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  • 2021-05-13 发布

初中数学突破中考压轴题几何模型之相似三角形中一线三等角模型

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一线三等角 ‎ ‎ 相似三角形判定的基本模型 ‎ ‎ ‎ A字型 X字型 反A字型 反8字型 母子型 旋转型 双垂直 三垂直 相似三角形判定的变化模型 ‎ ‎ 一线三等角型相似三角形 三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形)或者等边三角形为背景,一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上,角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示:‎ 等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同,当顶点移动到底边的延长线时,形成变式图形,图形虽然变化但是求证的方法不变。此规律需通过认真做题,细细体会。‎ C A D B E F 典型例题 ‎【例1】如图,等边△ABC中,边长为6,D是BC上动点,∠EDF=60°‎ ‎(1)求证:△BDE∽△CFD ‎(2)当BD=1,FC=3时,求BE ‎ C D E A B F ‎【例2】如图,等腰△ABC中,AB=AC,D是BC中点,∠EDF=∠B,‎ 求证:△BDE∽△DFE A B P C M ‎【例3】如图,在△ABC中,AB=AC=5cm,BC=8,点P为BC边上一动点(不与点B、C重合),过点P作射线PM交AC于点M,使∠APM=∠B;‎ ‎(1)求证:△ABP∽△PCM;‎ ‎(2)设BP=x,CM=y.求 y与x的函数解析式,并写出函数的定义域.‎ ‎(3)当△APM为等腰三角形时, 求PB的长.‎ A B C P Q ‎【例4】(1)在中,,,点、分别在射线、上(点不与点、点重合),且保持.‎ ‎①若点在线段上(如图),且,求线段的长;‎ ‎②若,,求与之间的函数关系式,并写出函数的 ‎ 定义域;‎ ‎(2)正方形的边长为(如图12),点、分别在直线、上 ‎(点不与点、点重合),且保持.‎ A B C D 图12‎ 当时,写出线段的长(不需要计算过程,请直接写出结果).‎ A B C 备用图 点评:此题是典型的图形变式题,记住口诀:“图形改变,方法不变”。动点在线段上时,通过哪两个三角形相似求解,当动点在线段的延长线上时,还是找原来的两个三角形,多数情况下这两个三角形还是相似的,还是可以沿用原来的方法求解。‎ ‎【例5】已知:菱形ABCD,AB=4m, ∠B=60°,点P、Q分别从点B、C出发,沿线段BC、CD以1m/s的速度向终点C、D运动,运动时间为t秒 ‎(1)连接AP、AQ、PQ,试判断△APQ的形状,并说明理由。‎ ‎(2)当t=1秒时,连接AC,与PQ相交于点K.求AK的长。‎ ‎(3) 当t=2秒时,连接AP、PQ,将∠APQ逆时针旋转,使角的两边与AB、AD、AC分别交于点E、N、F,连接EF.若AN=1,求S△EPF.‎ ‎ ‎ ‎【应用】‎ ‎1.如图,在平面直角坐标中,四边形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,BC=1,AB=5,点P为x轴上的一个动点,点P不与点0、点A重合.连接CP,过点P作PD交AB于点D. (1)直接写出点B的坐标 . ‎ ‎(2)当点P在线段OA上运动时,使得∠CPD=∠OAB,且BD: AD=3:2 ‎ ‎,求点P的坐标.‎ ‎2、已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AD<BC,且BC =6,AB=DC=4,点E是AB的中点.‎ ‎ (1)如图,P为BC上的一点,且BP=2.求证:△BEP∽△CPD;‎ ‎ (2)如果点P在BC边上移动(点P与点B、C不重合),且满足∠EPF=∠C,PF交直线CD于点F,同时交直线AD于点M,那么 ‎ ①当点F在线段CD的延长线上时,设BP=,DF=,求关于的函数解析式,并写出函数的定义域;②当时,求BP的长.‎ E D C B A ‎(备用图)‎ E D C B A P ‎(第25题图)‎ 模型训练:‎ A B C D E 1. 如图,在△ABC中,,,是边上的一个动点,点在边上,且.‎ ‎(1) 求证:△ABD∽△DCE;‎ ‎(2) 如果,,求与的函数解析式,并写出自变量的定义域;‎ ‎(3) 当点是的中点时,试说明△ADE是什么三角形,并说明理由.‎ 1. 已知:如图,在△ABC中,,,点D在边AB上,,点E在边BC上.又点F在边AC上,且.‎ ‎(1) 求证:△FCE∽△EBD;‎ ‎(2) 当点D在线段AB上运动时,是否有可能使.‎ 如果有可能,那么求出BD的长.如果不可能请说明理由.‎ 2. 如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,P是BC上一点,且BP=2,将一个大小与∠B相等的角的顶点放在P 点,然后将这个角绕P点转动,使角的两边始终分别与AB、AC相交,交点为D、E。‎ ‎(1)求证△BPD∽△CEP ‎(2)是否存在这样的位置,△PDE为直角三角形?‎ C P E A B D 若存在,求出BD的长;若不存在,说明理由。‎ A B C D E F 1. 如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,P是BC上的一个动点(与B、C不重合),PE⊥AB与E,PF⊥BC交AC与F,设PC=x,记PE=,PF=‎ C P E A B F ‎(1)分别求、关于x的函数关系式 ‎(2)△PEF能为直角三角形吗?若能,求出CP的长,若不能,请说明理由。‎ 2. 已知在等腰三角形中,,是的中点, 是上的动点(不与、重合),连结,过点作射线,使,射线交射线于点,交射线于点.‎ ‎(1)求证:∽;‎ ‎(2)设.‎ ‎①用含的代数式表示;‎ ‎②求关于的函数解析式,并写出的定义域.‎ C D A B P 3. 已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AD<BC,且AD=5,AB=DC=2.‎ ‎(1)如图8,P为AD上的一点,满足∠BPC=∠A.‎ ‎①求证;△ABP∽△DPC ‎②求AP的长.‎ ‎(2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合),且满足∠BPE=∠A,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么 ‎①当点Q在线段DC的延长线上时,设AP=x,CQ=y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;‎ ‎②当CE=1时,写出AP的长(不必写出解题过程)‎