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- 2021-05-13 发布
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第十九讲 解直角三角形
【基础知识回顾】
一、 锐角三角函数定义：
在Rt△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为cosA= ∠A的正切：tanA= ，它们统称为∠A的锐角三角函数
【名师提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关
2、取值范围 】
二、特殊角的三角函数值：
α
sinα
cosα
tanα
300
450
600
【名师提醒：1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的，要在理解的基础上结合表格进行记忆
2、正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而
3、几个特殊关系：⑴sinA+cos2A= ,tanA=
⑵若∠A+∠B=900，则sinA= ，tanA.tanB= 】
三、解直角三角形：
1、定义：由直角三角形中除直角外的 个已知元素，求出另外 个未知元素的过程叫解直角三角形
2、解直角三角形的依据：
Rt∠ABC中，∠C=900 三边分别为a、b、c
⑴三边关系：
⑵两锐角关系
⑶边角之间的关系：sinA cosA tanA
sinB cosB tanB
【名师提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是
当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】
3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在图上标上仰角和俯角铅直线
水平线
视线
视线
⑵坡度坡角：如图：
斜坡AB的垂直度h和水平宽度l的比叫做坡度，用i表示，即i= 坡面与水平面得夹角为 用字母α表示，则i=tanα=。
⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角
如图：OA表示 OB表示
OC表示
OD表示 （也可称东南方向）
3、 利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：
⑴把实际问题抓化为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）
⑵根据条件特点，选取合适的锐角三角函数去解直角三角形
⑶解出数学问题答案，从而得到实际问题的答案
【名师提醒：在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角形，解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】
【重点考点例析】
考点一：锐角三角函数的概念
例1 （2017•贵阳）如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为（12，5），则tanα等于（ ）
A． B． C． D．
对应训练
1．（2017•宿迁）如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是（ ）
A． B． C． D．
1．B
考点二：特殊角的三角函数值
例2 （2017•杭州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：①sinA= ；②cosB=；③tanA=；④tanB= ，其中正确的结论是 ②③④
（只需填上正确结论的序号）
对应训练
2．（2017•重庆）计算6tan45°-2cos60°的结果是（ ）
A．4 B．4 C．5 D．5
考点三：化斜三角形为直角三角形
例3 （2017•扬州）在△ABC中，AB=AC=5，sin∠ABC=0.8，则BC= 6
．
对应训练
3．（2017•陕西）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且BD平分AC．若BD=8，AC=6，∠BOC=120°，则四边形ABCD的面积为 ．（结果保留根号）
考点四：解直角三角形的应用
例4 （2017•舟山）某学校的校门是伸缩门（如图1），伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米．校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60°（如图2）；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°（如图3）．问：校门打开了多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin5°≈0.0872，cos5°≈0.9962，sin10°≈0.1736，cos10°≈0.9848）．
思路分析：先求出校门关闭时，20个菱形的宽即大门的宽；再求出校门打开时，20个菱形的宽即伸缩门的宽；然后将它们相减即可．
解：如图，校门关闭时，取其中一个菱形ABCD．
根据题意，得∠BAD=60°，AB=0.3米．
∵在菱形ABCD中，AB=AD，
∴△BAD是等边三角形，
∴BD=AB=0.3米，
∴大门的宽是：0.3×20≈6（米）；
如图，校门打开时，取其中一个菱形A1B1C1D1．
根据题意，得∠B1A1D1=10°，A1B1=0.3米．∵在菱形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∠B1A1O1=5°，
∴在Rt△A1B1O1中，
B1O1=sin∠B1A1O1•A1B1=sin5°×0.3=0.02616（米），
∴B1D1=2B1O1=0.05232米，
∴伸缩门的宽是：0.05232×20=1.0464米；
∴校门打开的宽度为：6-1.0464=4.9536≈5（米）．
故校门打开了5米．
点评：本题考查了菱形的性质，解直角三角形的应用，难度适中．解题的关键是把实际问题转化为数学问题，只要把实际问题抽象到解直角三角形中，一切将迎刃而解．
对应训练
4．（2017•
益阳）如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，小张在小道上测得如下数据：AB=80.0米，∠PAB=38.5°，∠PBA=26.5．请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置．（以A，B为参照点，结果精确到0.1米）
（参考数据：sin38.5°=0.62，cos38.5°=0.78，tan38.5°=0.80，sin26.5°=0.45，cos26.5°=0.89，tan26.5°=0.50）
【聚焦山东高考】
1．（2017•济南） cos30°的值是 ．
2．（2017•聊城）河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（ ）
A．12 B．4米 C．5米 D．6米
3．（2017•潍坊）一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（ ）
A．10海里/小 B．30海里/小时 C．20海里/小时 D．30海里/小时
4．（2017•东营）某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB的高度为 9
米．
5．（2017•泰安）如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A，B之间的距离为 67.5
（取≈1.7，结果精确到0.1海里）．
6．（2017•烟台）如图，一艘海上巡逻船在A地巡航，这时接到B地海上指挥中心紧急通知：在指挥中心北偏西60°方向的C地，有一艘渔船遇险，要求马上前去救援．此时C地位于北偏西30°方向上，A地位于B地北偏西75°方向上，A、B两地之间的距离为12海里．求A、C两地之间的距离（参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.45，结果精确到0.1）
7．（2017•莱芜）如图，有一艘渔船在捕鱼作业时出现故障，急需抢修，调度中心通知附近两个小岛A、B上的观测点进行观测，从A岛测得渔船在南偏东37°方向C处，B岛在南偏东66°方向，从B岛测得渔船在正西方向，已知两个小岛间的距离是72海里，A岛上维修船的速度为每小时20海里，B岛上维修船的速度为每小时28.8海里，为及时赶到维修，问调度中心应该派遣哪个岛上的维修船？
（参考数据：cos37°≈0.8，sin37°≈0.6，sin66°≈0.9，cos66°≈0.4）
8.（2017•济宁）钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土（如图1），A、B、C分别是钓鱼岛、南小岛、黄尾屿上的点（如图2），点C在点A的北偏东47°方向，点B在点A的南偏东79°方向，且A、B两点的距离约为5.5km；同时，点B在点C的南偏西36°方向．若一艘中国渔船以30km/h的速度从点A驶向点C捕鱼，需要多长时间到达（结果保留小数点后两位）？（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan47°≈1.07，tan36°≈0.73，tan11°≈0.19）
8.解：过点B作BD⊥AC交AC于点D，
由题意得，∠DAB=180°-47°-79°=54°，
∠DCB=47°-36°=11°，
在Rt△ABD中，
∵AB=5.5，∠DAB=54°，
=cos54°，=sin54°，
∴AD=5.5×0.59=3.245，BD=4.445，
在Rt△BCD中，
∵BD=4.445，∠DCB=11°，
∴=tan11°，
∴CD==23.394，
∴AC=AD+CD=3.245+23.394≈26.64（km），
则时间t=26.64÷30≈0.90（h）．
答：需要0.90h到达．
9．（2017•青岛）如图，马路的两边CF，DE互相平行，线段CD为人行横道，马路两侧的A，B两点分别表示车站和超市．CD与AB所在直线互相平行，且都与马路的两边垂直，马路宽20米，A，B相距62米，∠A=67°，∠B=37°．
（1）求CD与AB之间的距离；
（2）某人从车站A出发，沿折线A→D→C→B去超市B．求他沿折线A→D→C→B到达超市比直接横穿马路多走多少米．
（参考数据：sin67°≈ ，cos67°≈ ，tan67°≈ ，sin37°≈ ，cos37°≈，tan37°≈）
10．（2017•枣庄）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．
（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：=1.73，=1.41）；
（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．
11．（2017•聊城）如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住，为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处，已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米，猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，老鼠躲藏处M（点M在DE上）距D点3米．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
（1）猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？
（2）要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到0.1米）？
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2017•天津）tan60°的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
2．（2017•温州）如图，在△ABC中，∠
C=90°，AB=5，BC=3，则sinA的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2017•连云港）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2017•乐山）如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（3，m），且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则sinα的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2017•孝感）式子2cos30°-tan45°- 的值是（ ）
A．2-2 B．0 C．2 D．2
6．（2017•邵阳）在△ABC中，若|sinA-|+（cosB-）2=0，则∠C的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．（2017•宁夏）如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB、CD分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC=120°，BC的长是50m，则水库大坝的高度h是（ ）
A．25 m B．25m C．25m D．m
8．（2017•山西）如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（ ）
A．100 m B．50 m C．50m D．m
二、填空题
9.（2017•武汉）计算：cos45°= ．
10．（2017•淮安）sin30°的值为 ．
11．（2017•大庆）计算：sin260°+cos60°-tan45°= ．
12．（2017•铜仁地区）如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=12，AB=13，则sinB的值等于 ．
13．（2013•鞍山）△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA= ，则BC的长 ．
14．（2017•齐齐哈尔）请运用你喜欢的方法求tan75°= ．
15．（2017•荆门）如图，在Rt△ABC中，∠
ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA= ，则DE= ．
16．（2017•成都）如图，某山坡的坡面AB=200米，坡角∠BAC=30°，则该山坡的高BC的长为 100
米．
17．（2017•十堰）如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为 米．
18．（2013•荆州）如图，在高度是21米的小山A处没得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为何45°，则这个建筑物的高度CD= 米（结果可保留根号）
三、解答题
19．（2017•绥化）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB=8，∠ABD=30°，∠CAD=45°，求BC的长．
20．（2017•常德）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=1．
（1）求BC的长； （2）求tan∠DAE的值．
∴21．（2017•南京）已知不等臂跷跷板AB长4m．如图①，当AB的一端A碰到地面上时，AB与地面的夹角为α；如图②，当AB的另一端B碰到地面时，AB与地面的夹角为β．求跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH．（用含α，β的式子表示）
21．解：依题意有：AO=OH÷sinα，BO=OH÷sinβ，
AO+BO=OH÷sinα+OH÷sinβ，即OH÷4+OH÷sinβ=4m，
则OH=m．
故跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是（m）．
22．（2017•上海）某地下车库出口处“两段式栏杆”如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图2所示，其示意图如图3所示，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠EAB=143°，AB=AE=1.2米，求当车辆经过时，栏杆EF段距离地面的高度（即直线EF上任意一点到直线BC的距离）．
（结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75．）
22．解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG=90°，∠EHA=90°．
∵∠EAB=143°，∠BAG=90°，
∴∠EAH=∠EAB-∠BAG=53°．
在△EAH中，∠EHA=90°，∠AEH=90°-∠EAH=37°，AE=1.2米，
∴EH=AE•cos∠AEH≈1.2×0.80=0.96（米），
∵AB=1.2米，
∴栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH≈1.2+0.96=2.16≈2.2（米）．
故栏杆EF段距离地面的高度为2.2米．
23.（2017•绍兴）如图，伞不论张开还是收紧，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞架所成的角∠BAC，当伞收紧时，结点D与点M重合，且点A、E、D在同一条直线上，已知部分伞架的长度如下：单位：cm
伞架
DE
DF
AE
AF
AB
AC
长度
36
36
36
36
86
86
（1）求AM的长．
（2）当∠BAC=104°时，求AD的长（精确到1cm）．
备用数据：sin52°=0.788，cos52°=0.6157，tan52°=1.2799．
23．解：（1）由题意，得AM=AE+DE=36+36=72（cm）．
故AM的长为72cm；
（2）∵AP平分∠BAC，∠BAC=104°，
∴∠EAD=∠BAC=52°．
如图，过点E作EG⊥AD于G，
∵AE=DE=36，
∴AG=DG，AD=2AG．
在△AEG中，∵∠AGE=90°，
∴AG=AE•cos∠EAG=36•cos52°=36×0.6157=22.1652，
∴AD=2AG=2×22.1652≈44（cm）．
故AD的长约为44cm．
24．（2013•沈阳）身高1.65米的兵兵在建筑物前放风筝，风筝不小心挂在了树上．在如图所示的平面图形中，矩形CDEF代表建筑物，兵兵位于建筑物前点B处，风筝挂在建筑物上方的树枝点G处（点G在FE的延长线上）．经测量，兵兵与建筑物的距离BC=5米，建筑物底部宽FC=7米，风筝所在点G与建筑物顶点D及风筝线在手中的点A在同一条直线上，点A距地面的高度AB=1.4米，风筝线与水平线夹角为37°．
（1）求风筝距地面的高度GF；
（2）在建筑物后面有长5米的梯子MN，梯脚M在距墙3米处固定摆放，通过计算说明：若兵兵充分利用梯子和一根米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
24．解：（1）如图，过A作AP⊥GF于点P．
则AP=BF=12，AB=PF=1.4，∠
GAP=37°，
在直角△PAG中，tan∠PAG=，
∴GP=AP•tan37°≈12×0.75=9（米），
∴GF=9+1.4≈10.4（米）；
（2）由题意可知MN=5，MF=3，
∴在直角△MNF中，NF==4，
∵10.4-5-1.65=3.75＜4，
∴能触到挂在树上的风筝．
25．（2017•遵义）我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将本校的办学理念做成宣传牌（AB），放置在教学楼的顶部（如图所示）．小明在操场上的点D处，用1米高的测角仪CD，从点C测得宣传牌的底部B的仰角为37°，然后向教学楼正方向走了4米到达点F处，又从点E测得宣传牌的顶部A的仰角为45°．已知教学楼高BM=17米，且点A，B，M在同一直线上，求宣传牌AB的高度（结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.81，tan37°≈0.75）．
25．解：如图，过点C作CN⊥AM于点N，则点C，E，N在同一直线上，
设AB=x米，则AN=x+（17-1）=x+16（米），
在Rt△AEN中，∠AEN=45°，
∴EN=AN=x+16，
在Rt△BCN中，∠BCN=37°，BM=17，
∴tan∠BCN==0.75，
∴=，
解得：x=1≈1.3．
经检验：x=1是原分式方程的解．
答：宣传牌AB的高度约为1.3m．
26．（2013•钦州）如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1：
是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）
（1）求点B距水平面AE的高度BH；
（2）求广告牌CD的高度．
（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据： ≈1.414，≈1.732）
26．解：（1）如图，过B作BG⊥DE于G，
Rt△ABF中，i=tan∠BAH==，
∴∠BAH=30°，
∴BH=AB=5；
（2）由（1）得：BH=5，AH=5，
∴BG=AH+AE=5+15，
Rt△BGC中，∠CBG=45°，
∴CG=BG=5+15．
Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，
∴DE=AE=15．
∴CD=CG+GE-DE=5+15+5-15=20-10≈2.7m．
答：宣传牌CD高约2.7米．
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