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- 2021-05-13 发布
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初三数学弧长和扇形面积公式知识精讲
一. 本周教学内容:
弧长和扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积
教学目的
1. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥及其特征,使学生掌握圆锥的轴截面图及其特点。
2. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥侧面展开图的画法及侧面积计算公式。
3. 使学生比较熟练地应用弧长和扇形面积公式、圆锥的基本性质和轴截面解决有关圆锥表面积的计算问题。
4. 培养学生空间观念及空间图形与平面图形的相互转化思想,培养学生空间想象能力和计算能力。
教学重点和难点:
教学重点是弧长和扇形面积公式,圆锥及其特征,圆锥的侧面积计算
难点是圆锥侧面展开图(扇形)中各元素与圆锥各元素之间的关系
教学过程
1. 圆周长:
圆面积:
2. 圆的面积C与半径R之间存在关系,即360°的圆心角所对的弧长,因此,1°的圆心角所对的弧长就是。
n°的圆心角所对的弧长是
P120
*这里的180、n在弧长计算公式中表示倍分关系,没有单位。
3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。
发现:扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关,圆心角越大,扇形面积也就越大。
4. 在半径是R的圆中,因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积,所以圆心角为n°的扇形面积是:
(n也是1°的倍数,无单位)
5. 圆锥的概念
观察模型可以发现:圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。其中底面是一个圆,侧面是一个曲面,如果把这个侧面展开在一个平面上,展开图是一个扇形。
如图,从点S向底面引垂线,垂足是底面的圆心O,垂线段SO的长叫做圆锥的高,点S叫做圆锥的顶点。
锥也可以看作是由一个直角三角形旋转得到的。也就是说,把直角三角形SOA绕直线SO旋转一周得到的图形就是圆锥。其中旋转轴SO叫做圆锥的轴,圆锥的轴通过底面圆的圆心,并且垂直于底面。另外,连结圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段SA、SA1、SA2、……都叫做圆锥的母线,显然,圆锥的母线长都相等。
母线定义:连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。P122
6. 圆锥的性质
由图可得
(1)圆锥的高所在的直线是圆锥的轴,它垂直于底面,经过底面的圆心;
(2)圆锥的母线长都相等
7. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算
圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶点、弧长是圆锥底面圆的周长。
圆锥侧面积是扇形面积。
如果设扇形的半径为l,弧长为c,圆心角为n(如图),则它们之间有如下关系:
同时,如果设圆锥底面半径为r,周长为c,侧面母线长为l,那么它的侧面积是:
圆锥的全面积为:
圆柱侧面积:。
例:在⊙中,120°的圆心角所对的弧长为,那么⊙O的半径为___________cm。
答案:120
解:由弧长公式:得:
例:若扇形的圆心角为120°,弧长为,则扇形半径为_____________,扇形面积为____________________。
答案:15;25π
例:如果一个扇形的面积和一个圆面积相等,且扇形的半径为圆半径的2倍,这个扇形的中心角为____________。
答案:90°
例:已知扇形的周长为28cm,面积为49cm2,则它的半径为____________cm。
答案:7
例:两个同心圆被两条半径截得的,,又AC=12,求阴影部分面积。
解:设OC=r,则OA=r+12,∠O=n°
∴OC=18,OA=OC+AC=30
例:如图,已知正方形的边长为a,求以各边为直径的半圆所围成的叶形的总面积。
解:∵正方形边长为a
∴,
∴叶的总面积为
*也可看作四个半圆面积减去正方形面积
例:已知AB、CD为⊙O的两条弦,如果AB=8,CD=6,的度数与的度数的和为180°,那么圆中的阴影部分的总面积为?
解:将弓形CD旋转至B,使D、B重合
如图,C点处于E点
的度数为180°
∴AE是⊙O的直径
∴∠ABE=90°
又∵AB=8,BE=CD=6
由勾股定理
∴半径
例:在△AOB中,∠O=90°,OA=OB=4cm,以O为圆心,OA为半径画,以AB为直径作半圆,求阴影部分的面积。
解:∵OA=4cm,∠O=90°
∴
,
则阴影部分的面积为:
例:①、②……是边长均大于2的三角形,四边形、……、凸n边形,分别以它们的各顶点为圆心,以1为半径画弧与两邻边相交,得到3条弧,4条弧,……
(1)图①中3条弧的弧长的和为_________________
图②中4条弧的弧长的和为_________________
(2)求图中n条弧的弧长的和(用n表示)
解:(1)π,2π
(2)解法1:
∵n边形内角和为:(n-2)180°
前n条弧的弧长的和为:个以某定点为圆心,以1为半径的圆周长
∴n条弧的弧长的和为:
解法2:设各个扇形的圆心角依次为
则
∴n条弧长的和为:
例:如图,在Rt△ABC中,已知∠BCA=90°,∠BAC=30°,AC=6m,把△ABC以点B为中心逆时针旋转,使点C旋转到AB边的延长线上的点C'处,那么AC边扫过的图形(阴影部分)的面积为?
分析:在Rt△ACB中,∠C=90°,∠BAC=30°,AB=6
法一:
法二:以B为圆心,BC为半径画弧
交A'B于D,AB于D'
有,
例:如图,已知Rt△ABC的斜边AB=13cm,一条直角边AC=5cm,以直线AC为轴旋转一周得一个圆锥。求这个圆锥的表面积。如果以直线AB为轴旋转一周,能得到一个什么样的图形?
解:
以直线AC为轴旋转一周所得的圆锥如图所示,它的表面积为:
以直线AB为轴旋转一周,所得到的图形如图所示。
例:一个圆锥的模型,这个模型的侧面是用一个半径为9cm,圆心角为240°的扇形铁皮制作,再用一块圆形铁皮做底,则这块图形铁皮的半径为______________。
答案:6
例:若圆锥的轴截面是一个边长为2cm的等边三角形,则这个圆锥的侧面积是_______。
答案:2π
例:已知圆锥的底面半径为40cm,母线长为90cm,则它的侧面展开图的圆心角为______。
答案:160°
例:若圆锥的侧面积是底面积的2倍,则侧面展开图的圆心角是__________。
答案:180°
例:如图,圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm,母线长50cm。
(1)画出它的展开图;
(2)计算这个展开图的圆心角及面积。
解:(1)烟囱帽的展开图是扇形,这个扇形的半径是圆锥的母线长,弧长是圆锥底面周长(如图)
(2)设扇形的半径为l,弧长为c,圆心角为α,则l=50cm,
=288(度)
例:一个圆锥的高是10cm,侧面展开图是半圆,求圆锥的侧面积。
解:设圆锥底面半径为r,圆锥母线长为l,扇形弧长(即半圆)为c,则由题意得
即
在Rt△SOA中,
由此求得
故所求圆锥的侧面积为
例:蒙古包可以近似地看作圆锥和圆柱组成,如果想用毛毡搭建20个底面积为,高为3.5m,外围高4m的蒙古包,至少要多少平方米的毛毡?
解:
∵h1=4,∴
答:至少要平方米的毛毡。
【模拟试题】
[基础演练]
1. 已知扇形的弧长为6πcm,圆心角为60°,则扇形的面积为____________。
2. 已知弓形的弧所对的圆心角为60°,弓形弦长为a,则这个弓形的面积是__________。
3. 如图,在平行四边形ABCD中,,,BD⊥AD,以BD为直径的⊙O交AB于E,交CD于F,则图中阴影部分的面积为___________。
4. 如图,AB是⊙O1的直径,AO1是⊙O2的直径,弦MN//AB,且MN与⊙O2相切于C点,若⊙O1的半径为2,则O1B、、CN、所围成的阴影部分的面积是_____________。
5. 如图,△ABC为某一住宅区的平面示意图,其周长为800m,为了美化环境,计划在住宅区周围5m内,(虚线以内,△ABC之外)作绿化带,则此绿化带的面积为___________。
6. 如图,两个同心圆被两条半径截得的,,⊙O'与,都相切,则图中阴影部分的面积为____________。
[综合测试]
7. 如图,OA是⊙O的半径,AB是以OA为直径的⊙O’的弦,O’B的延长线交⊙O于点C,且OA=4,∠OAB=45°,则由,和线段BC所围成的图形面积是______。
8. 如图,一扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条AB,AC的夹角为120°,AB长为30cm,贴纸部分BD长为20cm,贴纸部分的面积为( )
A. B.
C. D.
9. 如图,在同心圆中,两圆半径分别为2、4,∠AOB=120°,则阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
10. 一块等边三角形的木板,边长为1,现将木板沿水平翻滚(如图),那么,B点从开始至结束所走过的路径长度为( )
A. B. C. 4 D.
11. (2004·湖北黄冈)如图,要在直径为50cm的圆形木板上截出四个大小相同的圆形凳面,问怎样才能截出直径最大的凳面,最大直径是多少厘米?
[探究升级]
12. (2004·新疆)在相距40km的两个城镇A、B之间,有一个近似圆形的湖泊,其半径为10km,圆心恰好位于A、B连线的中点处,现要绕过湖泊从A城到B城,假设除湖泊外,所有的地方均可行走,有如图所示两种行走路线,请你通过推理计算,说明哪条路线较短。
(1)的路线:线段线段DB
(2)的路线:线段线段FB(其中E、F为切点)
[参考答案]
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7.
8. A 9. B 10. B
11. 截法如图所示
根据圆的对称性可知:
O1,O3都在⊙O的直径AB上,设所截出的凳面的直径为r
则O1O2=r,O2O3=r,
又
12. 由题意可知图答(1)路径:
图答(2)路径:如图连接OE、OF,连结CD
由题意可知A、C、D、B共线,且经过O点
∵E为切点,∴OE⊥AE
在Rt△OAE中,AO=2EO
∴∠A=30°,∠AOE=60°
同理∠BOF=60°
同理
由计算可知图(2)路线较短。