四边形ADCM＝S四边形AOCM+S△AOD=-t2-t++= -t2-t+9‎ ‎∴S= -t2-t+9，-3＜t＜0.‎ ‎②设点N的坐标为(t1,p1)，过点N作NF⊥y轴于点F，∴NF=︱t1︱，‎ 又由①知ME=︱t︱，则S△CMN=S△COM+S△CON=OC·(︱t︱+︱t1︱)，‎ 又∵点M(t,p)、N(t1,p1)分别在第二、四象限内，∴t＜0，t1＞0，‎ ‎∴S△CMN= (t1-t)，即 (t1-t)= ，∴t1-t=.‎ 由直线y=kx交二次函数的图象于点M、N得，‎ 则x2+(2+k)x-3=0‎ ‎∴x=‎ ‎∴t=，t1=‎ ‎∴t1-t==，∴是(2+k)2+12的算术平方根,‎ ‎∴(2+k)2+12=，解得k1=-，k2=-,‎ 又(k+2)2+12恒大于0且k＜0，∴k1=-，k2=-都符合条件.‎ Ⅰ若k= -，有x2+(2-)x-3=0，解得x1=-2，x2=(舍去);‎ Ⅱ若k= -，有x2+(2-)x-3=0，解得x3=-，x4=2(舍去)，‎ ‎∴t= -2或-，当t= -2时S=12;当t=-时S=，‎ ‎∴S的值是12或.‎ ‎03．如图①，关于x的二次函数y= -x2+bx+c经过点A(-3,0),点C(0，3)，点D为二次函数的顶点,DE为二次函数的对称轴，E在x轴上.‎ ‎⑴求抛物线的解析式；‎ ‎⑵DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在,求出点P;若不存在,请说明理由；‎ ‎⑶如图②，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC=3S△EBC？若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 图① 图②‎ 解：⑴将A(-3，0)，C(0，3)代入y=-x2+bx+c得，解得.‎ ‎∴抛物线的解析式为y= -x2-2x+3.‎ ‎⑵存在，由⑴知抛物线的解析式可化为顶点式y=-(x+1)2+4，则D(-1，4)，‎ 当P在∠DAB的平分线上时，如解图①，‎ 作PM⊥AD，设P(-1，y0)，‎ ‎∵sin∠ADE= ==，PE=y0，‎ 则PM=PD·sin∠ADE= (4-y0)，‎ ‎∵PM=PE，∴ (4-y0)=y0，解得y0=-1.‎ 当P在∠DAB的外角平分线上时，如解图②，‎ 作PN⊥AD，设P(-1，y0)，PE=-y0，‎ 则PN=PD·sin∠ADE= (4-y0)‎ ‎∵PN=PE，∴ (4-y0)=-y0，解得y0=--1.‎ ‎∴存在满足条件的点P，且点P的坐标为（-1，-1）或（-1，--1）.‎ ‎⑶存在.∵S△EBC=3,2S△FBC=3S△EBC，∴S△FBC=S△EBC＝×3＝‎ 过点F作FH⊥x轴，交BC的延长线于点Q，如解图③‎ 连接BF，设BF交y轴于点M，易得△BMC∽△BFQ，‎ ‎∴＝，即CM＝，‎ ‎∴S△FBC＝CM·OB+CM·OH＝OB·QF.‎ ‎∵S△FBC=FQ·OB=FQ=，∴FQ=9.‎ ‎∵BC的解析式为y=-3x+3，‎ 设F(x0,-x20-2x0+3)，则Q点的坐标为（x0,-3x0+3），‎ ‎∴QF=-3x0+3+x02+2x0-3=9，解得x0=或 (舍去)，‎ ‎∴满足条件的点F的坐标是(，).‎ ‎04．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M.‎ ‎⑴求抛物线的解析式和对称轴；‎ ‎⑵在抛物线的对称轴上是否存在点P使△PAB的周长最小？‎ 若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎⑶连接AC，在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，‎ 使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；‎ 若不存在，请说明理由.‎ 解：⑴∵抛物线过点A（0，4）、B（1，0）、C（5，0），‎ ‎∴设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a(x-1)·(x-5)(a≠0)，‎ ‎∴将点A（0，4）代入y=a(x-1)(x-5)，得a=，‎ ‎∴此抛物线的解析式为y=x2-x+4，‎ ‎∵抛物线过点B（1，0）、C（5，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝=3.‎ ‎⑵存在，如解图①，‎ 连接AC交对称轴于点P，连接BP、BA，‎ ‎∵点B与点C关于对称轴对称，∴PB=PC，‎ ‎∴AB+AP+PB=AB+AP+PC=AB+AC，‎ ‎∵AB为定值且AP+PC≥AC，‎ ‎∴当A、P、C三点共线时△PAB的周长最小，‎ ‎∵A（0，4）、C（5，0），‎ 设直线AC的解析式为y=ax+b(a≠0)，‎ 将A、C两点坐标代入解析式得，解得，‎ ‎∴直线AC的解析式为y= -x+4.‎ ‎∵在y= -x+4中，当x＝3时，y=，∴P点的坐标为（3，），‎ ‎∴当对称轴上的点P的坐标为（3，）时，△ABP的周长最小.‎ ‎⑶在直线AC下方的抛物线上存在点N使△NAC面积最大.‎ 如解图②，设N点的横坐标为t，∴点N（t，t2-t+4）（0＜t＜5），‎ 过点N作y轴的平行线，分别交x轴、AC于点F、G，‎ 过点A作AD⊥NG于点D，‎ 由（2）可知直线AC的解析式为y= -x+4，‎ 把x=t代入y= -x+4得y＝-t+4，‎ 则G点的坐标为（t，-t+4 ），‎ 此时NG＝-t+4-（t2-t+4）＝-t2+4t.‎ ‎∵AD＋CF＝OC＝5，‎ ‎∴S△NAC＝S△ANG＋S△CGN＝NG·AD＋NG·CF＝NG·OC ‎=×（-t2+4t）×5＝-2t2+10t＝-2（t-）2+.‎ ‎∵-2<0，即在对称轴处取得最大值.‎ ‎∴当t=时，△NAC面积有最大值为，‎ 由t=，得y=t2t+4＝-3，∴N（，-3）.‎ ‎∴存在满足条件的点N，使△NAC的面积最大，N点的坐标为（,-3）.‎ 三、与特殊三角形有关的问题 ‎01．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,0)、B(4,0)、C(0,3)三点.‎ ‎⑴求抛物线的解析式；‎ ‎⑵如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，说明理由；‎ ‎⑶如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC,在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由.‎ 图① 图②‎ 解：⑴∵点A（1，0），B（4,0）在抛物线上，∴设抛物线解析式为y=a(x-1)(x-4)，‎ 将点C（0,3）代入得a(0-1)(0-4)=3，解得a=，‎ ‎∴抛物线解析式为y=(x-1)(x-4)=x2-x+3.‎ ‎⑵存在.连接BC交对称轴于点P，连接PA，如解图①，‎ ‎∵点A与点B关于对称轴x=对称，‎ ‎∴BC≤PB+PC=PA+PC，即当点P在直线BC上时四边形PAOC的周长最小，‎ 在Rt△BOC中，OB=4，OC=3，∠BOC=90°，∴BC==5，‎ ‎∴四边形PAOC的周长的最小值为OA+OC+BC=1+3+5=9.‎ ‎⑶存在.设直线BC的解析式为y=kx+t，‎ 将点B(4，0)，点C（0，3）代入得，解得，‎ ‎∴直线BC的解析式为y= - x+3.‎ 点M在BC上，设点M的坐标为（m，-m+3）（0＜m＜4），‎ 要使△CQM是等腰三角形且△BQM是直角三角形，则只有以下两种情况：‎ ‎①当MQ⊥OB，CM=MQ时，如解图②所示，‎ 则CM=MQ=- m+3，MB=BC-CM=5-(- m+3)=2+m，‎ 由sin∠CBO= = =，‎ 即=，解得m=,‎ 则点M的坐标为（，）；‎ ‎②当CM=MQ，MQ⊥BC时，如解图③，‎ 过M作MN⊥OB于N，则ON=m，MN=-m+3，‎ 在Rt△BMN中，易得BM==×(-m+3)=-m+5，‎ ‎∴CM=BC-BM=m，在Rt△BMQ中，QM=BM·tan∠MBQ= (-m+5)，‎ 由CM=MQ得 (-m+5)=m，m=，∴点M的坐标为（，）‎ 综上所述，存在满足条件的点M，坐标为（，）或（，）.‎ ‎02．如图，直线y=-x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、C和点A（-1，0）.‎ ‎⑴求B、C两点坐标；‎ ‎⑵求该二次函数的关系式；‎ ‎⑶设抛物线的对称轴与x轴交于 点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎⑷点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线 与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，‎ 四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大 面积及此时E点的坐标.‎ 解：⑴令x=0，可得y=2，令y=0，可得x=4，∴点B（4，0），C（0，2）.‎ ‎⑵设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，‎ 将点A、B、C的坐标代入解析式得，解得，‎ 即该二次函数的关系式为y=-x2+x+2.‎ ‎⑶存在.‎ 满足条件的点P的坐标分别为P1（，4），P2（，），P3(，-).‎ ‎∵y= -x2+x+2，∴y=-（x-）2+，‎ ‎∴抛物线的对称轴是x=，∴OD=．‎ ‎∵C（0，2），∴OC=2．在Rt△OCD中，由勾股定理得CD=．‎ ‎∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，∴CP1=DP2=DP3=CD．‎ 如解图①所示，作CE⊥对称轴于点E，‎ ‎∴EP1=ED=2，∴DP1=4．‎ ‎∴P1（，4），P2（，），P3（，-）.‎ ‎⑷如解图②，过点C作CM⊥EF于点M，‎ 设E（a，-a+2），F（a，-a2+a+2），‎ ‎∴EF=-a2+a+2-（-a+2）‎ ‎=-a2+2a（0≤a≤4）．‎ ‎∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF ‎=BD·OC+EF·CM+EF·BN ‎=+a（-a2+‎2a）+（4-a）·（-a2+‎2a）‎ ‎=-a2+4a+=-（a-2）2+（0≤a≤4）,‎ ‎∴a=2时，S四边形CDBF最大=，∴E（2，1）．‎ 四、与特殊四边形有关的问题 ‎01．已知正方形OABC中，O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，点B（4，4）.二次函数y= -x2+bx+c的图象经过点A、B.点P（t，0）是x轴上一动点，连接AP.‎ ‎⑴求此二次函数的解析式；‎ ‎⑵如图①，过点P作AP的垂线与线段BC交于点G，当点P在线段OC（点P不与点C、O重合）上运动至何处时，线段GC的长有最大值，求出这个最大值；‎ ‎⑶如图②，过点O作AP的垂线与直线BC交于点D，二次函数y= -x2‎ ‎+bx+c的图象上是否存在点Q，使得以P、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎ ‎ 图① 图② 备用图 解：⑴∵B（4，4），∴AB=BC=4，‎ ‎∵四边形ABCO是正方形，∴OA=4，∴A（0，4），‎ 将点A（0，4），B（4，4）代入y= -x2+bx+c，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴二次函数解析式为y=-x2+x+4.‎ ‎⑵∵P（t，0），∴OP=t，PC=4-t，‎ ‎∵AP⊥PG，∴∠APO+∠CPG=180°-90°=90°，‎ ‎∵∠OAP+∠APO=90°，∴∠OAP=∠CPG，‎ 又∵∠AOP=∠PCG=90°，∴△AOP∽△PCG，‎ ‎∴=，即=，整理得GC=-（t-2）2+1，‎ ‎∴当t=2时，GC有最大值是1，即P（2，0）时，GC的最大值是1.‎ ‎⑶存在点Q使得以P、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形．理由如下：‎ 如解图①、②，易得∠OAP=∠COD，‎ 在△AOP和△OCD中，‎ ‎∴△AOP≌△OCD（ASA），∴OP=CD，‎ 由P、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形得，PC∥DQ且PC=DQ，‎ ‎∵P（t，0），D（4，t），∴PC=DQ=|t-4|，‎ ‎∴点Q的坐标为（t，t）或（8-t，t），‎ ‎①当Q（t，t）时，-t2+t+4=t，‎ 整理得t2+2t-24=0，解得t1=4（舍去），t2=-6，‎ ‎②当Q（8-t，t）时，-（8-t）2+（8-t）+4=t，‎ 整理得，t2-6t+8=0，解得t1=2，t2=4（舍去），‎ 综上所述，存在点Q（-6，-6）或（6，2），使得以P、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形．‎ ‎02．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点左侧，B点的坐标为（4，0），与y轴交于C（0，-4）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.‎ ‎⑴求这个二次函数的表达式;‎ ‎⑵连接PO、PC并把△POC沿CO翻折得到四边形POP′C，‎ 是否存在点P使四边形POP′C为菱形？若存在，求出 此时点P的坐标；若不存在，说明理由;‎ ‎⑶当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？‎ 求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.‎ 解：⑴将B、C两点的坐标代入得，解得，‎ ‎∴二次函数的表达式为y=x2-3x-4.‎ ‎⑵存在点P使四边形POP′C为菱形；‎ 设P点坐标为（x，x2-3x-4），PP′交CO于点E，‎ 若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；‎ 如解图①，连接PP′，则PE⊥CO于点E，‎ ‎∵C（0，-4），∴CO=4，‎ 又∵OE=EC，∴OE=EC=2，∴y=-2，‎ ‎∴x2-3x-4=-2，解得x1=，x2=（不合题意，舍去），‎ ‎∴P点的坐标为（，-2）.‎ ‎⑶如解图②，‎ 过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，‎ 设P（x，x2-3x-4），设直线BC的解析式为y=kx+d，‎ 则，解得，∴直线BC的解析式为y=x-4，‎ 则Q点的坐标为（x，x-4）；‎ 当0=x2-3x-4，解得：x1=-1，x2=4，∴AO=1，AB=5，‎ S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ=AB·OC+QP·BF+QP·OF ‎=×5×4+（4-x）［x-4-（x2-3x-4）］+x［x-4-（x2-3x-4）］‎ ‎=-2x2+8x+10=-2（x-2）2+18‎ 当x=2时，四边形ABPC的面积最大，‎ 此时P点的坐标为（2，-6），四边形ABPC的面积的最大值为18．‎ 五、与三角形相似有关的问题 ‎01．如图，抛物线y＝-（x+2）（x-m）（m＞0）与x轴相交于点A、B，与y 轴相交于点C，且点A在点B的左侧.‎ ‎⑴若抛物线过点G（2，2），求实数m的值.‎ ‎⑵在⑴的条件下，解答下列问题：‎ ‎①求△ABC的面积.‎ ‎②在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH最小，‎ 并求出点H的坐标.‎ ‎⑶在第四象限内，抛物线上是否存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由.‎ 解：⑴∵抛物线过点G(2，2)，∴2=- (2+2)(2-m)，∴m=4.‎ ‎⑵①y=0，- (x+2)(x-m)=0，解得x1=-2，x2=m，‎ ‎∵m＞0，∴A(-2，0)、B(m，0)，又∵m=4，∴AB=6.‎ 令x=0，得y=2，∴C(0，2)，OC=2，S△ABC=×AB×OC=×6×2＝6‎ ‎②∵m=4，∴抛物线y= - (x+2)(x-4)的对称轴为x=1，‎ 如解图①，连接BC交对称轴于点H，‎ 由轴对称的性质和两点之间线段最短的性质可知，‎ 此时AH+CH=BH+CH=BC最小.‎ 设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0).‎ 则，解得，‎ ‎∴直线BC的解析式为y=-x+2.‎ 当x=1时，y=，∴H(1, ).‎ ‎⑶存在.如解图②，分两种情况讨论：‎ Ⅰ当△ACB∽△ABM时， =，即AB2=AC·AM.‎ ‎∵A(-2，0)，C(0，2)，即OA=OC=2，∴∠CAB=45°，∴∠BAM=45°.‎ 过点M作MN⊥x轴于点N，则AN=MN，∴OA+ON=2+ON=MN，‎ ‎∴令M(x，-x-2)(x＞0)，‎ 又∵点M在抛物线上，∴-x-2=- (x+2)(x-m)，‎ ‎∵x＞0，∴x+2＞0，又∵m＞0，∴x=2m，即M(2m，-2m-2).‎ ‎∴AM==2 (m+1)，‎ 又∵AB2=AC·AM，AC=2，AB=m+2，‎ ‎∴(m+2)2=2×2 (m+1)，解得m=2±2.‎ ‎∵m＞0，∴m=2+2.‎ Ⅱ当△ACB∽△MBA时，则=，∴AB2=CB·MA，‎ ‎∵∠CBA=∠BAM，∠ANM=∠BOC=90°，∴△ANM∽△BOC，∴=‎ ‎∵OB=m，令ON=x，∴=，∴NM= (x+2)，‎ ‎∴令M(x，- (x+2))(x＞0)，‎ 又∵点M在抛物线上，∴- (x+2)=- (x+2)(x-m)，‎ ‎∵x＞0，∴x+2＞0，∵m＞0，∴x=m+2，∴M(m+2，-(m+4))，‎ 又∵AB2=CB·MA，CB=，AN=m+4，MN= (m+4)，‎ ‎∴(m+2)2=·整理得16=0，舍去.‎ 综上ⅠⅡ得，在第四象限内，当m=2+2时，抛物线上存在点M使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似.‎ ‎02．如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点.‎ ‎⑴求出抛物线的解析式；‎ ‎⑵P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴于点M，‎ 是否存在P点使得以A，P，M为顶点的三角形 与△OAC相似？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎⑶若在直线AC上方的抛物线上有一点D使得 ‎△DCA的面积最大，求出点D的坐标.‎ 解：⑴∵该抛物线过点C（0，-2），∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx-2．‎ 将A（4，0），B（1，0）代入得，解得，‎ ‎∴此抛物线的解析式为y= - x2+ x-2.‎ ‎⑵存在．如解图①，设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为-m2+m-2，‎ 当1＜m＜4时，AM=4-m，PM=-m2+m-2．‎ 又∵∠COA=∠PMA=90°，‎ ‎①当=时，∴===，‎ ‎∴△APM∽△ACO，即4-m=2(-m2+m-2)．解得m1=2，m2=4（舍去），‎ ‎∴P（2，1）．‎ ‎②当==时，△APM∽△CAO，即2(4-m)= -m2+m-2．‎ 解得m1=4，m2=5（均不合题意，舍去），‎ ‎∴当1＜m＜4时，P（2，1）.‎ 当m＞4时，AM=m-4，PM=m2-m+2，‎ ‎①==或②==2，‎ ‎2（m2-m+2）=m-4，2（m-4）=m2-m+2，‎ 解得：第一个方程的解是m=2＜4（舍去），m=4（舍去），‎ 第二个方程的解是m=5，m=4（舍去）,‎ 求出m=5，-m2+m-2=-2，则P（5，-2），‎ 当m＜1时，AM=4-m，PM=m2-m+2．‎ ‎①==或②==2，‎ ‎2（m2-m+2）=4-m，2（4-m）=m2-m+2，‎ 解得：第一个方程的解是m=0（舍去），m=4（舍去），‎ 第二个方程的解是m=4（舍去），m=-3，‎ m=-3时，-m2+m-2=-14，则P（-3，-14），‎ 综上所述，符合条件的点P的坐标为（2，1）或（5，-2）或（-3，-14）(解图中未画出来).‎ ‎⑶如解图②，设D点横坐标为t（0＜t＜4），则D点纵坐标为-t2+t-2．‎ 过点D作y轴的平行线交AC于点E．‎ 由题意可求得直线AC的解析式为y=x-2．‎ ‎∴E点的坐标为(t，t-2)．‎ ‎∴DE=-t2+t-2-(t-2)=-t2+2t，‎ ‎∴S△DAC=S△DCE+S△DEA=DE·t+DE·（4-t）=DE·4，‎ ‎∴S△DAC=×（-t2+2t）×4=-t2+4t=-(t-2)2+4，‎ ‎∴当t=2时，△DAC面积最大，∴D（2，1）．‎