• 365.50 KB
  • 2021-05-13 发布

中考数学考前冲刺最后一讲开放型问题解题指导

  • 19页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
‎ 2010中考数学考前冲刺最后一讲------开放型问题解题指导 2010-6-11‎ 一、课标下复习指南 传统的解答题和证明题,其条件和结论都是由题目明确给出的,我们的工作就是由因导果或执果索因.而探究性问题一般没有明确的条件或结论,没有固定的形式和方法,要求我们认真收集和处理问题的信息,通过观察、分析、综合、归纳、概括、猜想和论证等深层次的探索活动,认真研究才能得到问题的解答.开放性、操作性、探索性和综合性是探究性问题的明显特征.这类题目形式新颖,格调清新,涉及的基础知识和基本技能十分广泛,解题过程中有较多的创造性和探索性,解答方法灵活多变,既需要扎实的基础知识和基本技能,具备一定的数学能力,又需要思维的创造性和具有良好的个性品质.‎ 二、例题分析 ‎1.探究规律 对于探究规律的问题,需要认真审题,对题目提供的素材要进行观察、分析、综合,既要从素材的单个元素(如某个式子、图形)的各部分观察其相互关系,也要从素材的一系列元素(如一系列的式子、图形)之间观察其运动变化规律(如什么变化了,什么没有变等等).其中更多地用到归纳与类比的方法,把具体与抽象、静止与运动结合起来,先猜想出结论,然后再从理论上加以证明.‎ 例1 观察下列各式:,…想一想,什么样的两数之积等于这两数之和?设n表示正整数,用关于n的等式表示这个规律.‎ 分析 所给各式中的两个数中,一个是分数,一个是整数,且分数的分子比分母大1,分子与整数相等,因此得到规律:‎ ‎(n为正整数)‎ 这个规律是否正确呢?可将等式左右两边分别化简,即能得出结论.请同学们自己完成.‎ 说明 对于“数字规律”的观察,要善于发现其中的变量与不变量,以及变量与项数之间的关系,将规律用代数式表示出来.‎ 对于所猜规律是否正确要有检验的意识,如在本题中把规律表示成 ‎(n为正整数)就是错误的,这是由于n=1时,用上式表示的等式不符合已知中的第一项“1”这种情形.‎ 例2 一根绳子,弯曲成如图27-1(a)所示的形状,当用剪刀像图(b)那样沿虚线a把绳子剪断时,绳子被剪为5段;当用剪刀像图(c)那样沿虚线b(b∥a)把绳子再剪一次时,绳子被剪为9段,当用剪刀在虚线a,b之间把绳子再剪(n-2)次(剪刀的方向与a平行),这样一共剪n次时,绳子的段数是____________ (用含n的代数式表示).‎ 图27-1‎ 分析 首先,在剪0次时,有1段绳子;其次,每剪一次,绳子上多出4个断口,即绳子的段数增加4段,剪n次之后绳子的段数多出4n段.‎ 解答 4n+1(n为正整数).‎ 说明 “图形规律”的探索问题,考查对图形的观察能力,以及将数学图形转化为数学语言的能力,并将其表达为数学规律的能力.‎ 例3 如图27-2,△ABC面积为1,第一次操作,分别延长AB,BC,CA至点A1,B1,C1,使得A1B=AB,B1C=BC,C1A=CA,顺次连接A1B1,B1C1,C1A1,得到△A1B1C1.‎ 图27-2‎ 第二次操作,分别延长A1B1,B1C1,C1A1至点A2,B2,C2,使A2B1=A1B1,B2C1=B1C1,C2A1=C1A1,顺次连接A2B2,B2C2,C2A2,得到△A2B2C2,…;按此规律,要使得到三角形的面积超过2006,最少需经过______次操作.‎ 分析 连接A1C,可以发现△A1BB1的面积是ABC面积的2倍;同理△B1CB1的面积、△A1AC1的面积都是△ABC面积的2倍;所以△A1B1C1的面积是△ABC面积的7倍;按此规律△A2B2C2的面积是△A1B1C1面积的7倍.‎ 解 4.‎ 说明 本题是“操作规律”探索问题,这类问题的难点在于有一种趋向于无穷的状态,使得学生产生畏难情绪,所以首先要克服这种心理状态,其次要在抓好始状态下的数理关系上下功夫,从中挖掘并找到规律.‎ ‎2.探究条件 探求条件型问题是指问题中结论明确,而需要完备使结论成立的条件的一类题目.解答探求条件型问题的思路是,从所给结论出发,谖想出合乎要求的一些条件,逐一列出,并进行逻辑证明,从而寻找出满足结论的条件.‎ 例4 如图27-3,四边形ABCD是矩形,O是它的中心,E,F是对角线AC上的点.‎ 图27-3‎ ‎(1)若__________________________________________________,则△DEC≌△BFA ‎(请你填上能使结论成立的一个条件);‎ ‎(2)证明你的结论.‎ 解 (1)AE=CF;(OE=OF;DE⊥AC,BF⊥AC;DE∥BF等等)‎ ‎(2)以AE=CF为例.∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,AB∥CD,∠DCE=∠BAF.‎ 又∵AE=CF.∴AC-AE=AC-CF.∴AF=CE,∴△DEC≌△BAF.‎ 说明 这是一道探索条件、补充条件的开放型试题,解决这类问题的一般方法是:从结论出发,执果寻因,逆向推理,探寻出使结论成立的条件;有时也采取把可能产生结论的条件一一列出,逐个分析考察.‎ 例5 在平面直角坐标系中,等腰三角形ABC的顶点A的坐标为(2,2).‎ ‎(1)若底边BC在x蚰上,请写出一组满足条件的点B,点C的坐标:____________;设点B,点C的坐标分别为(m,0),(n,0),你认为m,n应满足怎样的条件?‎ ‎(2)若底边BC的两个端嬴分别在x轴,y轴上,请写出一组满足条件的点B,点C的坐标:________________________;设点B,点C的坐标分别为(m,0),(0,n),你认为m,n应满足怎样的条件?‎ 分析 可以通过等腰三角形的作法来探求符合题意的条件:由于AB=AC,故点B和点C在以A为圆心的同一个圆上.(1)如图27-4(a),作AE⊥x轴于E,以大于AE的长度为半径画弧,与x轴的交点即为符合题意的点B和点C.易知E(2,0)为线段BC的中点,故CE=EB,即n-2=2-m;(2)类似于(1)作⊙A,与两条坐标轴分别交于B1,B2,C1,C2,显然当A,B,C三点不共线时这样确定的点B,C均符合题意.‎ 图27-4‎ 解 (1)如:点B(0,0),点C(4,0);m+n=4且m≠n.‎ ‎(2)如:点B(1,0),点C(0,1),或点B(3,0),点C(0,1);m=n,且m,n不为0和4;或m+n=4.‎ 例6 如图27-5,AB,AC分别是⊙O的直径和弦,D为劣弧上一点,DE⊥AB于点H,交⊙O于点E,交AC于点F,P为ED的延长线一点.‎ 图27-5‎ ‎(1)当△PCF满足什么条件时,PC与⊙O相切?为什么?‎ ‎(2)点D在劣弧的什么位置时,才能使AD2=DE·DF?为什么?‎ 分析 (1)连接OC.要使PC与⊙O相切,则只需∠PCO=90°即可.由∠OCA=∠OAC,∠PFC=∠AFH,即可寻找出△PCF所要满足的条件;(2)要使AD2=DE·DF,即,也就是要使△DAF∽△DEA,这样问题就较容易解决了.‎ 解 (1)当PC=PF(或∠PCF=∠PFC,或△PCF是等边三角形)时,PC与⊙O相切.证明:连接OC.∵PC=PF,∴∠PCF=∠PFC.‎ ‎∴∠PCO=∠PCF+∠OCA=∠PFC+∠OAC=∠AFH+∠AHF=90°.‎ ‎∴PC与⊙O相切.‎ ‎(2)当点D是的中点时,AD2=DE·DF.‎ 连接AE,∵=,∴∠DAF=∠DEA.‎ 又∴∠ADF=∠EDA.∴△DAF∽△DEA.‎ ‎,∴AD2=DE·DF.‎ 说明 本题是探索条件开放题,在解决这类问题时,我们常从要获得的结论出发来探求该结论成立的条件.如第(1)小题中,若要PC与⊙O相切,则我们需要怎样的条件;第(2)小题也是如此.‎ ‎3.探究结论 探求结论型问题是指由给定的已知条件探求相应的结论的一类问题.比如结论开放,不确定或不唯一,需要探求多个结论的问题;又如探求条件在一定范围内变化,图形在一定范围内运动,结论的不变性问题;再如探究图形的位置关系,数值的大小关系,猜想新结论等问题.解答这类问题的思路是:从所给条件(包括图形特征)出发,进行探索、归纳,大胆猜想出结论,然后对猜想的结论进行推理、证明.‎ 对于结论开放的探索性问题,答案不唯一.寻找结论的关键是抓住命题的条件及其特点(尤其是利用特殊几何图形的判定和性质),寻找相等关系、特殊图形、两图形的关系等.‎ 例7 已知:如图27-6(a),Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,试以图中标有字母的点为端点,连接两条线段,如果你所连接的两条线段满足相等、垂直或平行关系中的一种,那么请你把它写出来并证明.‎ 图27-6(a)‎ 解 可以写出的结论有:CD=BE,DB∥CE,AF⊥BD,AF⊥CE等.‎ ‎(1)如图27-6(b),连接CD,BE,得CD=BE.‎ 图27-6(b)‎ 证明:∵△ABC≌△ADE,‎ ‎∴AB=AD,AC=AE.‎ 又∠CAB=∠EAD,∴∠CAD=∠EAB.‎ ‎∴△ADC≌△ABE.∴CD=BE.‎ ‎(2)如图27-6(c),连接DB,CE,得DB∥CE.‎ 图27-6(c)‎ 证明:∵△ABC≌△ADE,∴AD=AB.‎ ‎∴∠ADB=∠ABD.‎ ‎∵∠ABC=∠ADE,∴∠BDF=∠FBD.‎ 由AC=AE可得∠ACE=∠AEC.‎ ‎∵∠ACB=∠AED,∴∠FCE=∠FEC.‎ ‎∵∠BDF+∠FBD=∠FCE+∠FEC,‎ ‎∴∠FCE=∠DBF.‎ ‎∴DB∥CE.‎ ‎(3)如图27-6(d),连接DB,AF,得AF⊥BD.‎ 图27-6(d)‎ ‎∵△ABC≌△ADE,‎ ‎∴AD=AB,∠ABC=∠ADE=90°.‎ 又∵AF=AF,∴△ADF≌△ABF.‎ ‎∴∠DAF=∠BAF.∴AF⊥BD.‎ ‎(4)如图27-6(e),连接CE、AF,得AF⊥CE.‎ 图27-6(e)‎ 同(3)得∠DAF=∠BAF.‎ 可得∠CAF=∠EAF.‎ ‎∴AF⊥BD.‎ 例8 已知:在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,⊙O经过A,D,B三点,CB的延长线交⊙O于点E(如图27-7(a)).‎ 在满足上述条件的情况下,当∠CAB 的大小变化时,图形也随着改变(如图(b)),在这个变化过程中,有些线段总保持着相等的关系.‎ ‎(1)观察上述图形,连接图(b)中已标明字母的某两点,得到一条新线段,证明它与线段CE相等;‎ 图27-7‎ ‎(2)在图27-7(b)中,过点E作⊙O的切线,交AC的延长线于点F.‎ ‎①若CF=CD,求sin∠CAB的值;‎ ‎②若(n>0),试用含n的代数式表示sin∠CAB(直接写出结果).‎ 解 (1)连接AE.求证:AE=CE.‎ 证法一:如图27-8(a),连接OD.‎ 图27-8‎ ‎∵∠ABC=90°,CB的延长线交⊙O于点E,‎ ‎∴∠ABE=90°.‎ ‎∴AE是⊙O的直径.‎ ‎∵D是AC的中点,O是AE的中点,‎ ‎∵‎ ‎∴AE=CE.‎ 证法二:如图27-8(b),连接DE.同证法一,得AE是⊙O的直径.‎ ‎∴∠ADE=90°.‎ ‎∵D是AC的中点,‎ ‎∴DE是线段AC的垂直平分线.‎ ‎∴AE=CE.‎ ‎(2)①根据题意画出图形.如图27-8(c),连接DE.∵AE是⊙O的直径,EF是⊙O的切线,‎ ‎∴∠ADE=∠AEF=90°.‎ ‎∴Rt△ADE∽Rt△EDF.‎ 设AD=k(k>0),则 DF=2k.‎ 在Rt△CDE中,∵CE2=CD2+DE2=3k2,‎ ‎∵∠CAB=∠DEC,‎ ‎②‎ 说明 解决探究结论性问题,要注意充分挖掘题设的信息,顺向推理,或联想类比从而获得结论.‎ ‎4.存在性问题 探求存在性问题是指在一定条件下,判断某种数学对象是否存在的问题,它有结论存在和结论不存在两种情形.解答这类问题,一般先对结论作肯定存在的假设,然后由此肯定的假设出发,结合已知条件进行推理论证,若导出矛盾,则否定先前假设;若推出合理的结论,则说明假设正确,由此得出问题的结论.‎ 例9 如图27-9(a),梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=9,BC=12,AB=a,在线段BC上任取一点P(P不与B,C重合),连接DP,作射线PE⊥DP,PE与直线AB交于点E.‎ 图27-9(a)‎ ‎(1)试确定CP=3时,点E的位置;‎ ‎(2)若设CP=x(x>0),BE=y(y>0),试写出y关于自变量x的函数关系式;‎ ‎(3)若在线段BC上能找到不同的两点P1,P2,使按上述作法得到的点E都与点A重合,试求出此时a的取值范围.‎ 图27-9(b)‎ 解 (1)作DF⊥BC,F为垂足.‎ 当CP=3时,四边形ADFB是矩形,则CF=3.‎ ‎∴点P与点F重合.‎ 又∵BF⊥FD,‎ ‎∴此时点E与点B重合.‎ ‎(2)(i)当点P在BF上(不与B,F重合)时,(见图27-9(a))‎ ‎∵∠EPB+∠DPF=90°,∠EPB+∠PEB=90°,‎ ‎∴∠DPF=∠PEB.‎ ‎∴Rt△PEB∽△Rt△DPF.‎ ‎ ①‎ 又∵BE=y,BP=12-x,FP=x-3,FD=a,代入①式,得 ‎,整理,‎ 得 ②‎ ‎(ii)当点P在CF上(不与C,F重合)时,(见图27-9(b))同理可求得.由FP=3-x得 ‎(3)解法一:当点E与A重合时,y=EB=a,此时点P在线段BF上.由②式得15x+36).‎ 整理得x2-15x+36+a2=0. ③‎ ‎∵在线段BC上能找到两个不同的点P1与P2满足条件,‎ ‎∴方程③有两个不相等的正实根.‎ ‎∴D=(-15)2-4×(36+a2)>0.‎ 解得 又∵a>0,‎ 解法二:当点E与A重合时,‎ ‎∵∠APD=90°,‎ ‎∴点P在以AD为直径的圆上.设圆心为M,则M为AD的中点.‎ ‎∵在线段BC上能找到两个不同的点P1与P2满足条件,‎ ‎∴线段BC与⊙M相交.即圆心M到BC的距离d满足 ④‎ 又∵AD∥BC, ∴d=a.‎ ‎∴由④式得 例10 已知:如图27-10(a),以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O,与斜边AC交于点D,过点D作⊙O的切线交BC边于点E.‎ 图27-10(a)‎ ‎(1)求证:EB=EC=ED;‎ ‎(2)试问在线段DC上是否存在点F,满足BC2=4DF·DC?若存在,作出点F,并予以证明;若不存在,请说明理由.‎ 分析 (1)可知ED,EB均与⊙O相切,故ED=EB.连接BD,可以构造Rt△BDC;或者连接OD,得OD⊥DE,然后得到EB,EC,ED的关系;(2)首先,BC2=4DF·DCDE2=DF·DC△DEF∽△DCE(很典型的图形)∠DEF=∠C;其次,要使点F在线段CD上,则需∠DEF≤∠DEC.即需要∠C≤∠DEC∠C≤180°-2∠C0°<∠C≤60°.‎ 解 (1)略;‎ ‎(2)在△DEC中,由于ED=EC,‎ ‎∴∠C=∠CDE.‎ ‎∴∠DEC=180°-2∠C.‎ ‎①当∠DEC>∠C时,有180°-2∠C>∠C,即0°<∠C<60°时(如图27-10(a)),在线段DC上存在点F满足条件,即在∠DEC内,以ED为一边,作∠DEF,使∠DEF=‎ ‎∠C,且EF交DC于点F,则点F即为所求.‎ ‎②当∠DEC=∠C时(如图27-10(b)),△DEC为等边三角形,即∠DEC=∠C=60°.此时,C点即为满足条件的F点,于是DF=DC=DE,仍有BC2=4DE2=4DF·DC.‎ 图27-10(b)‎ ‎③当∠DEC<∠C时(如图27-10(c)),有180°-2∠C<∠C,即60°<∠C<90°,所作的∠DEF>∠DEC,此时点F在DC的延长线上,故线段DC上不存在满足条件的点F.‎ 图27-10(c)‎ 说明 对于第(2)问的上述解答中,将BC用2DE替换后,可与等式右边的系数4约去,从而得到常规的等积式,想到构造相似三角形;亦可在连接BD后,由△BCD∽△ACB得出BC2=CD·CA,从而BC2=4DF·DC可变形为CD·CA=4DF·DC,即CA=4DF,即要探究在线段DC上是否存在点F,满足CA=4DF.同学们可以自己解决.‎ 例11 已知:如图27-11(a),在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动,速度为1cm/s;点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,速度为2cm/s;连接PQ.若设运动的时间为t(s)(0<t<2),解答下列问题:‎ 图27-11(a)‎ ‎(1)当t为何值时,PQ∥BC?‎ ‎(2)设△AQP的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;‎ ‎(3)是否存在某一时刻t,使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分?若存在,求出此时t的值.若不存在,说明理由;‎ ‎(4)如图27-11(b),连接PC,并把△PQC沿QC翻折,得到四边形PQP′C,那么是否存在某一时刻t,使四边形PQP′C为菱形?若存在,求出此时菱形的边长;若不存在,说明理由.‎ 图27-11(b)‎ 解 (1)在Rt△ABC中,AB=5.‎ 由题意知AP=5-t,AQ=2t.‎ 若PQ∥BC,则△APQ∽△ABC.‎ 解得 ‎(2)过点P作PH⊥AC于H,如图27-11(c).‎ 图27-11(c)‎ ‎∵△APH∽△ABC,∴‎ 解得 ‎(3)若PQ把△ABC周长平分,‎ 则AP+AQ=BP+BC+CQ.‎ ‎∴(5-t)+2t=t+3+(4-2t).‎ 解得t=1.‎ 若PQ把△ABC面积平分,‎ 则,即 ‎∵t=1代入上述方程不成立,‎ ‎∴不存在这一时刻t,使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分.‎ ‎(4)过点P作PM⊥AC于M,PN⊥BC于N,如图27-11(d).‎ 图27-11(d)‎ 若四边形PQP′C是菱形,那么PQ=PC.‎ ‎∵PM⊥AC于M,∴QM=CM.‎ ‎∵PN⊥BC于N,易知△PBN∽△ABC.‎ ‎.解得 ‎ 解得 ‎∴当时,四边形PQP′C是菱形.‎ 此时 在Rt△PMC中,‎ ‎∴菱形PQP′C的边长为.‎ 说明 探索点在运动中,对应形成几何图形的问题,实质上是一类利用数形结合思想寻求关于运动时间t的方程的解的问题.‎ 三、课标下新题展示 例12 点A,B分别是两条平行线m,n上任意两点,在直线n上找一点C,使BC=k·AB.连接AC,在直线AC上任取一点E,作∠BEF=∠ABC,EF交直线m于点F.‎ ‎(1)如图27-12(a),当k=1时,探究线段EF与EB的关系,并加以说明;‎ 说明 ①如果你经过反复探索没有解决问题,请写出探索过程(要求至少写三步);‎ ‎②在完成①之后,可以自己添加条件(添加的条件限定为∠ABC为特殊角),在图27-12(b)中补全图形,完成证明.‎ ‎(2)如图27-12(c),若∠ABC=90°,k≠1,探究线段EF与EB的关系,并说明理由.‎ ‎(a) (b) (c)‎ 图27-12‎ 解 (1)EF=EB.‎ 证明:如图27-12(d),以E为圆心,EA为半径画弧交直线m于点M,连接EM.‎ 图27-12(d)‎ ‎∴EM=EA,∴∠EMA=∠EAM.‎ ‎∵BC=k·AB,k=1,‎ ‎∴BC=AB.‎ ‎∴∠CAB=∠ACB.‎ ‎∵m∥n,∴∠MAC=∠ACB,∠FAB=∠ABC.‎ ‎∴∠MAC=∠CAB.‎ ‎∴∠CAB=∠EMA.‎ ‎∵∠BEF=∠ABC,∴∠BEF=∠FAB.‎ ‎∵∠AHF=∠EHB,∴∠AFE=∠ABE.‎ ‎∴△AEB≌△MEF.‎ ‎∴EF=EB.‎ 探索思路:如图27-12(a),∵BC=k·AB,k=1,∴BC=AB.‎ ‎∴∠CAB=∠ACB.‎ ‎∵m∥n,∴∠MAC=∠ACB.‎ 添加条件:∠ABC=90°.‎ 证明:如图27-12(e),在直线m上截取AM=AB,连接ME.‎ 图27-6(e)‎ ‎∵BC=k·AB,k=1,∴BC=AB.‎ ‎∵∠ABC=90°,∴∠CAB=∠ACB=45°.‎ ‎∵m∥n,∴∠MAE=∠ACB=∠CAB=45°,∠FAB=90°.‎ ‎∵AE=AE,∴△MAE≌△BAE.‎ ‎∴EM=EB,∠AME=∠ABE.‎ ‎∵∠BEF=∠ABC=90°,‎ ‎∴∠FAB+∠BEF=180°.‎ ‎∴∠ABE+∠EFA=180°,又∵∠AME+∠EMF=180°,∴∠EMF=∠EFA.‎ ‎∴EM=EF.∴EF=EB.‎ ‎(2)‎ 说明:如图27-12(f),过点E作EM⊥m,EN⊥AB,垂足为M,N.‎ 图27-12(f)‎ ‎∴∠EMF=∠ENA=∠ENB=90°.‎ ‎∵m∥n,∠ABC=90°,‎ ‎∴∠MAB=90°.‎ ‎∴四边形MENA为矩形.‎ ‎∴ME=NA,∠MEN=90°.‎ ‎∵∠BEF=∠ABC=90°.∴∠MEF=∠NEB.‎ ‎∴△MEF∽△NEB.‎ 在Rt△ANE和Rt△ABC中,‎ 四、课标考试达标题 ‎(一)填空题 ‎1.观察下列各式:‎ ‎(x-1)(x+1)=x2-1,(x-1)(x2+x+1)=x3-1,(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1,…,根据前面的规律,得(x-1)(xn+xn-1+…+x+1)=______(n为正整数).‎ ‎2.按下列图形的排列规律(其中是△三角形,□是正方形,○是圆),□○△□□○△□○△□□○△□…,若第一个图形是正方形,则第2010个图形是______(填图形名称).‎ ‎3.写出满足下列条件的一个一次函数:______,‎ ‎①y随x的增大而减小;②它的图象经过点(1,-2).‎ ‎4.(1)如图27-13(a),∠ABC=∠DCB,请补充一个条件:______,使△ABC≌△DCB.(2)如图27-13(b),∠1=∠2,请补充一个条件:______,使△ABC∽△ADE.‎ 图27-13‎ ‎5.如图27-14,已知△ABC的面积S△ABC=1,在图(a)中,若,则 在图(b)中,若则 在图(c)中,若则 ‎…‎ 按此规律,则若则则______.‎ 图27-14‎ ‎(二)解答题 ‎6.如图27-15,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,对角线AC和BD相交于点O,E是BC边上一个动点(点E不与B,C两点重合),EF∥BD)交AC于点F,EG∥AC交BD于点G.‎ 图27-15‎ ‎(1)求证:四边形EFOG的周长等于2OB;‎ ‎(2)请你将上述题目的条件“梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC”改为另一种四边形,其他条件不变,使得结论“四边形EFOG的周长等于2OB”仍成立,并将改编后的题目画出图形,写出已知、求证,不必证明.‎ ‎7.图27-16,平面直角坐标系内有两条直线l1,l2,直线l1的解析式为.如果将坐标纸折叠,使直线l1与l2重合,此时点(-2,0)与点(0,2)也重合.‎ 图27-16‎ ‎(1)求直线l2的解析式;‎ ‎(2)设直线l1与l2相交于点M.问:是否存在这样的直线l:y=x+t,使得如果将坐标纸沿直线l折叠,点M恰好落在x轴上?若存在,求出直线l的解析式;若不存在,请说明理由.‎ ‎8.如图27-17,∠ABM为直角,C为线段BA的中点,D是射线BM上的一个动点(不与点B重合),连接AD,作BE⊥AD,垂足为E,连接CE,过点E作EF⊥CE,交BD于 F.‎ 图27-17‎ ‎(1)求证:BF=FD;‎ ‎(2)∠A在什么范围内变化时,四边形ACFE是梯形?并说明理由;‎ ‎(3)∠A在什么范围内变化时,线段DE上存在点G,满足条件?并说明理由.‎ ‎9.如图27-18(a)、(b)、(c),在△ABC中,分别以AB,AC为边,向△ABC外作正三角形、正四边形、正五边形,BE,CD相交于点O.‎ 图27-18‎ ‎(1)①如图27-18(a),求证:△ADC≌△ABE;‎ ‎②探究:图27-18(a)中,∠BOC=______;‎ 图27-18(b)中,∠BOC=______;‎ 图27-18(c)中,∠BOC=______;‎ ‎(2)如图27-18(d),已知:AB,AD是以AB为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边;AC,AE是以AC为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边.BE,CD的延长相交于点O.‎ 图27-18(d)‎ ‎①猜想:图27-18(d)中,∠BOC=______;‎ ‎(用含n的式子表示)‎ ‎②根据图27-18(d)证明你的猜想.‎ ‎2010中考数学考前冲刺最后一讲------开放型问题解题指导 参考答案 ‎ ‎ ‎1.xn+1-1. 2.正方形.‎ ‎3.答案不唯一,满足k<0且k+b=-2均可.‎ ‎4.答案不唯一.(1)如图(a)中∠A=∠D,或AB=DC;(2)图(b)中∠D=∠B,或等.‎ ‎5.‎ ‎6.(1)证明:∵四边形ABCD是梯形,AD∥BC,AB=CD,‎ ‎∴∠ABC=∠DCB.‎ 又∵BC=CB,AB=DC,∴△ABC≌△DCB.‎ ‎∴∠1=∠2.‎ 又∵GE∥AC,∴∠2=∠3.∴∠1=∠3.‎ ‎∴EG=BG.‎ ‎∵EG∥OC,EF∥OB,‎ ‎∴四边形EGOF是平行四边形.‎ ‎∴EG=OF,EF=OG.‎ ‎∴四边形EGOF的周长=2(OG+GE)‎ ‎=2(OG+GB)=2OB.‎ ‎(2)方法1:如答图27-1乙,已知矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E为BC上一个动点(点E不与B,C两点重合),EF∥BD,交AC于点F,EG∥AC交BD于点G.‎ 求证:四边形EFOG的周长等于2OB.图略.‎ 方法2:如图丙,已知正方形ABCD中,……其余略.‎ 答图27-1‎ ‎7.解:(1)直线l1与y轴交点的坐标为(0,1).由题意,直线l1与l2关于直线y=-x对称,直线l2与x轴交点的坐标为(-1,0).‎ 又∵直线l1与直线y=-x的交点为(-3,3),‎ ‎∴直线l2过点(-1,0)和(-3,3).‎ 设直线l2的解析式为y=kx+b.则有 解得 所求直线l2的解析式为 ‎(2)∵直线l与直线y=-x互相垂直,且点M(-3,3)在直线y=-x上,‎ ‎∴如果将坐标纸沿直线l折叠,要使点M落在x轴上,那么点M必须与坐标原点O重合,此时直线l过线段OM的中点 将代入y=x+t,解得t=3.‎ ‎∴直线l的解析式为y=x+3.‎ ‎8.解:(1)Rt△AEB中,∵AC=BC,‎ ‎∴CB=CE.∴∠CEB=∠CBE.‎ 答图27-2‎ ‎∵∠CEF=∠CBF=90°,‎ ‎∴∠BEF=∠EBF.∴EF=BF.‎ ‎∵∠BEF+∠FED=90°,‎ ‎∠EBD+∠EDB=90°,‎ ‎∴∠FED=∠EDF.∴EF=FD.‎ ‎∴BF=FD.‎ ‎(2)由(1)得BF=FD,而BC=CA,‎ ‎∴CF∥AD,即AE∥CF.‎ 若AC∥EF,则 AC=EF,∴BC=BF.‎ ‎∴BA=BD,∠A=45°.‎ ‎∴当0°<∠A<45°或45°<∠A<90°时,四边形ACFE为梯形.‎ ‎(3)作GH⊥BD,垂足为H,则GH∥AB.‎ ‎∵‎ 又F为BD的中点,∴H为DF的中点.‎ ‎∴GH为DF的中垂线.‎ ‎∴∠GDF=∠GFD.‎ ‎∵点G在ED上,∴∠EFD≥∠GFD.‎ ‎∵∠EFD+∠FDE+∠DEF=180°,‎ ‎∴∠GFD+∠FDE+∠DEF≤180°.‎ ‎∴3∠EDF≤180°.‎ ‎∴∠EDF≤60°.‎ 又∠A+∠EDF=90°,‎ ‎∴30°≤∠A<90°.‎ ‎∴当30°≤∠A<90°时,DE上存在点G,满足条件 ‎9.解:(1)证法一:‎ ‎∵△ABD与△ACE均为等边三角形,‎ ‎∴AD=AB,AC=AE,且∠BAD=∠CAE=60°.‎ 答图27-3‎ ‎∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,‎ 即∠DAC=∠BA E.‎ ‎∴△ADC△ABE.‎ 证法二:∵△ABD与△ACE均为等边三角形,‎ ‎∴AD=AB,AC=AE,‎ 且∠BAD=∠CAE=60°.‎ ‎∴△ADC可由△ABE绕着点A按顺时针方向旋转60°得到.‎ ‎∴△ABE≌△ADC.‎ ‎②120°,90°,72°.‎ ‎(2)①‎ ‎②证法一:依题意,知∠BAD和∠CAE都是正n边形的内角,AB=AD,AE=AC,‎ ‎∴∠BAD-∠DAE=∠CAE-∠DAE,‎ 即∠BAE=∠DAC.‎ ‎∴△ABE≌△ADC.‎ ‎∴∠ABE=∠ADC.∵∠ADC+∠ODA=180°,‎ ‎∴∠ABO+∠ODA=180°.‎ ‎∴∠ABO+∠ODA+∠DAB+∠BOC=360°.‎ ‎∴∠BOC+∠DAB=180°.‎ ‎∴∠BOC=180°-∠DAB=‎ 证法二:延长BA交CO于F,‎ 证∠BOC=∠DAF=180°-∠BAD.‎ 证法三:连接CE.证∠BOC=180°-∠CAE ‎ ‎