2020年中考数学压轴题：不等式与不等式组考点专练 24页

2020 中考数学压轴题：不等式与不等式组考点专练 【考点 1】不等式的基本性质 【例 1】（2019•广安）若 m n ，下列不等式不一定成立的是 ( ) A． 3 3m n   B． 3 3m n   C． 3 3 m n D． 2 2m n 【答案】D 【解析】 A 、不等式的两边都加 3，不等号的方向不变，故 A 错误； B 、不等式的两边都乘以 3 ，不等号的方向改变，故 B 错误； C 、不等式的两边都除以 3，不等号的方向不变，故 C 错误； D 、如 2m  ， 3n   ， m n ， 2 2m n ；故 D 正确； 故选： D ． 点睛：主要考查了不等式的基本性质，“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时， 应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱． 【变式 1-1】（2019•舟山）已知四个实数 a ，b ， c ， d ，若 a b ， c d ，则 ( ) A． a c b d   B． a c b d   C． ac bd D． a b c d  【答案】A 【解析】 a b ， c d ， a c b d    ． 故选： A ． 点睛：此题主要考查了等式的性质，正确掌握等式的基本性质是解题关键． 【变式 1-2】（2019•玉林）设 0 1b a   ，则 2 2 2 4 2 a bm a ab   ，则 m 的取值范围是 ． 【答案】 1 1m   【解析】 2 2 2 4 ( 2 )( 2 ) 2 212 ( 2 ) a b a b a b a b bm a ab a a b a a          ， 0 1b a   ， 22 0b a     ， 21 1 1b a    ， 即 1 1m   ． 故答案为： 1 1m   点睛：本题主要考查了分式的约分以及不等式的基本性质，熟练掌握分解因式的方法是解答本 题的关键． 【考点 2】解一元一次不等式（组） 【例 2】（2019•呼和浩特）若不等式 2 5 1 23 x x   的解集中 x 的每一个值，都能使关于 x 的不 等式3( 1) 5 5 2( )x x m x     成立，则 m 的取值范围是 ( ) A． 3 5m   B． 1 5m   C． 3 5m   D． 1 5m   【答案】C 【解析】解不等式 2 5 1 23 x x   得： 4 5x ， 不等式 2 5 1 23 x x   的解集中 x 的每一个值，都能使关于 x 的不等式3( 1) 5 5 2( )x x m x     成 立， 1 2 mx   ，  1 4 2 5 m  ， 解得： 3 5m   ， 故选： C ． 点睛：本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得 到关于 m 的不等式是解此题的关键． 【变式 2-1】（2019•宁波）不等式 3 2 x x  的解为 ( ) A． 1x  B． 1x   C． 1x  D． 1x   【答案】A 【解析】 3 2 x x  ， 3 2x x  ， 3 3x ， 1x  ， 故选： A ． 点睛：本题考查了解一元一次不等式，注意：解一元一次不等式的步骤是：去分母、去括号、 移项、合并同类项、系数化成 1． 【变式 2-2】（2019•广西）解不等式组： 3 5 1 3 4 2 1 6 3 x x x x       ，并利用数轴确定不等式组的解集． 【答案】 2 3x  ． 【解析】 3 5 1 3 4 2 1 6 3 x x x x       ① ② 解①得 3x  ， 解②得 2x  ， 所以不等式组的解集为 2 3x  ． 用数轴表示为： 点睛：本题考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解 集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同 大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 【考点 3】不等式的含参及特殊解问题 【例 3】（2019•南充）关于 x 的不等式 2 1x a 只有 2 个正整数解，则 a 的取值范围为 ( ) A． 5 3a    B． 5 3a   C． 5 3a   D． 5 3a  【答案】C 【解析】解不等式 2 1x a 得： 1 2 ax  ， 不等式有两个正整数解，一定是 1 和 2， 根据题意得： 12 32 a  ， 解得： 5 3a   ． 故选： C ． 点睛：本题考查了不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应 根据不等式的基本性质． 【变式 3-1】（2019•云南）若关于 x 的不等式组 2( 1) 2, 0 x a x      的解集是 x a ，则 a 的取值范围是 ( ) A． 2a  B． 2a C． 2a  D． 2a 【答案】D 【解析】解关于 x 的不等式组 2( 1) 2, 0 x a x      得 2x x a    2a 故选： D ． 点睛：本题考查不等式的解集，解题的关键是正确理解不等式的解集，本题属于基础题型． 【变式 3-2】（2019•丹东）关于 x 的不等式组 2 4 0 1 x a x       的解集是 2 4x  ，则 a 的值为 ． 【答案】3 【解析】解不等式 2 4 0x   ，得： 2x  ， 解不等式 1a x   ，得： 1x a  ， 不等式组的解集为 2 4x  ， 1 4a   ，即 3a  ， 故答案为：3． 点睛：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取 大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【考点 4】一元一次不等式的应用问题 【例 4】（2019•抚顺）为响应“绿色生活，美丽家园”号召，某社区计划种植甲、乙两种花卉 来美化小区环境．若种植甲种花卉 22m ，乙种花卉 23m ，共需 430 元；种植甲种花卉 21m ，乙种 花卉 22m ，共需 260 元． （1）求：该社区种植甲种花卉 21m 和种植乙种花卉 21m 各需多少元？ （2）该社区准备种植两种花卉共 275m 且费用不超过 6300 元，那么社区最多能种植乙种花卉 多少平方米？ 【解析】（1）设该社区种植甲种花卉 21m 需 x 元，种植乙种花卉 21m 需 y 元， 依题意，得： 2 3 430 2 260 x y x y      ， 解得： 80 90 x y    ． 答：该社区种植甲种花卉 21m 需 80 元，种植乙种花卉 21m 需 90 元． （2）设该社区种植乙种花卉 2mm ，则种植甲种花卉 2(75 )m m ， 依题意，得：80(70 ) 90 6300m m  ， 解得： 30m ． 答：该社区最多能种植乙种花卉 230m ． 点睛：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找 准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等 式． 【变式 4-1】（2019•锦州）某市政部门为了保护生态环境，计划购买 A ，B 两种型号的环保设 备．已知购买一套 A 型设备和三套 B 型设备共需 230 万元，购买三套 A 型设备和两套 B 型设备 共需 340 万元． （1）求 A 型设备和 B 型设备的单价各是多少万元； （2）根据需要市政部门采购 A 型和 B 型设备共 50 套，预算资金不超过 3000 万元，问最多可 购买 A 型设备多少套？ 【解析】（1）设 A 型设备的单价是 x 万元， B 型设备的单价是 y 万元， 依题意，得： 3 230 3 2 340 x y x y      ， 解得： 80 50 x y    ． 答： A 型设备的单价是 80 万元， B 型设备的单价是 50 万元． （2）设购进 A 型设备 m 套，则购进 B 型设备 (50 )m 套， 依题意，得：80 50(50 ) 3000m m  ， 解得： 50 3m ． m 为整数， m 的最大值为 16． 答：最多可购买 A 型设备 16 套． 点睛：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找 准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等 式． 【变式 4-2】（2019•辽阳）为了进一步丰富校园活动，学校准备购买一批足球和篮球，已知购 买 7 个足球和 5 个篮球的费用相同；购买 40 个足球和 20 个篮球共需 3400 元． （1）求每个足球和篮球各多少元？ （2）如果学校计划购买足球和篮球共 80 个，总费用不超过 4800 元，那么最多能买多少个篮 球？ 【解析】（1）设每个足球为 x 元，每个篮球为 y 元， 根据题意得： 7 5 40 20 3400 x y x y     ， 解得： 50 70 x y    ． 答：每个足球为 50 元，每个篮球为 70 元； （2）设买篮球 m 个，则买足球 (80 )m 个，根据题意得： 70 50(80 ) 4800m m  ， 解得： 40m ． m 为整数， m 最大取 40， 答：最多能买 40 个篮球． 点睛：本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用， 解答本题时找到建立方程的等量关系和建立不等式的不等关系是解答本题的关键． 【考点 5】不等式组的应用问题 【例 5】（2019•青海）某市为了提升菜篮子工程质量，计划用大、中型车辆共 30 辆调拨不超 过 190 吨蔬菜和 162 吨肉制品补充当地市场．已知一辆大型车可运蔬菜 8 吨和肉制品 5 吨； 一辆中型车可运蔬菜 3 吨和肉制品 6 吨． （1）符合题意的运输方案有几种？请你帮助设计出来； （2）若一辆大型车的运费是 900 元，一辆中型车的运费为 600 元，试说明（1）中哪种运输 方案费用最低？最低费用是多少元？ 【解析】（1）设安排 x 辆大型车，则安排 (30 )x 辆中型车， 依题意，得： 8 3(30 ) 190 5 6(30 ) 162 x x x x      ， 解得：18 20x ． x 为整数， 18x  ，19，20． 符合题意的运输方案有 3 种，方案 1：安排 18 辆大型车，12 辆中型车；方案 2：安排 19 辆大型车，11 辆中型车；方案 3：安排 20 辆大型车，10 辆中型车． （2）方案 1 所需费用为：900 18 600 12 23400    （元 ) ， 方案 2 所需费用为：900 19 600 11 23700    （元 ) ， 方案 3 所需费用为： 900 20 600 10 24000    （元 ) ． 23400 23700 24000  ， 方案 1 安排 18 辆大型车，12 辆中型车所需费用最低，最低费用是 23400 元． 点睛：本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次 不等式组是解题的关键． 【变式 5-1】（2019•莱芜区）某蔬菜种植基地为提高蔬菜产量，计划对甲、乙两种型号蔬菜大 棚进行改造，根据预算，改造 2 个甲种型号大棚比 1 个乙种型号大棚多需资金 6 万元，改造 1 个甲种型号大棚和 2 个乙种型号大棚共需资金 48 万元． （1）改造 1 个甲种型号和 1 个乙种型号大棚所需资金分别是多少万元？ （2）已知改造 1 个甲种型号大棚的时间是 5 天，改造 1 个乙种型号大概的时间是 3 天，该基 地计划改造甲、乙两种蔬菜大棚共 8 个，改造资金最多能投入 128 万元，要求改造时间不超 过 35 天，请问有几种改造方案？哪种方案基地投入资金最少，最少是多少？ 【解析】（1）设改造 1 个甲种型号大棚需要 x 万元，改造 1 个乙种型号大棚需要 y 万元， 依题意，得： 2 6 2 48 x y x y      ， 解得： 12 18 x y    ． 答：改造 1 个甲种型号大棚需要 12 万元，改造 1 个乙种型号大棚需要 18 万元． （2）设改造 m 个甲种型号大棚，则改造 (8 )m 个乙种型号大棚， 依题意，得： 5 3(8 ) 35 12 18(8 ) 128 m m m m      ， 解得： 8 11 3 2m ． m 为整数， 3m  ，4，5， 共有 3 种改造方案，方案 1：改造 3 个甲种型号大棚，5 个乙种型号大棚；方案 2：改造 4 个甲种型号大棚，4 个乙种型号大棚；方案 3：改造 5 个甲种型号大棚，3 个乙种型号大棚． 方案 1 所需费用12 3 18 5 126    （万元）； 方案 2 所需费用12 4 18 4 120    （万元）； 方案 3 所需费用12 5 18 3 114    （万元）． 114 120 126  ， 方案 3 改造 5 个甲种型号大棚，3 个乙种型号大棚基地投入资金最少，最少资金是 114 万元． 点睛：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元 一次不等式组． 【变式 5-2】（2019•遵义）某校计划组织 240 名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动．旅 游公司有 A ，B 两种客车可供租用，A 型客车每辆载客量 45 人，B 型客车每辆载客量 30 人．若 租用 4 辆 A 型客车和 3 辆 B 型客车共需费用 10700 元；若租用 3 辆 A 型客车和 4 辆 B 型客车 共需费用 10300 元． （1）求租用 A ， B 两型客车，每辆费用分别是多少元； （2）为使 240 名师生有车坐，且租车总费用不超过 1 万元，你有哪几种租车方案？哪种方案 最省钱？ 【解析】（1）设租用 A ， B 两型客车，每辆费用分别是 x 元、 y 元， 4 3 10700 3 4 10300 x y x y      ， 解得， 1700 1300 x y    ， 答：租用 A ， B 两型客车，每辆费用分别是 1700 元、1300 元； （2）设租用 A 型客车 a 辆，租用 B 型客车b 辆， 45 30 240 1700 1300 10000 a b a b    ， 解得， 2 5 a b    ， 4 2 a b    ， 5 1 a b    ， 共有三种租车方案， 方案一：租用 A 型客车 2 辆， B 型客车 5 辆，费用为 9900 元， 方案二：租用 A 型客车 4 辆， B 型客车 2 辆，费用为 9400 元， 方案三：租用 A 型客车 5 辆， B 型客车 1 辆，费用为 9800 元， 由上可得，方案二：租用 A 型客车 4 辆， B 型客车 2 辆最省钱． 点睛：本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意， 利用不等式的性质和方程的知识解答． 1．（2019•上海）如果 m n ，那么下列结论错误的是 ( ) A． 2 2m n   B． 2 2m n   C． 2 2m n D． 2 2m n   【答案】D 【解析】 m n ， 2 2m n   ， 故选： D ． 点睛：本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型． 2．（2019•桂林）如果 a b ， 0c  ，那么下列不等式成立的是 ( ) A． a c b  B． a c b c   C． 1 1ac bc   D． ( 1) ( 1)a c b c   【答案】D 【解析】 0c  ， 1 1c    ， a b ， ( 1) ( 1)a c b c    ， 故选： D ． 点睛：本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于中等题型． 3．（2019•长春）不等式 2 0x  的解集为 ( ) A． 2x  B． 2x  C． 2x D． 2x 【答案】D 【解析】移项得： 2x  系数化为 1 得： 2x ． 故选： D ． 点睛：本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号 这一点而出错． 解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的 方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同 时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变． 4．（2019•宿迁）不等式 1 2x  的非负整数解有 ( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】D 【解析】 1 2x  ， 解得： 3x ， 则不等式 1 2x  的非负整数解有：0，1，2，3 共 4 个． 故选： D ． 点睛：此题主要考查了一元一次不等式的整数解，正确把握非负整数的定义是解题关键． 5．（2019•无锡）某工厂为了要在规定期限内完成 2160 个零件的任务，于是安排 15 名工人 每人每天加工 a 个零件 (a 为整数），开工若干天后，其中 3 人外出培训，若剩下的工人每人每 天多加工 2 个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知 a 的值至少为 ( ) A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【解析】设原计划 n 天完成，开工 x 天后 3 人外出培训， 则15 2160an  ， 得到 144an  ． 所以15 12( 2)( ) 2160ax a n x    ． 整理，得 4 4 8 8 720x an n x    ． 144an  ． 将其代入化简，得 8 8 144ax n x   ，即 8 8ax n x an   ， 整理，得8( ) ( )n x a n x   ． n x ， 0n x   ， 8a  ． a 至少为 9． 故选： B ． 点睛：考查了一元一次不等式的应用，解题的技巧性在于设而不求，难度较大． 6．（2019•重庆）某次知识竞赛共有 20 题，答对一题得 10 分，答错或不答扣 5 分，小华得 分要超过 120 分，他至少要答对的题的个数为 ( ) A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【解析】设要答对 x 道． 10 ( 5) (20 ) 120x x     ， 10 100 5 120x x   ， 15 220x  ， 解得： 44 3x  ， 根据 x 必须为整数，故 x 取最小整数 15，即小华参加本次竞赛得分要超过 120 分，他至少要答 对 15 道题． 故选： C ． 点睛：此题主要考查了一元一次不等式的应用，得到得分的关系式是解决本题的关键． 7．（2019•常德）不等式3 1 2( 4)x x   的解为 ． 【答案】 7x  【解析】3 1 2( 4)x x   ， 3 1 2 8x x   ， 7x  ． 故答案为： 7x  ． 点睛：本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤 其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 8．（2019•鄂州）若关于 x 、 y 的二元一次方程组 3 4 3 5 5 x y m x y       的解满足 0x y ，则 m 的取值 范围是 ． 【答案】 2m  【解析】 3 4 3 5 5 x y m x y       ① ② ， ①  ②得 2 2 4 8x y m   ， 则 2 4x y m   ， 根据题意得 2 4 0m  ， 解得 2m  ． 故答案是： 2m  ． 点睛：本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把 m 当作已知 数表示出 x y 的值，再得到关于 m 的不等式． 9．（2019•大庆）已知 4x  是不等式 3 1 0ax a   的解， 2x  不是不等式 3 1 0ax a   的解，则 实数 a 的取值范围是 ． 【答案】 1a  【解析】 4x  是不等式 3 1 0ax a   的解， 4 3 1 0a a    ， 解得： 1a  ， 2x  不是这个不等式的解， 2 3 1 0a a   ， 解得： 1a  ， 1a  ， 故答案为： 1a  ． 点睛：本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是求不等式的解集． 10．（2019•株洲）若 a 为有理数，且 2 a 的值大于 1，则 a 的取值范围为 ． 【答案】 1a  【解析】根据题意知 2 1a  ， 解得 1a  ， 故答案为： 1a  且 a 为有理数． 点睛：本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤 其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 11．（2019•朝阳）不等式组 6 2 0 2 4 0 x x     的解集是 ． 【答案】 2 3x  【解析】 6 2 0 2 4 0 x x     ① ② ， 由不等式①，得 3x ， 由不等式②，得 2x   ， 故原不等式组的解集是 2 3x  ， 故答案为： 2 3x  ． 点睛：本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法． 12．（2019•盘锦）不等式组 3 4 10 2 5 1 43 x x x x      的解集是 ． 【答案】 1 35 x 【解析】 3 4 10 2 5 1 43 x x x x      ① ② ， 由①得， 3x ， 由②得， 1 5x  ， 原不等式组的解集为 1 35 x ， 故答案为 1 35 x ． 点睛：此题考查了不等式组的解法，求不等式组的解集要根据以下原则：同大取较大，同小取 较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 13．（2019•莱芜区）定义：[ ]x 表示不大于 x 的最大整数，例如：[2.3] 2 ，[1] 1 ． 有以下结论： 1 [ 1.2] 2   ；②[ 1] [ ] 1a a   ；③[2 ] [2 ] 1a a  ；④存在唯一非零实数 a ，使得 2 2[ ]a a ． 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③． 【解析】①[ 1.2] 2   ，故①正确； ②[ 1] [ ] 1a a   ，故②正确； ③[2 ] [2 ] 1a a  ，故③正确； ④当 0a  时， 2 2[ ] 0a a  ；当 2a  时， 2 2[ ] 2a a  ；原题说法是错误的． 故答案为：①②③． 点睛：本题考查新定义，解答本题的关键是明确题目中的新定义，可以判断出各个小题中的结 论是否正确． 14．（2019•铜仁市）如果不等式组 3 2 4 x a x a       的解集是 4x a  ，则 a 的取值范围是 ． 【答案】 3a  【解析】解这个不等式组为 4x a  ， 则3 2 4a a  ， 解这个不等式得 3a  故答案 3a  ． 点睛：此题实质是解一元一次不等式组．解答时要遵循以下原则：同大取教大，同小取较小， 小大大小中间找，大大小小解不了． 15．（2019•包头）已知不等式组 2 9 6 1 1 x x x k        的解集为 1x   ，则 k 的取值范围是 ． 【答案】 2k  【解析】 2 9 6 1 1 x x x k        ① ② 由①得 1x   ； 由②得 1x k  ． 不等式组 2 9 6 1 1 x x x k        的解集为 1x   ， 1 1k   ， 解得 2k  ． 故答案为 2k  ． 点睛：本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集和已知得 出关于 k 的不等式，难度适中． 16．（2019•鸡西）若关于 x 的一元一次不等式组 0 2 1 3 x m x      的解集为 1x  ，则 m 的取值范围 是 ． 【答案】 1m 【解析】解不等式 0x m  ，得： x m ， 解不等式 2 1 3x   ，得： 1x  ， 不等式组的解集为 1x  ， 1m ， 故答案为： 1m ． 点睛：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取 大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 17．（2019•宁夏）解不等式组： 1 12 3 3 22 x x x x      ． 【解析】解不等式 1 12 3 x x  ，得： 4x ， 解不等式 3 22 x x   ，得： 7x   ， 则不等式组的解集为 7 4x  ． 点睛：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取 大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18．（2019•贺州）解不等式组： 5 6 4, 8 4 1 x x x        ① ② 【答案】 3 2x   ． 【解析】解①得 2x  ， 解②得 3x   ， 所以不等式组的解集为 3 2x   ． 点睛：本题考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解 集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同 大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 19.（2019•宁夏）学校在“我和我的祖国”快闪拍摄活动中，为学生化妆．其中 5 名男生和 3 名女生共需化妆费 190 元；3 名男生的化妆费用与 2 名女生的化妆费用相同． （1）求每位男生和女生的化妆费分别为多少元； （2）如果学校提供的化妆总费用为 2000 元，根据活动需要至少应有 42 名女生化妆，那么男 生最多有多少人化妆． 【解析】（1）设每位男生的化妆费是 x 元，每位女生的化妆费是 y 元， 依题意得： 5 3 190 3 2 x y x y     ． 解得： 20 30 x y    ． 答：每位男生的化妆费是 20 元，每位女生的化妆费是 30 元； （2）设男生有 a 人化妆， 依题意得： 2000 20 4230 a ． 解得 37a ． 即 a 的最大值是 37． 答：男生最多有 37 人化妆． 点睛：考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意， 找到关键描述语，找到所求的量的数量关系． 20．（2019•福建）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日 废水处理量为 m 吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的 扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第 三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本 30 元，并且每处理一吨废水还需其他 费用 8 元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付 12 元．根据记录，5 月 21 日，该厂产生 工业废水 35 吨，共花费废水处理费 370 元． （1）求该车间的日废水处理量 m ； （2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的 平均费用不超过 10 元 / 吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围． 【答案】该厂一天产生的工业废水量的范围为15 20x ． 【解析】（1） 35 8 30 310   （元 ) ，310 350 ， 35m  ． 依题意，得：30 8 12(35 ) 370m m    ， 解得： 20m  ． 答：该车间的日废水处理量为 20 吨． （2）设一天产生工业废水 x 吨， 当 0 20x 时，8 30 10x x ， 解得：15 20x ； 当 20x  时，12( 20) 8 20 30 10x x    ， 解得： 20 25x ． 综上所述，该厂一天产生的工业废水量的范围为15 20x ． 点睛：本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准 等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 21．（2019•贵阳）某文具店最近有 A ， B 两款毕业纪念册比较畅销，近两周的销售情况是： 第一周 A 款销售数量是 15 本， B 款销售数量是 10 本，销售总价是 230 元；第二周 A 款销售 数量是 20 本， B 款销售数量是 10 本，销售总价是 280 元． （1）求 A ， B 两款毕业纪念册的销售单价； （2）若某班准备用不超过 529 元购买这两种款式的毕业纪念册共 60 本，求最多能够买多少 本 A 款毕业纪念册． 【解析】（1）设 A 款毕业纪念册的销售为 x 元，B 款毕业纪念册的销售为 y 元，根据题意可得： 15 10 230 20 10 280 x y x y      ， 解得： 10 8 x y    ， 答： A 款毕业纪念册的销售为 10 元， B 款毕业纪念册的销售为 8 元； （2）设能够买 a 本 A 款毕业纪念册，则购买 B 款毕业纪念册 (60 )a 本，根据题意可得： 10 8(60 ) 529a a  ， 解得： 24.5a ， 则最多能够买 24 本 A 款毕业纪念册． 点睛：此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出等量关系 是解题关键． 22．（2019•荆州）为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组 织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动．在此次活动中，若每位老师带队 14 名学生，则还剩 10 名学生没老师带；若每位老师带队 15 名学生，就有一位老师少带 6 名学 生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人 / 辆） 35 30 租金（元 / 辆） 400 320 学校计划此次研学活动的租金总费用不超过 3000 元，为安全起见，每辆客车上至少要有 2 名 老师． （1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？ （2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有 2 名老师，可知租车总辆数为 8 辆； （3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？ 【解析】（1）设参加此次研学活动的老师有 x 人，学生有 y 人， 依题意，得： 14 10 15 6 x y x y      ， 解得： 16 234 x y    ． 答：参加此次研学活动的老师有 16 人，学生有 234 人． （2） (234 16) 35 7   （辆 ) 5 （人 ) ，16 2 8  （辆 ) ， 租车总辆数为 8 辆． 故答案为：8． （3）设租 35 座客车 m 辆，则需租 30 座的客车 (8 )m 辆， 依题意，得： 35 30(8 ) 234 16 400 320(8 ) 3000 m m m m       ， 解得： 12 5 2m ． m 为正整数， 2m  ，3，4，5， 共有 4 种租车方案． 设租车总费用为 w 元，则 400 320(8 ) 80 2560w m m m     ， 80 0 ， w 的值随 m 值的增大而增大， 当 2m  时， w 取得最小值，最小值为 2720． 学校共有 4 种租车方案，最少租车费用是 2720 元． 点睛：本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解 题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据师生人数，确定租车辆 数；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．