重庆中考数学24题 27页

‎2013年重庆中考数学24题专题练习 ‎1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE ‎（1）求证：BE=CE；‎ ‎（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．‎ ‎2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点．‎ ‎（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC； ‎ ‎（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．‎ ‎3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．‎ ‎（1）当CE=1时，求△BCE的面积；‎ ‎（2）求证：BD=EF+CE．‎ ‎4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E EF∥CA，交CD于点F，连接OF．‎ ‎（1）求证：OF∥BC；‎ ‎（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．‎ ‎5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6．‎ ‎（1）求线段CD的长；‎ ‎（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC．‎ ‎6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．‎ ‎（1）若AB=6cm，，求梯形ABCD的面积；‎ ‎（2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF．‎ ‎7、已知：如图，ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E．‎ ‎（1）求证：AE=ED；‎ ‎（2）若AB=BC，求∠CAF的度数．‎ ‎8、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．‎ ‎（1）求证：∠DAE=∠DCE；‎ ‎（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．‎ ‎9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．‎ ‎（1）求证：DP平分∠ADC；‎ ‎（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．‎ ‎10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；‎ ‎（1）证明：EF=EA；‎ ‎（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．‎ ‎11、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．‎ ‎（1）求证：EB=EF；‎ ‎（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．‎ ‎12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．‎ ‎（1）求证：AE=GF；‎ ‎（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积．‎ ‎13、已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG． ‎ ‎（1）求证：FC=BE；‎ ‎（2）若AD=DC=2，求AG的长．‎ ‎14、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF．‎ ‎（1）求证：AD=BE；‎ ‎（2）试判断△ABF的形状，并说明理由．‎ ‎15、（2011•潼南县）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．‎ ‎（1）求证：AD=AE；‎ ‎（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．‎ ‎16、如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC．‎ ‎（1）求证：AE⊥BD； （2）若AD=4，BC=14，求EF的长．‎ ‎17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC． ‎ ‎（1）求证：CD=BE；‎ ‎（2）若AD=3，DC=4，求AE．‎ ‎18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．‎ ‎19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且．‎ ‎（1）求证：BF=EF﹣ED；‎ ‎（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．‎ ‎20、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．‎ ‎（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求 AE的长．‎ ‎（2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．‎ ‎21、如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC．‎ ‎（1）求证：DH=（AD+BC）；‎ ‎（2）若AC=6，求梯形ABCD的面积．‎ ‎22、已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．‎ ‎（1）求证：△AGE≌△DAB；‎ ‎（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．‎ ‎23、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．‎ ‎（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；‎ ‎（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；‎ ‎（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎24、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF．AF交BE于P．‎ ‎（1）证明：△ABE≌△DAF；‎ ‎（2）求∠BPF的度数．‎ ‎25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，将BC延长至点F，使CF=CD．‎ ‎（1）求∠ABC的度数；‎ ‎（2）如果BC=8，求△DBF的面积？‎ ‎26、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB的中点．‎ ‎（1）求证：△AGD为正三角形；‎ ‎（2）求EF的长度．‎ ‎27、已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F．‎ ‎（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长．‎ ‎（2）求证：ED=BE+FC．‎ ‎28、（2005•镇江）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，直线CE交DA的延长线于点F．‎ ‎（1）求证：△BCE≌△AFE；‎ ‎（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的长．‎ ‎29、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E． ‎ 求证：‎ ‎（1）△BFC≌△DFC；‎ ‎（2）AD=DE；‎ ‎（3）若△DEF的周长为6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面积．‎ ‎30、如图，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E．‎ ‎（1）求证：四边形ABED是菱形；‎ ‎（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面积．‎ 参考答案 ‎1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE ‎（1）求证：BE=CE；‎ ‎（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．‎ ‎ ‎ 证明：（1）已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，‎ ‎∴AB=DC，∠BAE=∠CDE，AE=DE，‎ ‎∴△BAE≌△CDE，‎ ‎∴BE=CE；‎ ‎（2）延长CD和BE的延长线交于H， ‎ ‎∵BF⊥CD，∠HEC=90°，‎ ‎∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°‎ ‎∴∠EBF=∠ECH，‎ 又∠BEC=∠CEH=90°，‎ BE=CE（已证），‎ ‎∴△BEG≌△CEH，‎ ‎∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，‎ ‎∵△BAE≌△CDE（已证），‎ ‎∴∠AEB=∠GED，‎ ‎∠HED=∠AEB，‎ ‎∴∠GED=∠HED，‎ 又EG=EH（已证），ED=ED，‎ ‎∴△GED≌△HED，‎ ‎∴DG=DH，‎ ‎∴BG=DG+CD．‎ ‎2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点．‎ ‎（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；‎ ‎（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．‎ ‎（1）证明：∵HE=HG，‎ ‎∴∠HEG=∠HGE，‎ ‎∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，‎ ‎∴∠BEH=∠FGC，‎ ‎∵G是HC的中点，‎ ‎∴HG=GC，‎ ‎∴HE=GC，‎ ‎∵∠HBE=∠CFG=90°．‎ ‎∴△EBH≌△GFC；‎ ‎（2）解：∵ED平分∠AEF，∠A=∠DFE=90°，‎ ‎∴AD=DF，‎ ‎∵DF=DC﹣FC，‎ ‎∵△EBH≌△GFC，‎ ‎∴FC=BH=1，‎ ‎∴AD=4﹣1=3．‎ ‎3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．‎ ‎（1）当CE=1时，求△BCE的面积；‎ ‎（2）求证：BD=EF+CE．‎ ‎（2）过E点作EM⊥DB于点M，四边形FDME是矩形，FE=DM，∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，△BME≌△ECB，BM=CE，继而可证明BD=DM+BM=EF+CE．‎ ‎（1）解：∵AD=CD，‎ ‎∴∠DAC=∠DCA，‎ ‎∵DC∥AB，‎ ‎∴∠DCA=∠CAB，‎ ‎∴，‎ ‎∵DC∥AB，AD=BC，‎ ‎∴∠DAB=∠CBA=60°，‎ ‎∴∠ACB=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=90°，‎ ‎∴∠BCE=180°﹣∠ACB=90°，‎ ‎∵BE⊥AB，‎ ‎∴∠ABE=90°，‎ ‎∴∠CBE=∠ABE﹣∠ABC=30°，‎ 在Rt△BCE中，BE=2CE=2，，‎ ‎∴…（5分）‎ ‎（2）证明：过E点作EM⊥DB于点M，‎ ‎∴四边形FDME是矩形，‎ ‎∴FE=DM，‎ ‎∵∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，‎ ‎∴△BME≌△ECB，‎ ‎∴BM=CE，‎ ‎∴BD=DM+BM=EF+CE…（10分）‎ ‎4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E作EF∥CA，交CD于点F，连接OF．‎ ‎（1）求证：OF∥BC；‎ ‎（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．‎ 解答：（1）证明：延长EF交AD于G（如图），‎ 在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，‎ ‎∵EF∥CA，EG∥CA，‎ ‎∴四边形ACEG是平行四边形，‎ ‎∴AG=CE，‎ 又∵，AD=BC，‎ ‎∴，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠ADC=∠ECF，‎ 在△CEF和△DGF中，‎ ‎∵∠CFE=∠DFG，∠ADC=∠ECF，CE=DG，‎ ‎∴△CEF≌△DGF（AAS），‎ ‎∴CF=DF，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴OB=OD，‎ ‎∴OF∥BE．‎ ‎（2）解：如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四边形ABCD是矩形．‎ 证明：∵OF∥CE，EF∥CO，‎ ‎∴四边形OCEF是平行四边形，‎ ‎∴EF=OC，‎ 又∵梯形OBEF是等腰梯形，‎ ‎∴BO=EF，‎ ‎∴OB=OC，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OC，BD=2BO．‎ ‎∴AC=BD，‎ ‎∴平行四边形ABCD是矩形．‎ ‎5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E ‎，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6．‎ ‎（1）求线段CD的长；‎ ‎（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC．‎ ‎（1）解：连接BD，‎ 由∠ABC=90°，AD∥BC得∠GAD=90°，‎ 又∵BF⊥CD，‎ ‎∴∠DFE=90°‎ 又∵DG=DE，∠GDA=∠EDF，‎ ‎∴△GAD≌△EFD，‎ ‎∴DA=DF，‎ 又∵BD=BD，‎ ‎∴Rt△BAD≌Rt△BFD（HL），‎ ‎∴BF=BA=，∠ADB=∠BDF 又∵CF=6，‎ ‎∴BC=，‎ 又∵AD∥BC，‎ ‎∴∠ADB=∠CBD，‎ ‎∴∠BDF=∠CBD，‎ ‎∴CD=CB=8．‎ ‎（2）证明：∵AD∥BC，‎ ‎∴∠E=∠CBF，‎ ‎∵∠HDF=∠E，‎ ‎∴∠HDF=∠CBF，‎ 由（1）得，∠ADB=∠CBD，‎ ‎∴∠HDB=∠HBD，‎ ‎∴HD=HB，‎ 由（1）得CD=CB，‎ ‎∴△CDH≌△CBH，‎ ‎∴∠DCH=∠BCH，‎ ‎∴∠BCH=∠BCD==．‎ ‎6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．‎ ‎（1）若AB=6cm，，求梯形ABCD的面积；‎ ‎（2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF．‎ 解：（1）连AC，过C作CM⊥AD于M，如图，‎ 在Rt△ABC中，AB=6，sin∠ACB==，‎ ‎∴AC=10，‎ ‎∴BC=8，‎ 在Rt△CDM中，∠D=45°，‎ ‎∴DM=CM=AB=6，‎ ‎∴AD=6+8=14，‎ ‎∴梯形ABCD的面积=•（8+14）•6=66（cm2）；‎ ‎（2）证明：过G作GN⊥AD，如图，‎ ‎∵∠D=45°，‎ ‎∴△DNG为等腰直角三角形，‎ ‎∴DN=GN，‎ 又∵AD∥BC，‎ ‎∴∠BFH=∠FHN，‎ 而∠EFH=∠FHG，‎ ‎∴∠BFE=∠GHN，‎ ‎∵EF=GH，‎ ‎∴Rt△BEF≌Rt△NGH，‎ ‎∴BE=GN，BF=HN，‎ ‎∴DA=AN+DN=AN+DG=BF+BE．‎ ‎7、已知：如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E．‎ ‎（1）求证：AE=ED；‎ ‎（2）若AB=BC，求∠CAF的度数．‎ ‎（1）证明：如图．‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥CD，AB=CD．‎ ‎∵DF=CD，‎ ‎∴AB∥DF．‎ ‎∵DF=CD，‎ ‎∴AB=DF．‎ ‎∴四边形ABDF是平行四边形，‎ ‎∴AE=DE．‎ ‎（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，‎ ‎∴四边形ABCD是菱形．‎ ‎∴AC⊥BD．‎ ‎∴∠COD=90°．‎ ‎∵四边形ABDF是平行四边形，‎ ‎∴AF∥BD．‎ ‎∴∠CAF=∠COD=90°．‎ ‎8、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．‎ ‎（1）求证：∠DAE=∠DCE；‎ ‎（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．‎ ‎（1）证明：在△DAE和△DCE中，‎ ‎∠ADE=∠CDE（正方形的对角线平分对角），‎ ED=DE（公共边），‎ AE=CE（正方形的四条边长相等），‎ ‎∴△DAE≌△DCE （SAS），‎ ‎∴∠DAE=∠DCE（全等三角形的对应角相等）；‎ ‎（2）解：如图，由（1）知，△DAE≌△DCE，‎ ‎∴AE=EC，‎ ‎∴∠EAC=∠ECA（等边对等角）；‎ 又∵CG=CE（已知），‎ ‎∴∠G=∠CEG（等边对等角）；‎ 而∠CEG=2∠EAC（外角定理），‎ ‎∠ECB=2∠CEG（外角定理），‎ ‎∴4∠EAC﹣∠ECA=∠ACB=45°，‎ ‎∴∠G=∠CEG=30°；‎ 过点C作CH⊥AG于点H，‎ ‎∴∠FCH=30°，‎ ‎∴在直角△ECH中，EH=CH，EG=2CH，‎ 在直角△FCH中，CH=CF，‎ ‎∴EG=2×CF=3CF．‎ ‎9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．‎ ‎（1）求证：DP平分∠ADC；‎ ‎（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．‎ ‎（1）证明：连接PC．‎ ‎∵ABCD是正方形，‎ ‎∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD．‎ ‎∵BE=DF，‎ ‎∴△ABE≌△ADF．（SAS）‎ ‎∴∠BAE=∠DAF，AE=AF．‎ ‎∴∠EAF=∠BAD=90°．‎ ‎∵P是EF的中点，‎ ‎∴PA=EF，PC=EF，‎ ‎∴PA=PC．‎ 又 AD=CD，PD公共，‎ ‎∴△PAD≌△PCD，（SSS）‎ ‎∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；‎ ‎（2）作PH⊥CF于H点．‎ ‎∵P是EF的中点，‎ ‎∴PH=EC．‎ 设EC=x．‎ 由（1）知△EAF是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠AEF=45°，‎ ‎∴∠FEC=180°﹣45°﹣75°=60°，‎ ‎∴EF=2x，FC=x，BE=2﹣x．‎ 在Rt△ABE中，22+（2﹣x）2=（x）2解得 x1=﹣2﹣2（舍去），x2=﹣2+2．‎ ‎∴PH=﹣1+，FD=（﹣2+2）﹣2=﹣2+4．‎ ‎∴S△DPF=（﹣2+4）×=3﹣5．‎ ‎10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；‎ ‎（1）证明：EF=EA；‎ ‎（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．‎ ‎（1）证明：‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE．‎ ‎∵E为CD的中点，‎ ‎∴ED=EC．‎ ‎∴△ADE≌△FCE．‎ ‎∴EF=EA．（5分）‎ ‎（2）解：连接GA，‎ ‎∵AD∥BC，∠ABC=90°，‎ ‎∴∠DAB=90°．‎ ‎∵DG⊥BC，‎ ‎∴四边形ABGD是矩形．‎ ‎∴BG=AD，GA=BD．‎ ‎∵BD=BC，‎ ‎∴GA=BC．‎ 由（1）得△ADE≌△FCE，‎ ‎∴AD=FC．‎ ‎∴GF=GC+FC=GC+AD=GC+BG=BC=GA．‎ ‎∵由（1）得EF=EA，‎ ‎∴EG⊥AF．（5分）‎ ‎11、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形 ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．‎ ‎（1）求证：EB=EF；‎ ‎（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．‎ ‎（1）证明：∵△ADF为等边三角形，‎ ‎∴AF=AD，∠FAD=60°（1分）‎ ‎∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，AD=AB（2分）‎ ‎∴∠FAE=∠BAE=75°，AB=AF，（3分）‎ ‎∵AE为公共边 ‎∴△FAE≌△BAE（4分）‎ ‎∴EF=EB（5分）‎ ‎（2）解：如图，连接EC．（6分）‎ ‎∵在等边三角形△ADF中，‎ ‎∴FD=FA，‎ ‎∵∠EAD=∠EDA=15°，‎ ‎∴ED=EA，‎ ‎∴EF是AD的垂直平分线，则∠EFA=∠EFD=30°．（7分）‎ 由（1）△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30°．‎ ‎∵∠FAE=∠BAE=75°，‎ ‎∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°，‎ ‎∴BE=BA=6．‎ ‎∵∠FEA+∠BEA+∠GEB=180°，‎ ‎∴∠GEB=30°，‎ ‎∵∠ABC=60°，‎ ‎∴∠GBE=30°‎ ‎∴GE=GB．（8分）‎ ‎∵点G是BC的中点，‎ ‎∴EG=CG ‎∵∠CGE=∠GEB+∠GBE=60°，‎ ‎∴△CEG为等边三角形，‎ ‎∴∠CEG=60°，‎ ‎∴∠CEB=∠CEG+∠GEB=90°（9分）‎ ‎∴在Rt△CEB中，BC=2CE，BC2=CE2+BE2‎ ‎∴CE=，‎ ‎∴BC=（10分）；‎ 解法二：过C作CQ⊥AB于Q，‎ ‎∵CQ=AB=AD=6，‎ ‎∵∠ABC=60°，‎ ‎∴BC=6÷=4．‎ ‎12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．‎ ‎（1）求证：AE=GF；‎ ‎（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积．‎ ‎（1）证明：∵AB=DC，‎ ‎∴梯形ABCD为等腰梯形．‎ ‎∵∠C=60°，‎ ‎∴∠BAD=∠ADC=120°，‎ 又∵AB=AD，‎ ‎∴∠ABD=∠ADB=30°．‎ ‎∴∠DBC=∠ADB=30°．‎ ‎∴∠BDC=90°．（1分）‎ 由已知AE⊥BD，‎ ‎∴AE∥DC．（2分）‎ 又∵AE为等腰三角形ABD的高，‎ ‎∴E是BD的中点，‎ ‎∵F是DC的中点，‎ ‎∴EF∥BC．‎ ‎∴EF∥AD．‎ ‎∴四边形AEFD是平行四边形．（3分）‎ ‎∴AE=DF（4分）‎ ‎∵F是DC的中点，DG是梯形ABCD的高，‎ ‎∴GF=DF，（5分）‎ ‎∴AE=GF．（6分）‎ ‎（2）解：在Rt△AED中，∠ADB=30°，‎ ‎∵AE=1，‎ ‎∴AD=2．‎ 在Rt△DGC中∠C=60°，‎ 并且DC=AD=2，‎ ‎∴DG=．（8分）‎ 由（1）知：在平行四边形AEFD中EF=AD=2，‎ 又∵DG⊥BC，‎ ‎∴DG⊥EF，‎ ‎∴四边形DEGF的面积=EF•DG=．（10分）‎ ‎13、已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．‎ ‎（1）求证：FC=BE；‎ ‎（2）若AD=DC=2，求AG的长．‎ 解答：（1）证明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，‎ ‎∴∠ABC=∠AFE．‎ ‎∵AC=AE，∠EAF=∠CAB，‎ ‎∴△ABC≌△AFE，‎ ‎∴AB=AF．‎ ‎∴AE﹣AB=AC﹣AF，‎ 即FC=BE；‎ ‎（2）解：∵AD=DC=2，DF⊥AC，‎ ‎∴AF=AC=AE．‎ ‎∴AG=CG，‎ ‎∴∠E=30°．‎ ‎∵∠EAD=90°，‎ ‎∴∠ADE=60°，‎ ‎∴∠FAD=∠E=30°，‎ ‎∴FC=，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠ACG=∠FAD=30°，‎ ‎∴CG=2，‎ ‎∴AG=2．‎ ‎14、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF．‎ ‎（1）求证：AD=BE；‎ ‎（2）试判断△ABF的形状，并说明理由．‎ ‎（1）证明：∵AD∥BC，‎ ‎∴∠BAD+∠ABC=180°，‎ ‎∵∠ABC=90°，‎ ‎∴∠BAD=∠ABC=90°，‎ ‎∵DE⊥EC，‎ ‎∴∠AED+∠BEC=90°‎ ‎∵∠AED+∠ADE=90°，‎ ‎∴∠BEC=∠ADE，‎ ‎∵∠DAE=∠EBC，AE=BC，‎ ‎∴△EAD≌△EBC，‎ ‎∴AD=BE．‎ ‎（2）答：△ABF是等腰直角三角形．‎ 理由是：延长AF交BC的延长线于M，‎ ‎∵AD∥BM，‎ ‎∴∠DAF=∠M，‎ ‎∵∠AFD=∠CFM，DF=FC，‎ ‎∴△ADF≌△MFC，‎ ‎∴AD=CM，‎ ‎∵AD=BE，‎ ‎∴BE=CM，‎ ‎∵AE=BC，‎ ‎∴AB=BM，‎ ‎∴△ABM是等腰直角三角形，‎ ‎∵△ADF≌△MFC，‎ ‎∴AF=FM，‎ ‎∴∠ABC=90°，‎ ‎∴BF⊥AM，BF=AM=AF，‎ ‎∴△AFB是等腰直角三角形．‎ ‎15、（2011•潼南县）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．‎ ‎（1）求证：AD=AE；‎ ‎（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．‎ 解答：（1）证明：连接AC，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠ACD=∠BAC，‎ ‎∵AB=BC，‎ ‎∴∠ACB=∠BAC，‎ ‎∴∠ACD=∠ACB，‎ ‎∵AD⊥DC，AE⊥BC，‎ ‎∴∠D=∠AEC=90°，‎ ‎∵AC=AC，‎ ‎∴，‎ ‎∴△ADC≌△AEC，（AAS）‎ ‎∴AD=AE；‎ ‎（2）解：由（1）知：AD=AE，DC=EC，‎ 设AB=x，则BE=x﹣4，AE=8，‎ 在Rt△ABE中∠AEB=90°，‎ 由勾股定理得：82+（x﹣4）2=x2，‎ 解得：x=10，‎ ‎∴AB=10．‎ 说明：依据此评分标准，其它方法如：过点C作CF⊥AB用来证明和计算均可得分．‎ ‎16、如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC．‎ ‎（1）求证：AE⊥BD； （2）若AD=4，BC=14，求EF的长．‎ ‎（1）证明：∵AD∥CB，‎ ‎∴∠ADB=∠CBD，‎ 又BD平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABD=∠CBD，‎ ‎∴∠ADB=∠ABD，‎ ‎∴AB=AD，∴△ABD是等腰三角形，‎ 已知E是BD的中点，‎ ‎∴AE⊥BD．‎ ‎（2）解：延长AE交BC于G，‎ ‎∵BD平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABE=∠GBE，‎ 又∵AE⊥BD（已证），‎ ‎∴∠AEB=∠GEB，‎ BE=BE，‎ ‎∴△ABE≌△GBE，‎ ‎∴AE=GE，BG=AB=AD，‎ 又F是AC的中点（已知），‎ 所以由三角形中位线定理得：‎ EF=CG=（BC﹣BG）=（BC﹣AD）‎ ‎=×（14﹣4）=5．‎ 答：EF的长为5．‎ ‎17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC．‎ ‎（1）求证：CD=BE；‎ ‎（2）若AD=3，DC=4，求AE．‎ ‎（1）证明：∵AD∥BC，‎ ‎∴∠DAC=∠BCE，而BE⊥AC，‎ ‎∴∠D=∠BEC=90°，AC=BC，‎ ‎∴△BCE≌△CAD．‎ ‎∴CD=BE．‎ ‎（2）解：在Rt△ADC中，根据勾股定理得AC==5，‎ ‎∵△BCE≌△CAD，‎ ‎∴CE=AD=3．‎ ‎∴AE=AC﹣CE=2．‎ ‎18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．‎ 解：如图，过点D作DF∥AB，分别交AC，BC于点E，F．（1分）‎ ‎∵AB⊥AC，‎ ‎∴∠AED=∠BAC=90度．‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠DAE=180°﹣∠B﹣∠BAC=45度．‎ 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=4，∴AC=BC•sin45°=4×=2（2分）‎ 在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=45°，AD=1，∴DE=AE=．∴CE=AC﹣AE=．（4分）‎ 在Rt△DEC中，∠CED=90°，∴DC==．（5分）‎ ‎19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且．‎ ‎（1）求证：BF=EF﹣ED；‎ ‎（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．‎ 证明：∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，‎ ‎∴△FCE≌△F′CE，‎ ‎∴EF′=EF=DF′+ED，‎ ‎∴BF=EF﹣ED；‎ ‎（2）解：∵AB=BC，∠B=80°，‎ ‎∴∠ACB=50°，‎ 由（1）得∠FEC=∠DEC=70°，‎ ‎∴∠ECB=70°，‎ 而∠B=∠BCD=80°，‎ ‎∴∠DCE=10°，‎ ‎∴∠BCF=30°，‎ ‎∴∠ACF=∠BCA﹣∠BCF=20°．‎ ‎20、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．‎ ‎（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求 AE的长．‎ ‎（2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．‎ 解：（1）作EM⊥AB，交AB于点M．∵AE=BE，EM⊥AB，‎ ‎∴AM=BM=×6=3；‎ ‎∵∠AME=∠MAF=∠AFE=90°，‎ ‎∴四边形AMEF是矩形，‎ ‎∴EF=AM=3；‎ 在Rt△AFE中，AE==5；‎ ‎（2）延长AF、BC交于点N．‎ ‎∵AD∥EN，‎ ‎∴∠DAF=∠N；‎ ‎∵∠AFD=∠NFC，DF=FC，‎ ‎∴△ADF≌△NCF（AAS），‎ ‎∴AD=CN；‎ ‎∵∠B+∠N=90°，∠BAE+∠EAN=90°，‎ 又AE=BE，∠B=∠BAE，‎ ‎∴∠N=∠EAN，AE=EN，‎ ‎∴BE=EN=EC+CN=EC+AD，‎ ‎∴CE=BE﹣AD．‎ ‎．21、如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC．‎ ‎（1）求证：DH=（AD+BC）；‎ ‎（2）若AC=6，求梯形ABCD的面积．‎ 解：（1）证明：过D作DE∥AC交BC延长线于E，（1分）‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴四边形ACED为平行四边形．（2分）‎ ‎∴CE=AD，DE=AC．‎ ‎∵四边形ABCD为等腰梯形，‎ ‎∴BD=AC=DE．‎ ‎∵AC⊥BD，‎ ‎∴DE⊥BD．‎ ‎∴△DBE为等腰直角三角形．（4分）‎ ‎∵DH⊥BC，‎ ‎∴DH=BE=（CE+BC）=（AD+BC）．（5分）‎ ‎（2）∵AD=CE，‎ ‎∴．（7分）‎ ‎∵△DBE为等腰直角三角形BD=DE=6，‎ ‎∴．‎ ‎∴梯形ABCD的面积为18．（8分）‎ 注：此题解题方法并不唯一．‎ ‎22、已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．‎ ‎（1）求证：△AGE≌△DAB；‎ ‎（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．‎ ‎（1）证明：∵△ABC是等边三角形，DG∥BC，‎ ‎∴∠AGD=∠ABC=60°，∠ADG=∠ACB=60°，且∠BAC=60°，‎ ‎∴△AGD是等边三角形，‎ AG=GD=AD，∠AGD=60°．‎ ‎∵DE=DC，∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB，‎ ‎∵∠AGD=∠BAD，AG=AD，‎ ‎∴△AGE≌△DAB；‎ ‎（2）解：由（1）知AE=BD，∠ABD=∠AEG．‎ ‎∵EF∥DB，DG∥BC，‎ ‎∴四边形BFED是平行四边形．‎ ‎∴EF=BD，‎ ‎∴EF=AE．‎ ‎∵∠DBC=∠DEF，‎ ‎∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF，即∠AEF=∠ABC=60°．‎ ‎∴△AFE是等边三角形，∠AFE=60°．‎ ‎23、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．‎ ‎（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；‎ ‎（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；‎ ‎（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）证明：∵EF=EC，‎ ‎∴∠EFC=∠ECF，‎ ‎∵EF∥AB，‎ ‎∴∠B=∠EFC，‎ ‎∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；‎ ‎（2）△DCF是等腰直角三角形，‎ 证明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=CD，‎ ‎∴△CDF是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），‎ ‎∵梯形ABCD是等腰梯形，‎ ‎∴CF=（BC﹣AD）=1，‎ ‎∵DC=，‎ ‎∴由勾股定理得：DF=1，‎ ‎∴△DCF是等腰直角三角形；‎ ‎（3）共四种情况：‎ ‎∵DF⊥BC，‎ ‎∴当PF=CF时，△PCD是等腰三角形，‎ 即PF=1，‎ ‎∴PB=1；‎ 当P与F重合时，△PCD是等腰三角形，‎ ‎∴PB=2；‎ 当PC=CD=（P在点C的左侧）时，△PCD是等腰三角形，‎ ‎∴PB=3﹣；‎ 当PC=CD=（P在点C的右侧）时，△PCD是等腰三角形，‎ ‎∴PB=3+．‎ 故共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3﹣，PB=3+．（每个1分）‎ ‎24、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF．AF交BE于P．‎ ‎（1）证明：△ABE≌△DAF；‎ ‎（2）求∠BPF的度数．‎ 解答：（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，‎ ‎∴AB=CD，‎ ‎∵AD=DC，‎ ‎∴BA=AD，∠BAE=∠ADF=120°，‎ ‎∵DE=CF，‎ ‎∴AE=DF，‎ 在△BAE和△ADF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△DAF（SAS）．‎ ‎（2）解：∵由（1）△BAE≌△ADF，‎ ‎∴∠ABE=∠DAF．‎ ‎∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE．‎ 而AD∥BC，∠C=∠ABC=60°，‎ ‎∴∠BPF=120°．‎ ‎25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，将BC延长至点F，使CF=CD．‎ ‎（1）求∠ABC的度数；‎ ‎（2）如果BC=8，求△DBF的面积？‎ 解答：解：（1）∵AD∥BC，‎ ‎∴∠ADB=∠DBC，‎ ‎∵AB=AD，‎ ‎∴∠ADB=∠ABD，‎ ‎∴∠DBC=∠ABD，‎ ‎∵在梯形ABCD中AB=DC，‎ ‎∴∠ABC=∠DCB=2∠DBC，‎ ‎∵BD⊥DC，‎ ‎∴∠DBC+2∠DBC=90°‎ ‎∴∠DBC=30°‎ ‎∴∠ABC=60°‎ ‎（2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，‎ ‎∵∠DBC=30°，BC=8，‎ ‎∴DC=4，‎ ‎∵CF=CD∴CF=4，‎ ‎∴BF=12，‎ ‎∵∠F+∠FDC=∠DCB=60°，∠F=∠FDC ‎∴∠F=30°，‎ ‎∵∠DBC=30°，‎ ‎∴∠F=∠DBC，‎ ‎∴DB=DF，‎ ‎∴，‎ 在直角三角形DBH中，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 即△DBF的面积为．‎ ‎26、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=‎10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB的中点．‎ ‎（1）求证：△AGD为正三角形；‎ ‎（2）求EF的长度．‎ ‎（1）证明：连接BE，‎ ‎∵梯形ABCD中，AB=DC，‎ ‎∴AC=BD，可证△ABC≌△DCB，‎ ‎∴∠GCB=∠GBC，‎ 又∵∠BGC=∠AGD=60°‎ ‎∴△AGD为等边三角形，‎ ‎（2）解：∵BE为△BCG的中线，‎ ‎∴BE⊥AC，‎ 在Rt△ABE中，EF为斜边AB上的中线，‎ ‎∴EF=AB=5cm．‎ ‎27、已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F．‎ ‎（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长．‎ ‎（2）求证：ED=BE+FC．‎ 解：（1）∵∠BEC=75°，∠ABC=90°，‎ ‎∴∠ECB=15°，‎ ‎∵∠ECD=45°，‎ ‎∴∠DCF=60°，‎ 在Rt△DFC中：∠DCF=60°，FC=3，‎ ‎∴DF=3，DC=6，‎ 由题得，四边形ABFD是矩形，‎ ‎∴AB=DF=3，‎ ‎∵AB=BC，‎ ‎∴BC=3，‎ ‎∴BF=BC﹣FC=3﹣3，‎ ‎∴AD=DF=3﹣3，‎ ‎∴C梯形ABCD=3×2+6+3﹣3=9+3，‎ 答：梯形ABCD的周长是9+3．‎ ‎（2）过点C作CM垂直AD的延长线于M，再延长DM到N，使MN=BE，‎ ‎∴CN=CE，‎ 可证∠NCD=∠DCE，∵CD=CD，‎ ‎∴△DEC≌△DNC，‎ ‎∴ED=EN，‎ ‎∴ED=BE+FC．‎ ‎28、（2005•镇江）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，直线CE交DA的延长线于点F．‎ ‎（1）求证：△BCE≌△AFE；‎ ‎（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的长．‎ ‎（1）证明：∵AD∥BC，E是AB的中点，‎ ‎∴AE=BE，∠B=∠EAF，∠BCE=∠F．‎ ‎∴△BCE≌△AFE（AAS）．‎ ‎（2）解：∵AD∥BC，‎ ‎∴∠DAB=∠ABC=90°．‎ ‎∵AE=BE，∠AEF=∠BEC，‎ ‎∴△BCE≌△AFE．‎ ‎∴AF=BC=4．‎ ‎∵EF2=AF2+AE2=9+16=25，‎ ‎∴EF=5．‎ ‎29、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．‎ 求证：‎ ‎（1）△BFC≌△DFC；‎ ‎（2）AD=DE；‎ ‎（3）若△DEF的周长为6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面积．‎ ‎（1）∵DC=BC，∠1=∠2，CF=CF，‎ ‎∴△DCF≌△BCF．‎ ‎（2）延长DF交BC于G，‎ ‎∵AD∥BG，AB∥DG，‎ ‎∴四边形ABGD为平行四边形．‎ ‎∴AD=BG．‎ ‎∵△DFC≌△BFC，‎ ‎∴∠EDF=∠GBF，DF=BF．‎ 又∵∠3=∠4，‎ ‎∴△DFE≌△BFG．‎ ‎∴DE=BG，EF=GF．‎ ‎∴AD=DE．‎ ‎（3）∵EF=GF，DF=BF，‎ ‎∴EF+BF=GF+DF，即：BE=DG．‎ ‎∵DG=AB，‎ ‎∴BE=AB．‎ ‎∵C△DFE=DF+FE+DE=6，‎ ‎∴BF+FE+DE=6，即：EB+DE=6．‎ ‎∴AB+AD=6．‎ 又∵AD=2，‎ ‎∴AB=4．‎ ‎∴DG=AB=4．‎ ‎∵BG=AD=2，‎ ‎∴GC=BC﹣BG=5﹣2=3．‎ 又∵DC=BC=5，‎ 在△DGC中∵42+32=52‎ ‎∴DG2+GC2=DC2‎ ‎∴∠DGC=90°．‎ ‎∴S梯形ABCD=（AD+BC）•DG ‎=（2+5）×4‎ ‎=14．‎ ‎30、如图，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E．‎ ‎（1）求证：四边形ABED是菱形；‎ ‎（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面积．‎ 解答：解：（1）证明：∵AD∥BC， DE2=CD2+CE2=42+32=25， ‎ ‎∴∠OAD=∠OEB， ∴DE=5‎ 又∵AB=AD，AO⊥BD， ∴AD=BE=5，‎ ‎∴OB=OD， ∴S梯形ABCD=．‎ 又∵∠AOD=∠EOB，‎ ‎∴△ADO≌△EBO（AAS），‎ ‎∴AD=EB，‎ 又∵AD∥BE，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，‎ 又∵AB=AD ‎∴四边形ABCD是菱形．‎ ‎（2）∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AD=DE=BE，‎