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  • 2021-05-13 发布

中考数学专题复习几何证明压轴题含答案解析

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几何证明压轴题(中考)‎ ‎1、如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,且AB=1,BC=2,tan∠ADC=2.‎ (1) 求证:DC=BC;‎ (2) E是梯形内一点,F是梯形外一点,且∠EDC=∠FBC,DE=BF,试判断△ECF的形状,并证明你的结论;‎ (3) 在(2)的条件下,当BE:CE=1:2,∠BEC=135°时,求sin∠BFE的值. ‎ ‎[解析] (1)过A作DC的垂线AM交DC于M,‎ 则AM=BC=2.‎ 又tan∠ADC=2,所以.即DC=BC.‎ ‎(2)等腰三角形.‎ 证明:因为.‎ 所以,△DEC≌△BFC 所以,.‎ 所以,‎ 即△ECF是等腰直角三角形.‎ ‎(3)设,则,所以.‎ 因为,又,所以.‎ 所以 所以.‎ ‎2、已知:如图,在□ABCD 中,E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线,AG∥DB交CB的延长线于G.‎ ‎(1)求证:△ADE≌△CBF;‎ ‎(2)若四边形 BEDF是菱形,则四边形AGBD是什么特殊四边形?并证明你的结论.‎ ‎[解析] (1)∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴∠1=∠C,AD=CB,AB=CD . ‎ ‎∵点E 、F分别是AB、CD的中点,‎ ‎∴AE=AB ,CF=CD .‎ ‎∴AE=CF ‎∴△ADE≌△CBF . ‎ ‎(2)当四边形BEDF是菱形时,‎ 四边形 AGBD是矩形.‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AD∥BC .‎ ‎∵AG∥BD ,‎ ‎∴四边形 AGBD 是平行四边形. ‎ ‎∵四边形 BEDF 是菱形,‎ ‎∴DE=BE .‎ ‎∵AE=BE ,‎ ‎∴AE=BE=DE .‎ ‎∴∠1=∠2,∠3=∠4.‎ ‎∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°,‎ ‎∴2∠2+2∠3=180°.‎ ‎∴∠2+∠3=90°.‎ 即∠ADB=90°. ‎ ‎∴四边形AGBD是矩形 ‎3、如图13-1,一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起.现正方形ABCD保持不动,将三角尺GEF绕斜边EF的中点O(点O也是BD中点)按顺时针方向旋转.‎ ‎(1)如图13-2,当EF与AB相交于点M,GF与BD相交于点N时,通过观察或测量BM,FN的长度,猜想BM,FN满足的数量关系,并证明你的猜想;‎ 图13-1‎ A( G )‎ B( E )‎ C O D( F )‎ 图13-2‎ E A B D G F O M N C ‎(2)若三角尺GEF旋转到如图13-3所示的位置时,线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M,线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N,此时,(1)中的猜想还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.‎ 图13-3‎ A B D G E F O M N C ‎[解析](1)BM=FN. ‎ 证明:∵△GEF是等腰直角三角形,四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴ ∠ABD =∠F =45°,OB = OF.‎ 又∵∠BOM=∠FON, ∴ △OBM≌△OFN .‎ ‎∴ BM=FN. ‎ (1) BM=FN仍然成立. ‎ (2) 证明:∵△GEF是等腰直角三角形,四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠DBA=∠GFE=45°,OB=OF.‎ ‎∴∠MBO=∠NFO=135°.‎ 又∵∠MOB=∠NOF, ∴ △OBM≌△OFN .‎ ‎∴ BM=FN. ‎ ‎4、如图,已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E,连结AD、BD、OC、OD,且OD=5。‎ ‎ (1)若,求CD的长;‎ ‎ (2)若 ∠ADO:∠EDO=4:1,求扇形OAC(阴影部分)的面积(结果保留)。‎ ‎[解析] (1)因为AB是⊙O的直径,OD=5‎ ‎ 所以∠ADB=90°,AB=10 ‎ ‎ 在Rt△ABD中,‎ ‎ 又,所以,所以 ‎ ‎ ‎ 因为∠ADB=90°,AB⊥CD ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ ‎ (2)因为AB是⊙O的直径,AB⊥CD ‎ 所以 ‎ 所以∠BAD=∠CDB,∠AOC=∠AOD ‎ 因为AO=DO,所以∠BAD=∠ADO ‎ 所以∠CDB=∠ADO ‎ 设∠ADO=4x,则∠CDB=4x ‎ 由∠ADO:∠EDO=4:1,则∠EDO=x ‎ 因为∠ADO+∠EDO+∠EDB=90°‎ ‎ 所以 ‎ 所以x=10°‎ ‎ 所以∠AOD=180°-(∠OAD+∠ADO)=100°‎ ‎ 所以∠AOC=∠AOD=100°‎ ‎ ‎ ‎5、如图,已知:C是以AB为直径的半圆O上一点,CH⊥AB于点H,直线AC与过B点的切线相交于点D,E为CH中点,连接AE并延长交BD于点F,直线CF交直线AB于点G. ‎(1)求证:点F是BD中点;‎ ‎(2)求证:CG是⊙O的切线;‎ ‎(3)若FB=FE=2,求⊙O的半径.‎ ‎[解析] (1)证明:∵CH⊥AB,DB⊥AB,∴△AEH∽AFB,△ACE∽△ADF ‎∴,∵HE=EC,∴BF=FD ‎ ‎(2)方法一:连接CB、OC,‎ ‎∵AB是直径,∴∠ACB=90°∵F是BD中点,‎ ‎∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO ‎∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切线---------6′‎ 方法二:可证明△OCF≌△OBF(参照方法一标准得分)‎ ‎ (3)解:由FC=FB=FE得:∠FCE=∠FEC ‎ 可证得:FA=FG,且AB=BG 由切割线定理得:(2+FG)2=BG×AG=2BG2 在Rt△BGF中,由勾股定理得:BG2=FG2-BF2  由、得:FG2-4FG-12=0‎ 解之得:FG1=6,FG2=-2(舍去)‎ ‎∴AB=BG=‎ ‎∴⊙O半径为2‎ ‎6、如图,已知O为原点,点A的坐标为(4,3),‎ ‎⊙A的半径为2.过A作直线平行于轴,点P在直线上运动.‎ ‎(1)当点P在⊙O上时,请你直接写出它的坐标;‎ ‎(2)设点P的横坐标为12,试判断直线OP与⊙A的位置关系,并说明理由.‎ ‎[解析]‎ 解: ⑴点P的坐标是(2,3)或(6,3)‎ ⑵作AC⊥OP,C为垂足.‎ ‎∵∠ACP=∠OBP=,∠1=∠1‎ ‎∴△ACP∽△OBP ‎ ‎∴ ‎ ‎ 在中,,又AP=12-4=8, ∴‎ ‎∴AC=≈1.94 ‎ ‎∵1.94<2‎ ‎∴OP与⊙A相交. ‎ ‎7、如图,延长⊙O的半径OA到B,使OA=AB,‎ DE是圆的一条切线,E是切点,过点B作DE的垂线,‎ C A B D O E 垂足为点C.‎ 求证:∠ACB=∠OAC.‎ ‎[解析]‎ 证明:连结OE、AE,并过点A作AF⊥DE于点F, (3分)‎ ‎∵DE是圆的一条切线,E是切点,‎ ‎∴OE⊥DC,‎ 又∵BC⊥DE,‎ ‎∴OE∥AF∥BC. ‎ ‎ ∴∠1=∠ACB,∠2=∠3.‎ ‎∵OA=OE,‎ ‎∴∠4=∠3. ‎ ‎∴∠4=∠2. ‎ 又∵点A是OB的中点,‎ ‎∴点F是EC的中点. ‎ ‎∴AE=AC. ‎ ‎∴∠1=∠2. ‎ ‎∴∠4=∠2=∠1. ‎ ‎ 即∠ACB=∠OAC.‎ ‎8、如图1,一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上,梯子与地面的倾斜角α为.‎ ⑴求AO与BO的长;‎ ⑵若梯子顶端A沿NO下滑,同时底端B沿OM向右滑行.‎ ‎①如图2,设A点下滑到C点,B点向右滑行到D点,并且AC:BD=2:3,试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米;‎ ‎②如图3,当A点下滑到A’点,B点向右滑行到B’点时,梯子AB的中点P也随之运动到P’点.若∠POP’= ,试求AA’的长.‎ ‎[解析]‎ ⑴中,∠O=,∠α=‎ ‎∴,∠OAB=,又AB=4米,‎ ‎ ∴米.‎ 米. -------------- (3分)‎ ⑵设在中,‎ ‎ ‎ ‎ 根据勾股定理:‎ ‎∴ ------------- (5分) ‎ ‎∴‎ ‎∵  ∴‎ ‎ ∴ ------------- (7分)‎ AC=2x=‎ 即梯子顶端A沿NO下滑了米. ---- (8分)‎ ⑶∵点P和点分别是的斜边AB与的斜边的中点 ‎∴, ------------- (9分)‎ ‎∴------- (10分)‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴ ----------------------- (11分)‎ ‎∴----- (12分)‎ ‎∴米. -------- (13分)‎