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  • 2021-05-13 发布

中考复习弧长和扇形面积公式知识精讲

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初三数学弧长和扇形面积公式知识精讲 一. 本周教学内容:‎ ‎ 弧长和扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积 ‎ 教学目的 ‎ 1. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥及其特征,使学生掌握圆锥的轴截面图及其特点。‎ ‎ 2. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥侧面展开图的画法及侧面积计算公式。‎ ‎ 3. 使学生比较熟练地应用弧长和扇形面积公式、圆锥的基本性质和轴截面解决有关圆锥表面积的计算问题。‎ ‎ 4. 培养学生空间观念及空间图形与平面图形的相互转化思想,培养学生空间想象能力和计算能力。‎ ‎ 教学重点和难点:‎ ‎ 教学重点是弧长和扇形面积公式,圆锥及其特征,圆锥的侧面积计算 难点是圆锥侧面展开图(扇形)中各元素与圆锥各元素之间的关系 教学过程 ‎1. 圆周长:‎ ‎ 圆面积:‎ ‎2. 圆的面积C与半径R之间存在关系,即360°的圆心角所对的弧长,因此,1°的圆心角所对的弧长就是。‎ ‎ n°的圆心角所对的弧长是 ‎ P120‎ ‎ *这里的180、n在弧长计算公式中表示倍分关系,没有单位。‎ ‎ 3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。‎ ‎ 发现:扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关,圆心角越大,扇形面积也就越大。‎ ‎ 4. 在半径是R的圆中,因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积,所以圆心角为n°的扇形面积是:‎ ‎ (n也是1°的倍数,无单位)‎ ‎5. 圆锥的概念 ‎ 观察模型可以发现:圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。其中底面是一个圆,侧面是一个曲面,如果把这个侧面展开在一个平面上,展开图是一个扇形。‎ ‎ 如图,从点S向底面引垂线,垂足是底面的圆心O,垂线段SO的长叫做圆锥的高,点S叫做圆锥的顶点。‎ ‎ 锥也可以看作是由一个直角三角形旋转得到的。也就是说,把直角三角形SOA绕直线SO旋转一周得到的图形就是圆锥。其中旋转轴SO叫做圆锥的轴,圆锥的轴通过底面圆的圆心,并且垂直于底面。另外,连结圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段SA、SA1、SA2、……都叫做圆锥的母线,显然,圆锥的母线长都相等。‎ ‎ 母线定义:连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。P122‎ ‎ 6. 圆锥的性质 ‎ 由图可得 ‎ (1)圆锥的高所在的直线是圆锥的轴,它垂直于底面,经过底面的圆心;‎ ‎ (2)圆锥的母线长都相等 ‎ 7. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算 ‎ 圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶点、弧长是圆锥底面圆的周长。‎ ‎ 圆锥侧面积是扇形面积。‎ ‎ ‎ 如果设扇形的半径为l,弧长为c,圆心角为n(如图),则它们之间有如下关系:‎ ‎ ‎ ‎ 同时,如果设圆锥底面半径为r,周长为c,侧面母线长为l,那么它的侧面积是:‎ ‎ ‎ ‎ 圆锥的全面积为:‎ 圆柱侧面积:。‎ ‎ 例:在⊙中,120°的圆心角所对的弧长为,那么⊙O的半径为___________cm。‎ ‎ 答案:120‎ ‎ 解:由弧长公式:得:‎ ‎ ‎ ‎ 例:若扇形的圆心角为120°,弧长为,则扇形半径为_____________,扇形面积为____________________。‎ ‎ 答案:15;25π ‎ 例:如果一个扇形的面积和一个圆面积相等,且扇形的半径为圆半径的2倍,这个扇形的中心角为____________。‎ ‎ 答案:90°‎ ‎ 例:已知扇形的周长为‎28cm,面积为‎49cm2,则它的半径为____________cm。‎ ‎ 答案:7‎ 例:两个同心圆被两条半径截得的,,又AC=12,求阴影部分面积。‎ ‎ 解:设OC=r,则OA=r+12,∠O=n°‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ∴OC=18,OA=OC+AC=30‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例:如图,已知正方形的边长为a,求以各边为直径的半圆所围成的叶形的总面积。‎ ‎ 解:∵正方形边长为a ‎ ∴,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ∴叶的总面积为 ‎ *也可看作四个半圆面积减去正方形面积 ‎ ‎ ‎ 例:已知AB、CD为⊙O的两条弦,如果AB=8,CD=6,的度数与的度数的和为180°,那么圆中的阴影部分的总面积为?‎ ‎ 解:将弓形CD旋转至B,使D、B重合 ‎ 如图,C点处于E点 ‎ 的度数为180°‎ ‎ ∴AE是⊙O的直径 ‎ ∴∠ABE=90°‎ ‎ 又∵AB=8,BE=CD=6‎ ‎ 由勾股定理 ‎ ∴半径 ‎ ‎ ‎ 例:在△AOB中,∠O=90°,OA=OB=‎4cm,以O为圆心,OA为半径画,以AB为直径作半圆,求阴影部分的面积。‎ ‎ 解:∵OA=‎4cm,∠O=90°‎ ‎ ∴‎ ‎ ‎ ‎ ,‎ ‎ ‎ ‎ 则阴影部分的面积为:‎ ‎ ‎ ‎ 例:①、②……是边长均大于2的三角形,四边形、……、凸n边形,分别以它们的各顶点为圆心,以1为半径画弧与两邻边相交,得到3条弧,4条弧,……‎ ‎ (1)图①中3条弧的弧长的和为_________________‎ ‎ 图②中4条弧的弧长的和为_________________‎ ‎ (2)求图中n条弧的弧长的和(用n表示)‎ ‎ 解:(1)π,2π ‎ (2)解法1:‎ ‎ ∵n边形内角和为:(n-2)180°‎ ‎ 前n条弧的弧长的和为:个以某定点为圆心,以1为半径的圆周长 ‎ ∴n条弧的弧长的和为:‎ ‎ 解法2:设各个扇形的圆心角依次为 ‎ 则 ‎ ∴n条弧长的和为:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例:如图,在Rt△ABC中,已知∠BCA=90°,∠BAC=30°,AC=‎6m,把△ABC以点B为中心逆时针旋转,使点C旋转到AB边的延长线上的点C'处,那么AC边扫过的图形(阴影部分)的面积为?‎ ‎ 分析:在Rt△ACB中,∠C=90°,∠BAC=30°,AB=6‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 法一:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 法二:以B为圆心,BC为半径画弧 ‎ 交A'B于D,AB于D'‎ ‎ 有,‎ ‎ ‎ ‎ 例:如图,已知Rt△ABC的斜边AB=‎13cm,一条直角边AC=‎5cm,以直线AC为轴旋转一周得一个圆锥。求这个圆锥的表面积。如果以直线AB为轴旋转一周,能得到一个什么样的图形?‎ ‎ 解:‎ ‎ 以直线AC为轴旋转一周所得的圆锥如图所示,它的表面积为:‎ ‎ ‎ ‎ 以直线AB为轴旋转一周,所得到的图形如图所示。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例:一个圆锥的模型,这个模型的侧面是用一个半径为‎9cm,圆心角为240°的扇形铁皮制作,再用一块圆形铁皮做底,则这块图形铁皮的半径为______________。‎ ‎ 答案:6‎ ‎ 例:若圆锥的轴截面是一个边长为‎2cm的等边三角形,则这个圆锥的侧面积是_______。‎ ‎ 答案:2π ‎ 例:已知圆锥的底面半径为‎40cm,母线长为‎90cm,则它的侧面展开图的圆心角为______。‎ ‎ 答案:160°‎ ‎ 例:若圆锥的侧面积是底面积的2倍,则侧面展开图的圆心角是__________。‎ ‎ 答案:180°‎ ‎ 例:如图,圆锥形的烟囱帽的底面直径是‎80cm,母线长‎50cm。‎ ‎ (1)画出它的展开图;‎ ‎ (2)计算这个展开图的圆心角及面积。‎ ‎ 解:(1)烟囱帽的展开图是扇形,这个扇形的半径是圆锥的母线长,弧长是圆锥底面周长(如图)‎ ‎ (2)设扇形的半径为l,弧长为c,圆心角为α,则l=‎50cm,‎ ‎ ‎ ‎ =288(度)‎ ‎ ‎ ‎ 例:一个圆锥的高是‎10cm,侧面展开图是半圆,求圆锥的侧面积。‎ ‎ 解:设圆锥底面半径为r,圆锥母线长为l,扇形弧长(即半圆)为c,则由题意得 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 在Rt△SOA中,‎ ‎ 由此求得 ‎ 故所求圆锥的侧面积为 ‎ 例:蒙古包可以近似地看作圆锥和圆柱组成,如果想用毛毡搭建20个底面积为,高为‎3.5m,外围高‎4m的蒙古包,至少要多少平方米的毛毡?‎ ‎ 解:‎ ‎ ∵h1=4,∴‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 答:至少要平方米的毛毡。‎ ‎【模拟试题】‎ ‎[基础演练]‎ ‎ 1. 已知扇形的弧长为6πcm,圆心角为60°,则扇形的面积为____________。‎ ‎ 2. 已知弓形的弧所对的圆心角为60°,弓形弦长为a,则这个弓形的面积是__________。‎ ‎ 3. 如图,在平行四边形ABCD中,,,BD⊥AD,以BD为直径的⊙O交AB于E,交CD于F,则图中阴影部分的面积为___________。‎ ‎ 4. 如图,AB是⊙O1的直径,AO1是⊙O2的直径,弦MN//AB,且MN与⊙O2相切于C点,若⊙O1的半径为2,则O1B、、CN、所围成的阴影部分的面积是_____________。‎ ‎ 5. 如图,△ABC为某一住宅区的平面示意图,其周长为‎800m,为了美化环境,计划在住宅区周围‎5m内,(虚线以内,△ABC之外)作绿化带,则此绿化带的面积为___________。‎ ‎ 6. 如图,两个同心圆被两条半径截得的,,⊙O'与,都相切,则图中阴影部分的面积为____________。‎ ‎[综合测试]‎ ‎ 7. 如图,OA是⊙O的半径,AB是以OA为直径的⊙O’的弦,O’B的延长线交⊙O于点C,且OA=4,∠OAB=45°,则由,和线段BC所围成的图形面积是______。‎ ‎ 8. 如图,一扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条AB,AC的夹角为120°,AB长为‎30cm,贴纸部分BD长为‎20cm,贴纸部分的面积为( )‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎ 9. 如图,在同心圆中,两圆半径分别为2、4,∠AOB=120°,则阴影部分的面积为( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 10. 一块等边三角形的木板,边长为1,现将木板沿水平翻滚(如图),那么,B点从开始至结束所走过的路径长度为( )‎ ‎ A. B. C. 4 D. ‎ ‎ 11. (2004·湖北黄冈)如图,要在直径为‎50cm的圆形木板上截出四个大小相同的圆形凳面,问怎样才能截出直径最大的凳面,最大直径是多少厘米?‎ ‎[探究升级]‎ ‎ 12. (2004·新疆)在相距‎40km的两个城镇A、B之间,有一个近似圆形的湖泊,其半径为‎10km,圆心恰好位于A、B连线的中点处,现要绕过湖泊从A城到B城,假设除湖泊外,所有的地方均可行走,有如图所示两种行走路线,请你通过推理计算,说明哪条路线较短。‎ ‎ (1)的路线:线段线段DB ‎ (2)的路线:线段线段FB(其中E、F为切点)‎ ‎[参考答案]‎ ‎ 1. 2. ‎ ‎ 3. 4. ‎ ‎ 5. 6. ‎ ‎ 7. ‎ ‎ 8. A 9. B 10. B ‎ 11. 截法如图所示 ‎ 根据圆的对称性可知:‎ ‎ O1,O3都在⊙O的直径AB上,设所截出的凳面的直径为r ‎ 则O1O2=r,O2O3=r,‎ ‎ 又 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 12. 由题意可知图答(1)路径:‎ ‎ 图答(2)路径:如图连接OE、OF,连结CD ‎ 由题意可知A、C、D、B共线,且经过O点 ‎ ∵E为切点,∴OE⊥AE ‎ 在Rt△OAE中,AO=2EO ‎ ∴∠A=30°,∠AOE=60°‎ ‎ 同理∠BOF=60°‎ ‎ ‎ ‎ 同理 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由计算可知图(2)路线较短。‎