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- 2021-05-13 发布
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2012年全国中考数学(续61套)压轴题分类解析汇编
专题9:几何综合问题
24. (2012湖北恩施12分)如图,AB是⊙O的弦,D为OA半径的中点,过D作CD⊥OA交弦AB于点E,交⊙O于点F,且CE=CB.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)连接AF,BF,求∠ABF的度数;
(3)如果CD=15,BE=10,sinA=,求⊙O的半径.
【答案】解:(1)证明:连接OB,
∵OB=OA,CE=CB,
∴∠A=∠OBA,∠CEB=∠ABC。
又∵CD⊥OA,
∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°。
∴∠OBA+∠ABC=90°。∴OB⊥BC。
∴BC是⊙O的切线。
(2)连接OF,AF,BF,
∵DA=DO,CD⊥OA,
∴△OAF是等边三角形。
∴∠AOF=60°。
∴∠ABF=∠AOF=30°。
(3)过点C作CG⊥BE于点G,由CE=CB,
∴EG=BE=5。
易证Rt△ADE∽Rt△CGE,
∴sin∠ECG=sin∠A=,
∴。
∴。
又∵CD=15,CE=13,∴DE=2,
由Rt△ADE∽Rt△CGE得,即,解得。
∴⊙O的半径为2AD=。
【考点】等腰(边)三角形的性质,直角三角形两锐角的关系,切线的判定,圆周角定理,勾股定理,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数定义。
【分析】(1)连接OB,有圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°即可证明BC是⊙O的切线。
(2)连接OF,AF,BF,首先证明△OAF是等边三角形,再利用圆周角定理:同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数。
(3)过点C作CG⊥BE于点G,由CE=CB,可求出EG=BE=5,由Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理求出DE=2,由Rt△ADE∽Rt△CGE求出AD的长,从而求出⊙O的半径。
25. (2012黑龙江哈尔滨10分)已知:在△ABC中,∠ACB=900,点P是线段AC上一点,过点A作AB的垂线,交BP的延长线于点M,MN⊥AC于点N,PQ⊥AB于点Q,A0=MN.
(1)如图l,求证:PC=AN;
(2) 如图2,点E是MN上一点,连接EP并延长交BC于点K,点D是AB上一点,连接DK,∠DKE=∠ABC,EF⊥PM于点H,交BC延长线于点F,若NP=2,PC=3,CK:CF=2:3,求DQ的长.
【答案】解:(1)证明:∵BA⊥AM,MN⊥AP,∴∠BAM=ANM=90°。
∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°,∴∠PAQ=∠AMN。
∵PQ⊥AB MN⊥AC,∴∠PQA=∠ANM=90°。∴AQ=MN。∴△AQP≌△MNA(ASA)。
∴AN=PQ,AM=AP。∴∠AMB=∠APM。
∵∠APM=∠BPC∠BPC+∠PBC=90°,∠AMB+∠ABM=90°,∴∠ABM=∠PBC。
∵PQ⊥AB,PC⊥BC,∴PQ=PC(角平分线的性质)。∴PC=AN。
(2)∵NP=2 PC=3,∴由(1)知PC=AN=3。∴AP=NC=5,AC=8。
∴AM=AP=5。∴。
∵∠PAQ=∠AMN,∠ACB=∠ANM=90°,∴∠ABC=∠MAN。
∴。
∵,∴BC=6。
∵NE∥KC,∴∠PEN=∠PKC。
又∵∠ENP=∠KCP,∴△PNE∽△PCK。∴。
∵CK:CF=2:3,设CK=2k,则CF=3k。
∴,。
过N作NT∥EF交CF于T,则四边形NTFE是平行四边形。
∴NE=TF=,∴CT=CF-TF=3k-。
∵EF⊥PM,∴∠BFH+∠HBF=90°=∠BPC+∠HBF。
∴∠BPC=∠BFH。
∵EF∥NT,∴∠NTC=∠BFH=∠BPC。
∴。
∴,。
∴CT= 。∴ 。∴CK=2×=3,BK=BC-CK=3。
∵∠PKC+∠DKC=∠ABC+∠BDK,∠DKE=∠ABC,∴∠BDK=∠PKC。
∴。∴tan∠BDK=1。
过K作KG⊥BD于G。
∵tan∠BDK=1,tan∠ABC=,∴设GK=4n,则BG=3n,GD=4n。
∴BK=5n=3,∴n=。∴BD=4n+3n=7n=。
∵,AQ=4,∴BQ=AB-AQ=6。
∴DQ=BQ-BD=6-。
【考点】相似形综合题,全等三角形的判定和性质,角平分线的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,解直角三角形。
【分析】(1)确定一对全等三角形△AQP≌△MNA,得到AN=PQ;然后推出BP为角平分线,利用角平分线的性质得到PC=PQ;从而得到PC=AN。
(2)由已知条件,求出线段KC的长度,从而确定△PKC是等腰直角三角形;然后在△BDK中,解直角三角形即可求得BD、DQ的长度。
26. (2012湖北十堰10分)如图1,⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,OD∥AC,且∠CBD=∠BAC,OD交⊙O于点E.
(1)求证:BD是⊙O的切线;
(2)若点E为线段OD的中点,证明:以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形;
(3)作CF⊥AB于点F,连接AD交CF于点G(如图2),求的值.
【答案】解:(1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠BCA=90°。∴∠ABC+∠BAC=90°。
又∵∠CBD=∠BAC,∴∠ABC+∠CBD=90°。∴∠ABD=90°。∴OB⊥BD。
∴BD为⊙O的切线。
(2)证明:如图,连接CE、OC,BE,
∵OE=ED,∠OBD=90°,∴BE=OE=ED。
∴△OBE为等边三角形。∴∠BOE=60°。
又∵OD∥AC,∴∠OAC=60°。
又∵OA=OC,∴AC=OA=OE。∴AC∥OE且AC=OE。
∴四边形OACE是平行四边形。
而OA=OE,∴四边形OACE是菱形。
(3)∵CF⊥AB,∴∠AFC=∠OBD=90°。
又∵OD∥AC,∴∠CAF=∠DOB。∴Rt△AFC∽Rt△OBD。
∴,即。
又∵FG∥BD,∴△AFG∽△ABD。
∴,即。
∴。
【考点】圆的综合题,圆周角定理,直角三角形两锐角的关系,切线的判定,直角三角形斜边上的中线性质,等边三角形的判定和性质,平行的判定和性质,菱形的判定,相似三角形的判定和性质。
【分析】(1)由AB是⊙O的直径,根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA=90°,则∠ABC+∠BAC=90°,
而∠CBD=∠BA,得到∠ABC+∠CBD=90°,即OB⊥BD,根据切线的判定定理即可得到BD为⊙O的切
线。
(2)连接CE、OC,BE,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BE=OE=ED,则△OBE为等边三角形,于是∠BOE=60°,又因为AC∥OD,则∠OAC=60°,AC=OA=OE,即有AC∥OE且AC=OE,可得到四边形OACE是平行四边形,加上OA=OE,即可得到四边形OACE是菱形。
(3)由CF⊥AB得到∠AFC=∠OBD=90°,而OD∥AC,则∠CAF=∠DOB,根据相似三角形的
判定易得Rt△AFC∽Rt△OBD,则有,即,再由FG∥BD易证得△AFG∽△ABD,则,即,然后求FG与FC的比即可。
27. (2012江苏镇江11分)等边△ABC的边长为2,P是BC边上的任一点(与B、C不重合),连接AP,以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE,分别与边AB、AC交于点M、N(如图1)。
(1)求证:AM=AN;
(2)设BP=x。
①若,BM=,求x的值;
②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S,求S与x之间的函数关系式以及S的最小值;
③连接DE,分别与边AB、AC交于点G、H(如图2),当x取何值时,∠BAD=150?并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形,请说明理由。
【答案】解:(1)证明:∵△ABC、△APD和△APE都是等边三角形,
∴AD=AP,∠DAP=∠BAC=600,∠ADM=∠APN=600。∴∠DAM=∠PAN。
∴△ADM≌△APN(ASA),∴AM=AN。
(2)①易证△BPM∽△CAP,∴,
∵BN=,AC=2,CP=2-x,∴,即。
解得x=或x=。
②四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积。
∵△ADM≌△APN,∴。
∴。
如图,过点P作PS⊥AB于点S,过点D作DT⊥AP于点T,则点T是AP的中点。
在Rt△BPS中,∵∠P=600,BP=x,
∴PS=BPsin600=x,BS=BPcos600=x。
∵AB=2,∴AS=AB-BC=2-x。
∴。
∴。
∴。
∴当x=1时,S的最小值为。
③连接PG,设DE交AP于点O。
若∠BAD=150,
∵∠DAP =600,∴∠PAG =450。
∵△APD和△APE都是等边三角形,
∴AD=DP=AP=PE=EA。
∴四边形ADPE是菱形。
∴DO垂直平分AP。
∴GP=AG。∴∠APG =∠PAG =450。
∴∠PGA =900。
设BG=t,
在Rt△BPG中,∠B=600,∴BP=2t,PG=。∴AG=PG=。
∴,解得t=-1。∴BP=2t=2-2。
∴当BP=2-2时,∠BAD=150。
猜想:以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。
∵四边形ADPE是菱形,∴AO⊥DE,∠ADO=∠AEH=300。
∵∠BAD=150,∴易得∠AGO=450,∠HAO=150,∠EAH=450。
设AO=a,则AD=AE=2 a,OD=a。∴DG=DO-GO=(-1)a。
又∵∠BAD=150,∠BAC=600,∠ADO=300,∴∠DHA=∠DAH=750。
∵DH=AD=2a,
∴GH=DH-DG=2a-(-1)a=(3-)a,
HE=2DO-DH=2a-2a=2(-1)a。
∵,
,
∴。
∴以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。
【考点】等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,解一元二次方程,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,二次函数的最值,菱形的判定和性质,勾股定理和逆定理。
【分析】(1)由△ABC、△APD和△APE都是等边三角形可得边角的相等关系,从而用ASA证明。
(2)①由△BPM∽△CAP,根据对应边成比例得等式,解方程即可。
②应用全等三角形的判定和性质,锐角三角函数和勾股定理相关知识求得
,
用x的代数式表示S,用二次函数的最值原理求出S的最小值。
③由∠BAD=150得到四边形ADPE是菱形,应用相关知识求解。
求出DG、GH、HE的表达式,用勾股定理逆定理证明。
28. (2012福建三明14分)在正方形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点P在线段BC上(不含点B),∠BPE=∠ACB,PE交BO于点E,过点B作BF⊥PE,垂足为F,交AC于点G.
(1) 当点P与点C重合时(如图①).求证:△BOG≌△POE;(4分)
(2)通过观察、测量、猜想:= ▲ ,并结合图②证明你的猜想;(5分)
(3)把正方形ABCD改为菱形,其他条件不变(如图③),若∠ACB=α,
求的值.(用含α的式子表示)(5分)
【答案】解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,P与C重合,
∴OB=OP , ∠BOC=∠BOG=90°。
∵PF⊥BG ,∠PFB=90°,∴∠GBO=90°—∠BGO,∠EPO=90°—∠BGO。
∴∠GBO=∠EPO 。∴△BOG≌△POE(AAS)。
(2)。证明如下:
如图,过P作PM//AC交BG于M,交BO于N,
∴∠PNE=∠BOC=900, ∠BPN=∠OCB。
∵∠OBC=∠OCB =450, ∴ ∠NBP=∠NPB。
∴NB=NP。
∵∠MBN=900—∠BMN, ∠NPE=900—∠BMN,∴∠MBN=∠NPE。
∴△BMN≌△PEN(ASA)。∴BM=PE。
∵∠BPE=∠ACB,∠BPN=∠ACB,∴∠BPF=∠MPF。
∵PF⊥BM,∴∠BFP=∠MFP=900。
又∵PF=PF, ∴△BPF≌△MPF(ASA)。∴BF=MF ,即BF=BM。
∴BF=PE, 即。
(3)如图,过P作PM//AC交BG于点M,交BO于点N,
∴∠BPN=∠ACB=α,∠PNE=∠BOC=900。
由(2)同理可得BF=BM, ∠MBN=∠EPN。
∵∠BNM=∠PNE=900,∴△BMN∽△PEN。
∴。
在Rt△BNP中,, ∴,即。
∴。
【考点】几何综合题,正方形和菱形的性质,平行的性质,全等、相似三角形的判定和性质,锐角三角函数定义。
【分析】(1)由正方形的性质可由AAS证得△BOG≌△POE。
(2)过P作PM//AC交BG于M,交BO于N,通过ASA证明△BMN≌△PEN得到BM=PE,通过ASA证明△BPF≌△MPF得到BF=MF,即可得出的结论。
(3)过P作PM//AC交BG于点M,交BO于点N,同(2)证得BF=BM, ∠MBN=∠EPN,从而可证得△BMN∽△PEN,由和Rt△BNP中即可求得。
29. (2012辽宁沈阳12分)已知,如图①,∠MON=60°,点A,B为射线OM,ON上的动点(点A,B不与点O重合),且AB=,在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P,且AP=BP,∠APB=120°.
(1)求AP的长;
(2)求证:点P在∠MON的平分线上;
(3) 如图②,点C,D,E,F分别是四边形AOBP的边AO,OB,BP,PA的中点,连接CD,DE,EF,FC,OP.
①当AB⊥OP时,请直接写出四边形CDEF的周长的值;
②若四边形CDEF的周长用t表示,请直接写出t的取值范围.
【答案】解: (1) 过点P作PQ⊥AB于点Q ∵PA=PB,∠APB=120° ,AB=4,
∴AQ=AB=×4=2 ,∠APQ=∠APB=×120°=60°。
在Rt△APQ中, sin∠APQ=
∴AP= =4。
(2)证明:过点P分别作PS⊥OM于点S, PT⊥ON于点T,
∴∠OSP=∠OTP=90°。
在四边形OSPT中,∠SPT=360°-∠OSP-∠SOT-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°,
∴∠APB=∠SPT=120°。 ∴∠APS=∠BPT。
又∵∠ASP=∠BTP=90°, AP=BP,∴△APS≌△BPT(AAS)。 ∴PS=PT。
∴点P在∠MON的平分线上。
(3) ①8+4 ②4+4<t≤8+4。
【考点】等腰三角形的,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,多边形内角和定理,全等三角形的判定和性质,点在角平分线上的判定,三角形中位线定理
【分析】(1)过点P作PQ⊥AB于点Q.根据等腰三角形的“三线合一”的性质推知AQ=BQ=
AB,然后在直角三角形中利用特殊角的三角函数的定义可以求得AP的长度。
(2)作辅助线PS、PT(过点P分别作PS⊥OM于点S,PT⊥ON于点T)构建全等三角形△APS≌△BPT;然后根据全等三角形的性质推知PS=OT;最后由角平分线的性质推知点P在∠MON的平分线上。
(3)利用三角形中位线定理知四边形CDEF的周长的值是OP+AB。
①当AB⊥OP时,根据直角三角形中锐角三角函数的定义可以求得OP的长度;
②当AB⊥OP时,OP取最大值,即四边形CDEF的周长取最大值;当点A或B与点O重合时,四边形CDEF的周长取最小值,据此写出t的取值范围。
30. (2012辽宁大连12分)如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=2∠BCD=2α,点E在AD上,点F在DC上,且∠BEF=∠A.
(1)∠BEF=_____(用含α的代数式表示);
(2)当AB=AD时,猜想线段ED、EF的数量关系,并证明你的猜想;
(3)当AB≠AD时,将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上,且AE>AB,AB=mDE,AD=nDE”,其他条件不变(如图2),求的值(用含m、n的代数式表示)。
【答案】解:(1)180°-2α。
(2)EB=EF。证明如下:
连接BD交EF于点O,连接BF。
∵AD∥BC,∴∠A=180°-∠ABC=180°-2α,
∠ADC=180°-∠C=180°-α。
∵AB=AD,∴∠ADB=(180°-∠A)=α。
∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=180°-2α。
由(1)得:∠BEF=180°-2α=∠BDC。
又∵∠EOB=∠DOF,∴△EOB∽△DOF。∴,即。
∵∠EOD=∠BOF,∴△EOD∽△BOF。∴∠EFB=∠EDO=α。
∴∠EBF=180°-∠BEF-∠EFB=α=∠EFB。∴EB=EF。
(3) 延长AB至G,使AG=AE,连接BE,GE,
则∠G=∠AEG=。
∵AD∥BC,
∴∠EDF=∠C=α,∠GBC=∠A,∠DEB=∠EBC。
∴∠EDF=∠G。
∵∠BEF=∠A,∴∠BEF=∠GBC。
∴∠GBC+∠EBC=∠DEB+∠BEF,即∠EBG=∠FED。
∴△DEF∽△GBE。∴。
∵AB=mDE,AD=nDE,∴AG=AE=(n+1)DE。
∴BG=AG-AB=(n+1)DE-mDE=(n+1-m)DE。
∴。
【考点】梯形的性质,平行线的性质,相似三角形的判定和性质,等腰三角形的性质。
【分析】(1)由梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=2∠BCD=2α,根据平行线的性质,易求得∠A的度数,又由∠BEF=∠A,即可求得∠BEF的度数:
∵梯形ABCD中,AD∥BC,∴∠A+∠ABC=180°。∴∠A=180°-∠ABC=180°-2α。
又∵∠BEF=∠A,∴∠BEF=∠A=180°-2α。
(2)连接BD交EF于点O,连接BF,由AB=AD,易证得△EOB∽△DOF,根据相似三角形的对应边成比例,可得 ,从而可证得△EOD∽△BOF,又由相似三角形的对应角相等,易得∠EBF=∠EFB=α,即可得EB=EF。
(3)延长AB至G,使AG=AE,连接BE,GE,易证得△DEF∽△GBE,然后由相似三角形的对应边成比例,即可求得 的值。
31. (2012辽宁鞍山12分)如图,正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上,点B坐标(3,3),将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α(0°<α<90°),得到正方形ADEF,ED交线段OC于点G,ED的
延长线交线段BC于点P,连AP、AG.
(1)求证:△AOG≌△ADG;
(2)求∠PAG的度数;并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系,说明理由;
(3)当∠1=∠2时,求直线PE的解析式.
【答案】解:(1)证明:∵∠AOG=∠ADG=90°,
∴在Rt△AOG和Rt△ADG中,AO=AD,AG=AG,
∴△AOG≌△ADG(HL)。
(2)∠PAG =45°,PG=OG+BP。理由如下:
由(1)同理可证△ADP≌△ABP,则∠DAP=∠BAP。
∵由(1)△AOG≌△ADG,∴∠1=∠DAG。
又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°,
∴2∠DAG+2∠DAP=90°,即∠DAG+∠DAP=45°。∴∠PAG=∠DAG+∠DAP=45°。
∵△AOG≌△ADG,△ADP≌△ABP,∴DG=OG,DP=BP。
∴PG=DG+DP=OG+BP。
(3)∵△AOG≌△ADG,∴∠AGO=∠AGD。
又∵∠1+∠AGO=90°,∠2+∠PGC=90°,∠1=∠2,∴∠AGO=∠AGD=∠PGC。
又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°,∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°。∴∠1=∠2=30°。
在Rt△AOG中,AO=3,OG=AOtan30°=,
∴G点坐标为:(,0),CG=3﹣。
在Rt△PCG中,PC=,∴P点坐标为:(3,)。
设直线PE的解析式为y=kx+b,
则,解得。
∴直线PE的解析式为y=x﹣1。
【考点】一次函数综合题,全等三角形的判定和性质,三角形内角和定理,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系,解二元一次方程组。
【分析】(1)由AO=AD,AG=AG,利用“HL”可证△AOG≌△ADG。
(2)利用(1)的方法,同理可证△ADP≌△ABP,得出∠1=∠DAG,∠DAP=∠BAP,而∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°,由此可求∠PAG的度数;根据两对全等三角形的性质,可得出线段OG、PG、BP之间的数量关系。
(3)由△AOG≌△ADG可知,∠AGO=∠AGD,而∠1+∠AGO=90°,∠2+∠PGC=90°,当∠1=∠2时,可证∠AGO=∠AGD=∠PGC,而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°,得出∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°,即∠1=∠2=30°,解直角三角形求OG,PC,确定P、G两点坐标,得出直线PE的解析式。
32. (2012山东威海11分)
探索发现:已知:在梯形ABCD中,CD∥AB,AD、BC的延长线相交于点E,AC、BD相交于点O,连接EO并延长交AB于点M,交CD于点N。
(1)如图①,如果AD=BC,求证:直线EM是线段AB的垂直平分线;
(2)如图②,如果AD≠BC,那么线段AM与BM是否相等?请说明理由。
学以致用:仅用直尺(没有刻度),试作出图③中的矩形ABCD的一条对称轴。(写出作图步骤,保留作图痕迹)
【答案】解:(1)证明:∵AD=BC,CD∥AB,∴AC=BD,∠DAB=∠CBA。∴AE=BE。
∴点E在线段AB的垂直平分线上。
在△ABD和△BAC中,∵AB=BA,AD=BC,AC=BD,
∴△ABD≌△BAC(SSS)。∴∠DBA=∠CAB。∴OA=OB。
∴点O在线段AB的垂直平分线上。
∴直线EM是线段AB的垂直平分线。
(2)相等。理由如下:
∵CD∥AB,∴△EDN∽△EAM,△ENC∽△EMB,△EDC∽△EAB。
∴。∴。∴。
∵CD∥AB,∴△OND∽△OMB,△ONC∽△OMA,△OCD∽△OAB。
∴。∴。∴。
∴。∴AM2=BM2。∴AM=BM。
(3)作图如下:
作法:① 连接AC,BD,两线相交于点O1;
② 在梯形ABCD外DC上方任取一点E,连接EA,EB,分别交DC于点G,H;
③ 连接BG,AH,两线相交于点O2;
④ 作直线EO2,交AB于点M;
⑤ 作直线MO1。
则直线MO1。就是矩形ABCD的一条对称轴。
【考点】平行的性质,全等、相似三角形的判定和性质,等腰三角形的判定,线段垂直平分线的判定,复杂作图。
【分析】(1)一方面由已知可得点E在线段AB的垂直平分线上;另一方面可由SSS证明△ABD≌△BAC,从而得∠DBA=∠CAB,因此OA=OB,得出点O在线段AB的垂直平分线上。从而直线EM是线段AB的垂直平分线。
(2)一方面由CD∥AB,得△EDN∽△EAM,△ENC∽△EMB,△EDC∽△EAB,利用对应边成比例可得;另一方面由CD∥AB,得△OND∽△OMB,△ONC∽△OMA,△OCD∽△OAB,利用对应边成比例可得。从而得到,即可得到AM=BM的结论。
(3)按(2)的结论作图即可。
33. (2012四川泸州9分)如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,C是的弧AD中点,弦CE⊥AB
于点H,连结AD,分别交CE、BC于点P、Q,连结BD。
(1)求证:P是线段AQ的中点;
(2)若⊙O的半径为5,AQ=,求弦CE的长。
【答案】解:(1)证明:∵AB是⊙O的直径,弦CE⊥AB,∴。
又∵C是弧的中点,∴。∴。∴∠ACP=∠CAP。∴PA=PC。
∵AB是直径.∴∠ACB=90°。
∴∠PCQ=90°-∠ACP,∠CQP=90°-∠CAP。∴∠PCQ=∠CQP。∴PC=PQ。
∴PA=PQ,即P是AQ的中点。
(2)∵,∴∠CAQ=∠ABC。
又∵∠ACQ=∠BCQ,∴△CAQ∽△CBA。∴。
又∵AQ=,BA=10,∴。
设AC=3k, BC=4k,则由勾股定理得,,解得k=2。
∴AC=6,BC=8。
根据直角三角形的面积公式,得:AC•BC=AB•CH,∴6×8=10CH。∴CH=。
又∵CH=HE,∴CE=2CH=。
【考点】圆的综合题,圆周角定理。垂径定理,相似三角形的判定和性质,勾股定理。
【分析】(1)首先利用等角对等边证明:∠ACP=∠CAP得到:PA=PC,然再证明PC=PQ,即可得到P是AQ的中点。
(2)首先证明:△CAQ∽△CBA,依据相似三角形的对应边的比相等求得AC、BC
的长度,然后根据直角三角形的面积公式即可求得CH的长,则可以求得CE的长。
34. (2012四川成都10分)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F.切点为G,连接AG交CD于K.
(1)求证:KE=GE;
(2)若=KD·GE,试判断AC与EF的位置关系,并说明理由;
(3) 在(2)的条件下,若sinE=,AK=,求FG的长.
【答案】解:(1)证明:如答图1,连接OG。
∵EG为切线,∴∠KGE+∠OGA=90°。
∵CD⊥AB,∴∠AKH+∠OAG=90°。
又OA=OG,∴∠OGA=∠OAG。
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE。∴KE=GE。
(2)AC∥EF,理由如下:
连接GD,如答图2所示。
∵KG2=KD•GE,∴。
又∵∠KGE=∠GKE,∴△GKD∽△EGK。
∴∠E=∠AGD。
又∵∠C=∠AGD,∴∠E=∠C。∴AC∥EF。
(3)连接OG,OC,如答图3所示。
由(2)∠E=∠ACH,∴sinE=sin∠ACH=。
∴可设AH=3t,则AC=5t,CH=4t。
∵KE=GE,AC∥EF,∴CK=AC=5t。∴HK=CK﹣CH=t。
在Rt△AHK中,根据勾股定理得AH2+HK2=AK2,即(3t)2+t2=()2,解得t=。
设⊙O半径为r,在Rt△OCH中,OC=r,OH=r﹣3t,CH=4t,
由勾股定理得:OH2+CH2=OC2,即(r﹣3t)2+(4t)2=r2,解得r=t=。
∵EF为切线,∴△OGF为直角三角形。
在Rt△OGF中,OG=r=,tan∠OFG=tan∠CAH=,
∴FG=。
【考点】切线的性质,勾股定理,垂径定理,圆周角定理,等腰三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,平行的判定,锐角三角函数定义。
【分析】(1)如答图1,连接OG.根据切线性质及CD⊥AB,可以推出连接∠KGE=∠AKH=∠GKE,根据等角对等边得到KE=GE。
(2)AC与EF平行,理由为:如答图2所示,连接GD,由∠KGE=∠GKE,及KG2=KD•GE,利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似,又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD,可推知∠E=∠C,从而得到AC∥EF。
(3)如答图3所示,连接OG,OC.首先求出圆的半径,根据勾股定理与垂径定理可以求解;然后在Rt△OGF中,解直角三角形即可求得FG的长度。
35. (2012广西钦州10分)如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,直线EF经过点C,AD⊥EF于点D,∠DAC=∠BAC.
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(2)求证:AC2=AD•AB;
(3)若⊙O的半径为2,∠ACD=30°,求图中阴影部分的面积.
【答案】解:(1)证明:连接OC,
∵OA=OC,∴∠BAC=∠OCA。
∵∠DAC=∠BAC,∴∠OCA=∠DAC。∴OC∥AD。
∵AD⊥EF,∴OC⊥EF。
∵OC为半径,∴EF是⊙O的切线。
(2)证明:∵AB为⊙O直径,AD⊥EF,
∴∠BCA=∠ADC=90°。
∵∠DAC=∠BAC,∴△ACB∽△ADC。
∴。∴AC2=AD•AB。
(3)∵∠ACD=30°,∠OCD=90°,∴∠OCA=60°.
∵OC=OA,∴△OAC是等边三角形。∴AC=OA=OC=2,∠AOC=60°。
∵在Rt△ACD中,AD=AC=1。
由勾股定理得:DC=,
∴阴影部分的面积是S=S梯形OCDA﹣S扇形OCA=×(2+1)×﹣。
【考点】圆的综合题,等腰(边)三角形的判定和性质,平行的判定和性质,切线的判定,圆周角定理,相似三角形的判定和性质,解直角三角形,扇形面积。
【分析】(1)连接OC,根据OA=OC推出∠BAC=∠OCA=∠DAC,推出OC∥AD,得出OC⊥EF,根据切线的判定推出即可。
(2)证△ADC∽△ACB,得出比例式,即可推出答案。
(3)求出等边三角形OAC,求出AC、∠AOC,在Rt△ACD中,求出AD、CD,求出梯形OCDA和扇形OCA的面积,相减即可得出答案。
36. (2012广西贵港11分)如图,Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F,且
∠ACB=90°,AB=5,BC=3。点P在射线AC上运动,过点P作PH⊥AB,垂足为H。
(1)直接写出线段AC、AD以及⊙O半径的长;
(2)设PH=x,PC=y,求y关于x的函数关系式;
(3)当PH与⊙O相切时,求相应的y值。
【答案】解:(1)AC=4;AD=3,⊙O半径的长为1。
(2)在Rt△ABC中,AB=5,AC=4,则BC=3。
∵∠C=90°,PH⊥AB,∴∠C=∠PHA=90°。
∵∠A=∠A, ∴△AHP∽△ACB。∴,即。
∴,即y与x的函数关系式是。
(3)如图,P′H′与⊙O相切于点M,连接OD,OE,OF,OM。
∵∠OMH′=∠MH′D=∠H′DO=90°,OM=OD,
∴四边形OMH′D是正方形。∴MH′=OM=1。
∵CE、CF是⊙O的切线,∠ACB=90°,
∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°,CF=CE。
∴四边形CEOF是正方形,CF=OF=1。
∴P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C,即x=y。
又由(2)知,,∴,解得。
【考点】圆的综合题,圆的切线性质,勾股定理,正方形的判定和性质,相似三角形的判定和性质。
【分析】(1)连接AO、DO,EO,FO,设⊙O的半径为r,
在Rt△ABC中,由勾股定理得AC=,
∴⊙O的半径r=(AC+BC-AB)=(4+3-5)=1。
∵CE、CF是⊙O的切线,∠ACB=90°,
∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°,CF=CE。∴四边形CEOF是正方形。∴CF=OF=1。
又∵AD、AF是⊙O的切线,∴AF=AD。∴AF=AC-CF=AC-OF=4-1=3,即AD=3。
(2)通过相似三角形△AHP∽△ACB的对应边成比例知, ,将“PH=x,PC=y”代入求出即可求得y关于x的函数关系式。
(3)根据圆的切线定理证得四边形OMH′D、四边形CFOE为正方形;然后利用正方形的性质、圆的切线定理推知P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C,即x=y;最后将其代入(2)中的函数关系式即可求得y值。
37. (2012贵州安顺12分)如图,在⊙O中,直径AB与弦CD相交于点P,∠CAB=40°,∠APD=65°.
(1)求∠B的大小;
(2)已知AD=6,求圆心O到BD的距离.
【答案】解:(1)∵∠APD=∠C+∠CAB,∠CAB=40°,∠APD=65°,
∴∠C=65°﹣40°=25°。
∴∠B=∠C=25°。
(2)过点O作OE⊥BD于E,则DE=BE,
又∵AO=BO,∴OE=AD=×6=3。
∴圆心O到BD的距离为3。
【考点】圆周角定理,三角形外角性质,垂径定理,三角形中位线定理。
【分析】(1)根据圆周定理以及三角形外角求出即可。
(2)利用三角形中位线定理得出OE= AD,即可得出答案。
38. 2012云南省7分)如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M,与BD相交于点N,连接BM,DN.
(1)求证:四边形BMDN是菱形;
(2)若AB=4,AD=8,求MD的长.
【答案】解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC。∴∠BNO=∠DMO,∠NBO=∠MDO。
∵MN是BD的中垂线,∴OB=OD,BD⊥MN。
∴△BNO≌△DMO(AAS)。∴ON=OM。
∴四边形BMDN的对角线互相平分。∴四边形BMDN是平行四边形。
∵BD⊥MN,∴平行四边形BMDN是菱形。
(2)∵四边形BMDN是菱形,∴MB=MD。
设MD长为x,则MB=DM=x,AM=8-x。
∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=900。
在Rt△AMB中,BM2=AM2+AB2,即x2=(8-x)2+42,解得:x=5。
答:MD长为5。
【考点】矩形的性质,线段垂直平分线的性质,平行四边形的性质,菱形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理。
【分析】(1)根据矩形性质求出AD∥BC,根据OB=OD和AD∥BC推出△BNO≌△DMO ,OM=ON,得出平行四边形BMDN,推出菱形BMDN。
(2)根据菱形性质求出DM=BM,在Rt△AMB中,根据勾股定理得出BM2=AM2+AB2,推出
x2=x2-16x+64+16,求出即可。
39. (2012山东淄博9分)在矩形ABCD中,BC=4,BG与对角线AC垂直且分别交AC,AD及射线CD于点E,F,G,AB=x.
(1)当点G与点D重合时,求x的值;
(2)当点F为AD中点时,求x的值及∠ECF的正弦值.
【答案】解:(1)当点G与点D重合时,点F也与点D重合。
∵矩形ABCD中,AC⊥BD,∴四边形ABCD是正方形。
∵BC=4,∴x= AB= BC=4。
(2)∵点F为AD中点,BC=4,∴AF=2。
∵矩形ABCD中,AD∥BC,∴△AEF∽△BEB。∴。
∴。∴。
∵矩形ABCD中,∠ABC=∠BAF=900,
∴在Rt△ABC和Rt△BAF中由勾股定理得,
即。
两式相加,得。
又∵AC⊥BG,∴在Rt△ABE中,。
∴,解得(已舍去负值)。
∴。
∴在Rt△CEF中由勾股定理得。
∴。∴。
【考点】
矩形的性质,正方形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,锐角三角函数定义。
【分析】(1)由点G与点D重合得出四边形ABCD是正方形即可求得x的值。
(2)由点F为AD中点和矩形的性质,得△AEF∽△BEB,从而得。在Rt△ABC、 Rt△BAF和Rt△ABE应用勾股定理即可求得x的值。在Rt△CEF中应用勾股定理求得CF,根据锐角三角函数定义即可求得∠ECF的正弦值。