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- 2021-05-13 发布
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2015 年四川泸州中考数学真题卷
第Ⅰ卷
一、选择题网]
1. 的绝对值为( )
A. 7 B. C. D.
【考查内容】绝对值.
【答案】A
【解析】根据当 a 是负有理数时,a 的绝对值是它的相反数 a 可得答案.
7 的绝对值等于 7.
2. 计算 的结果为 ( )
A . B. C. D.
【考查内容】幂的乘方与积的乘方.
【答案】C
【解析】根据幂的乘方,即可解答. .
3. 如左下图所示的几何体的左视图是( )
【考查内容】简单几何体的三视图.
【答案】C
【解析】根据左视图是从物体左面看,所得到的图形,通过观查几何体可以得到答案,从几
何体的左面看是一个矩形,∴几何体的左视图是矩形.
4. 截止到 2014 年底,泸州市中心城区人口约为 1120000 人,将 1120000 用科学记数法表示
为( )
A. B.
C. D.
【考查内容】科学记数法—表示较大的数.
【答案】B
【解析】将 1120000 用科学记数法表示为:1.12×106.
5. 如图,AB∥CD,CB 平分∠ABD,若∠C=40°,则∠D 的度数为( )
第 5 题图
A. 90° B. 100° C. 110° D. 120°
【考查内容】平行线的性质.
【答案】B
7−
1
7
1
7
− 7−
−
−
2 3( )a
4a 5a 6a 9a
2 3 2 3 6( )a a a×= =
51.12 10× 61.12 10×
71.12 10× 81.12 10×
【解析】∵AB∥CD,∠C=40°,
∴∠ABC=40°,
∵CB 平分∠ABD,
∴∠ABD=80°,
∴∠D=100°,
6. 菱形具有而平行四边形不具有的性质是( )
A.两组对边分别平行 B.两组对角分别相等
C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直
【考查内容】菱形的性质;平行四边形的性质.
【答案】D[
【解析】根据菱形的特殊性质可知对角线互相垂直.
A、不正确,两组对边分别平行;
B、不正确,两组对角分别相等,两者均有此性质正确,;
C、不正确,对角线互相平分,两者均具有此性质;
D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质.x
m]
7. 某校男子足球队的年龄分布情况如下表:
年龄(岁) 13 14 15 16 17 18
人数 2 6 8 3 2 1
则这些队员年龄的众数和中位数分别是( )
A. 15,15 B. 15,14 C.16,15 D.14,15
【考查内容】众数;中位数.
【答案】A
【解析】根据图表数据,同一年龄人数最多的是 15 岁,共 8 人,所以众数是 15;
22 名队员中,按照年龄从小到大排列,第 11 名队员与第 12 名队员的年龄都是 15 岁,
所以,中位数是(15+15)÷2=15.
8. 如图,PA、PB 分别与⊙O 相切于 A、B 两点,若∠C=65°,则∠P 的度数为( )
第 8 题
A. 65° B. 130° C. 50° D. 100°
【考查内容】切线的性质.
【答案】C
【解析】∵PA、PB 是⊙O 的切线,
∴OA⊥AP,OB⊥BP,
∴∠OAP=∠OBP=90°,
又∵∠AOB=2∠C=130°,
则∠P=360°-(90°+90°+130°)=50°.
9. 若二次函数 的图象经过点(2,0),且其对称轴为 ,则使
函数值 成立的 的取值范围是( )
A. 或 B. ≤ ≤
C. ≤ 或 ≥ D.
2 ( 0)y ax bx c a= + + < 1x = −
0y > x
4x < − 2x > 4− x 2
x 4− x 2 4 2x− < <
【考查内容】二次函数与不等式(组).
【答案】D
【解析】∵二次函数 y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(2,0),且其对称轴为 x= 1,
∴二次函数的图象与 x 轴另一个交点为( 4,0),
∵a<0,
∴抛物线开口向下,则使函数值 y>0 成立的 x 的取值范围是 4<x<2.
10. 若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根,则一次函数
的大致图象可能是( )
【考查内容】根的判别式;一次函数的图象.
【答案】B
【解析】解:∵x2-2x+kb+1=0 有两个不相等的实数根,
∴ =4-4(kb+1)>0,
解得 kb<0,
A.k>0,b>0,即 kb>0,故 A 不正确;
B.k>0,b<0,即 kb<0,故 B 正确;
C.k<0,b<0,即 kb>0,故 C 不正确;
D.k>0,b=0,即 kb=0,故 D 不正确;
11. 如图,在△ABC 中,AB=AC,BC=24,tanC=2,如果将△ABC 沿直线 翻折后,
点 B 落在边 AC 的中点 E 处,直线 与边 BC 交于点 D,那么 BD 的长为( )
A.13 B. C. D.12
第 11 题
【考查内容】翻折变换(折叠问题).
【答案】A
【解析】过点 A 作 AG⊥BC 于点 G,
∵AB=AC,BC=24,tanC=2,
∴ =2,GC=BG=12,
∴AG=24,
∵将△ABC 沿直线 l 翻折后,点 B 落在边 AC 的中点处,
过 E 点作 EF⊥BC 于点 F,
−
−
−
x 2 2 1 0x x kb− + + =
y kx b= +
∆
l
l
15
2
27
2
AG
GC
∴EF= AG=12,
∴ =2,
∴FC=6,
设 BD=x,则 DE=x,
∴DF=24 x 6=18 x,
∴x2=(18 x)2+122,
解得:x=13,
则 BD=13.
第 11 题
12. 在平面直角坐标系中,点 A ,B ,动点 C 在 轴上,若以 A、B、
C 三点为顶点的三角形是等腰三角形,则点 C 的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【考查内容】等腰三角形 的判定;坐标与图形性质.
【答案】B
【解析】如图,
第 12 题
∵AB 所在的直线是 y=x,
∴设 AB 的中垂线所在的直线是 y= x+b,
∵点 A( , ),B(3 ,3 ),
∴AB 的中点坐标是(2 ,2 ),
把 x=2 ,y=2 代入 y= x+b,
解得 b=4 ,
1
2
EF
FC
− − −
−
( 2, 2) (3 2,3 2) x
−
2 2 2 2
2 2
2 2 −
2
∴AB 的中垂线所在的直线是 y= x+4 ,
∴ ;
以点 A 为圆心,以 AB 的长为半径画弧,与 x 轴的交点为点 C2、C3;
AB= =4,
∵ >4,
∴以点 B 为圆心,以 AB 的长为半径画弧,与 x 轴没有交点.
综上,可得:若以 A、B、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形,则点 C 的个数为 3.
[来源:Z#xx#k.Com]
第Ⅱ卷 (非选择题 共 84 分)
注意事项:用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目上对应题号位置作答,在试卷上作答
无效.
二、填空题
13. 分解因式: .
【考查内容】提公因式法与公式法的综合运用.
【答案】2(m+1)(m-1)
【解析】2m2-2,
=2(m2-1),
=2(m+1)(m-1).
14. 用一个圆心角为 120°,半径为 6 的扇形作一个圆锥的侧面,这个圆锥的底面圆的半径
是 .
【考查内容】圆锥的计算.
【答案】2
【解析】解:扇形的弧长= =4π,∴圆锥的底面半径为 4π÷2π=2.故答案为:2.
15. 设 、 是一元二次方程 的两实数根,则 的值为 .
【考查内容】根与系数的关系.
【答案】27
【解析】∵ 是一元二次方程 的两实数根,∴ ,∴
=25+2=27,故答案为 27.
16. 如图,在矩形 ABCD 中, ,∠ADC 的平分线交边 BC 于点 E,AH⊥DE
于点 H,连接 CH 并延长交边 AB 于点 F,连接 AE 交 CF 于点 O,给出下列命题:
− 2
1(4 2,0)C
2 23 2 2 (3 2 2)+( - ) -
3 2
22 2m − =
120π 6
180
×
1x 2x 2 5 1 0x x− − = 2 2
1 2x x+
1 2x x、 2 5 1 0x x− − = 1 2 1 25 1x x x x+ = =,
( )22 2
1 2 1 2 1 22x x x x x x+ = + -
2BC AB=
第 16 题
①∠AEB=∠AEH ②DH=
③ ④
其中正确命题的序号是 (填上所有正确命题的序号).
【考查内容】相似三角形的判定与性质;角平分线的性质
【解析】在矩形 ABCD 中,AD=BC= AB= ,
∵DE 平分∠ADC,
∴∠ADE=∠CDE=45°,
∵AD⊥DE,
∴△ADH 是等腰直角三角形,
∴AD= AB,
∴AH=AB=CD,
∵△DEC 是等腰直角三角形,
∴DE= CD,
∴AD=DE,
∴∠AED=67.5°,
∴∠AEB=180°-45°-67.5°=67.5°,
∴∠AED=∠AEB,
故①正确;
设 DH=1,
则 AH=DH=1,AD=DE= ,
∴HE= ,
∴2 HE=2 ( )≠1,
故②错误;
∵∠AEH=67.5°,
∴∠EAH=22.5°,
∵DH=CH,∠EDC=45°,
∴∠DHC=67.5°,
∴∠OHA=22.5°,
∴∠OAH=∠OHA,
∴OA=OH,
2 2EH
1
2HO AE= 2BC BF EH− =
2 2CD
2
2
2
2 1−
2 2 2 1−
∴∠AEH=∠OHE=67.5°,
∴OH=OE,
∴OH= AE,
故③正确;
∵AH=DH,CD=CE,
在△AFH 与△CHE 中,
,
∴△AFH≌△CHE,
∴AF=EH,
在△ABE 与△AHE 中,
,
∴△ABE≌△AHE,
∴BE=EH,
∴BC-BF=(BE+CE) (AB+AF)=(CD+EH) (CD EH)=2EH,
故④错误,故答案为:①③.
三、17.计算: .
【考查内容】实数的运算;特殊角的三角函数值..
【解】原式=2 × 1+ = .
18. 如图,AC=AE,∠1=∠2,AB=AD. 求证:BC=DE.
第 18 题
【考查内容】全等三角形的判定与性质.
【解】证明:∵∠1=∠2,
∴∠CAB=∠DAE,
在△BAC 和△DAE 中, ,
∴△BAC≌△DAE(SAS),
∴BC=DE.
1
2
22.5
45
AHF HCE
FAH HEC
AH CE
∠ = ∠ =
∠ = ∠ =
=
AB AH
BEA HEA
AE AE
=
∠ = ∠
=
− − −
0 18 sin 45 2015 2−× − +
2 2
2
− 1
2
3
2
AC AE
CAB DAE
AB AD
=
∠ = ∠
=
19. 化简:
【考查内容】分式的混合运算.
【解】原式=
四、
20. 小军同学在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的小区 450 户居民的生活用水
情况,他从中随机调查了 50 户居民的月均用水量(单位:t),并绘制了样本的频数分布表和
频数分布直方图(如图).
第 20 题
(1)请根据题中已有的信息补全频数分布表和频数分布直方图;
(2)如果家庭月均用水量“大于或等于 4t 且小于 7t”为中等用水量家庭,请你通过样本估计
总体中的中等用水量家庭大约有多少户?
(3)从月均用水量在 , 这两个范围内的样本家庭中任意抽取 2 个,求抽
取出的 2 个家庭来自不同范围的概率.
【考查内容】频数(率)分布直方图;用样本估计总体;频数(率)分布表;列表法与树状
图法.
【解】(1)调查的总数是:2÷4%=50(户),
则 部分调查的户数是:50×12%=6(户),
则 的户数是:50 2 12 10 6 3 2=15(户),所占的百分比是:
×100%=30%.
第 20 题
月均用水量
(单位:t)
频数 百分比
2 4 %
12 24%
10 20%
12%
3 6%
2 4%
2
2
1(1 )2 1 1
m
m m m
÷ −+ + +
2 2
2 2
1 1 1
( 1) 1 ( 1) 1
m m m m m
m m m m m
+ − +÷ = ⋅ =+ + + +
2 3x <≤ 8 9x <≤
6 7x <≤
4 5x <≤ − − − − − − 15
50
2 3x <≤
3 4x <≤
4 5x <≤
5 6x <≤
6 7x <≤
7 8x <≤
8 9x <≤
月均用水量(单位:t)频
数
百分
比
2 4%
12 24%
15 30%
10 20%
6 12%
3 6%
2 4%
(2)中等用水量家庭大约有 450×(30%+20%+12%)=279(户);
(3)在 范围的两户用 a、b 表示, 这两个范围内的两户用 1,2 表示.
第 20 题
则抽取出的 2 个家庭来自不同范围的概率是:
21. 某小区为了绿化环境,计划分两次购进 A、B 两种花草,第一次分别购进 A、B 两种花
草 30 棵和 15 棵, 共花费 675 元;第二次分别购进 A、B 两种花草 12 棵和 5 棵.两次共花费
940 元(两次购进的 A、B 两种花草价格均分别相同).
(1)A、B 两种花草每棵的价格分别是多少元?
(2)若购买 A、B 两种花草共 31 棵,且 B 种花草的数量少于 A 种花草的数量的 2 倍,请你
给出一种费用最省的方案,并求出该方案所需费用.
【考查内容】一元一次不等式的应用;二元一次方程组的应用.
【解】(1)设 A 种花草每棵的价格 x 元,B 种花草每棵的价格 y 元,根据题意得:
,解得: ,
∴A 种花草每棵的价格是 20 元,B 种花草每棵的价格是 5 元.
(2)设 A 种花草的数量为 m 株,则 B 种花草的数量为(31 m )株,
∵B 种花草的数量少于 A 种花草的数量的 2 倍,
∴31 m<2m,
解得:m> ,
∵m 是正整数,
∴m 最小值=11,
设购买树苗总费用为 W=20m+5(31 m)=15m+155,
∵k>0,
∴W 随 x 的减小而减小,
当 m=11 时,W 最小值=15×11+155=320(元).
答:购进 A 种花草的数量为 11 株、B 种 20 株,费用最省;最省费用是 320 元.
2 3x <≤
3 4x <≤
4 5x <≤
5 6x <≤
6 7x <≤
7 8x <≤
8 9x <≤
2 3x <≤ 8 9x <≤
8 2=12 3
30 15 675
12 5 940 675
x y
x y
+ =
+ = −
20
5
x
y
=
=
−
−
31
3
−
22. 如图,海中一小岛上有一个观测点 A,某天上午 9:00 观测到某渔船在观测点 A 的西南
方向上的 B 处跟踪鱼群由南向北匀速航行.当天上午 9:30 观测到该渔船在观测点 A 的北偏
西 60°方向上的 C 处.若该渔船的速度为每小时 30 海里,在此航行过程中,问该渔船从 B 处
开始航行多少小时,离观测点 A 的距离最近?(计算结果用根号表示,不取近似值).
第 22 题
【考查内容】解直角三角形的应用--方向角问题.
【解】过点 A 作 AP⊥BC,垂足为 P,设 AP=x 海里.
在 Rt△APC 中,∵∠APC=90°,∠PAC=30°,
∴tan∠PAC= ,
∴CP=AP tan∠PAC= x.
在 Rt△APB 中,∵∠APB=90°,∠PAB=45°,
∴BP=AP=x.
∵PC+BP=B C=30× ,
∴ x +x=15,解得 x= ,
∴PB= x= ,
∴航行时间: ÷30= (小时).
答:该渔船从 B 处开始航行 小时,离观测点 A 的距离最近.
第 22 题
CP
AP
⋅ 3
3
1
2
3
3
15 3 3
2
−
15 3 3
2
−
15 3 3
2
− 3 3
4
−
3 3
4
−
23. 如图,一次函数 的图象经过点 C(3,0),且与两坐标轴围成的三角形
的面积为 3.
第 23 题
(1)求该一次函数的解析式;
(2)若反比例函数 的图象与该一次函数的
图象交于二、四象限内的 A、B 两点,且 AC=2BC,
求 的值.
【考查内容】反比例函数与一次函数的交点问题.
【解】∵一次函数 的图象经过点 C(3,0),
∴3k+b=0①,点 C 到 y 轴的距离是 3,
∵k<0,
∴b>0,
∵一次函数 的图象与 y 轴的交点是(0,b),
∴ ×3×b=3,
解得:b=2.
把 b=2 代入①,解得:k= ,则函数的解析式是 y= x+2.
故这个函数的解析式为 y= x+2;
(2)如图,作 AD⊥x 轴于点 D,BE⊥x 轴于点 E,则 AD∥BE.
∵AD∥BE,
∴△ACD∽△BCE,
∴ =2,
∴AD=2BE.
设 B 点纵坐标为 n,则 A 点纵坐标为 2n.
∵直线 AB 的解析式为 y= x+2,
∴A(3 3n,2n),B(3+ n, n),
∵反比例函数 y= 的图象经过 A、B 两点,
( 0)y kx b k= + <
my x
=
m
( 0)y kx b k= + <
( 0)y kx b k= + <
1
2
− 2
3
− 2
3
− 2
3
AD AC
BE BC
=
−
− 2
3
− 3
2
−
π
x
∴(3 3n) 2n=(3+ n) ( n),
解得 =2, =0(不合题意舍去),
∴m=(3 3n) 2n= 3×4= 12.
第 23 题
六、(每小题 12 分,共 24 分)
24. 如图,△ABC 内接于⊙O,AB=AC,BD 为⊙O 的弦 ,且 AB∥CD,过点 A 作⊙O 的切
线 AE 与 DC 的延长线交于点 E,AD 与 BC 交于点 F.
第 24 题
(1)求证:四边形 ABCE 是平行四边形;
(2)若 AE=6,CD=5,求 OF 的长.
【考查内容】切线的性质;平行四边形的判定.
【解】(1)证明:∵AE 与⊙O 相切于点 A,
∴∠EAC=∠ABC,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴∠EAC=∠ACB,
∴AE∥BC,
∵AB∥CD,
∴四边形 ABCE 是平行四边形;
(2)解:如图,连接 AO,交 BC 于点 H,双向延长 OF 分别交 AB,CD 与点 N,M,
∵AE 是⊙O 的切线,
由切割线定理得,AE2=EC DE,
∵AE=6,CD=5,
∴62=CE(CE+5),解得:CE=4,(已舍去负数),
由圆的对称性,知四边形 ABDC 是等腰梯形,且 AB=AC=BD=CE=4,
又根据对称性和垂径定理,得 AO 垂直平分 BC,MN 垂直平分 AB,DC,[来源:Zxxk.Com]
设 OF=x,OH=y,FH=z,
∵AB=4,BC=6,CD=5,
∴BF= BC-FH=3 z,DF=CF= BC +FH=3+z,
− ⋅ 3
2
⋅ −
1n 2n
− ⋅ − −
⋅
1
2
− 1
2
易得△OFH∽△DMF∽△BFN,
∴ , ,
即 ,①
②,
①+②得: ,
①÷②得: ,
解得 ,
∵x2=y2+z2,
∴ ,
∴x= ,
∴OF= .
第 24 题
25. 如图,已知二次函数的图象 M 经过 A( 1,0), B(4,0),C(2, 6)三点.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)点 G 是线段 AC 上的动点(点 G 与线段 AC 的端点不重合),若△ABG 与△ABC 相似,
求点 G 的坐标;
( 3) 设 图 象 M 的 对 称 轴 为 , 点 是 图 象 M 上 一 动 点 , 当
△ACD 的面积为 时,点 D 关于 的对称点为 E,能否在图象 M 和 上分别找到
DF DM
OF OH
= BF BN
OF OH
=
5
3 2z
x y
+ =
3
2
z y
x
− =
6 9
2x y
=
3 5
3 4
z
z
+ =−
3
4
1
3
y x
z
=
=
2 29 1
16 9x x= +
4 17
21
4 17
21
− −
l ( , )D m n ( 1 2)m− < <
27
8 l l
点 P、Q,使得以点 D、E、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形.若能,求出点 P
的坐标;若不能,请说明理由.
第 25 题
【考查内容】二次函数综合题..
【解】
(1)∵二次函数的图象 M 经过 A( 1,0),B(4,0)两点,
∴可设二次函数的解析式为 y=a(x+1)(x 4).
∵二次函数的图象 M 经过 C(2, 6)点,
∴ 6=a(2+1)(2 4),解得 a=1.
∴二次函数的解析式为 y=(x+1)(x 4),即 y=x2 3x 4.
(2)设直线 AC 的解析式为 y=sx+t,把 A、C 坐标代入可得 ,
∴线段 AC 的解析式为 y= 2x 2,
设点 G 的坐标为(k, 2k 2).
∵G 与 C 点不重合,
∴△ABG 与△ABC 相似只有△AGB∽△ABC 一种情况.
∴ .
∵AB=5,AC= ,
AG= ,
∴
∴|k+1|=
∴k= 或 k= (舍去),
∴点 G 的坐标为( , ).
(3)能.理由如下:
−
−
−
− −
− − −
0 2
6 2 2
s t s
s t t
= − + = −
− = + = −
解得
− −
− −
AG AB
AB AC
=
2 2[2 ( 1)] ( 6 0) 3 5− − + − − =
2 2( 1) ( 2 2) 5 1k k k+ + − − = +
5 1 5
5 3 5
k + =
5
3
2
3
− 8
3
2
3
− 10
3
如图,过 D 点作 x 轴的垂线交 AC 于点 H,
第 25 题
∵D(m,n)( 1<m<2),
∴H(m, 2m 2).
∵点 D(m,n)在图象 M 上,
∴D(m,m2 3m 4).
∵△ACD 的面积为 ,
∴ [ 2m 2 (m2 3m 4)][(m+1)+(2 m)]= ,即 4m2 4m+1=0,
解得 m= .
∴D( , ).
∵y=x2 3x 4=(x )2 ,
∴图象 M 的对称轴 l 为 x= .
∵点 D 关于 l 的对称点为 E,
∴E( , ),
∴DE= =2,
若以点 D、E、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形,则 PQ∥DE 且 PQ=DE=2.
∴点 P 的 横坐标为 +2= 或 2= ,
∴点 P 的纵坐标为 = ,
∴点 P 的坐标为( , )或( , ).
−
− −
− −
27
8
1
2
− − − − − − 27
8
−
1
2
1
2
− 21
4
− − − 3
2
− 25
4
3
2
5
2
− 21
4
5
2
1
2
−
3
2
7
2
3
2
− 1
2
−
27 3
2 2
( - ) − 25
4
− 9
4
7
2
− 9
4
1
2
− − 9
4