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- 2021-05-13 发布
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杨浦区2014学年度第二学期初三质量调研
数 学 试 卷 2015.4
(完卷时间 100分钟 满分 150分)
考生注意:
1.本试卷含三个大题,共25题;
2.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效;
3.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.
一、 选择题(本大题每小题4分,满分24分)
【下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1.如果x=2是方程的根,那么a的值是 ( ▲ )
(A)0; (B)2; (C)-2; (D)-6.
2.在同一直角坐标系中,若正比例函数的图像与反比例函数的图像没有公
共点,则 ( ▲ )
(A)k1k2<0; (B)k1k2>0; (C)k1+k2<0; (D)k1+k2>0.
3.某篮球队12名队员的年龄如下表所示:
年龄(岁)
18
19
20
21
人数
5
4
1
2
则这12名队员年龄的众数和中位数分别是 ( ▲ )
(A)2, 19; (B)18, 19; (C)2, 19.5; (D)18, 19.5.
4.下列命题中,真命题是 ( ▲ )
(A)周长相等的锐角三角形都全等; (B)周长相等的直角三角形都全等;
(C)周长相等的钝角三角形都全等; (D)周长相等的等腰直角三角形都全等.
5.下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是 ( ▲ )
(A); (B); (C); (D).
6.设边长为3的正方形的对角线长为a.下列关于a的四种说法:①a是无理数;②a可以用数轴上的一个点来表示;③3<a<4;④a是18的一个平方根.其中,所有正确说法的序号是 ( ▲ )
(A) ①④; (B)②③; (C)①②④; (D)①③④.
一、 填空题(本大题每小题4分,满分48分)
【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7.分解因式:= ▲ .
8.不等式的解集是 ▲ .
9.方程的解为 ▲ .
10.如果关于x的方程有两个实数根,那么m的取值范围是 ▲ .
11.如果将抛物线平移到抛物线的位置,那么平移的方向和距离分别是 ▲ .
12.一个盒子内装有大小、形状相同的四个球,其中红球1个、绿球1个、白球2个,小明摸出一个球不放回,再摸出一个球,则两次都摸到白球的概率是 ▲ .
13.如图,△ABC中,如果AB=AC,AD⊥BC于点D,M为AC中点,AD与BM交于点G,那么的值为 ▲ .
14.如图,在中,记,点P为BC边的中点,则= ▲ (用向量、来表示).
15.如图,Rt△ABC中,∠ACB=,BC=4cm,AC=3cm,⊙O是以BC为直径的圆,如果⊙O与⊙A相内切,那么⊙A的半径长为 ▲ cm.
(第13题图)
(第14题图)
(第15题图)
A
B
C
P
A
C
B
O
A
B
C
D
M
G
16.本市某校开展以“倡导绿色出行,关爱师生健康”为主题的教育活动.为了了解本校师生的出行方式,在本校范围内随机抽查了部分师生,将收集的数据绘制成下列不完整的两种统计图.已知随机抽查的教师人数为学生人数的一半,根据图中信息,乘私家车出行的教师人数是 ▲ .
学生出行方式扇形统计图
17.对于平面直角坐标系 xOy中的点P(a,b),若点P'的坐标为()(其中
k为常数,且),则称点P'为点P的“k属派生点”.例如:P(1,4)的“2属派生
点”为P'(),即P'(3,6).若点P的“k属派生点”的坐标为(3,
3),请写出一个符合条件的点P的坐标: ▲ .
18.如图,钝角△ABC中,tan∠BAC=,BC=4,将三角形绕着点
A旋转,点C落在直线AB上的点C,处,点B落在点B,处,若C、
(第18题图)
B、B,恰好在一直线上,则AB的长为 ▲ .
E
D
一、 解答题(第19~22题每题10分,第23~24题每题12分,第25题14分,满分78分)
19.(本题满分10分) 计算:.
20.(本题满分10分) 解方程组:
21. (本题满分10分)
A
C
北
B
东
P
如图,在一笔直的海岸线上有A、B两个观察站,A在B的正东方向,A与B相距2千米。有一艘小船在点P处,从A测得小船在北偏西的方向,从B测得小船在北偏东的方向。
(1)求点P到海岸线的距离;
(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间
后到达点C处,此时,从B点测得小船在北偏西
的方向。求点C与点B之间的距离。
(注:答案均保留根号)
(第21题图)
22.(本题满分10分)
现有甲、乙两个空调安装队分别为A、B两个公司安装空调,甲安装队为A公司安装66台空调,乙安装队为B公司安装80台空调,乙安装队提前一天开工,最后与甲安装队恰好同时完成安装任务,已知甲队比乙队平均每天多安装2台空调. 求甲、乙两个安装队平均每天各安装多少台空调.
23.(本题满分12分)
(第23题图)
A
B
C
D
E
G
H
M
已知:如图,Rt△ABC和 Rt△CDE中,∠ABC=∠CDE =,且BC与CD共线,联结AE,点M为AE中点,联结BM,交AC于点G,联结MD,交CE于点H。
(1)求证:MB=MD;
(2)当AB=BC,DC=DE时,求证:四边形MGCH为矩形。
24.(本题满分12分,第(1)小题4分,第(2)小题4分,第(3)小题4分,)
已知:在直角坐标系中,直线y=x+1与x轴交与点A,与y轴交与点B,抛物线
x
y
O
的顶点D在直线AB上,与y轴的交点为C。
(1)若点C(非顶点)与点B重合,求抛物线的表达式;
(2)若抛物线的对称轴在y轴的右侧,且CD⊥AB,求∠CAD的正切值;
(3)在第(2)的条件下,在∠ACD的内部作射线CP交抛物线的对称
轴于点P,使得∠DCP=∠CAD,求点P的坐标。
(第24题图)
25.(本题满分14分,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题4分)
在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BC=10,,点O是AB边上动点,以O为圆
心,OB为半径的⊙O与边BC的另一交点为D,过点D作AB的垂线,交⊙O于点E,联结BE、AE。
(1) 当AE//BC(如图(1))时,求⊙O的半径长;
(2) 设BO=x,AE=y,求y关于 x的函数关系式,并写出定义域;
A
B
C
备用图
图(1)
A
B
C
D
E
O
A
C
B
E
O
D
备用图
(3) 若以A为圆心的⊙A与⊙O有公共点D、E,当⊙A恰好也过点C时,求DE的长。
(第25题图)
杨浦区2014学年度第二学期初三质量调研
数学试卷答案及评分标准 2015.4
一、 选择题(本大题每小题4分,满分24分)
1.C ;2. A;3. B;4. D;5. A;6. C
二、 填空题(本大题每小题4分,满分48分)
7. ;8. ;9. ;10. ;11.右,2;12. ;13.
14. ;15. ;16. 15;17.(1,2)等;18. E
D
三、 解答题(第19~22题每题10分,第23~24题每题12分,第25题14分,满分78分)
19.解:原式=---------------------------------------------------(8分)
=-----------------------------------------------------------------------------------(2分)
20.解:由(2)变形得-----------------------------------------------(2分)
由此,得:-------------------------------------------------------(2分)
∴原方程组转化为或---------------------------------------(2分)
解得:-----------------------------------------(4分)
原方程组的解为
21.解:(1)作PD⊥AB于点D,设PD=x,
由题意可知∠PBA=,∠PAB=,-------------------------------------------------------(1分)
∴BD=x,AD=,--------------------------------------------------------------------------------(1分)
∵AB=2,∴,--------------------------------------------------------------------------(1分)
∴,------------------------------------------------------------------------------(1分)
∴点P到直线AB的距离是千米。--------------------------------------------------------(1分)
(2)过点B作BF⊥AC于点F,由题意得∠PBC=,∠CPB=,---(1分)
∴∠C=,--------------------------------------------------------------------------------------------(1分)
在Rt△ABF中,∠PAB=,AB=2,∴BF=1,------------------------------------------------(1分)
∴BC=-----------------------------------------------------------------------------------------------(1分)
∴点B与点C之间的距离为千米。-----------------------------------------------------------(1分)
22.解:设乙安装队每天安装x台空调,则甲安装队每天安装(x+2)台空调,-------(1分)
根据题意得:,----------------------------------------------------------------------(3分)
整理得:,-----------------------------------------------------------------------(1分)
解方程得: , ------------------------------------------------------------------(2分)
经检验 是方程的解,并且符合实际. -----------------------------------------------------(1分)
, ---------------------------------------------------------------------------------------------(1分)
答:甲安装队每天安装22台空调,乙安装队每天安装20台空调. ---------------------(1分)
23.
证明:(1)方法一:取BD中点P,联结MP,------------------------------------------------(1分)
∵∠ABC=∠CDE =,∴∠ABC+∠CDE =,∴AB//ED,-------------------------(1分)
∵点M为AE中点,点P为BD中点,∴MP//AB,-------------------------------------------(1分)
∴∠MPD=∠ABC=,即MP⊥BD,∴MP为线段BD的垂直平分线,--------------(1分)
∴MB=MD-----------------------------------------------------------------------------------------------(1分)
方法二:延长BM,与DE的延长线交于点T,------------------------------------------------(1分)
∵∠ABC=∠CDE =,∴∠ABC+∠CDE =,∴AB//ED,
∴∠ABM=∠MTE,
又∵∠AMB=∠EMT,点M为AE中点,∴△AMB≌△EMT,---------------------------------(1分)
∴BM=TM,------------------------------------------------------------------------------------------(1分)
∵∠CDE =,∴ED⊥BD,∴DM=BT,--------------------------------------------------(1分)
∴DM=BM。---------------------------------------------------------------------------------------------(1分)
(2)方法一:取BD中点P,联结MP,∴BP=BC=(BC+CD),
∵AB//ED,点M为AE中点,∴MP =(AB+DE),
∵AB=BC,DC=DE,∴BP= MP,-----------------------------------------------------------------(2分)
∵MP⊥BD,∴∠MBP =,--------------------------------------------------------------------(1分)
又∵DC=DE,∠CDE =,∴∠ECD=,∴BM//CE
同理DM//AC,∴四边形MGCH为平行四边形,-----------------------------------------------(2分)
∵AB=BC,∠ABC=,∴∠ACB=,同理∠ECD=,∴∠ACE=,-----(1分)
∴四边形MGCH为矩形--------------------------------------------------------------------------------(1分)
方法二:延长BM,与DE的延长线交于点T,
∵△AMB≌△EMT,∴AB=ET,∵AB=BC,∴BC= TE,----------------------------------------(1分)
∵DC=DE,∴,∴CE//BT-------------------------------------------------------------(1分)
∴∠BMD+∠MHC=,
∵BC= TE,DC=DE,∴BC+DC=TE+DE,即BD=TD,
∵BM=TM,∴DM⊥BT,即∠BMD=,----------------------------------------------------(2分)
∴∠MHC=,---------------------------------------------------------------------------------------(1分)
又∵AB=BC,∠ABC=,∴∠ACB=,同理∠ECD=,∴∠ACE=,--(1分)
∴四边形MGCH为矩形-------------------------------------------------------------------------------(1分)
24.(本题满分12分,第(1)小题4分,第(2)小题4分,第(3)小题4分,)
解:(1)∵直线y=x+1与y轴交与点B,∴B(0,1)-----------------------------------(1分)
的顶点D(m,n), ∵D在直线y=x+1上,∴n=m+1,
∴抛物线与y轴的交点C(0,),-----------------------------------------(1分)
∵点C与点B重合,∴,解之得,
∵点C不是顶点,∴,--------------------------------------------------------------(1分)
∴抛物线的表达式是。---------------------------------------------------(1分)
(2)∵直线y=x+1与x轴交与点A,与y轴交与点B,
∴A(-1,0),B(0,1),∴∠ABO=,
∵CD⊥AB,∴∠CBD=∠BCD =,∴CD=BD,
作DH⊥BC于H,∴CH=BH,--------------------------------------------------------------(1分)
∵D(m,m+1),C(0, )∴H(0, ),
∴,解得,
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧,∴,--------------------------------------------(1分)
∴C(0, ),D(2,3),∴CD=,AD=,
∵CD⊥AB,∴.-----------------------------------------------------(2分)
(3)∵A(-1,0),B(0,1),∴∠ABO=,∴∠ABC=,
又A(-1,0),D(2,3),∴∠ADP=,∵CD⊥AB,∴∠CDP=,∴∠CDP=∠ABC,
∵∠DCP=∠CAD,∴∽,--------------------------------------------------(2分)
∴,即,∴DP=8,-------------------------------------------------(1分)
∴P(2,-5)-----------------------------------------------------------------------------------------(1分)
25.(本题满分14分,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题4分)
解:(1)∵DE⊥AB,AB过圆心O,∴AB平分DE,∴BE=BD,∴∠EBA=∠DBA,
∵AE//BC,∴∠EAB=∠DBA,∴∠EAB=∠EBA,∴BE=AE,∴BD= AE,
又∵DE⊥AB,AC⊥AB,∴AC//DE,∴AEDC为平行四边形,
∴AE= DC,∴BD=DC=5,---------------------------------------------------------------------------(2分)
作OH⊥BC于M,则BH=DH=BD=,∵,∴BO=,----------(2分)
即⊙O的半径长是。
(2)联结AD,∵DE⊥AB,AB过圆心O,∴AB平分DE,∴AB是DE的中垂线,∴AD=AE=y,
作OH⊥BC于H,则BH=DH,
在Rt△BOH中,∵BO=x,,∴BH=,∴BD=,-----------------(1分)
作AM⊥BC于M,则得AM=,BM=,∴DM=,------------------------(1分)
在Rt△ADM中,,即,-----------------(1分)
∴()----------------------------------------------------(2分,1分)
(3) 设DE、AB交于点P,则DP=EP,
方法一、情况1:D与C不重合
∵⊙A过点D、C,∴AD=AC,作AK⊥BC于K,则DK=CK=,
∴BD=10-2×=,∴DP=BD•sin∠ABC=,∴DE=。---------------(2分)
情况2:D点与C点重合时,E、A、C三点共线,DE=2AC=12. ----------------(2分)
∴DE的长为12或。
方法二、设DP=x,∵,∴BD=,BP=,∴AP=,
联结EA,∵⊙A过点D、E、C,∴ AE=AC=6,
在Rt△AEP中,,整理得,------------------(1分)
解得,----------------------------------------------------------------------------------(1分)
经检验,都符合题意。∴DE的长为12或。------------------------------------------------(2分)