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【2013年中考攻略】专题12：数学思想方法之归纳探讨
数学中的所谓归纳，是指从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论的思维方法。探索规律性问题就是根据新课程标准“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终”的要求，近年中考数学经常出现的考题。
归纳规律题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律。它体现了“特殊到一般（再到特殊）”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力。
结合2011和2012年全国各地中考的实例，我们从下面八方面探讨归纳规律性问题的解法：（1）根据数的排列或运算规律归纳；（2）根据式的排列或运算规律归纳；（3）根据图的变化规律归纳；（4）根据寻找的循环规律归纳；（5）根据代数式拆分规律归纳；（6）根据一阶递推规律归纳；（7）根据二阶递推规律归纳；（8）根据乘方规律归纳。
一、根据数的排列或运算规律归纳：
典型例题：例1. （2012广东肇庆3分）观察下列一组数：，，，，，…… ，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k个数是 ▲ ．
【答案】。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】根据已知得出数字分母与分子的变化规律：
分子是连续的偶数，分母是连续的奇数，
∴第k个数分子是2k，分母是2k+1。∴这一组数的第k个数是。
例2. （2012福建三明4分）填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，a的值是 ▲ ．
【答案】900。
【考点】分类归纳（数字变化类）。
【分析】寻找规律：
上面是1，2 ，3，4，…；左下是1，4=22，9=32，16=42，…；
右下是：左下数字减上面数字差的平方：
（1－1）2，（4－2）2，（9－3）2，（16－4）2，…
∴a=（36－6）2=900。
例3. （2012湖北恩施4分）观察数表
根据表中数的排列规律，则B+D= ▲ ．
【答案】23。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】∵仔细观察每一条虚线或与虚线平行的直线上的数字从左至右相加等于最上而的一个数字，
∴1+4+3=B，1+7+D+10+1=34。
∴B=8，D=15。
∴B+D=8+15=23。
例4. （2012四川巴中3分）观察下面一列数：1，－2，3，－4，5，－6，……，根据你发现的规律，第2012个数是 ▲
【答案】－2012。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】∵1，－2，3，－4，5，－6，…规律为绝对值是连续的自然数，第奇数个数是正数，第偶数个数是负数，
∴第2012个数是：－2012。
例5. （2012辽宁丹东3分）将一些形状相同的小五角星如下图所示的规律摆放，据此规律，第10个图形有 ▲ 个五角星.
【答案】120。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】寻找规律：不难发现，
第1个图形有3=22－1个小五角星；第2个图形有8=32－1个小五角星；第3个图形有15=42－1个小五角星；…第n个图形有（n＋1）2－1个小五角星。
∴第10个图形有112－1=120个小五角星。
例6. （2012贵州遵义4分）猜数字游戏中，小明写出如下一组数：，小亮猜想出第六个数字是，根据此规律，第n个数是 ▲ ．
【答案】。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】∵分数的分子分别是：2 2=4，23=8，24=16，…2n。
分数的分母分别是：2 2+3=7，23+3=11，24+3=19，…2n＋3。
∴第n个数是。
例7. （2012黑龙江大庆3分）已知l=1，l1=121，l11=12321，…，则依据上述规律，的计算结果中，从左向右数第12个数字是 ▲ .
【答案】4。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。119281
【分析】根据平方后的结果的规律，从左向右依次是从1开始的连续的自然数再逐渐减小至1，且中间的自然数与底数的1的个数相同，根据此规律写出即可得解：
12=1，112=121，1112=12321，…=123456787654321，所以的第12个数字是4。
例8. （2012湖南益阳10分）观察图形，解答问题：
（1）按下表已填写的形式填写表中的空格：
图①
图②
图③
三个角上三个数的积
1×（﹣1）×2=﹣2
（﹣3）×（﹣4）×（﹣5）=﹣60
三个角上三个数的和
1+（﹣1）+2=2
（﹣3）+（﹣4）+（﹣5）=﹣12
积与和的商
﹣2÷2=﹣1，
（2）请用你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x．
【答案】解：（1）填表如下：
图①
图②
图③
三个角上三个数的积
1×（﹣1）×2=﹣2
（﹣3）×（﹣4）×（﹣5）=﹣60
（﹣2）×（﹣5）×17=170
三个角上三个数的和
1+（﹣1）+2=2
（﹣3）+（﹣4）+（﹣5）=﹣12
（﹣2）+（﹣5）+17=17
积与和的商
﹣2÷2=﹣1
（﹣60）÷（﹣12）=5
170÷10=17
（2）图④：∵5×（﹣8）×（﹣9）=360，5+（﹣8）+（﹣9）=﹣1，
∴y=360÷（﹣12）=﹣30。
图⑤：由（1·x·3）÷（1＋x＋3）=﹣3，解得x=﹣2。．
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】（1）根据图形和表中已填写的形式，即可求出表中的空格；
（2）根据图①②③可知，中间的数是三个角上的数字的乘积与和的商，列出方程，即可求出x、y的值。
例9. （2012浙江丽水、金华3分）小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图1中棋子围城三角形，其棵数3，6，9，12，…称为三角形数．类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是【 】
A．2010 B．2012 C．2014 D．2016
【答案】D。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】观察发现，三角数都是3的倍数，正方形数都是4的倍数，所以既是三角形数又是正方形数的一定是12的倍数，然后对各选项计算进行判断即可得解：
∵2010÷12＝167…6，2012÷12＝167…8，2014÷12＝167…10，2016÷12＝168，
∴2016既是三角形数又是正方形数。故选D。
例10. （2012贵州毕节5分）在下图中，每个图案均由边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成，照此规律，第10个图案中共有 ▲ 个小正方形。
【答案】100。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】寻找规律：
第1个图案中共有1=12个小正方形；第2个图案中共有4=22个小正方形；
第3个图案中共有9=32个小正方形；第4个图案中共有16=42个小正方形；
……
∴第10个图案中共有102=100个小正方形。
练习题：
1. （2012山东潍坊3分）下图中每一个小方格的面积为l，则可根据面积计算得到如下算式：1+3+5+7+…+(2n－1)= ▲ .(用n表示，n是正整数)
2. （2011江苏南京2分）甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定：
①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5、乙报6……按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1，当报到的数是50时，报数结束；
②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为 ▲ ．
3. （2011辽宁沈阳4分）宁宁同学设计了一个计算程序，如下表
输入数据
1
2
3
4
5
……
输出数据
a
……
根据表格中的数据的对应关系，可得的值是 ▲
4. （2011辽宁本溪3分）根据图中数字的规律，在最后一个空格中填上适当的数字 ▲ 。
5. （2011江苏扬州3分）如图，立方体的六个面上标着连续的整数，若相对的两个面上所标之数的和相等，则这六个数的和为 ▲ ．
6. （2011山东菏泽3分）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值是 ▲ ．
7. （2011四川广元5分）已知一组数为：1，，，，，…，按此规律用代数式表示第n个数为 ▲
8. （2011云南大理、楚雄、文山、保山、丽江、怒江、迪庆、临沧3分）下面是按一定规律排列的一列数：，，，，那么第个数是 ▲ .
9. （2011贵州六盘水4分）有一列数：，，，……，则它的第7个数是 ▲ ;第n个数是 ▲ 。
10. （2011浙江省3分）如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”， 图A3比图A2多出4个“树枝”， 图A4比图A3多出8个“树枝”，……，照此规律，图A6比图A2多出“树枝”【 】
A.28 B.56 C.60 D. 124
二、根据式的排列或运算规律归纳：
典型例题：例1. （2012江苏盐城3分）已知整数满足下列条件：,,,
,…,依次类推，则的值为【 】
A． B． C． D．
【答案】B。
【考点】分类归纳（数字的变化类）
【分析】根据条件求出前几个数的值，寻找规律，分是奇数和偶数讨论：：
∵， ，
，，
，，
，，
…，
∴当是奇数时，，是偶数时， 。
∴。故选B。
例2. （2012浙江台州5分）请你规定一种适合任意非零实数a，b的新运算“a⊕b”，使得下列算式成立：
1⊕2=2⊕1=3，（﹣3）⊕（﹣4）=（﹣4）⊕（﹣3）=﹣，（﹣3）⊕5=5⊕（﹣3）=﹣，…
你规定的新运算a⊕b= ▲ （用a，b的一个代数式表示）．
【答案】。
【考点】分类归纳（数字的变化类），新定义。
【分析】寻找规律：
∵，
，···
∴。
例3. （2012江苏泰州3分）根据排列规律，在横线上填上合适的代数式：，，， ▲ ，，…．
【答案】。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】寻找规律，代数式的系数为1，3，5，7，9，···，是奇数排列；代数式字母的指数为1，2，3，4，5，···，是自然数排列。所以在横线上的代数式是。
例4. （2012湖南株洲3分）一组数据为：x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，…观察其规律，推断第n个数据应为 ▲ ．
【答案】。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】寻找规律：（1）单项式的系数为1，－2，3，－4···，即n为奇数时，系数为正数，n为偶数时，系数为负数，系数的绝对值为，即系数为；
（2）单项式的指数为n。
∴第n个数据应为。
例5. （2012湖南衡阳3分）观察下列等式
①sin30°= cos60°=
②sin45°= cos=45°=
③sin60°= cos30°=
…
根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）= ▲ ．
【答案】1。
【考点】分类归纳（数字的变化类），互余两角三角函数的关系。
【分析】根据①②③可得出规律，即sin2a+sin2（90°﹣a）=1，继而可得出答案
由题意得，sin230°+sin2（90°﹣30°）= sin230°+sin260°=；
sin245°+sin2（90°﹣45°）= sin245°+sin245°=；
sin260°+sin2（90°﹣60°）= sin260°+sin230°=；
…
∴sin2a+sin2（90°﹣a）=1。
例6. （2012四川凉山5分）对于正数，规定 ，
例如：，，
则 ▲ 。
【答案】。
【考点】分类归纳（数字的变化类），分式的加减法。
【分析】寻找规律：
当x=1时，f（1）=；
当x=2时，f（2）=，当x=时，f（）= ，f（2）＋f（）=1；
当x=3时，f（3）=，当x=时，f（）= ，f（3）＋f（）=1；
······
当x= n时，f（3）=，当x=时，f（）= ，f（）＋f（）=1。
∴。
∴当x= 2012时，。
例7. （2012四川资阳3分）观察分析下列方程：①，②，③；请利用它们所蕴含的规律，求关于x的方程（n为正整数）的根，你的答案是： ▲ ．
【答案】x=n+3或x=n+4。
【考点】分类归纳（数字的变化类），分式方程的解。
【分析】求得分式方程①②③的解，寻找得规律：
∵由①得，方程的根为：x=1或x=2，
由②得，方程的根为：x=2或x=3，
由③得，方程的根为：x=3或x=4，
∴方程的根为：x=a或x=b，
∴可化为。
∴此方程的根为：x－3=n或x－3=n+1，即x=n+3或x=n+4。
例8. （2012辽宁沈阳4分）有一组多项式：a＋b2，a2－b4，a3＋b6，a4－b8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为 ▲ .
【答案】a10－b20。
【考点】分类归纳（数字的变化类），多项式。
【分析】∵第1个多项式为：a1＋b2×1，第2个多项式为：a2－b2×2，第3个多项式为：a3＋b2×3，第4个多项式为：a4－b2×4，…
∴第n个多项式为：an＋（－1）n+1b2n。
∴第10个多项式为：a10－b20。
例9. （2012黑龙江牡丹江3分）观察下列数：，…，按此规律排列，第十个数为 ▲ ．
【答案】。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】寻找规律：观察可知，这个代数式的第n个数的符号是，分子是1，分母x的指数是项数加1，所以，这个代数式为，当n=10时，这个代数式为。
例10. （2012贵州六盘水4分）如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（a+b）n（n为非负整数）的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数。
例如，展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；
再如，展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字。
请认真观察此图，写出（a+b）4的展开式，（a+b）4= ▲ ．
【答案】a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4。
【考点】分类归纳（数字的变化类），完全平方公式。
【分析】由（a+b）=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3可得（a+b）n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于（a+b）n﹣1的相邻两个系数的和，由此可得（a+b）4的各项系数依次为1、4、6、4、1。如图：
∴（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4。
例11.（2012广东珠海9分）观察下列等式：
12×231=132×21，
13×341=143×31，
23×352=253×32，
34×473=374×43，
62×286=682×26，
…
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：
①52× = ×25；
② ×396=693× ．
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明．
例12.（2012广东佛山10分）规律是数学研究的重要内容之一．
初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号(数)及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面．
请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：
(1)写出奇数a用整数n表示的式子；
(2)写出有理数b用整数m和整数n表示的式子；
(3)函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律(课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律)．
下面对函数y=x2的某种数值变化规律进行初步研究：
xi
0
1
2
3
4
5
...
yi
0
1
4
9
16
25
...
yi+1－yi
1
3
5
7
9
11
...
由表看出，当x的取值从0开始每增加1个单位时，y的值依次增加1，3，5...
请回答：
当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？
当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？
【答案】解：（1）n是任意整数，则表示任意一个奇数的式子是：2n+1。
（2）有理数b=（n≠0）。
（3）①当x的取值从0开始每增加个单位时，列表如下：
xi
0
1
2
...
yi
0
1
4
...
yi+1－yi
...
故当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值依次增加、 、 …。
②当x的取值从0开始每增加个单位时，列表如下：
xi
0
...
yi
0
...
yi+1－yi
...
故当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值依次增加、 、 …。
【考点】分类归纳（数字的变化类），二次函数的性质，实数。
【分析】（1）n是任意整数，偶数是能被2整除的数，则偶数可以表示为2n
，因为偶数与奇数相差1，所以奇数可以表示为2n+1。
（2）根据有理数是整数与分数的统称，而所有的整数都可以写成整数的形式，据此可以得到答案。
（3）根据图表计算出相应的数值后即可看出y随着x的变化而变化的规律。
练习题：
1. （2011黑龙江大庆3分）已知下列等式：1＝12，1＋2＋1＝22，1＋2＋3＋2＋1＝32，…．
根据以上等式，猜想：
对于正整数n(n≥4)，1＋2＋…＋(n－1)＋n＋(n－1)＋…＋2＋1＝ ▲ ．
2. （2011广西贵港2分）若记y＝f(x)＝，其中f(1)表示当x＝1时y的值，即f(1)＝＝；f()
表示当x＝时y的值，即f()＝＝；…；
则f(1)＋f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋…＋f(2011)＋f()＝_ ▲ ．
3. （2011广东湛江4分）若：A32=3×2=6，A53=5×4×3=60，A54=5×4×3×2=120，A64=6×5×4×3=360，…，观察前面计算过程，寻找计算规律计算A73= ▲ （直接写出计算结果），并比较A103 ▲ A104（填“＞”或“＜”或“=”）
4. （2011四川雅安3分）在一列数中，，，则 ▲ ．
5. （2011四川成都4分）设,,,…,
设，则S= ▲ （用含的代数式表示，其中为正整数）．
6. （2011辽宁营口3分）观察下列数据：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律第n个数据是 ▲ _(用含n的式子表示)．
7. （2011云南曲靖3分）将一列整式按某种规律排成x,－2x2,4x3,－8x4,16x5…则排在第六个位置的整式为 ▲ ；
8. （2011贵州铜仁4分）．观察一列单项式：，，，，… 根据你发现的规律，第7个单项式为 ▲ ；第个单项式为 ▲ ．
9. （2011福建莆田4分）已知函数，其中表示当时对应的函数值，如，则= ▲ 。
10. （2011湖南益阳8分）观察下列算式：
① 1 ×3 － 22 = 3 － 4 = －1
② 2 × 4 － 32 = 8 －9 = －1
③ 3 × 5 － 42 = 15 －16 = －1
④
……
（1）请你按以上规律写出第4个算式；
（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；
（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．
三、根据图的变化规律归纳：
典型例题：例1. （2012四川自贡3分）一质点P从距原点1个单位的M点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM的中点M3处，第二次从M3跳到OM3的中点M2处，第三次从点M2跳到OM2的中点M1处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点O的距离为【 】
A． B． C． D．
【答案】D。
【考点】分类归纳（图形的变化类），数轴。
【分析】∵OM=1，∴第一次跳动到OM的中点M3处时，OM3=OM=。
同理第二次从M3点跳动到M2处，即在离原点的（）2处，
同理跳动n次后，即跳到了离原点的处。故选D。
例2. （2012山东潍坊3分）下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3
个位置相邻的9个数(如6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为【 】．
A．32 B．126 C．135 D．144
【答案】D。
【考点】分类归纳（数字的变化类），一元二次方程的应用。
【分析】由日历表可知，圈出的9个数中，最大数与最小数的差总为16，又已知最大数与最小数的积为192，所以设最大数为x，则最小数为x－16。
∴x（x－16）=192，解得x=24或x=－8（负数舍去）。
∴最大数为24，最小数为8。
∴圈出的9个数为8，9，10，15，16，17，22，23，24。和为144。故选D。
例3. （2012广东深圳3分）如图，已知：∠MON=30o，点A1、A2、A3 在射线ON上，点B1、B2、B3…．．在射线OM上，△A1B1A2. △A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1=l，则△A6B6A7 的边长为【 】
A．6 B．12 C．32 D．64
【答案】C。
【考点】分类归纳（图形的变化类），等边三角形的性质，三角形内角和定理，平行的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质。
【分析】如图，∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°。∴∠2=120°。
∵∠MON=30°，∴∠1=180°－120°－30°=30°。
又∵∠3=60°，∴∠5=180°－60°－30°=90°。
∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1。∴A2B1=1。
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°。
∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3。
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°。∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3。
∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16。
以此类推：A6B6=32B1A2=32，即△A6B6A7 的边长为32。故选C。
例4. （2012浙江绍兴4分）在一条笔直的公路边，有一些树和路灯，每相邻的两盏灯之间有3棵树，相邻的树与树，树与灯间的距离是10cm，如图，第一棵树左边5cm处有一个路牌，则从此路牌起向右510m～550m之间树与灯的排列顺序是【 】
A． B．C．D．
【答案】B。
【考点】分类归纳（图形的变化类），解一元一次不等式。
【分析】根据题意得：第一个灯的里程数为10米，
第二个灯的里程数为50，
第三个灯的里程数为90米
…
第n个灯的里程数为10+40（n﹣1）=（40n﹣30）米，
由，解得，∴n=14。
当n=14时，40n﹣30=530米处是灯，
则510米、520米、540米处均是树。
∴从此路牌起向右510m～550m之间树与灯的排列顺序是树、树、灯、树。故选B。
例5. （2012浙江绍兴4分）如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交与点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设Pn﹣1Dn﹣2的中点为Dn﹣1，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn﹣1重合，折痕与AD交于点Pn（n＞2），则AP6的长为【 】
A． B． C． D．
【答案】A。
【考点】分类归纳（图形的变化类），翻折变换（折叠问题）。
【分析】由题意得，AD=BC=，AD1=AD﹣DD1=，AD2=，AD3=，…∴ADn=。
故AP1=，AP2=，AP3=…APn=。
∴当n=14时，AP6=。故选A。
例6. （2012湖北荆门3分） 已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2012个图形中直角三角形的个数有【 】
A． 8048个 B． 4024个 C． 2012个 D． 1066个
【答案】B。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】写出前几个图形中的直角三角形的个数，并找出规律：
第1个图形，有4个直角三角形，第2个图形，有4个直角三角形，
第3个图形，有8个直角三角形，第4个图形，有8个直角三角形，
…，
依次类推，当n为奇数时，三角形的个数是2（n+1），当n为偶数时，三角形的个数是2n个，
所以，第2012个图形中直角三角形的个数是2×2012=4024。故选B。
例7. （2012山东烟台3分）一个由小菱形组成的装饰链，断去了一部分，剩下部分如图所示，则断去部分的小菱形的个数可能是【 】
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】如图所示，断去部分的小菱形的个数为5：
故选C。
例8. （2012山东淄博4分）骰子是6个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6
的小立方体，它任意两对面上所写的两个数字之和为7．将这样相同的几个骰子按照相接触的两个面上的数字的积为6摆成一个几何体，这个几何体的三视图如图所示．已知图中所标注的是部分面上的数字，则“※”所代表的数是【 】
(A)2 (B)4 (C)5 (D)6
【答案】 B。
【考点】分类归纳（图形的变化类），几何体的三视图。
【分析】由任意两对面上所写的两个数字之和为7，相接触的两个面上的数字的积为6，结合左视图知，几何体下面5个小立方体的左边的数字是1，右边的数字是6；结合主视图知，几何体右下方的小立方体前面的数字是3，反面的数字是4；根据相接触的两个面上的数字的积为6，几何体右下方的小立方体上面的数字只能是2（如图）。
根据相接触的两个面上的数字的积为6，几何体右上方的小立方体下面的数字是3；根据任意两对面上所写的两个数字之和为7，几何体右上方的小立方体上面的数字是4。
∴俯视图上“※”所代表的数是4。故选B。
例9. （2012浙江绍兴5分）如图，矩形OABC的两条边在坐标轴上，OA=1，OC=2，现将此矩形向右平移，每次平移1个单位，若第1次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差的绝对值为0.6，则第n次（n＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为 ▲ （用含n的代数式表示）
【答案】或。
【考点】分类归纳（图形的变化类），反比例函数综合题，反比例函数的性质，平移的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】设反比例函数解析式为，则
①与BC，AB平移后的对应边相交时，则由两交点纵坐标之差的绝对值为0.6和反比例函数关于对称的性质，得
与AB平移后的对应边相交的交点的坐标为（2，1.4），代入，得，解得。
∴反比例函数解析式为。
则第n次（n＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为：。
②与OC，AB平移后的对应边相交时，由得。
∴反比例函数解析式为。
则第n次（n＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为：。
综上所述，第n次（n＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为或。
例10. （2012江苏南京2分）在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿x轴翻折，再向右平移两个单位称为一次变换，如图，已知等边三角形ABC的顶点B、C的坐标分别是，（－1，－1），（－3，－1），把三角形ABC经过连续9次这样的变换得到三角形A’B’C’，则点A的对应点A’的坐标是 ▲
【答案】（16，）。
【考点】分类归纳（图形的变化类），翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，等边三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】先由△ABC是等边三角形，点B、C的坐标分别是（－1，1）、（－3，－1），求得点A的坐标；再寻找规律，求出点A的对应点A′的坐标：
如图，作BC的中垂线交BC于点D，则
∵△ABC是等边三角形，点B、C的坐标分别是（－1，1）、（－3，－1），
∴BD=1，。∴A（—2，）。
根据题意，可得规律：第n次变换后的点A的对应点的坐标：当n为奇数时为（2n－2，），当n为偶数时为（2n－2， ）。
∴把△ABC经过连续9次这样的变换得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是：（16，）。
例11.（2012江苏无锡2分）如图的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF，其中C．D的坐标分别为（1，0）和（2，0）．若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点A．B．C．D．E、F中，会过点（45，2）的是点 ▲ ．
【答案】B。
【考点】分类归纳（图形的变化类），坐标与图形性质，正多边形和圆，旋转的性质。
【分析】由正六边形ABCDEF中C．D的坐标分别为（1，0）和（2，0），得正六边形边长为1，周长为6。
∴正六边形滚动一周等于6。如图所示。
当正六边形ABCDEF滚动到位置1，2，3，4，5，6，7时，顶点A．B．C．D．E、F的纵坐标为2。
位置1时，点A的横坐标也为2。
又∵（45－2）÷6=7…1，
∴恰好滚动7周多一个，即与位置2顶点的纵坐标相同，此点是点B。
∴会过点（45，2）的是点B。
练习题：
1. （2012湖北随州4分）平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线，若平面内的不同的n个点最多可确定15条直线，则n的值为 ▲ .
2. （2012四川达州3分）将边长分别为1、2、3、4……19、20的正方形置于直角坐标系第一象限，如图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为 ▲ .
3. （2012四川内江6分）已知反比例函数的图象，当x取1，2，3，…，n时，对应在反比例图象上的点分别为M1，M2，M3…，Mn，则= ▲
4. （2012四川乐山3分）如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An﹣1BC的平分线与∠An﹣1CD的平分线交于点An．设∠A=．则：
（1）∠A1= ▲ ；（2）∠An= ▲ ．
5. （2012四川泸州3分）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1,M2,M3,……Mn分别为边B1B2,B2B3,B3B4,……，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…
△BnCnMn的面积为Sn，则Sn= ▲ 。(用含n的式子表示)
6. （2012辽宁鞍山3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=a，作斜边AB边中线CD，得到第一个三角形ACD；DE⊥BC于点E，作Rt△BDE斜边DB上中线EF，得到第二个三角形DEF；依此作下去…则第n个三角形的面积等于 ▲ ．
7. （2012辽宁阜新3分）如图，△ABC的周长是32，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形，再以第2个三角形的三边中点为顶点组成的第3个三角形，…，则第n个三角形的周长为 ▲ ．
8. （2012辽宁本溪3分）如图，下图是一组由菱形和矩形组成的有规律的图案，第1个图中菱形的面
积为S（S为常数），第2个图中阴影部分是由连接菱形各边中点得到的矩形和再连接矩形各边中点得到的菱形产生的，依此类推……，则第n个图中阴影部分的面积可以用含n的代数式表示为 ▲ _。（n≥2，且n是正整数）
9. （2012辽宁锦州3分）如图，正方形A1B1B2C1，A2B2B3C2，A3B3B4C3,…,AnBnBn+1Cn，按如图所示放置，使点A1、A2、A3、A4、…、An在射线OA上，点B1、B2、B3、B4、…、Bn在射线OB上.若∠AOB=45°，OB1 =1，图中阴影部分三角形的面积由小到大依次记作S1,S2，S3，…，Sn,则Sn= ▲ .
10. （2012辽宁铁岭3分）如图，点E、F、G、H分别为菱形A1B1C1D1各边的中点，连接A1F、B1G、C1H、D1E得四边形A2B2C2D2，以此类推得四边形A3B3C3D3…，若菱形A1B1C1D1的面积为S，则四边形AnBnCnDn的面积为 ▲ .
四、根据寻找的循环规律归纳：
典型例题：例1. （2012四川自贡4分）若是不等于1的实数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数是，的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，……，依次类推，则= ▲ ．
【答案】。
【考点】分类归纳（数字的变化类），倒数。
【分析】∵，
∴x2=，x3=，x4=。∴差倒数为3个循环的数。
∵2012=670×3+2，∴x2012=x2=。
例2. （2012内蒙古赤峰3分）将分数化为小数是，则小数点后第2012位上的数是 ▲ ．
【答案】5。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】观察，得出规律：6个数为一循环，若余数为1，则末位数字为8；若余数为2，则末位数字为5；若余数为3，则末位数安为7；若余数为4，则末位数字为1；若余数为5，则末位数字为4；若余数为0，则末位数字为2。
∵化为小数是，∴2012÷6=335…2。
∴小数点后面第2012位上的数字是：5。
例3. （2012江苏南通3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，∠B＝30º，AC＝1，AC在直线l上．将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到
位置②，可得到点P2，此时AP2＝2＋；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3＋；…，按此规律继续旋转，直到得到点P2012为止，则AP2012＝【 】
A．2011＋671 B．2012＋671
C．2013＋671 D．2014＋671
【答案】B。
【考点】分类归纳（图形的变化类），旋转的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。
【分析】寻找规律，发现将Rt△ABC绕点A，P1，P2，···顺时针旋转，每旋转一次， APi（i=1,2,3,···）
的长度依次增加2， ，1，且三次一循环，按此规律即可求解：
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，∴AB=2，BC=。
根据旋转的性质，将Rt△ABC绕点A，P1，P2，···顺时针旋转，每旋转一次， APi（i=1,2,3,···）
的长度依次增加2， ，1，且三次一循环。
∵2012÷3==670…2，
∴AP2012=670（3+ ）+2+ =2012+671 。故选B。
例4. （2012福建莆田4分）如图，在平面直角坐标系中，A(1，1)，B(－1，1)，C(－1，－2)，D(1，－2)．把一条长为2012个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处，并按A—B—C－D—A一…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是【 】
A．(1，－1) B．(－1，1) C．(－1，－2) D．(1，－2)
【答案】B。
【考点】分类归纳（图形的变化类），点的坐标。
【分析】根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案：
∵A（1，1），B（－1，1），C（－1，－2），D（1，－2），
∴AB=1－（－1）=2，BC=1－（－2）=3，CD=1－（－1）=2，DA=1－（－2）=3。
∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2＋3＋2＋3=10，
∵2012÷10=201…2，
∴细线另一端在绕四边形第202圈的第2个单位长度的位置，即点B的位置。
∴所求点的坐标为（－1，1）。故选B。
例5. （2012湖南永州3分）如图，一枚棋子放在七角棋盘的第0号角，现依逆时针方向移动这枚棋子，其各步依次移动1，2，3，…，n个角，如第一步从0号角移动到第1号角，第二步从第1号角移动到第3号角，第三步从第3号角移动到第6号角，…．若这枚棋子不停地移动下去，则这枚棋子永远不能到达的角的个数是【 】
A．0 B．1 C．2 D．3
例6. （2012山东济南3分）如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2012次相遇地点的坐标是【 】
A．（2，0） B．（－1，1） C．（－2，1） D．（－1，－1）
例7. （2012山东聊城3分）如图，在直角坐标系中，以原点O为圆心的同心圆的半径由内向外依次为1，2，3，4，…，同心圆与直线y=x和y=﹣x分别交于A1，A2，A3，A4…，则点A30的坐标是【 】
A．（30，30） B．（﹣8，8）
C．（﹣4，4） D．（4，﹣4）
【答案】C。
【考点】分类归纳（图形的变化类），一次函数综合题，解直角三角形。
【分析】∵A1，A2，A3，A4…四点一个周期，而30÷4=7余2，
∴A30在直线y=﹣x上，且在第二象限。
即射线OA30与x轴的夹角是45°，如图OA=8，∠AOB=45°，
∵在直角坐标系中，以原点O为圆心的同心圆的半径由内向外依次为1，2，3，4，…，
∴OA30=8。
∵A30的横坐标是﹣8sin45°=﹣4，纵坐标是4，即A30的坐标是（﹣4，4）。
故选C。
例8. （2012广东梅州3分）如图，连接在一起的两个正方形的边长都为1cm，一个微型机器人由点A开始按ABCDEFCGA…的顺序沿正方形的边循环移动．①第一次到达G点时移动了 ▲ cm；②当微型机器人移动了2012cm时，它停在 ▲ 点．
【答案】7；E。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】①由图可知，从A开始，第一次移动到G点，共经过AB、BC、CD、DE、EF、FC、CG七条边，所以共移动了7cm；
②∵机器人移动一圈是8cm，而2012÷8=251…4，
∴移动2012cm，是第251圈后再走4cm正好到达E点。
例9. （2012广东河源4分）如图，连接在一起的两个正方形的边长都为1cm，一个微型机器人由点A开始按ABCDEFCGA…的顺序沿正方形的边循环移动．①第一次到达点G时，微型机器人移动了
▲ cm；②当微型机器人移动了2012cm时，它停在 ▲ 点．
【答案】7；E。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】①由图可知，从A开始，第一次移动到G点，共经过AB、BC、CD、DE、EF、FC、CG七条边，所以共移动了7cm；
②∵机器人移动一圈是8cm，而2012÷8=251…4，
∴移动2012cm，是第251圈后再走4cm正好到达E点。
例10. （2012湖北鄂州3分）已知，如图，△OBC中是直角三角形，OB与x轴正半轴重合，∠OBC=90°，且OB=1，BC=，将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的m倍，使OB1=OC，得到△OB1C1，将△OB1C1绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的m倍，使OB2=OC1，得到△OB2C2，……，如此继续下去，得到△OB2012C2012，则m= ▲ 。点C2012的坐标是 ▲ 。
【答案】2；（22011，－22011）。
【考点】分类归纳（图形的变化类），坐标与图形的旋转变化，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】在△OBC中，∵OB=1，BC=，∴tan∠COB=。∴∠COB=60°，OC=2。
∵OB1=mOB，OB1=OC，∴mOB=OC，即m=2。
∵每一次的旋转角是60°，∴旋转6次一个周期（如图）。
∵2012÷6=335…2，
∴点C2012的坐标跟C2的坐标在一条射线OC6n+2上。
∵第1次旋转后，OC1=2；第2次旋转后，OC1=22；第3次旋转后，OC3=23；···第2012次旋转后，OC2012=22012。
∵∠C2012OB2012=60°，∴OB2012=22011。B2012C2012==22011。
∴点C2012的坐标为（22011，－22011）。
练习题：
1. （2012湖南娄底4分）如图，如图所示的图案是按一定规律排列的，照此规律，在第1至第2012个图案中“”，共 ▲ 个．
2. （2012山东莱芜4分）将正方形ABCD的各边按如图所示延长，从射线AB开始，分别在各射线上标记点A1、A2、A3、…，按此规律，点A2012在射线 ▲ 上．
3. （2012山东德州4分）如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2012的坐标为 ▲ ．
4. （2012山东泰安3分）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为 ▲ ．
5. （2012山东威海3分）如图，在平面直角坐标系中，线段OA1=1，OA1与x轴的夹角为300。线段A1A2=1，A1A2⊥OA1，垂足为A1；线段A2A3=1，A2A3⊥A1A2，垂足为A2；线段A3A4=1，A3A4⊥A2A3，垂足为A3；···按此规律，点A2012的坐标为 ▲ .
6. （2012云南省3分）观察下列图形的排列规律（其中、、分别表示三角形、正方形、五角星），若第一个图形是三角形，则第18个图形是 ▲ .（填图形名称）
7. （2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）如图，在平面直角坐标系中有一边长为l的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OBl为边作第三个正方形OBlB2C2，照此规律作下去，则点B2012的坐标为 ▲
8. （2011重庆綦江4分）如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中 所填整数之和都相等，则第2011个格子中的数为【 】
3
﹣1
2
…
A、3 B、2 C、0 D、﹣1
9. （2011山东日照4分）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2011应标在【 】
A、第502个正方形的左下角 B、第502个正方形的右下角
C、第503个正方形的左上角 D、第503个正方形的右下角
10. （2011贵州黔南4分）观察下列算式：，，，，…．根据上述算式中的规律，请你猜想的末尾数字是【 】
A、2 B、4 C、8 D、6
五、根据代数式拆分规律归纳：
典型例题：例1. （2012江苏扬州3分）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，…若m3分裂后，其中有一个奇数是2013，则m的值是【 】
A．43 B．44 C．45 D．46
【答案】C。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】分析规律，然后找出2013所在的奇数的范围，即可得解：
∵23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，
…
∴m3分裂后的第一个数是m(m－1)＋1，共有m个奇数。
∵45×(45－1)＋1＝1981，46×(46－1)＋1＝2071，
∴第2013个奇数是底数为45的数的立方分裂后的一个奇数，
∴m＝45。故选C。
例2. （2012山东菏泽4分）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：，和分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即；；；……；
若也按照此规律来进行“分裂”，则“分裂”出的奇数中，最大的奇数是 ▲ ．
【答案】41。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】由23=3+5，分裂中的第一个数是：3=2×1+1，
由33=7+9+11，分裂中的第一个数是：7=3×2+1，
由43=13+15+17+19，分裂中的第一个数是：13=4×3+1，
由53=21+23+25+27+29，分裂中的第一个数是：21=5×4+1，
由63=31+33+35+37+39+41，分裂中的第一个数是：31=6×5+1，
∴63“分裂”出的奇数中最大的是6×5+1+2×（6﹣1）=41。
例3. （2012贵州安顺4分）已知2+=22×，3+=32×，4+=42×…，若8+=82×（a，b为正整数），则a+b= ▲ ．
【答案】71。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】根据规律：可知a=8，b=82﹣1=63，∴a+b=71。
例4. （2012山东临沂3分）读一读：式子“1+2+3+4+···+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“∑”是求和符号通过对以上材料的阅读，计算= ▲ ．
【答案】。
【考点】分类归纳（数字的变化类），分式的加减法。
【分析】∵，
∴。
例5. （2012河北省3分）某数学活动小组的20名同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位开始，每位同学一次报自己的顺序数的倒数加1，第一同学报（+1），第二位同学报（+1），第三位同学报（+1），…这样得到的20个数的积为 ▲ 。
【答案】21。
【考点】分类归纳（数字的变化类），有理数的运算。
【分析】∵第一同学报（+1）=2，第二位同学报（+1）=，第三位同学报（+1）=，……第20位同学报（+1）=，
∴这20个数的积为。
例6. （2012广东省7分）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
…
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a5= = ；
（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an= = （n为正整数）；
（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．
【答案】解：（1）。
（2）。
（3）a1+a2+a3+a4+…+a100
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】（1）（2）观察知，找等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为：序号的2倍减1和序号的2倍加1。
（3）运用变化规律计算。
练习题：
1. （2011广西玉林、防城港3分）一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的，…按照这种倒水的方法，倒了10次后容器内剩余的水量是【 】
A、升 B、升 C、升 D、升
2. （2011四川内江12分）同学们，我们曾经研究过n×n的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为．但n为100时，应如何计算正方形的具体个数呢？下面我们就一起来探究并解决这个问题．首先，通过探究我们已经知道
时，我们可以这样做：
（1）观察并猜想：
=（1+0）×1+（1+1）×2=l+0×1+2+1×2=（1+2）+（0×1+1×2）
=（1+0）×1+（1+1）×2+（l+2）×3
=1+0×1+2+1×2+3+2×3
=（1+2+3）+（0×1+1×2+2×3）
=（1+0）×1+（1+1）×2+（l+2）×3+ ___________
=1+0×1+2+1×2+3+2×3+ ___________
=（1+2+3+4）+（___________）
…
（2）归纳结论：
=（1+0）×1+（1+1）×2+（1+2）×3+…[1+（n－l）]n
=1+0×1+2+1×2+3+2×3+…+n+（n－1）×n
=（___________）+[ ___________]
= ___________+ ___________
=×___________
（3 ）实践应用：
通过以上探究过程，我们就可以算出当n为100时，正方形网格中正方形的总个数是_________。
3.（2011四川成都4分）设,,,…,
设，则S= ▲ （用含的代数式表示，其中为正整数）．
六、根据一阶递推规律归纳：
典型例题：例1. （2012湖北黄石3分）“数学王子”高斯从小就善于观察和思考.在他读小学时候就能在课堂上快速
的计算出，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：
令 ①
②
①＋②：有 解得：
请类比以上做法，回答下列问题：
若n为正整数，，则 ▲ .
【答案】12。
【考点】分类归纳（数学的变化类），有理数的混合运算，解一元二次方程。
【分析】根据题目提供的信息，找出规律，列出方程求解即可：
设S=3+5+7+…+（2n+1）=168①，
则S=（2n+1）+…+7+5+3=168②，
①+②得，2S=n（2n+1+3）=2×168，
整理得，n2＋2n－168=0，解得n1=12，n2=－14（舍去）。
∴n=12。
例2. （2012湖北孝感3分）2008年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，今年的奥运会将在英国伦敦举行，奥运会的年份与届数如下表所示：
年份
1896
1900
1904
…
2012
届数
1
2
3
…
n
表中n的值等于 ▲ ．
【答案】30。
【考点】分类归纳（数字的变化类），待定系数法。
【分析】寻找规律：设奥运会的届数为x，年份为y，二者之间的关系为。
将（1，1896），（2，1900）代入，得，解得。
∴。检验：（3，1904）符合。∴奥运会的届数与年份之间的关系为。
当y=2012时，，解得x=30。
∴n=30。
例3. （2012山西省3分）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是 ▲ ．
【答案】4n﹣2。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】由图可知：第一个图案有阴影小三角形2个，第二图案有阴影小三角形2+4=6个，第三个图案有阴影小三角形2+8=12个，···那么第n个就有阴影小三角形2+4（n﹣1）=4n﹣2个。
例4. （2012青海省2分）观察下列一组图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有 ▲ 个★．
【答案】3n+1。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。190187
【分析】观察发现，第1个图形五角星的个数是：1+3=4，
第2个图形五角星的个数是：1+3×2=7，
第3个图形五角星的个数是：1+3×3=10，
第4个图形五角星的个数是：1+3×4=13，
…
依此类推，第n个图形五角星的个数是：1+3×n=3n+1。
例5. （2012浙江宁波6分）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
（1）第5个图形有多少黑色棋子？
（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．
【答案】解：（1）寻找规律：
第一个图需棋子6=3×2，
第二个图需棋子9=3×3，
第三个图需棋子12=3×4，
第四个图需棋子15=3×5，
∴第五个图需棋子3×6=18。
答：第5个图形有18颗黑色棋子。
（2）由（1）可得，第n个图需棋子3（n+1）枚
设第n个图形有2013颗黑色棋子，
则3（n+1）=2013 ，解得n=670。
答：第670个图形有2013颗黑色棋子。
【考点】分类归纳（图形的变化类），一元一次方程的应用。
【分析】（1）根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，即可得出答案。
（2）根据（1）所找出的规律，列出方程，即可求出答案。
例6. （2012山东济宁6分）问题情境：
用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2012个图共有多少枚棋子？
建立模型：
有些规律问题可以借助函数思想来探讨，具体步骤：第一步，确定变量；第二步：在直角坐标系中画出函数图象；第三步：根据函数图象猜想并求出函数关系式；第四步：把另外的某一点代入验证，若成立，则用这个关系式去求解．
解决问题：
根据以上步骤，请你解答“问题情境”．
【答案】解：以图形的序号为横坐标，棋子的枚数为纵坐标，描点：（1，4）、（2，7）、（3，10）、（4，13）依次连接以上各点，所有各点在一条直线上，
设直线解析式为y=kx+b，把（1，4）、（2，7）两点坐标代入得
，解得。∴y=3x+1。
验证：当x=3时，y=10；当x=4时，y=13，∴（3，10）、（4，13）也在这条直线上。
当x=2012时，y=3×2012+1=6037。
答：第2012个图有6037枚棋子。
【考点】分类归纳（图形的变化类），一次函数的应用。
【分析】
画出相关图形后可得这些点在一条直线上，设出直线解析式，把任意两点代入可得直线解析式，进而把x=2012代入可得相应的棋子数目。
练习题：
1. （2011辽宁丹东3分）按一定规律排列的一列数，依次为l，4，7，…．则第n个数是 ▲
2. （2011湖南岳阳3分）将边长分别为，2，3，4…的正方形的面积记作S1，S2，S3，S4…，计算S2﹣S1，S3﹣S2，S4﹣S3…．若边长为n（n为正整数）的正方形面积记作Sn，根据你的计算结果，猜想Sn+1﹣Sn= ▲ ．
3. （2011山东聊城3分）如图，用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数为【 】
A．5n B．5n－1
C．6n－1 D．2n2＋1
4. （2011湖北黄石3分）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的个点最多可确定21条直线，则的值为 【 】
A. B. C. D.
5. （2011吉林省2分）用形状相同的两种菱形拼成如图所示的图案，用表示第n个图案中菱形的个数，则n=____ ▲_____（用含n的式子表示）
6. （2011黑龙江哈尔滨3分）观察下列图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有 ▲ 个★
7. （2011黑龙江牡丹江3分）用大小相同的实心圆摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆成的第n个图案中，共有实心圆的个数为 ▲
8. （2011福建漳州4分）用形状和大小相同的黑色棋子按下图所示的方式排列，按照这样的规律，第n个图形需要棋子_ ▲ 枚．（用含n的代数式表示）
9. （2011青海省2分）用黑白两种正六边形地面瓷砖按如图所示规律拼成若干图案，则第n个图案中有白色地面瓷砖 ▲ 块。
第1个 第2个 第3个
10. （2011内蒙古呼伦贝尔3分）用火柴棒按下列方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第n个图形需 ▲ 根火柴棒。
七、根据二阶递推规律归纳：
典型例题：例1. （2012重庆市4分）下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为【 】
A．50 B．64 C．68 D．72
【答案】D。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】寻找规律：每一个图形左右是对称的，
第①个图形一共有2＝2×1个五角星，
第②个图形一共有8＝2×（1+3）＝2×22个五角星，
第③个图形一共有18＝2×（1+3+5）＝2×32个五角星，
…，
则第⑥个图形中五角星的个数为2×62=72。故选D。
例2.（2012湖南永州3分）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，…就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2．如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列1，3，9，19，33，…，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，…，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，33，…是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是 ▲ ．
【答案】21。
【考点】新定义，分类归纳（数字的变化类），待定系数法。
【分析】由已知，二阶等差数列1，3，7，13，…与次序之间形成数对（1，1），（2，3），（3，7），（4，13）…。
设二阶等差数列与次序之间的关系为，
将（1，1），（2，3），（3，7）代入，得，解得。
∴。检验：（4，13）符合。∴二阶等差数列与次序之间的关系为。
∴当x= 5时，。
∴二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是21。
例3. （2012贵州铜仁4分）如图，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑩个图形中平行四边形的个数是【 】
A．54 B．110 C．19 D．109
【答案】D。
【考点】分类归纳（图形的变化类），待定系数法。
【分析】由图知，图中平行四边形的个数与次序之间形成数对（1，1），（2，5），（3，11），…。
设平行四边形的个数与次序之间的关系为，
将（1，1），（2，5），（3，11）代入，得，解得。
∴平行四边形的个数与次序之间的关系为。
∴当x= 10时，。
∴第⑩个图形中平行四边形的个数是109。故选D。
例4. （2012江苏宿迁3分）按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是 ▲ .
【答案】365。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。寻找规律，
【分析】画树状图：记第n个图案中黑色小正方形地砖的块数是an，则
∴an－an－1=4（n－1）（n=2，3，4，···），
∴（a2－a1）＋（a3－a2）＋（a4－a3）＋···＋（an－an－1）=4＋8＋···＋4（n－1），
即an－a1=4[1＋2＋3＋···＋（n－1）]=
∴an=＋a1=。
当n=14时，a14 =。
例5. （2012湖南岳阳3分）图中各圆的三个数之间都有相同的规律，据此规律，第n个圆中，m= ▲ （用含n的代数式表示）．
【答案】。
【考点】分类归纳（图形和数字的变化类）。
【分析】寻找圆中下方数的规律：
第一个圆中，8=2×4=（3×1－1）（3×1＋1）；
第二个圆中，35=5×7=（3×2－1）（3×2＋1）；
第三个圆中，80=8×10=（3×3－1）（3×3＋1）；
······
第n个圆中，。
例6. （2012贵州黔东南4分）如图，第（1）个图有2个相同的小正方形，第（1）个图有2个相同的小正方形，第（2）个图有6个相同的小正方形，第（3）个图有12个相同的小正方形，第（4）个图有20个相同的小正方形，…，按此规律，那么第（n）个图有 ▲ 个相同的小正方形．
【答案】n（n+1）。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】寻找规律：
第（1）个图有2个相同的小正方形，2=1×2，
第（2）个图有6个相同的小正方形，6=2×3，
第（3）个图有12个相同的小正方形，12=3×4，
第（4）个图有20个相同的小正方形，20=4×5，
…，
按此规律，第（n）个图有n（n+1）个相同的小正方形。
例7. （2012广西桂林3分）下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n个图中阴影部分小正方形的个数是 ▲ ．
【答案】n2＋n＋2。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】寻找规律，正方形网格中阴影部分小正方形可分为两部分：除最右一排的部分和最右一排的部分：
除最右一排的小正方形个数
最右一排的小正方形个数
合计小正方形个数
第1个图
1=12
3
4=12＋3
第2个图
4=22
4=3＋1
8=22＋3＋1
第3个图
9=32
5=3＋2
14=32＋3＋2
···
···
···
···
第n个图
n2
3＋n－1= n＋2
n2＋n＋2
练习题：
1. （2011广东河源4分）凸n边形的对角线的条数记作例如：，那么：① ▲ ；② ▲ ；③ ▲ （，用含的代数式表示）。
2. （2011湖北荆门3分）图①是一瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，图②铺成了一个2×2的近似正方形，其中完整菱形共有5个；若铺成3×3的近似正方形图案③，其中完整的菱形有13个；铺成4×4的近似正方形图案④，其中完整的菱形有25个；如此下去，可铺成一个的近似正方形图案.当得到完整的菱形共181个时，n的值为【 】
A.7 B.8 C.9 D.10
3. （2011福建南平4分）观察下列各图形中小正方形的个数，依此规律，第11个图形中小正方形的个数为【 】
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
A．78 B．66 C．55 D．50
4. （2011江苏徐州3分）如图，每个图案都是由若干个棋子摆成，依照此规律，第
个图案中棋子的总个数可用含的代数式表示为 ▲ .
5. （2011辽宁朝阳3分） 观察下列图形：
它们是用●按一定规律排列的，依照此规律，第10个图形中共有 ▲ 个●.
6. （2011内蒙古乌兰察布4分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形有 ▲ 个小圆 · （用含 n 的代数式表示）
第1个图形 第 2 个图形 第3个图形 第 4 个图形
7. （2011四川达州3分）用同样大小的小圆按下图所示的方式摆图形，第1个图形需要1个小圆，第2个图形需3个小圆，第3个图形需要6个小圆，第4个图形需要10个小圆，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要小圆 ▲ 个（用含n的代数式表示）．
8. （2011四川泸州2分）如图，是用三角形摆成的图案，摆第一层图需要1个三角形，摆第二层图需要3个三角形，摆第三层图需要7个三角形，摆第四层图需要13个三角形，摆第五层图需要 ▲ 个三角形，…，摆第n层图需要 ▲ 个三角形．
9. （2011四川遂宁8分）在同一平面内有n条直线，任何两条不平行，任何三条不共点。
当n=1时，如图⑴，一条直线将一个平面分成两个部分；
当n=2时，如图⑵，两条直线将一个平面分成四个部分；
图⑵
图⑴
则：当n=3时，三条直线将一个平面分成 部分；
当n=4时，四条直线将一个平面分成 部分；
若n条直线将一个平面分成个部分，n+1条直线将一个平面分成个部分。
试探索、、n之间的关系。
八、根据乘方规律归纳：
典型例题：例1. （2012山东滨州3分）求1+2+22+23+…+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22012，则2S=2+22+23+24+…+22013，因此2S﹣S=22013﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52012的值为【 】
A．52012﹣1 B．52013﹣1 C． D．
【答案】C。
【考点】分类归纳（数字的变化类），同底数幂的乘法。
【分析】设S=1+5+52+53+…+52012，则5S=5+52+53+54+…+52013，
∴5S﹣S=52013﹣1，∴S=。故选C。
例2. （2012江苏盐城3分）一批志愿者组成了一个“爱心团队”,专门到全国各地巡回演出,以募集爱心基金.第一个月他们就募集到资金1万元,随着影响的扩大,第n（n≥2）个月他们募集到的资金都将会比上个月增加20%,则当该月所募集到的资金首次突破10万元时,相应的n的值为 ▲ .(参考数据:,,)
【答案】13。
【考点】分类归纳（数字的变化类），同底数幂的乘法
【分析】第一个月募集到资金1万元，则由题意第二个月募集到资金（1+20%
）万元，第三个月募集到资
金（1+20%）2万元，…，第n个月募集到资金（1+20%）n－1万元，由题意得：
（1+20%）n－1＞10，即1.2 n－1＞10.
∵1.25×1.26≈7.5＜10，1.25×1.27≈10.8＞10，
∴n－1=5+7=12，解得，n=13。
例3. （2012江苏镇江3分）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形。取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形。取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形。取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图）…，按此方式依次操作。则第6个正六边形的边长是【 】
A. B. C. D.
【答案】A。
【考点】分类归纳（图形的变化类），等边三角形和判定和性质，三角形中位线定理。
【分析】如图，双向延长EF分别交AB、AC于点G、H。
根据三角形中位线定理，得GE=FH=，GB=CH=。
∴AG=AH=。
又∵△ABC中，∠A=600，∴△AGH是等边三角形。
∴GH=AG=AH=。EF= GH－GE－FH=。
∴第2个等边三角形的边长为。
同理，第3个等边三角形的边长为，第4个等边三角形的边长为
，第5个等边三角形的边长为，第6个等边三角形的边长为。
又∵相应正六边形的边长是等边三角形的边长的，
∴第6个正六边形的边长是。故选A。
例4. （2012湖北鄂州3分）在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1,………按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为【 】
A. B. C. D.
【答案】D。
【考点】分类归纳（图形的变化类），坐标与图形性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】∵正方形ABCD，∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA1=90°=∠DOA。
∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA1=90°。∴∠ADO=∠BAA1。
∵∠DOA=∠ABA1，∴△DOA∽△ABA1。∴。
∵AB=AD=，∴BA1=。
∴第2个正方形A1B1C1C的边长A1C=A1B+BC=，面积是。
同理第3个正方形的边长是，面积是：
。
第4个正方形的边长是，面积是
…
第2012个正方形的边长是 ，面积是
。故选D。
例5. （2012湖南常德3分）若图1中的线段长为1，将此线段三等分，并以中间的一段为边作等边三角形，然后去掉这一段，得到图2，再将图2中的每一段作类似变形，得到图3，按上述方法继续下去得到图4，则图4中的折线的总长度为【 】
A. 2 B. C. D.
【答案】D。
【考点】分类归纳（图形的变化类），等边三角形的性质。
【分析】寻找规律，从两方面考虑：
（1）每个图形中每一条短线段的长：图2中每一条短线段的长为，图3中每一条短线段的长为，图4中每一条短线段的长为。
（2）每个图形中短线段的根数：图2中有4根，图3中有16根，图4中有64根。
∴图4中的折线的总长度为。故选D。
【推广到一般，图n中的折线的总长度为】
例6. （2012山东日照4分）如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1C1D1；在等腰直角三角形OA1B1中，作内接正方形A2B2C2D2；在等腰直角三角形OA2B2中，作内接正方形A3B3C3D3；……；依次作下去，则第n个正方形AnBnCnDn的边长是【 】
（A） （B） （C） （D）
【答案】B。
【考点】分类归纳（图形的变化类），等腰直角三角形和正方形的性质。
【分析】寻找规律：∵等腰直角三角形OAB中，∠A=∠B=450，
∴△AA1C1和△BB1D1都是等腰直角三角形。∴AC1=A1C1，BD1=B1D1。
又∵正方形A1B1C1D1中，A1C1=C1D1=B1D1=A1B1，∴AC1=C1D1=D1B。
又∵AB=1，∴C1D1=，即正方形A1B1C1D1的边长为。
同理，正方形A2B2C2D2的边长为，正方形A3B3C3D3的边长为，……正方形AnBnCnDn的边长为。故选B。
例7. （2012广东广州3分）如图，在标有刻度的直线l上，从点A开始，
以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；
以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；
以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；
以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆，
…按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的 ▲ 倍，第n个半圆的面积为 ▲ （结果保留π）
【答案】4；。
【考点】分类归纳（图形的变化类），半圆的面积，负整数指数幂，幂的乘方，同底幂乘法。
【分析】由已知，第3个半圆面积为：，第4个半圆的面积为：，
∴第4个半圆的面积是第3个半圆面积的=4倍。
由已知，第1个半圆的半径为，第2个半圆的半径为，第3个半圆的半径为，·····第n个半圆的半径为。
∴第n个半圆的面积是。
例8. （2012广东湛江4分）如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF、再以对角线AE为边作笫三个正方形AEGH，如此下去…．若正方形ABCD的边长记为a1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，an，则an= ▲ ．
【答案】。
【考点】分类归纳（图形的变化类），正方形的性质，勾股定理，同底幂乘法。
【分析】分析规律：
∵a2=AC，且在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2， ∴。
同理
∴。
例9. （2012黑龙江龙东地区3分）如图，直线y=x，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2，再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，……按此作法进行去，点Bn的纵坐标为 ▲ (n为正整数)。
【答案】。
【考点】分类归纳（图形变化类），一次函数综合题，等腰直角三角形的性质。
【分析】寻找规律： 由直线y=x的性质可知，∵B2，B3，…，Bn是直线y=x上的点，
∴△OA1B1，△OA2B2，…△OAnBn都是等腰直角三角形，且
A2B2=OA2=OB1=OA1；
A3B3=OA3=OB2=OA2=OA1；
A4B4=OA4=OB3=OA3=OA1；
……
。
又∵点A1坐标为（1，0），∴OA1=1。∴，即点Bn的纵坐标为。
练习题：
1. （2011山东德州3分）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），…，则第n个图形的周长是【 】
A、2n B、4n C、2n+1 D、2n+2
2. （2011山东青岛3分）如图，以边长为1的正方形ABCD的边AB
为对角线作第二个正方形AEBO1，再以BE为对角线作第三个正方形EFBO2，如此作下去，…，则所作的第n个正方形的面积Sn＝ ▲ ．
3. （2011广东台山3分）先作半径为的圆的内接正方形，接着作上述内接正方形的内切圆，再作上述内切圆的内接正方形，…，则按以上规律作出的第7个圆的内接正方形的边长为【 】
A、（ B、（ C、（ D、
4. （2011黑龙江龙东五市3分）如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各边中点分别为A1、B1、C1、D1，顺次连接得到四边形A1B1C1D1，再取各边中点A2、B2、C2、D2，顺次连接得到四边形A2B2C2D2，……，依此类推，这样得到四边形AnBnCnDn,则四边形AnBnCnDn的面积为 ▲ 。
5. （2011黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西3分）如图，△ABC是边长为1的等边三角形．取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2．照此规律作下去，则S2011= ▲ ．
6. （2011湖北恩施3分）2002
年在北京召开的世界数学大会会标图案是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的阴影部分是一个小正方形的“赵爽弦图”．若这四个全等的直角三角形有一个角为30°，顶点B1、B2、B3、…、Bn和C1、C2、C3、…、Cn分别在直线和x轴上，则第n个阴影正方形的面积为 ▲ ．
7. （201甘肃兰州4分）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为 ▲ ．
8. （2011福建三明4分）如图，直线l上有2个圆点A，B．我们进行如下操作：第1次操作，在A，B两圆点间插入一个圆点C，这时直线l上有（2+1）个圆点；第2次操作，在A，C和C，B间再分别插入一个圆点，这时直线l上有（3+2）个圆点；第3次操作，在每相邻的两圆点间再插入一个圆点，这时直线l上有（5+4）个圆点；…第n次操作后，这时直线l上有 ▲ 个圆点．
9. （2011浙江衢州10分）△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=Rt∠，AC=BC=2，
（1）要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积大？请说明理由．
（2）图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得正方形面积为s1；按照甲种剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为s2（如图2），则s2= ；再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为
s3，继续操作下去…，则第10次剪取时，s10= ；
（3）求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和．
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