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- 2021-05-13 发布
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浙江省杭州市拱墅区、下城区2016届中考数学一模试题
一、选择题
1.圆锥的侧面展开图是( )
A.扇形 B.等腰三角形 C.圆 D.矩形
2.下列式子中正确的是( )
A.(﹣3)3=﹣9 B. =﹣4 C.﹣|﹣5|=5 D.()﹣3=8
3.质检部门为了检测某品牌汽车的质量,从同一批次共10万件产品中随机抽取2000件进行检测,共检测出次品3件,则估计在这一批次的10万产品中次品数约为( )
A.15件 B.30件 C.150件 D.1500件
4.已知△ABC的三边长都是整数,且AB=2,BC=6,则△ABC的周长可能是( )
A.12 B.14 C.16 D.17
5.下列式子正确的是( )
A.3a2b+2ab2=5a3b3 B.2﹣=
C.(x﹣2)(﹣x+2)=x2﹣4 D.a2•a3+a6=2a6
6.下列命题中,是真命题的是( )
A.长度相等的两条弧是等弧
B.顺次连结平行四边形四边中点所组成的图形是菱形
C.正八边形既是轴对称图形又是中心对称图形
D.三角形的内心到这个三角形三个顶点的距离相等
7.为了参加社区“畅响G20”文艺演出,某校组建了46人的合唱队和30人的舞蹈队,现根据演出需要,从舞蹈队中抽调了部分同学参加合唱队,使合唱队的人数恰好是舞蹈队人数的3倍,设从舞蹈队中抽调了x人参加合唱队,可得正确的方程是( )
A.3(46﹣x)=30+x B.46+x=3(30﹣x) C.46﹣3x=30+x D.46﹣x=3(30﹣x)
8.某校男子足球队全体队员的年龄分布如表所示.对于这些数据,下列判断正确的是( )
年龄(岁)
12
13
14
15
16
人数(人)
2
5
4
7
2
A.中位数14岁,平均年龄14.1岁
B.中位数14.5岁,平均年龄14岁
C.众数14岁,平均年龄14.1岁
D.众数15岁,平均年龄14岁
9.如图,己知△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,作∠ABC的角平分线交AC于D,以D为圆心,DA为半径作圆,与射线交于点E、F.有下列结论:
①△ABC是直角三角形;②⊙D与直线BC相切;③点E是线段BF的黄金分割点;④tan∠CDF=2.
其中正确的结论有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
10.甲、乙两车分别从M,N两地沿同一公路相向匀速行驶,两车分别抵达N,M两地后即停止行驶.已知乙车比甲车提前出发,设甲、乙两车之间的路程S(km),乙行驶的时间为t(h),S与t的函数关系如图所示.有下列说法:
①M、N两地之间公路路程是300km,两车相遇时甲车恰好行驶3小时;
②甲车速度是80km/h,乙车比甲车提前1.5个小时出发;
③当t=5(h)时,甲车抵达N地,此时乙车离M地还有20km的路程;
④a=,b=280,图中P,Q所在直线与横轴的交点恰(,0).
其中正确的是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
二、填空题(本大题有6小题,每小题4分,共24分)
11.据统计,杭州市注册志愿者人数已达109万人,将109万人用科学记数法表示应为 .
12.分解因式:9a2﹣b2= .
13.如图,直线AB∥CD,BC平分∠ABD,∠1=67°,则∠2= 度.
14.A、B、C三张外观一样的门卡可分别对应a、b、c三把电子锁,若任意取出其中一张门卡,恰好打开a锁的概率是 ;若随机取出三张门卡,恰好一次性对应打开这三把电子锁的概率是 .
15.在平面直角坐标系中,等腰直角△OAB的直角边OB和正方形BCEF的一边BC都在x轴的正半轴上,函数y=(k>0)的图象过点A,E.若BC=1,则k的值等于 .
16.如图,矩形ABCD中,BC=3,且BC>AB,E为AB边上任意一点(不与A,B重合),设BE=t,将△BCE沿CE对折,得到△FCE,延长EF交CD的延长线于点G,则tan∠CGE= (用含t的代数式表示).
三、全面答一答(本题有7个小题,共66分.解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.如果觉得有的题目有点困难,那么把自己能写出的解答写出一部分也可以.)
17.某校实验课程改革,初三年级设罝了A,B,C,D四门不同的拓展性课程如图,锐角△ABC中,∠BAC=60°,O是BC边上的一点,连接AO,以AO为边向两侧作等边△AOD和等边△AOE,分别与边AB,AC交于点F,G.求证:AF=AG.
19.(1)解方程:﹣2=;
(2)设y=kx,且k≠0,若代数式(x﹣3y)(2x+y)+y(x+5y)化简的结果为2x2,求k的值.
20.己知线段a及∠α(∠α<90°)
〔1)作等腰△ABC并使得所作等腰△ABC腰长为a,且有内角等于∠α(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)若a=4,∠α=30°,求(1)中所作△ABC的面积.
21.己知常数a(a是常数)满足下面两个条件:
①二次函数y1=﹣(x+4)(x﹣5a﹣7)的图象与x轴的两个交点于坐标原点的两侧;
②一次函数y2=ax+2的图象在一、二、四象限;
(1)求整数a的值;
(2)在所给直角坐标系中分别画出y1、y2的图象,并求当y1<y2时,自变量x的取值范围.
22.已知⊙O的半径为,OC垂直于弦AB,垂足为C,AB=2,点D在⊙O上.
(1)如图1,若点D在AO的延长线上,连结CD交半径OB于点E,连结BD,求BD,ED的长;
(2)若射线OD与AB的延长线相交于点F,且△OCD是等腰三角形,请在图2画示意图并求出AF的长.
23.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(0,﹣2)和点B(2,﹣2),且点C与点B关于坐标原点对称.
(1)求b,c的值,并判断点C是否在此抛物线上,并说明理由;
(2)若点P为此抛物线上一点,它关于x轴,y轴的对称点分别为M,N,问是否存在这样的P点使得M,N恰好都在直线BC上?如存在,求出点P的坐标,如不存在,并说明理由;
(3)若点P与点Q关于原点对称,当点P在位于直线BC下方的抛物线上运动时,求四边形PBQC的面积的最大值.
2016年浙江省杭州市拱墅区、下城区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1.圆锥的侧面展开图是( )
A.扇形 B.等腰三角形 C.圆 D.矩形
【考点】几何体的展开图.
【分析】根据圆锥的侧面是曲面,圆锥的侧面展开图是扇形,可得答案.
【解答】解:圆锥的侧面展开图是扇形.
故选:A.
【点评】本题考查了几何体的展开图,熟记各种几何体的展开图是解题关键.
2.下列式子中正确的是( )
A.(﹣3)3=﹣9 B. =﹣4 C.﹣|﹣5|=5 D.()﹣3=8
【考点】算术平方根;相反数;绝对值;有理数的乘方;负整数指数幂.
【分析】根据有理数的乘方、算术平方根、绝对值、负整数指数幂,逐一判定即可解答.
【解答】解:A、(﹣3)3=﹣27,故错误;
B、,故错误;
C、﹣|﹣5|=﹣5,故错误;
D、=﹣8,正确;
故选:D.
【点评】本题考查了有理数的乘方、算术平方根、绝对值、负整数指数幂,解决本题的关键是熟记有理数的乘方、算术平方根、绝对值、负整数指数幂.
3.质检部门为了检测某品牌汽车的质量,从同一批次共10万件产品中随机抽取2000件进行检测,共检测出次品3件,则估计在这一批次的10万产品中次品数约为( )
A.15件 B.30件 C.150件 D.1500件
【考点】用样本估计总体.
【分析】先求出次品所占的百分比,再根据检测出次品3件,直接相除得出答案即可.
【解答】解:∵随机抽取2000件进行检测,检测出次品3件,
∴次品所占的百分比是:,
∴这一批次产品中的次品件数是:100000×=150(件),
故选C.
【点评】此题主要考查了用样本估计总体,根据出现次品的数量求出次品所占的百分比是解题关键.
4.已知△ABC的三边长都是整数,且AB=2,BC=6,则△ABC的周长可能是( )
A.12 B.14 C.16 D.17
【考点】三角形三边关系.
【分析】根据三角形三边关系得出AC的取值范围,进而得出△ABC的周长可能的值.
【解答】解:∵△ABC的三边长都是整数,且AB=2,BC=6,
∴4<AC<8,
故AC=5或6或7,
则△ABC的周长可能是,13,14,15.
故选:B.
【点评】此题主要考查了三角形三边关系,正确得出AC的取值范围是解题关键.
5.下列式子正确的是( )
A.3a2b+2ab2=5a3b3 B.2﹣=
C.(x﹣2)(﹣x+2)=x2﹣4 D.a2•a3+a6=2a6
【考点】分式的加减法;合并同类项;同底数幂的乘法;平方差公式.
【专题】计算题;分式.
【分析】原式各项计算得到结果,即可作出判断.
【解答】解:A、原式不能合并,错误;
B、原式==,正确;
C、原式=﹣(x﹣2)2=﹣x2+4x﹣4,错误;
D、原式=a5+a6,错误;
故选B
【点评】此题考查了分式的加减法,合并同类项,同底数幂的乘法,以及平方差公式,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
6.下列命题中,是真命题的是( )
A.长度相等的两条弧是等弧
B.顺次连结平行四边形四边中点所组成的图形是菱形
C.正八边形既是轴对称图形又是中心对称图形
D.三角形的内心到这个三角形三个顶点的距离相等
【考点】命题与定理.
【分析】分别利用等弧的定义、菱形的判定定理、中心对称图形的定义及内心的性质分别判断后即可确定正确的选项.
【解答】解:A、能够完全重合的两弧才是等弧,故错误,是假命题;
B、顺次连接平行四边形的四边中点所组成的图形是平行四边形,故错误,是假命题;
C、正八边形既是轴对称图形又是中心对称图形,正确,是真命题;
D、三角形的内心到三角形的三边的距离相等,故错误,是假命题,
故选C.
【点评】本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解等弧的定义、菱形的判定定理、中心对称图形的定义及内心的性质,难度不大.
7.为了参加社区“畅响G20”文艺演出,某校组建了46人的合唱队和30人的舞蹈队,现根据演出需要,从舞蹈队中抽调了部分同学参加合唱队,使合唱队的人数恰好是舞蹈队人数的3倍,设从舞蹈队中抽调了x人参加合唱队,可得正确的方程是( )
A.3(46﹣x)=30+x B.46+x=3(30﹣x) C.46﹣3x=30+x D.46﹣x=3(30﹣x)
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程.
【分析】设从舞蹈队中抽调了x人参加合唱队,根据使合唱队的人数恰好是舞蹈队人数的3倍列出等式解答即可.
【解答】解:设从舞蹈队中抽调了x人参加合唱队,
可得:46+x=3(30﹣x)
故选B
【点评】本题考查了一元一次方程问题,关键是得出合唱队的人数恰好是舞蹈队人数的3倍的方程.
8.某校男子足球队全体队员的年龄分布如表所示.对于这些数据,下列判断正确的是( )
年龄(岁)
12
13
14
15
16
人数(人)
2
5
4
7
2
A.中位数14岁,平均年龄14.1岁
B.中位数14.5岁,平均年龄14岁
C.众数14岁,平均年龄14.1岁
D.众数15岁,平均年龄14岁
【考点】众数;加权平均数;中位数.
【分析】总的年龄除以总的人数就是平均数;出现次数最多的数据,称为这组数据的众数;中位数一定要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数,如果数据有奇数个,则正中间的数字即为所求,如果是偶数个则找中间两位数的平均数.
【解答】解:这些队员年龄的平均数为:(12×2+13×5+14×4+15×7+16×2)÷20=14.1,
队员年龄的众数为:15,
队员年龄的中位数是14,
故选A.
【点评】本题属于基础题,考查了确定一组数据的平均数,中位数和众数的能力.注意找中位数的时候一定要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数,如果数据有奇数个,则正中间的数字即为所求.如果是偶数个则找中间两位数的平均数.
9.如图,己知△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,作∠ABC的角平分线交AC于D,以D为圆心,DA为半径作圆,与射线交于点E、F.有下列结论:
①△ABC是直角三角形;②⊙D与直线BC相切;③点E是线段BF的黄金分割点;④tan∠CDF=2.
其中正确的结论有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【考点】切线的判定;黄金分割.
【分析】
由勾股定理的逆定理得出①正确;由角平分线的性质定理得出②正确;由全等三角形的性质得出MB=AB=3,证明△CDM∽△CBA,得出对应边成比例求出DM,根据勾股定理得出BD,求出EF2=BF•BE,得出③正确;由tan∠CDF=tan∠ADB==2,得出④正确,即可得出结论.
【解答】解:∵32+42=52,
∴AB2+AC2=AB2,
∴△ABC是直角三角形,∠BAC=90°,①正确;
作DM⊥BC于M,如图所示:
∵BD是∠ABC的平分线,
∴DM=DA,
∴⊙D与直线BC相切,
∴②正确;
∵∠BAC=∠DMC=90°,
在Rt△BDM和△BDA中,
,
∴Rt△BDM≌△BDA(HL),
∴MB=AB=3,
∴CM=BC﹣MB=2,
∵∠C=∠C,
∴△CDM∽△CBA,
∴,即,
解得:DM=,
∴DF=DE=,
∴BD===,
∴BE=BD﹣DE=﹣,BF=BD+DF=+,
∵EF2=9,BF•BE=(+)(﹣)=9,
∴EF2=BF•BE,
∴点E是线段BF的黄金分割点,③正确;
∵tan∠CDF=tan∠ADB===2,
∴④正确;
正确的有4个.
故选:A.
【点评】本题考查了切线的判定、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数;熟练掌握切线的判定,证明三角形全等和三角形相似是解决问题③的关键.
10.甲、乙两车分别从M,N两地沿同一公路相向匀速行驶,两车分别抵达N,M两地后即停止行驶.已知乙车比甲车提前出发,设甲、乙两车之间的路程S(km),乙行驶的时间为t(h),S与t的函数关系如图所示.有下列说法:
①M、N两地之间公路路程是300km,两车相遇时甲车恰好行驶3小时;
②甲车速度是80km/h,乙车比甲车提前1.5个小时出发;
③当t=5(h)时,甲车抵达N地,此时乙车离M地还有20km的路程;
④a=,b=280,图中P,Q所在直线与横轴的交点恰(,0).
其中正确的是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
【考点】一次函数的应用.
【分析】①由点(0,300),可知M、N两地之间公路路程是300km;由点(3,0)可知两车相遇时乙车恰好行驶3小时,乙比甲早出发,即①不成立;
②由速度=路程÷时间,结合点(1.5,210)可得出乙车的速度,再结合点(3,0)可知甲车的速度,由图象的转折点横坐标为1.5,可知②成立;
③由时间=路程÷速度,可知当t=5(h)时.乙车抵达M地,即③不成立;
④由路程=速度×时间可得出b的值,再由时间=路程÷速度可得出a的值,设出P,Q所在直线解析式为S=kt+b,由待定系数法可求出该解析式,代入S=0,即可得知④成立.综上可得出结论.
【解答】解:①当t=0时,S=300,可知M、N两地之间公路路程是300km;
当t=3时,S=0,可知两车相遇时乙车恰好行驶3小时,
由乙车比甲车提前出发可知①不正确;
②乙车的速度为(300﹣210)÷1.5=60km/h,
甲车的速度为210÷(3﹣1.5)﹣60=80km/h.
由图象转折点在1.5小时处,故乙车比甲车提前1.5个小时出发,②正确;
③∵乙车到M地的时间为300÷60=5(h),
∴当t=5(h)时,乙车抵达M地,③不正确;
④乙到达M地时,甲车行驶的路程b=80×(5﹣1.5)=280,
甲车到达N地的时间a=300÷80+1.5=.
设P,Q所在直线解析式为S=kt+b,
将点P(5,280)、Q(,300)代入,得
,解得:.
故P,Q所在直线解析式为S=80t﹣120,
令S=0,则有80t﹣120=0,解得t=,
故图中P,Q所在直线与横轴的交点恰(,0),即④成立.
故选D.
【点评】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式,解题的关键是结合图象以及各数量关系逐条分析4个结论.本题属于基础题,难度不大,其实在解决该题时,只要判断出①③不正确,即可得出结论了,④不用再去分析.
二、填空题(本大题有6小题,每小题4分,共24分)
11.据统计,杭州市注册志愿者人数已达109万人,将109万人用科学记数法表示应为 1.09×106 .
【考点】科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:将109万用科学记数法表示为1.09×106.
故答案为:1.09×106.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
12.分解因式:9a2﹣b2= (3a+b)(3a﹣b) .
【考点】因式分解-运用公式法.
【分析】运用平方差公式因式分解即可.
【解答】解:9a2﹣b2=(3a)2﹣b2=(3a+b)(3a﹣b),
故答案为:(3a+b)(3a﹣b).
【点评】本题考查了运用公式法因式分解.熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的关键.
13.如图,直线AB∥CD,BC平分∠ABD,∠1=67°,则∠2= 46 度.
【考点】平行线的性质.
【分析】由平行线的性质得到∠ABC=∠1=67°,由BC平分∠ABD,得到∠ABD=2∠ABC,再由平行线的性质求出∠2的度数.
【解答】解:∵直线AB∥CD,
∴∠1=∠ABC=∠BCD,
又∵BC平分∠ABD,∠1=67°,
∴∠ABC=∠CBD=∠1=67°,
又∵∠2=∠CDB,
∴在三角形CBD中有∠BCD+∠CBD+∠CDB=180°,
∴∠CDB=180°﹣67°﹣67°=46°,
∴∠2=46°,
故答案为:46.
【点评】本题考查了平行线的性质和角平分线定义等知识点,解此题的关键是求出∠ABD的度数,题目较好,难度不大.
14.A、B、C三张外观一样的门卡可分别对应a、b、c三把电子锁,若任意取出其中一张门卡,恰好打开a锁的概率是 ;若随机取出三张门卡,恰好一次性对应打开这三把电子锁的概率是 .
【考点】列表法与树状图法.
【专题】计算题.
【分析】直接利用概率公式求任意取出其中一张门卡,恰好打开a锁的概率;画树状图展示所有6种等可能的结果数,找出恰好一次性对应打开这三把电子锁的结果数,然后根据概率公式求解.
【解答】解:若任意取出其中一张门卡,恰好打开a锁的概率是;
画树状图为:
共有6种等可能的结果数,恰好一次性对应打开这三把电子锁的结果数为1,
所以恰好一次性对应打开这三把电子锁的概率为.、
故答案为,.
【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,求出概率.
15.在平面直角坐标系中,等腰直角△OAB的直角边OB和正方形BCEF的一边BC都在x轴的正半轴上,函数y=(k>0)的图象过点A,E.若BC=1,则k的值等于 .
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.
【分析】设OB=AB=a,则OC=a+1,得出点A和点E的坐标,把A、E的坐标代入函数解析式,即可求出答案.
【解答】解:设OB=AB=a,则OC=a+1,
即A点的坐标为(a,a),E点的坐标为(a+1,1),
把A、E的坐标代入函数解析式得:
所以a=,
∵a为正数,
∴a=,
∴k=+1=,
故答案为:.
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,用待定系数法求函数的解析式的应用,能得出关于x和k的方程组是解此题的关键,数形结合思想的应用.
16.如图,矩形ABCD中,BC=3,且BC>AB,E为AB边上任意一点(不与A,B重合),设BE=t,将△BCE沿CE对折,得到△FCE,延长EF交CD的延长线于点G,则tan∠CGE= (用含t的代数式表示).
【考点】翻折变换(折叠问题).
【分析】连接BF交EC于O,作EM⊥CD于M,因为tan∠CGE=,所以只要用t的代数式表示EM、GM,由四边形EMCB是矩形可以求出EM,利用△CBF∽△GCE,可以求出GC,这样即可解决问题.
【解答】解:如图连接BF交EC于O,作EM⊥CD于M,
∵∠EMC=∠EBC=∠BCM=90°,
∴四边形EBCM是矩形,
∴CM=EB=t,EM=BC=3,
在RT△EBC中,∵EB=t,BC=3,
∴EC==,
∵EB=EF,CB=CF,
∴EC垂直平分BF,
∵•EC•BO=•EB•BC,
∴BO=,BF=2BO=
∵∠AEF+∠BEF=180°,∠BEF+∠BCF=180°,
∴∠AEF=∠BCF,
∵AB∥CD,
∴∠BEC=∠ECG=∠CEF,∠AEF=∠G=∠BCF
∴GE=GC,
∴∠GCE=∠GEC=∠CFB=∠CBF,
∴△CBF∽△GCE,
∴,
∴GC=,GM=GC﹣CM=,
∴tan∠CGE==.
故答案为.
【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、相似三角形的判定和性质,学会利用翻折不变性找到相等的边以及角,添加辅助线构造相似三角形是解决问题的关键,属于中考常考题型.
三、全面答一答(本题有7个小题,共66分.解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.如果觉得有的题目有点困难,那么把自己能写出的解答写出一部分也可以.)
17.某校实验课程改革,初三年级设罝了A,B,C,D四门不同的拓展性课程如图,锐角△ABC中,∠BAC=60°,O是BC边上的一点,连接AO,以AO为边向两侧作等边△AOD和等边△AOE,分别与边AB,AC交于点F,G.求证:AF=AG.
【考点】全等三角形的判定与性质.
【专题】证明题.
【分析】根据等边三角形的性质得出∠E=∠AOF=60°,AE=AO,∠OAE=60°,求出∠FAO=∠EAG,根据ASA推出△AFO≌△AGE,根据全等三角形的性质得出即可.
【解答】证明:∵△AOD和△AOE是等边三角形,
∴∠E=∠AOF=60°,AE=AO,∠OAE=60°,
∵∠BAC=60°,
∴∠FAO=∠EAG=60°﹣∠CAO,
在△AFO和△AGE中,
,
∴△AFO≌△AGE(ASA),
∴AF=AG.
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定,等边三角形的性质的应用,能求出△AFO≌△AGE是解此题的关键,注意:全等三角形的对应边相等.
19.(1)解方程:﹣2=;
(2)设y=kx,且k≠0,若代数式(x﹣3y)(2x+y)+y(x+5y)化简的结果为2x2,求k的值.
【考点】整式的混合运算;解分式方程.
【分析】(1)直接去分母,进而解分式方程得出答案;
(2)首先利用多项式乘法去括号,进而合并同类项得出答案.
【解答】解:(1)去分母得:1﹣2(x﹣3)=﹣3x,
解得:x=﹣7,
检验:当x=﹣7时,x﹣3≠0,故x=﹣7是原方程的解;
(2)∵(x﹣3y)(2x+y)+y(x+5y)
=2x2﹣5xy﹣3y2+xy+5y2
=2x2﹣4xy+2y2
=2(x﹣y)2=2x2,
∴x﹣y=±x,
则x﹣kx=±x,
解得:k=0(不合题意舍去)或k=2.
【点评】此题主要考查了分式方程的解法以及多项式乘法,正确掌握运算法则是解题关键.
20.己知线段a及∠α(∠α<90°)
〔1)作等腰△ABC并使得所作等腰△ABC腰长为a,且有内角等于∠α(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)若a=4,∠α=30°,求(1)中所作△ABC的面积.
【考点】作图—复杂作图.
【专题】作图题.
【分析】(1)作∠MBN=α,在BN上截取BA=a,然后以A点为圆心,a为半径画弧交BM于C,则△ABC满足条件;
(2)作AD⊥BC于D,根据等腰三角形的性质得BD=CD,根据含30度的直角三角形三边的关系求出AD、BD,然后根据三角形面积公式求解.
【解答】解:(1)如图,△ABC为所作;
(2)作AD⊥BC于D,
∵AB=AC=4,
∴BD=CD,
∵∠B=30°,
∴AD=AB=2,BD=AD=2,
∴BC=2BD=4,
∴△ABC的面积=×2×4=4.
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图:复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.也考查了等腰三角形的性质.
21.己知常数a(a是常数)满足下面两个条件:
①二次函数y1=﹣(x+4)(x﹣5a﹣7)的图象与x轴的两个交点于坐标原点的两侧;
②一次函数y2=ax+2的图象在一、二、四象限;
(1)求整数a的值;
(2)在所给直角坐标系中分别画出y1、y2的图象,并求当y1<y2时,自变量x的取值范围.
【考点】抛物线与x轴的交点;一次函数图象与系数的关系;二次函数与不等式(组).
【专题】计算题.
【分析】(1)利用抛物线与x轴的交点问题得到抛物线与x轴的两个交点坐标为(﹣4,0),(5a+7,0),利用抛物线与x轴的两个交点与坐标原点的两侧得到5a+7>0,则a>﹣,再利用一次函数性质得到a<0,于是得到a的范围为﹣<a<0,然后在此范围内找出整数即可;
(2)由(1)得抛物线解析式为y1=﹣(x+4)(x﹣2)=﹣(x+1)2+3,直线解析式为y=﹣x+2,再利用描点法画出两函数图象,然后找出一次函数图象在抛物线上方所对应的x的范围即可.
【解答】解:(1)抛物线y1=﹣(x+4)(x﹣5a﹣7)的图象与x轴的两个交点坐标为(﹣4,0),(5a+7,0),
根据题意得5a+7>0,解得a>﹣,
又因为一次函数y2=ax+2的图象在一、二、四象限,则a<0,
所以a的范围为﹣<a<0,
所以整数a为﹣1;
(2)抛物线解析式为y1=﹣(x+4)(x﹣2)=﹣(x+1)2+3,抛物线的顶点坐标为(﹣1,3),
直线解析式为y=﹣x+2,
如图,
当x<﹣1或x>2时,y1<y2.
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点:从二次函数的交点式y=a(x﹣x1)(x﹣x2)(a,b,c是常数,a≠0)中可直接得到抛物线与x轴的交点坐标(x1,0),(x2,0).也考查了一次函数的性质和观察函数图象的能力.
22.已知⊙O的半径为,OC垂直于弦AB,垂足为C,AB=2,点D在⊙O上.
(1)如图1,若点D在AO的延长线上,连结CD交半径OB于点E,连结BD,求BD,ED的长;
(2)若射线OD与AB的延长线相交于点F,且△OCD是等腰三角形,请在图2画示意图并求出AF的长.
【考点】相似三角形的判定与性质;勾股定理;垂径定理;圆周角定理.
【专题】计算题.
【分析】(1)如图1,由垂径定理得到AC=BC=,再根据勾股定理计算出OC=2,接着证明OC为△ABD的中位线,则BD=2OC=4,则可利用勾股定理计算出CD,然后证明△OCE∽△BDE,利用相似比可计算出DE;
(2)讨论:当DC=DO,作DG⊥OC于G,则CG=OG,如图2,则CF=2DG,再利用勾股定理计算出DG,从而得到CF,然后可计算出AF;当CD=CO时,作CG⊥OD于G,如图3,则DG=OG=,利用勾股定理计算出CG,再证明△OGC∽△COF,利用相似比可计算出CF,从而可得AF的长.
【解答】解:(1)如图1,∵OC⊥AB,
∴AC=BC=,
在Rt△AOC中,OC==2,
∵AD为直径,
∴∠ABD=90°,
∵OC∥BD,
∴OC为△ABD的中位线,
∴BD=2OC=4,
在Rt△BCD中,CD==3,
∵OC∥BD,
∴△OCE∽△BDE,
∴==,
∴DE=CD=2;
(2)当DC=DO,作DG⊥OC于G,则CG=OG,如图2,
∴DG为△OCF的中位线,
∴CF=2DG,
在Rt△ODG中,DG==,
∴CF=2,
∴AF=CF﹣AC=2﹣;
当CD=CO时,作CG⊥OD于G,如图3,则DG=OG=,
在Rt△OCG中,CG==,
∵∠GOC=∠COF,
∴△OGC∽△COF,
∴=,即=,解得CF=,
∴AF=CF﹣AC=﹣,
综上所述,AF的长为2﹣或﹣.
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质:两个三角形相似也有对应角相等,对应边的比相等.在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形.也考查了勾股定理、垂径定理和圆周角定理.
23.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(0,﹣2)和点B(2,﹣2),且点C与点B关于坐标原点对称.
(1)求b,c的值,并判断点C是否在此抛物线上,并说明理由;
(2)若点P为此抛物线上一点,它关于x轴,y轴的对称点分别为M,N,问是否存在这样的P点使得M,N恰好都在直线BC上?如存在,求出点P的坐标,如不存在,并说明理由;
(3)若点P与点Q关于原点对称,当点P在位于直线BC下方的抛物线上运动时,求四边形PBQC的面积的最大值.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)将A(0,﹣2)、B(2,﹣2)代入y=x2+bx+c,得到关于b,c的二元一次方程组,解方程组求出b,c的值;根据关于原点对称的点的坐标特征求出C点坐标,再用代入法即可判断C点在此抛物线上;
(2)先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=﹣x.再假设此抛物线上存在这样的点P(x, x2﹣x﹣2),使得它关于x轴,y轴的对称点M,N恰好都在直线BC上,根据函数图象上点的坐标特征得出方程x2﹣x﹣2=x,解方程即可求出点P的坐标;
(3)先判定四边形PBQC是平行四边形,根据平行四边形的性质得出当△PBC面积最大时,四边形PBQC的面积最大.将直线BC向下平移t个单位得到直线y=﹣x﹣t,当它与抛物线只有一个交点时,△PBC面积最大.利用判别式△=0求出t的值,进而求解即可.
【解答】解:(1)∵二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(0,﹣2)和点B(2,﹣2),
∴,
解得,
∴y=x2﹣x﹣2.
∵点C与点B关于坐标原点对称,
∴C(﹣2,2),
把x=﹣2代入y=x2﹣x﹣2,得y=×(﹣2)2﹣(﹣2)﹣2=2,
∴C(﹣2,2)在此抛物线上;
(2)设直线BC的解析式为y=mx+n,
∵B(2,﹣2),C(﹣2,2),
∴,解得,
∴直线BC的解析式为y=﹣x.
假设此抛物线上存在这样的点P(x, x2﹣x﹣2),使得它关于x轴,y轴的对称点M,N恰好都在直线BC上,
∵M(x,﹣ x2+x+2),N(﹣x, x2﹣x﹣2),
∴x2﹣x﹣2=x,
解得x=2±2,
故所求点P的坐标为(2+2,2+2),或(2﹣2,2﹣2);
(3)∵点C与点B关于原点对称,点P与点Q关于原点对称,
∴四边形PBQC是平行四边形,
∴S▱PBQC=2S△PBC,
∴当△PBC面积最大时,四边形PBQC的面积最大.
将直线BC向下平移t个单位得到直线y=﹣x﹣t,当它与抛物线只有一个交点时,△PBC面积最大.
把y=﹣x﹣t代入y=x2﹣x﹣2,得﹣x﹣t=x2﹣x﹣2,
整理得, x2﹣2+t=0,
△=0﹣4×(﹣2+t)=0,
解得t=2,
解方程x2﹣2+2=0,解得x=0,
则y=﹣2,即P(0,﹣2),
此时四边形PBQC的面积的最大值为:2×4=8.
【点评】本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有利用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式,函数图象上点的坐标特征,关于坐标轴、原点对称的点的坐标特征,平行四边形的判定与性质,二次函数与一元二次方程的关系等知识,综合性较强,难度适中.利用数形结合以及方程思想是解题的关键.