近三年中考数学探索规律题 44页

近三年（2011、2010、2009）中考数学真题系列 ‎——猜想、规律与探索 一 、选择题 ‎1. （2011浙江省，10，3分）如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”， 图A3比图A2多出4个“树枝”， 图A4比图A3多出8个“树枝”，……，照此规律，图A6比图A2多出“树枝”（ ）‎ ‎ A.28 B‎.56 C.60 D. 124‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎3. （2011广东肇庆，15，3分）如图5所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第（是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎4. （2011内蒙古乌兰察布，18，4分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形 有 个小圆. （用含 n 的代数式表示）‎ 第1个图形 第 2 个图形 第3个图形 第 4 个图形 第 18题图 ‎【答案】或 ‎5. （2011湖南益阳，16，8分）观察下列算式：‎ ‎① 1 × 3 - 22 = 3 - 4 = -1 ‎ ‎② 2 × 4 - 32 = 8 - 9 = -1‎ ‎③ 3 × 5 - 42 = 15 - 16 = -1 ‎ ‎④ ‎ ‎……‎ ‎（1）请你按以上规律写出第4个算式；‎ ‎（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；‎ ‎（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．‎ ‎【答案】解：⑴； ‎ ‎⑵答案不唯一.如； ‎ ‎ ⑶ ‎ ‎.‎ ‎6．（2011广东汕头，20，9分）如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.‎ ‎（1）表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数；‎ ‎（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n行共有 个数；‎ ‎（3）求第n行各数之和．‎ ‎【解】（1）64，8，15；‎ ‎ （2），，；‎ ‎ （3）第2行各数之和等于3×3；第3行各数之和等于5×7；第4行各数之和等于7×7-13；类似的，第n行各数之和等于=.‎ ‎7．（2010安徽省中中考）下面两个多位数1248624……、6248624……，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位。对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的。当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是…………………………………………（ ）‎ A）495 B）497 C）501 D）503‎ ‎【答案】A ‎8．（2010江苏盐城）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是 ‎0‎ ‎2‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎22‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎44‎ m ‎6‎ A．38 B．52 C．66 D．74‎ ‎【答案】D ‎9．（2010山东威海）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为 ‎ O A B C D A1‎ B1‎ C1‎ A2‎ C2‎ B2‎ x y A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎ ‎10．（2010 福建晋江）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；...，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是( ) .‎ 第7题图 A. 669 B. 670　 C.671 D. 672‎ ‎【答案】B ‎ ‎11．（2010山东日照）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如： ‎ 他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ‎（A）15 （B）25 （C）55 （D）1225‎ ‎ ‎ ‎【答案】D ‎ ‎12．（2010山东烟台）如图，一串有趣的图案按一定的规律排列，请仔细观察，按此规律第2010个图案是 ‎【答案】B ‎ ‎13．（2010 河北）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、‎ ‎3和4）放置于水平桌面上，如图6-1．在图6-2中，将骰子 向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成 一次变换．若骰子的初始位置为图6-1所示的状态，那么按 上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是 图6-1‎ 图6-2‎ 向右翻滚90°‎ 逆时针旋转90°‎ A．6 B．5 C．3 D．2‎ ‎【答案】B ‎ ‎14．（2010湖北武汉）如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用…表示为，则顶点的坐标为（ ）‎ A、（13，13） B、（－13，－13） C、（14，14） D、（－14，－14）‎ ‎【答案】C ‎ ‎15．（2010江苏淮安）观察下列各式：‎ ‎……‎ 计算：3×(1×2+2×3+3×4+…+99×100)=‎ ‎ A．97×98×99 B．98×99×100 C．99×100×101 D．100×101×102‎ ‎【答案】C ‎ ‎16．（2010江苏扬州）电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC，AB=6，AC=7，BC=8．如果跳蚤开始时在BC边的P0处，BP0=2．跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1（第一次落点)处，且CP1=CP0；第二步从P1跳到AB边的P2（第一次落点)处，且AP2=AP1；第三步从P2跳到BC边的P3（第三次落点)处，且BP3=BP2；……；跳蚤按上述规则一致跳下去，第n次落点为Pn（n为正整数），则点P2007与P2010之间的距离为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ A B C P0‎ P3‎ P2‎ P1‎ 第8题 ‎【答案】C ‎17．（2010 四川绵阳）如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2，4，6，…，2n，…，请你探究出前n行的点数和所满足的规律．若前n行点数和为930，则n =（ ）．‎ A．29 B．30 C．31 D．32‎ ‎【答案】B ‎ ‎18．（2010 山东淄博）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2010次输出的结果为 输出 输入x x＋3‎ x为偶数 x为奇数 ‎(第11题)‎ ‎（A）6　　　　　　　（B）3　　 （C）　　　　　　（D）‎ ‎【答案】B ‎ ‎19．（2010广东茂名）用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第n个“口”字需用棋子 第2个“口”‎ 第1个“口”‎ 第3个“口”‎ 第n个“口”‎ ‎………………‎ ‎？‎ A．4n枚 B．(4n-4)枚 C．(4n+4)枚 D． n2枚 ‎【答案】A ‎ ‎20．（2010广东深圳）观察下列算式，用你所发现的规律得出的末位数字是（ ）‎ ‎21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎【答案】B ‎ ‎21．（2010贵州铜仁）如图，小红作出了边长为1的第1个正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积，然后分别取△A1B1C1三边的中点A2，B2，C2，作出了第2个正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2的面积，用同样的方法，作出了第3个正△A3B3C3，算出了正△A3B3C3的面积……，由此可得，第8个正△A8B8C8的面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎ ‎22．（2010广东湛江）观察下列算式：‎ ‎，‎ 通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是（ ）‎ A.3 B.9 C.7 D.1‎ ‎【答案】B ‎ ‎23．（2010广西百色）如图，在直角坐标系中，射线与轴正半轴重合，以为旋转中心，将逆时针旋转:……,旋转角,… 要求下一个旋转角(不超过)是前一个旋转角的2倍.当旋转角大于时，又从开始旋转，即… 周而复始.则当与轴正半轴重合时，的最小值为（ ） （提示：2+22+23+24+25+26+27+28=510）‎ A. 16 B. 24 C.27 D. 32‎ 第14题 ‎【答案】B ‎ 当对应所得分数为132分时，则挪动的珠子数　　　　颗。‎ ‎【答案】12‎ ‎24．(2009年四川省内江市)如图，小陈从O点出发，前进‎5米后向右转20O，‎ 再前进‎5米后又向右转20O，……，这样一直走下去，‎ O ‎20o ‎20o 他第一次回到出发点O时一共走了（ ）‎ A．‎60米 B．‎‎100米 C．‎90米 D．‎‎120米 ‎【答案】C.‎ ‎25．（2009年贵州黔东南州）某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒……即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒，按此规律，那么请你推测第n组应该有种子数（ ）粒。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】A ‎26．（2009年江苏省）下面是按一定规律排列的一列数：‎ 第1个数：；‎ 第2个数：；‎ 第3个数：；‎ ‎……‎ 第个数：．‎ 那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ）‎ A．第10个数 B．第11个数 C．第12个数 D．第13个数 ‎【答案】A ‎27．（2009年孝感）对于每个非零自然数n，抛物线与x轴交于An、Bn两点，以表示这两点间的距离，则的值是 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎28．（2009年重庆）观察下列图形，则第个图形中三角形的个数是（ ）‎ ‎……‎ 第1个 第2个 第3个 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D．‎ ‎29．(2009年河北)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”． 从图7中可以发现，任何一个大于1‎ 的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（ ）‎ ‎4=1+3 9=3+6 16=6+10‎ 图7‎ ‎…‎ A．13 = 3+10 B．25 = 9+16 C．36 = 15+21 D．49 = 18+31‎ ‎【答案】C 二、填空题 ‎1. （2011四川绵阳18，4）观察上面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第_____个图形共有120 个。‎ ‎【答案】15‎ ‎2. （2011广东东莞，10，4分）如图(1) ，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A‎1F1B1D‎1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B‎1C1和△1D1E‎1F1各边中点，连接成正六角星形A‎2F2B2D‎2C2E ‎2F 2，如图(3) 中阴影部分；如此下去…，则正六角星形AnFnBnDnCnE nF n的面积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎3. （2011湖南常德，8，3分）先找规律，再填数：‎ ‎【答案】‎ ‎4. （2011广东湛江20,4分）已知：,‎ ‎,观察前面的计算过程，寻找计算规律计算 （直接写出计算结果），并比较 （填“”或“”或“=”）‎ ‎【答案】‎ ‎5．（2010辽宁丹东市）已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是 ．‎ 第15题图 ‎【答案】‎ ‎6．（2010山东青岛）如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要 枚棋子，摆第n个图案需要 枚棋子．‎ ‎…‎ 第14题图 请将9—14各小题的答案填写在下表的相应位置上：‎ 题 号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ 答 案 题 号 ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ 答 案 ‎【答案】127，‎ ‎ 7．（2010四川眉山）如图，将第一个图（图①）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图（图②）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图③）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，……，则得到的第五个图中，共有________个正三角形．‎ ‎……‎ ‎【答案】17‎ ‎8．（2010 嵊州市）如图，平面内有公共端点的六条射线OA,OB,OC,OD,OE,OF,从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，….则“17”在射线 上；“2007”在射线 上。‎ ‎【答案】OE，OC ‎ ‎9．（2010江苏宿迁）直线上有2010个点,我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点,经过3次这样的操作后,直线上共有 ▲ 个点.‎ ‎【答案】16073‎ ‎10．（2010 山东济南） 如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由点开始按的顺序沿菱形的边循环运动，行走2010厘米后停下，则这只蚂蚁停在 点．‎ C A F D E B G ‎【答案】C ‎ ‎11．（2010 浙江衢州）已知a≠0，，，，…，，‎ 则　　　　　　(用含a的代数式表示)．‎ ‎【答案】‎ ‎12．（2010江苏泰州）观察等式：①，②，③…按照这种规律写出第n个等式： ．‎ ‎【答案】‎ ‎13. （2010福建福州）如图，直线y＝x，点A1坐标为(1，0)，过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A5的坐标为(_______，_______)．‎ ‎(第15题)‎ ‎【答案】（16，0）‎ ‎14. （2010重庆綦江县）观察下列正三角形的三个顶点所标的数字规律，那么2010这个数在第_______个三角形的_________顶点处（第二空填：上、左下、右下）．‎ ‎【答案】670；右下 ‎15．（2010 江苏连云港）如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1‎ 的面积为，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去…．利用这一第17题 AD BAD CFEBAD A1‎ A2‎ A3‎ B1‎ B2‎ B3‎ 图形，能直观地计算出＋＋＋…＋＝________． ‎ ‎【答案】‎ ‎16．（2010湖南衡阳）如下图是一组有规律的图案，第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n(n是正整数)个图案中由 个基础图形组成．‎ ‎(1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)‎ ‎……‎ ‎-‎ ‎【答案】3n+1‎ ‎17（2010 山东省德州）电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC，AB=AC=BC=6．如果跳蚤开始时在BC边的P0处，BP0=2．跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1（第1次落点）处，且CP1= CP0；第二步从P1跳到AB边的P2（第2次落点）处，且AP2= AP1；第三步从P2跳到BC边的P3（第3次落点）处，且BP3= BP2；…；跳蚤按照上述规则一直跳下去，第n次落点为Pn（n为正整数），则点P2009与点P2010之间的距离为_________．‎ A B C P0‎ P1‎ P2‎ P3‎ 第15题图 ‎【答案】2‎ ‎18．（2010 山东莱）已知：，，，…，‎ 观察上面的计算过程，寻找规律并计算 ．‎ ‎【答案】210‎ ‎19．（2010福建宁德）用m根火柴可以拼成如图1所示的x个正方形，还可以拼成如图2所示的2y个正方形，那么用含x的代数式表示y，得y＝_____________．‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ 图1‎ 图2‎ 第18题图 ‎【答案】y＝x－.‎ ‎20（2010年贵州毕节）搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②，图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要 根钢管． ‎ ‎【答案】83.‎ ‎21．（2010四川 巴中）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：‎ ‎（1）f（1）=0，f(2) = 1，f（3）=2，f（4）= 3，……‎ ‎（2）……‎ 利用以上规律计算： ‎ ‎【答案】1‎ ‎22．（2010江苏常州）如图，圆圈内分别标有0，1，2，3，4，…，11这12个数字。电子跳蚤每跳一次，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈，现在，一只电子跳蚤从标有数字“0”的圆圈开始，按逆时针方向跳了2010次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数字是 。‎ ‎【答案】6‎ ‎23．（2010湖北荆门）观察下列计算： ‎ ‎ … … 从计算结果中找规律，利用规律计算… 。‎ ‎【答案】 ‎ ‎24．（2010 四川成都）已知是正整数，是反比例函数图象上的一列点，其中．记，，若（是非零常数），则A1·A2·…·An的值是________________________（用含和的代数式表示）．‎ ‎【答案】‎ ‎25．（2010广东中山）如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形；把正方形边长按原法延长一倍得到正方形 ‎（如图（2））；以此下去，则正方形的面积为 ．‎ ‎ 全品中考网 ‎【答案】625‎ ‎26．（2010湖南怀化）有一组数列：2，，2，，2，，2，，…… ，根据这个规律，那么第2010个数是_______． ‎ ‎【答案】-3‎ ‎27．（2010湖北荆州）用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数是 ．‎ ‎ ‎ ‎【答案】3n+2‎ ‎28．（2010湖北恩施自治州）如图3，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，作为第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依次类推，如果层六边形点阵的总点数为331，‎ 则等于 .‎ ‎【答案】11‎ ‎29．（2010北京）右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D．请你按图中箭头所指方向(即A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式)从A开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是 ；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是 ；当字母C第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是 （用含n的代数式表示）．‎ ‎【答案】B,603，6n＋3‎ ‎30．（2010云南红河哈尼族彝族自治州） 如图4，在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1 A1、 A1B1的中点，…，按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有 个.‎ ‎…‎ 图4‎ ‎【答案】3n ‎ ‎31．（2010云南楚雄）如图，用火柴摆出一列正方形图案，若按这种方式摆下去，摆出第n个图案用 根火柴棍（用含n的代数式表示）‎ ‎ ① ② ③‎ ‎【答案】2n(n＋1)‎ ‎32．（2010四川乐山）勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．图（6）是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S2，…，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为Sn．设第一个正方形的边长为1．‎ 图（6）‎ 请解答下列问题：‎ ‎（1）S1＝__________；‎ ‎（2）通过探究，用含n的代数式表示Sn，则Sn＝__________．‎ ‎【答案】1＋；(1＋)·()n -1(n为整数)‎ ‎33．（2010黑龙江哈尔滨）观察下列图形：‎ ‎ 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有 个★。‎ ‎【答案】28‎ ‎34．（2010江苏徐州）用棋子按下列方式摆图形，依照此规律，第n个图形比第(n-1)个图形多_____枚棋子．‎ ‎【答案】（3n-2）31．（2010 福建三明）观察分析下列数据，寻找规律：0，，‎ ‎……那么第10个数据应是 。‎ ‎【答案】‎ ‎35．（2010 山东东营）观察下表，可以发现: 第_________个图形中的“△”的个数是“○”的个数的5倍.‎ 序号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ 图形 ‎○‎ ‎○‎ ‎△‎ ‎○‎ ‎○‎ ‎○‎ ‎○‎ ‎○‎ ‎○‎ ‎△‎ ‎△‎ ‎○‎ ‎△‎ ‎△‎ ‎○‎ ‎○‎ ‎○‎ ‎○‎ ‎○‎ ‎○‎ ‎○‎ ‎○‎ ‎△‎ ‎△‎ ‎△‎ ‎○‎ ‎△‎ ‎△‎ ‎△‎ ‎○‎ ‎○‎ ‎△‎ ‎△‎ ‎△‎ ‎○‎ ‎○‎ ‎○‎ ‎○‎ ‎…‎ ‎【答案】20‎ ‎36．（2010 湖北孝感）用“O”摆出如图所示的图案，若按照同样的方式构造图案，则第10个图案需要 个“O”。‎ ‎【答案】181‎ ‎37．（2010 广东汕头）如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图（2））；以此下去···，则正方形A4B4C4D4的面积为__________‎ 第13题图（1）‎ A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ A B C D D2‎ A2‎ B2‎ C2‎ D1‎ C1‎ B1‎ A1‎ A B C D 第13题图（2）‎ ‎【答案】625‎ ‎38．（2010 四川泸州）在反比例函数的图象上,有一系列点、、…、、，若的横坐标为2,且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2. 现分别过点、、…、、作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形如图8所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为、、、，则________________,+++…+_________________.(用n的代数式表示)‎ ‎【答案】5,‎ ‎39．（2010 贵州贵阳）某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，……按此规律，那么请你推测第n组应该有种子数是  ▲  粒。‎ ‎【答案】2n+1‎ ‎40．（2010 甘肃）观察：，…，则 (n=1，2，3，…). ‎ ‎【答案】‎ ‎41．（2010湖北十堰）如图，n+1个上底、两腰长皆为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形P1M1N1N2面积为S1，四边形P2M2N2N3的面积为S2，……，四边形PnMnNnNn+1的面积记为Sn，通过逐一计算S1，S2，…，可得Sn= .‎ ‎（第16题）‎ A N1‎ N2‎ N3‎ N4‎ N5‎ P4‎ P1‎ P2‎ P3‎ M1‎ M2‎ M3‎ M4‎ ‎…‎ ‎【答案】‎ ‎42．（2010 重庆江津）先观察下列等式：‎ ‎ ……‎ 则计算 ．‎ ‎【答案】‎ ‎43．（2010 四川自贡）两个反比例子函数y＝，y＝在第一象限内的图象如图所示，点P1，P2，P3，……，P2010在反比例函数y＝图象上，它们的横坐标分别是x1，x2，x3，……，x2010，纵坐标分别是1，3，5，……，共2010个连续奇数，过点P1，P2，P3，……，P2010分别作y轴的平行线，与y＝的图象交点依次是Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），……，Q2010（x2010，y2010），则y2010＝_______________。‎ ‎【答案】2009.5‎ ‎44．（2010 广西钦州市）如图，△ABC是一个边长为2的等边三角形，AD0⊥BC，垂足为点D0．过点D0作D0D1⊥AB，垂足为点D1；再过点D1作D1D2⊥AD0，垂足为点D2；又过点D2作D2D3⊥AB，垂足为点D3；……；这样一直作下去，得到一组线段：D0D1，D1D2，D2D3，……，则线段Dn-1Dn的长为_ ▲ _（n为正整数）． ‎ 第10题 D1‎ D5‎ D2‎ D3‎ D4‎ D0‎ ‎【答案】‎ ‎45．（2010鄂尔多斯）如图，用小棒摆下面的图形，图形(1)需要3 根小棒，图形(2)需要3 根小棒，……照这样的规律继续摆下去，第n个图形需要 根小棒（用含n的代数式表示）‎ ‎【答案】4n-1‎ ‎46．（2010贵州遵义）小明玩一种挪动珠子的游戏，每次挪动珠子的颗数与对应所得的分数如下表：‎ 当对应所得分数为132分时，则挪动的珠子数　　　　颗。‎ ‎【答案】12‎ ‎47．（2010广西柳州）2010年广州亚运会吉祥物取名“乐羊羊”．图7各图是按照一定规律排列的羊的组图，图①有1只羊，图②有3只羊，……，则图⑩有___________只羊．‎ ‎① ② ③ ④ ‎ 图7‎ ‎【答案】55‎ ‎48．（2010辽宁本溪）观察下列图形它们是按一定规律构造的，依照此规律，第100个图形中共有 个三角形.‎ 第1个图形 第2个图形 第3个图形 ‎……‎ ‎【答案】399‎ ‎49．（2010辽宁沈阳）在平面直角坐标系中，点A1（1,1），A2（2,4），A3（3,9），A4（4,16），…,用你发现的规律确定点A9的坐标为 。‎ ‎【答案】（9,81）‎ ‎50．（2010广东肇庆）观察下列单项式：a，－2a2，4a3，－8a4，16a5，…，按此规律第n个单项式是______．(n是正整数)‎ ‎【答案】(－1)n+1nan ‎ ‎51．（2010云南曲靖）把一个正三角形分成四个全等的三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，对剩下的三个小正三角形再重复以上做法……一直到第n次挖去后剩下的三角形 有 个。‎ ‎【答案】3n ‎ ‎52．（2010四川广安）小敏将一张直角边为l的等腰直角三角形纸片(如图1)，沿它的对称轴折叠1次后得 到一个等腰直角三角形(如图2)，再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得 到一个等腰直角三角形(如图3)，则图3中的等腰直角三角形的一条腰长为 ；同上操作，若小敏连续将图1的等腰直角三角形折叠n次后所得到 的等腰直角三角形(如图n+1)的一条腰长为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎53．（2010吉林）．用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，则第n个图案中正三角形的个数为________________（用含n的代数式表示）。‎ ‎【答案】4n+2‎ ‎54．（2010黑龙江绥化）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C的对角线 A1C和OB1交于点M1；以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2M1，对角线A1M1和A2B2交于点M2；以M2A1为对角线作第三个正方形A3A1B3M2，对角线A1M2和A3B3交于点M3；……依此类推，这样作的第n 个正方形对角线交点Mn的坐标为 .‎ ‎【答案】‎ ‎55．（2010内蒙赤峰）观察式子：……．‎ 由此计算：…_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎56．（2010四川攀枝花）如图7，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2010次，‎ 依次得到点P,P,P…P．则点P的坐标是 ．‎ P1‎ P3‎ P2‎ O 图7‎ Y X ‎【答案】(4019, )‎ ‎57．(2009年四川省内江市)把一张纸片剪成4块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪成4块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止。那么2007，2008，2009，2010这四个数中______________可能是剪出的纸片数 ‎【答案】2008‎ ‎58．（2009仙桃）如图所示，直线y＝x＋1与y轴相交于点A1，以OA1为边作正方形OA1B‎1C1，记作第一个正方形；然后延长C1B1与直线y＝x＋1相交于点A2，再以C‎1A2为边作正方形C‎1A2B‎2C2，记作第二个正方形；同样延长C2B2与直线y＝x＋1相交于点A3，再以C‎2A3为边作正方形C‎2A3B‎3C3，记作第三个正方形；…依此类推，则第n个正方形的边长为________________．‎ ‎【答案】‎ ‎59．（2009年泸州）如图1，已知Rt△ABC中，AC=3，BC= 4，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A‎1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C‎1A2⊥AB，垂足为A2，再过A2作A‎2C2⊥BC，垂足为C2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA1，A‎1C1，，…，则CA1= ， ‎ ‎【答案】，.‎ 图1‎ ‎60．（2009年桂林市、百色市）如图，在△ABC中，∠A＝．∠ABC与∠ACD的 平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相 交于点A2，得∠A2； ……；∠A2008BC与∠A2008CD的平 分线相交于点A2009，得∠A2009 ．则∠A2009＝ ．‎ B A C D 第18题图 A1‎ A2‎ ‎【答案】‎ ‎61．(2009武汉)14．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有 个小圆．‎ 第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形 ‎…‎ ‎【答案】46 ‎ ‎62．（2009重庆綦江）观察下列等式：‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎…………‎ 则第（是正整数）个等式为________.‎ ‎【答案】‎ ‎63．(2009成都)已知，记，，…，，则通过计算推测出的表达式＝_______．‎ ‎(用含n的代数式表示)‎ ‎【答案】‎ ‎64．（2009年淄博市）如图，网格中的每个四边形都是菱形．如果格点三角形ABC的面积为S，按照如图所示方式得到的格点三角形A1B‎1C1的面积是，格点三角形A2B‎2C2的面积是19S，那么格点三角形A3B‎3C3的面积为 ．37S A A1‎ A2‎ A3‎ B3‎ B2‎ B1‎ B C1‎ C2‎ C3‎ ‎（第17题）‎ C ‎ ‎ ‎【答案】37S ‎65．（2009年娄底）王婧同学用火柴棒摆成如下的三个“中”字形图案，依此规律，第n个“中”字形图案需 根火柴棒. ‎【答案】6n+3或9+6（n-1）‎ ‎66（2009丽水市）如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第n(n≥3) 块纸板的周长为Pn，则Pn-Pn-1= ▲ .‎ ‎…‎ ‎① ② ③ ④ ‎ ‎【答案】‎ ‎67（2009恩施市）观察数表 ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎15‎ ‎5‎ A ‎1‎ ‎1‎ 根据表中数的排列规律，则字母所表示的数是____________．‎ ‎【答案】-10‎ ‎68．（2009年广西南宁）正整数按图8的规律排列．请写出第20行，第21列的数字 ．‎ 第一行 第二行 第三行 第四行 第五行 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 ‎1‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎17‎ ‎…‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎11‎ ‎18‎ ‎…‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎12‎ ‎19‎ ‎…‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎14‎ ‎13‎ ‎20‎ ‎…‎ ‎25‎ ‎24‎ ‎23‎ ‎22‎ ‎21‎ ‎…‎ ‎……‎ 图8‎ ‎【答案】420‎ ‎69．(2009年牡丹江市)有一列数…，那么第7个数是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎70．（2009年广州市）如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第个“广”字中的棋子个数是________‎ ‎【答案】‎ ‎71．（2009年益阳市）图6是一组有规律的图案，第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第(n是正整数)个图案中由 个基础图形组成．‎ 图6‎ ‎(1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)‎ ‎……‎ ‎-‎ ‎【答案】3n+1‎ ‎72．（2009年济宁市）观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有 个 ．‎ ‎【答案】121‎ ‎73．（2009年宜宾）如图，菱形ABCD的对角线长分别为，以菱形ABCD各边的中点为顶点作矩形A1B‎1C1D1，然后再以矩形A1B‎1C1D1的中点为顶点作菱形A2B‎2C2D2，……，如此下去，得到四边形A2009B‎2009C2009D2009的面积用含 的代数式表示为 ．‎ ‎【答案】．‎ ‎74．（2009年日照）正方形A1B‎1C1O，A2B‎2C2C1，A3B‎3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线(k＞0)和x轴上，已知点B1(1，1)，B2(3，2)， ‎ 则Bn的坐标是______________． ‎ y x O C1‎ B2‎ A2‎ C3‎ B1‎ A3‎ B3‎ A1‎ C2‎ ‎（第17题图）‎ ‎【答案】(,).‎ ‎75．（2009年广西钦州）一组按一定规律排列的式子：－，，－，，…，（a≠0）则第n个式子是_ _（n为正整数）．‎ ‎【答案】‎ ‎76．（2009年广西梧州）图（3）是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3 根火柴棍时的正方形．当边长为n根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为，则＝ ． （用n的代数式表示）‎ ‎……‎ n=1‎ n=2‎ n=3‎ ‎【答案】‎ ‎77．（2009肇庆）15．观察下列各式：，，，…，根据观察计算：＝ ．（n为正整数）‎ ‎【答案】‎ ‎78．(2009年湖州) 如图，已知，是斜边的中点，过作于，连结交于；过作于，连结交于；过作于，…，如此继续，可以依次得到点，…，，分别记…，的面积为，….则=________（用含的代数式表示）.‎ B C A E1‎ E2‎ E3‎ D4‎ D1‎ D2‎ D3‎ ‎【答案】‎ ‎79．(2009年咸宁市)如图所示的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，……第2009次输出的结果为___________．‎ ‎【答案】3‎ ‎（第1４题）‎ 输入 ‎+3‎ 输出 为偶数 为奇数 ‎80．（2009年湖北荆州）13．将四张花纹面相同的扑克牌的花纹面都朝上，两张一叠放成两堆不变．若每次可任选一堆的最上面的一张翻看（看后不放回），并全部看完，则共有 种不同的翻牌方式．‎ ‎【答案】‎ ‎81．（2009年广东省）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 __________块，第个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含的代数式表示）．‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎【答案】10，‎ ‎82．（2009年山西省）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第个图中所贴剪纸“○”的个数为 ．‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎【答案】‎ ‎83．（2009 黑龙江大兴安岭）如图，边长为1的菱形中，．连结对角线，以为边作第二个菱形，使 ；连结，再以为边作第三个菱形，使 ；……，按此规律所作的第个菱形的边长为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎84．(2009年本溪)16．如图所示，已知：点，，在 内依次作等边三角形，使一边在轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，…，则第个等边三角形的边长等于 ． ‎ O y x ‎(A)‎ A1‎ C ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ B A2‎ A3‎ B3‎ B2‎ B1‎ ‎16题图 ‎【答案】‎ ‎85．观察下表，回答问题：‎ 序号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ 图形 ‎…‎ 第 个图形中“△”的个数是“○”的个数的5倍．‎ ‎【答案】20‎ ‎86．（2009年绵阳市）将正整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规律，数2009应排的位置是第 行第 列．‎ 第1列 第2列 第3列 第4列 第1行 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 第2行 ‎6‎ ‎5‎ ‎4‎ 第3行 ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 第4行 ‎12‎ ‎11‎ ‎10‎ ‎……‎ ‎【答案】670，3‎ ‎87．（2009年铁岭市）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第个图形需要黑色棋子的个数是 ．‎ ‎【答案】或或 ‎88．（2009年青海）观察下面的一列单项式：，，，，…根据你发现的规律，第7个单项式为 ；第个单项式为 ‎ ‎【答案】；‎ ‎89．（2009年龙岩）观察下列一组数：，，，，…… ，它们是按一定规律排列的． 那么这一组数的第k个数是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎90．(2009年抚顺市)观察下列图形（每幅图中最小的三角形都是全等的），请写出第个图中最小的三角形的个数有 个．‎ 第1个图 第2个图 第3个图 第4个图 ‎91． (2009年梅州市)如图5，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有 个，第n幅图中共有 个．‎ ‎…‎ ‎…‎ 第1幅 第2幅 第3幅 第n幅 图5‎ 三 解答题 ‎1. （2011山东济宁，18，6分）观察下面的变形规律：‎ ‎ ＝1－； ＝－；＝－；……‎ 解答下面的问题：‎ ‎（1）若n为正整数，请你猜想＝ ；‎ ‎（2）证明你猜想的结论；‎ ‎（3）求和：＋＋＋…＋ .‎ ‎【答案】（1） 1分 ‎（2）证明：－＝－＝＝. 3分 ‎（3）原式＝1－＋－＋－＋…＋－‎ ‎ ＝. ………………5分 ‎2. （2011湖南邵阳，23，8分）数学课堂上，徐老师出示了一道试题：‎ 如图（十）所示，在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B，C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点，若∠AMN=60°，求证：AM=MN。‎ ‎（1）经过思考，小明展示了一种正确的证明过程，请你将证明过程补充完整。‎ 证明：在AB上截取EA=MC，连结EM，得△AEM。‎ ‎∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB -∠B，∠AMN=∠B=60°，‎ ‎∴∠1=∠2.‎ 又∵CN、平分∠ACP，∴∠4=∠ACP=60°。‎ ‎∴∠MCN=∠3+∠4=120°。………………①‎ 又∵BA=BC，EA=MC，∴BA-EA=BC-MC，即BE=BM。‎ ‎∴△BEM为等边三角形，∴∠6=60°。‎ ‎∴∠5=10°-∠6=120°。………………②‎ 由①②得∠MCN=∠5.‎ 在△AEM和△MCN中，‎ ‎∵__________,____________,___________,‎ ‎∴△AEM≌△MCN（ASA）。‎ ‎∴AM=MN.‎ ‎(2)若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形A1B‎1C1D‎1”‎(如图)，N1是∠D‎1C1P1的平分线上一点，则当∠A‎1M1N1=90°时，结论A‎1M1=M1N1是否还成立？（直接给出答案，不需要证明）‎ ‎（3）若将题中的“正三角形ABC”改为“正多边形AnBnCnDn…Xn”，请你猜想：当∠AnMnNn=______°时，结论AnMn=MnNn仍然成立？（直接写出答案，不需要证明）‎ ‎【答案】解：（1）∠5=∠MCN，AE=MC，∠2=∠1；‎ ‎（2）结论成立；‎ ‎（3）。‎ ‎3. （2011四川成都，23,4分）设,,,…, ‎ 设，则S=_________ (用含n的代数式表示，其中n为正整数)．‎ ‎【答案】．‎ ‎==‎ ‎=‎ ‎∴S=+++…+.‎ 接下去利用拆项法即可求和．‎ ‎4. （2011四川内江，加试5，12分）同学们，我们曾经研究过n×n的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为12+22+32+…+n2．但n为100时，应如何计算正方形的具体个数呢?下面我们就一起来探究并解决这个问题．首先，通过探究我们已经知道0×1+1×2+2×3+…+(n—1)×n=n(n+1)(n—1)时，我们可以这样做：‎ ‎(1)观察并猜想：‎ ‎12+22=(1+0)×1+(1+1)×2=1+0×1+2+1×2=(1+2)+(0×1+1×2)‎ ‎12+22+32=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3‎ ‎=1+0×1+2+1×2+3+2×3‎ ‎=(1+2+3)+(0×1+1×2+2×3)‎ ‎12+22+32+42=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+ ‎ ‎=1+0×1+2+1×2+3+2×3+ ‎ ‎=(1+2+3+4)+( )‎ ‎……‎ ‎(2)归纳结论：‎ ‎12+22+32+…+n2=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+…+[1+(n—1)]n ‎=1+0×1+2+1×2+3+2×3+…+n+(n一1)×n ‎=( ) +[ ]‎ ‎= + ‎ ‎=× ‎ ‎(3)实践应用：‎ 通过以上探究过程，我们就可以算出当n为100时，正方形网格中正方形的总个数是 ．‎ ‎【答案】（1+3）×4‎ ‎4+3×4‎ ‎0×1+1×2+2×3+3×4‎ ‎1+2+3+…+n ‎0×1+1×2+2×3++…+(n-1)×n n(n+1)(n—1)‎ n(n+1)(2n+1)‎ ‎5. （2011广东东莞，20，9分）如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.‎ ‎（1）表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数；‎ ‎（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n行共有 个数；‎ ‎（3）求第n行各数之和．‎ ‎【解】（1）64，8，15；‎ ‎ （2），，；‎ ‎ （3）第2行各数之和等于3×3；第3行各数之和等于5×7；第4行各数之和等于7×7-13；类似的，第n行各数之和等于=.‎ ‎6. （2011四川凉山州，19，6分）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例。如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律。例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数;第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等。‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎…………………………（a+b）1‎ ‎…………………………（a+b）2‎ ‎…………………………（a+b）3‎ ‎……………………‎ ‎（1）根据上面的规律，写出的展开式。‎ ‎（2）利用上面的规律计算：‎ 解：⑴ ‎ ‎ ⑵原式=‎ ‎ =‎ ‎ =1 ‎ ‎ 注：不用以上规律计算不给分.‎ ‎7. （2011四川凉山州，20，7分）如图，是平行四边形的对角线上的点，，请你猜想：线段与线段有怎样的关系？并对你的猜想加以证明。‎ B C D E F A ‎20题图 ‎【答案】猜想：。‎ ‎ 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形 ‎ ‎ ∴，∥ ‎ ‎ ∴ ‎ ‎ 在和 ‎ ‎ ‎ ∴≌ ‎ ‎ ∴，‎ ‎ ∴∥‎ 即 。‎ ‎8．（2010山东济宁）观察下面的变形规律：‎ ‎ ＝1－； ＝－；＝－；……‎ 解答下面的问题：‎ ‎（1）若n为正整数，请你猜想＝ ；‎ ‎（2）证明你猜想的结论；‎ ‎（3）求和：＋＋＋…＋ .‎ ‎【答案】‎ ‎（1） 1分 ‎（2）证明：－＝－＝＝. 3分 ‎（3）原式＝1－＋－＋－＋…＋－‎ ‎ ＝. 5分 ‎9．（2010浙江嘉兴）如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，‎ 所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个的顶点与点P重合，第二个的顶点是与PQ的交点，…，最后一个的顶点、在圆上．‎ ‎（第23题）‎ ‎（第23题 图1）‎ ‎（第23题 图2）‎ ‎（1）如图1，当时，求正三角形的边长；‎ ‎（2）如图2，当时，求正三角形的边长； 全品中考网 ‎（3）如题图，求正三角形的边长（用含n的代数式表示）．‎ ‎【答案】‎ ‎（1）设与交于点D，连结，‎ ‎（第23题 图1）‎ 则，‎ 在中，，‎ 即，‎ 解得． …4分 ‎（第23题 图2）‎ ‎（2）设与交于点E，连结，‎ 则，‎ 在中，‎ 即，‎ 解得． …4分 ‎（第23题）‎ ‎（3）设与交于点F，连结，‎ 则，‎ 在中，‎ 即，‎ 解得． …4分 ‎10．（2010浙江宁波）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式. 请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：‎ 四面体 长方体 正八面体 正十二面体 ‎ 多面体 顶点数(V)‎ 面数(F)‎ 棱数(E)‎ 四面体 ‎4‎ ‎4‎ ‎▲‎ 长方体 ‎8‎ ‎6‎ ‎12‎ 正八面体 ‎▲‎ ‎8‎ ‎12‎ 正十二面体 ‎20‎ ‎12‎ ‎30‎ (1) 根据上面多面体模型，完成表格中的空格：‎ 你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是 ▲ ；‎ ‎(2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 ▲ ；‎ ‎ (3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱. 设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值.‎ ‎【答案】‎ 解：(1) 6， 6 , 2分 ‎ 5分 ‎(2)20 8分 ‎ ‎ (3)这个多面体的面数为，棱数为条，‎ ‎ 根据可得 ，‎ ‎∴.　 10分 ‎11．（2010浙江金华）(本题10分）已知点P的坐标为（m，0），在x轴上存在点Q（不与P点重合），以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在反比例函数y = 的图像上.小明对上述问题进行了探究，发现不论m取何值，符合上述条件的正方形只有两个，且一个正方形的顶点M在第四象限，另一个正方形的顶点M1在第二象限.‎ y P Q M N O x ‎1‎ ‎2‎ ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-3‎ ‎-3‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎(第23题图)‎ ‎（1）如图所示，若反比例函数解析式为y= ，P点坐标为（1， 0），图中已画出一符合条件的一个正方形PQMN，请你在图中画出符合条件的另一个正方形PQ1M1N1，并写出点M1的坐标； M1的坐标是 ▲ ‎ ‎（2） 请你通过改变P点坐标，对直线M1 M的解析式y﹦kx＋b进行探究可得 k﹦ ▲ ， 若点P的坐标为（m，0）时，则b﹦ ▲ ；‎ ‎ （3） 依据(2)的规律，如果点P的坐标为（6，0），请你求出点M1和点M的坐标．‎ ‎【答案】解：（1）如图；M1 的坐标为（－1，2） ‎ M1‎ P Q M N O y ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-3‎ ‎-3‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ Q1‎ N1‎ ‎（2）， ‎ ‎ （3）由（2）知，直线M1 M的解析式为 x ‎ 则(，)满足 ‎ 解得 ，‎ ‎ ∴ ，‎ ‎ ∴M1，M的坐标分别为（，），（，）．‎ ‎12．（2010广东中山）阅读下列材料：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由以上三个等式相加，可得 读完以上材料，请你计算下列各题：‎ ‎（1）（写出过程）；‎ ‎（2）= ；‎ ‎（3）= ．‎ ‎【答案】解：（1）‎ ‎=++…+‎ ‎=‎ ‎=440．‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎=+‎ ‎+…+‎ ‎=‎ ‎=1260‎ ‎13．（2010北京）阅读下列材料：‎ 小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm．现有一动点P按下列方式在矩形内运动：它从A点出发，沿着与AB 边夹角为45°的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45°的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当点P碰到BC边，沿着与BC边夹角为45°的方向作直线运动，当点P碰到CD边，再沿着与CD边夹角为45°的方向作直线运动，…，如图1所示．问P点第一次与D点重合前与边相碰几次，P点第一次与D点重合时所经过的路径的总长是多少．‎ 小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD沿直线CD折叠，得到矩形A1B1CD．由轴对称的知识，发现P2P3＝P2E，P1A＝P1E．‎ 图1 图2‎ 请你参考小贝的思路解决下列问题：‎ ‎（1）P点第一次与D点重合前与边相碰______次；P点从A点出发到第一次与D点重合时所经过的路径的总长是________cm；‎ ‎（2）进一步探究：改变矩形ABCD中AD、AB的长，且满足AD＞AB．动点P从A点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD相邻的两边上．若P点第一次与B点重合前与边相碰7次，则AB∶AD的值为________．‎ ‎【答案】解：（1）5，24 ‎ （2）4∶5‎ 解题思路示意图：‎ ‎14．（2010 广东汕头）阅读下列材料：‎ ‎1×2 ＝ (1×2×3－0×1×2)，‎ ‎2×3 ＝ (2×3×4－1×2×3)，‎ ‎3×4 ＝ (3×4×5－2×3×4)，‎ 由以上三个等式相加，可得 ‎1×2＋2×3＋3×4＝ ×3×4×5 ＝ 20．‎ 读完以上材料，请你计算下列各题：‎ (1) ‎1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11（写出过程）；‎ (2) ‎1×2＋2×3＋3×4＋···＋n×(n＋1) ＝ _________；‎ (1) ‎1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9 ＝ _________．‎ ‎【答案】解：（1）∵1×2 ＝ (1×2×3－0×1×2)，‎ ‎2×3 ＝ (2×3×4－1×2×3)，‎ ‎3×4 ＝ (3×4×5－2×3×4)，‎ ‎…‎ ‎10×11 ＝ (10×11×12－9×10×11)，‎ ‎∴1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11＝×10×11×12＝440．‎ ‎（2）．‎ ‎（3）1260．‎ ‎15．（2010 贵州贵阳）如图12，在直角坐标系中，已知点的坐标为（1,0），将线段绕原点O沿逆时针方向旋转45，再将其延长到，使得，得到线段；又将线段绕原点O沿逆时针方向旋转45，再将其延长到，使得，得到线段，如此下去，得到线段，，…，．‎ ‎（1）写出点M5的坐标；（4分）‎ ‎（图12）‎ ‎（2）求的周长；（4分）‎ ‎（3）我们规定：把点（0,1,2,3…）‎ 的横坐标，纵坐标都取绝对值后得到的新坐标 称之为点的“绝对坐标”．根据图中点 的分布规律，请你猜想点的“绝对坐标”，并写出来．（4分） ‎ ‎【答案】（1）M5（―4，―4）………………………………………………………………4分 ‎（2）由规律可知，,，………………6分 ‎ ∴的周长是……………………………………………………8分 ‎（3）解法一：由题意知，旋转8次之后回到轴的正半轴，在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的分角线上或轴或轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，点的“绝对坐标”可分三类情况：‎ 令旋转次数为 ① 当点M在x轴上时: M0（），M4（），M8（），M12（）,…，‎ 即：点的“绝对坐标”为（）。…………………………………………………9分 ② 当点M在y轴上时: M2，M6，M10，M14,……，‎ 即：点的“绝对坐标”为。…………………………………………………10分 ③ 当点M在各象限的分角线上时：M1，M3，M5，M7,……，即：的“绝对坐标”为。………………………………………………………………12分 解法二：由题意知，旋转8次之后回到轴的正半轴，在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的分角线上或轴或轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，各点的“绝对坐标”可分三种情况：‎ ‎①当时（其中=0，1，2，3，…），点在轴上，则（）…………9分 ‎②当时（其中=1，2，3，…），点在轴上，点（）…………10分 ④ ‎=1，2，3，…，时，点在各象限的分角线上，则点（）………12分 ‎16．（2009仙桃）如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图①，然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM＝BD，EN＝CE，得到图③，请解答下列问题：‎ ‎(1)若AB＝AC，请探究下列数量关系：‎ ‎①在图②中，BD与CE的数量关系是________________；‎ ‎②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；‎ ‎(2)若AB＝k·AC(k＞1)，按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．‎ ‎【答案】解：（1）①BD=CE；②AM=AN，∠MAN=∠BAC.‎ ‎（2）AM=AN，∠MAN=∠BAC.‎ ‎17．（2009年台州市）将正整数1，2，3，…从小到大按下面规律排列．若第4行第2列的数为32，则 ‎① ；②第行第列的数为 （用，表示）．‎ ‎ 　　 　　　 ‎ 第列 第列 第列 ‎…‎ 第列 第行 ‎1‎ ‎…‎ 第行 ‎…‎ 第行 ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎【答案】10，（第一空2分，第二空3分；答给3分，答给2分）‎ ‎18．（2009年杭州市）如图，在等腰梯形ABCD中，∠C=60°，AD∥BC，且AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF，AF、BE交于点P．‎ ‎（1）求证：AF=BE；‎ D E F P B A ‎（第22题）‎ C ‎（2）请你猜测∠BPF的度数，并证明你的结论．‎ ‎【答案】（1）BE=AF；‎ ‎（2）猜想∠BPF=120° .‎ ‎19．（2009恩施市）D A C B E F 图9‎ 宽与长之比为∶的矩形叫黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感，如图9，如果在一个黄金矩形里画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论．‎ ‎【答案】解: 留下的矩形CDFE是黄金矩形 。‎ ‎20．（2009白银市）29．本试卷第19题为：若，，试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小．‎ 观察本题中数a、b的特征，以及你比较大小的过程，直接写出你发现的一个一般结论．‎ ‎【答案】29．解：学生可能写出不同程度的一般的结论，由一般化程度不同得不同分．‎ 若m、n是任意正整数，且m＞n，则．‎ 若m、n是任意正实数，且m＞n，则．‎ 若m、n、r是任意正整数，且m＞n；或m、n是任意正整数，r是任意正实数，且m＞n，则．‎ 若m、n是任意正实数，r是任意正整数，且m＞n；或m、n、r是任意正实数，且m＞n，则．‎ ‎21．（2009年衢州）如图，AD是⊙O的直径．‎ ‎(1)　如图①，垂直于AD的两条弦B‎1C1，B‎2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是　　　　　　，∠B2的度数是　　　　　　；‎ ‎(2)　如图②，垂直于AD的三条弦B‎1C1，B‎2C2，B‎3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，‎ ‎∠B3的度数；‎ ‎(3)　如图③，垂直于AD的n条弦B‎1C1，B‎2C2，B‎3 C3，…，BnCn把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠Bn的度数(只需直接写出答案)．‎ A O D B1‎ B2‎ C1‎ C2‎ 图①‎ O D A B1‎ C1‎ B2‎ C2‎ C3‎ B3‎ 图②‎ D Bn A O B1‎ Bn-2‎ C1‎ B2‎ C2‎ B3‎ C3‎ Cn-2‎ Bn-1‎ Cn-1‎ Cn ‎……‎ 图③‎ ‎【答案】解：(1)　22.5°，67.5° ‎ ‎(2)　 45°， 75°．‎ ‎(3)　 ．(或) ‎ ‎22．（2009年安徽）19．学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加dcm，如图所示．已知每个菱形图案的边长cm，其一个内角为60°．‎ ‎60°‎ ‎……‎ d L ‎（1）若d＝26，则该纹饰要231个菱形图案，求纹饰的长度L；‎ ‎（2）当d＝20时，若保持（1）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？‎ ‎【答案】（1）‎6010 cm（2）需300个这样的菱形图案．‎