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- 2021-05-13 发布
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第十单元 相似形
第32课时 相似形
(60分)
一、选择题(每题5分,共30分)
1.丽水市第一座横跨瓯江的单塔斜拉式大桥紫金大桥,比例尺为1∶500的图纸上的大桥的长度约为1.04 m,则大桥的实际长度约是 (D)
A.104 m B.1 040 m
C.5 200 m D.520 m
【解析】 设大桥的实际长度为x,依题意,
得1∶500=1.04∶x;
得x=1.04×500=520(m).
图32-1
2.[2016·南京]如图32-1,在△ABC中,DE∥BC,=,则下列结论中正确的是 (C)
A.= B.=
C.= D.=
图32-2
3.[2016·永州]如图32-2,下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是 (D)
A.∠ABD=∠ACB B.∠ADB=∠ABC
C.AB2=AD·AC D.=
【解析】 在△ADB和△ABC中,∠A是它们的公共角,那么当=时,才能使△ADB∽△ABC,不是=.故答案选D.
4.[2017·河北]在研究相似问题时,甲乙同学的观点如下:
甲:将边长为3,4,5的三角形按图32-3①的方式向外扩张,得到新三角形,它们的对应边间距为1,则新三角形与原三角形相似.
7
① ②
图32-3
乙:将邻边为3和5的矩形按图32-3②的方式向外扩张,得到新矩形,它们的对应边间距为1,则新矩形与原矩形相似.
对于两人的观点,下列说法正确的是 (C)
A.两人都对 B.两人都不对
C.甲对,乙不对 D.甲不对,乙对
图32-4
5.如图32-4,在平行四边形ABCD中,E是AB的中点,CE和BD交于点O,设△OCD的面积为m,△OEB的面积为,则下列结论中正确的是 (B)
A.m=5 B.m=4
C.m=3 D.m=10
【解析】 ∵AB∥CD,∴△OCD∽△OEB,
又∵E是AB的中点,∴2EB=AB=CD,
∴=,即=,
解得m=4.
∴m的值为4.
图32-5
6.[2016·武威]如图32-5,D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,DE∥AC,若S△BDE∶S△CDE=1∶3,则S△DOE∶S△AOC的值为 (D)
A. B.
C. D.
【解析】 ∵S△BDE∶S△CDE=1∶3,
∴BE∶EC=1∶3,
∴BE∶BC=1∶4,
∵DE∥AC,∴△DOE∽△COA,△BED∽△BCA,
7
∴==,
∴S△DOE∶S△AOC==.
二、填空题(每题5分,共20分)
7.[2016·东莞]若两个相似三角形的周长比为2∶3,则它们的面积比是__4∶9__.
8.[2016·金华]如图32-6,直线l1,l2,…,l6是一组等距的平行线,过直线l1上的点A作两条射线,分别与直线l3,l6相交于B,E,C,F,若BC=2,则EF的长是__5__.
图32-6
9.[2016·梅州]如图32-7,△ABC中,点E是AB边的中点,点F在AC边上,若以A,E,F为顶点的三角形与△ABC相似,则需要增加的一个条件是__AF=AC
或∠AFE=∠ABC__.(写出一个即可)
图32-7
【解析】 分两种情况:
①∵△AEF∽△ABC,
∴AE∶AB=AF∶AC,
即1∶2=AF∶AC,
∴AF=AC;
②∵△AEF∽△ACB,
∴∠AFE=∠ABC.
∴要使以A,E,F为顶点的三角形与△ABC相似,则AF=AC或∠AFE=∠ABC.
10.[2016·泰州]如图32-8,△ABC中,D为BC上一点,
∠BAD=∠C,AB=6,BD=4,则CD的长为__5__.
【解析】 ∵∠BAD=∠C,∠B=∠B,∴△BAD∽△BCA,
图32-8
∴=.
∵AB=6,BD=4,
7
∴=,
∴BC=9,
∴CD=BC-BD=9-4=5.
三、解答题(共20分)
11.(10分)[2016·泰安]如图32-9,在△ABC中,AB=AC,点P,D分别是BC,AC边上的点,且∠APD=∠B.
(1)求证:AC·CD=CP·BP;
(2)若AB=10,BC=12,当PD∥AB时,求BP的长.
图32-9
解:(1)证明:∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵∠APD=∠B,
∴∠APD=∠B=∠C.
∵∠APC=∠BAP+∠B,
∠APC=∠APD+∠DPC,
∴∠BAP=∠DPC,
∴△ABP∽△PCD,
∴=,
∴AB·CD=PC·BP.
∵AB=AC,
∴AC·CD=CP·BP;
(2)∵PD∥AB,∴∠APD=∠BAP.
∵∠APD=∠C,∴∠BAP=∠C.
∵∠B=∠B,
∴△BAP∽△BCA,
∴=.
7
∵AB=10,BC=12,
∴=,
∴BP=.
图32-10
12.(10分)[2016·滨州]如图32-10,已知B,C,E三点在同一条直线上,△ABC与△DCE都是等边三角形,其中线段BD交AC于点G,线段AE交CD于点F,求证:
(1)△ACE≌△BCD;
(2)=.
证明:(1)∵△ABC与△DCE都为等边三角形,
∴AC=BC,CE=CD,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠ACE=∠BCD,
在△ACE和△BCD中,
∴△ACE≌△BCD(SAS);
(2)∵△ACE≌△BCD,
∴∠BDC=∠AEC,
在△GCD和△FCE中,
∴△GCD≌△FCE(ASA),
∴CG=CF,
∴△CFG为等边三角形,
∴∠CGF=∠ACB=60°,
∴GF∥CE,
∴=.
(20分)
图32-11
13.(10分)如图32-11,在△ABC和△ADE中,∠BAD=∠CAE,∠ABC
7
=∠ADE.
(1)写出图中两对相似三角形(不得添加辅助线);
(2)请分别说明两对三角形相似的理由.
【解析】 由两个角对应相等得两三角形相似,关键是得到∠BAC=∠DAE.
解:(1)△ABC∽△ADE,△ABD∽△ACE;
(2)∵∠BAD=∠CAE,
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,
即∠BAC=∠DAE.
又∵∠ABC=∠ADE,
∴△ABC∽△ADE.
∴=.
又∵∠BAD=∠CAE,
∴△ABD∽△ACE.
图32-12
14.(10分)[2017·资阳]如图32-12,AB是⊙O的直径,过点A作⊙O的切线并在其上取一点C,连结OC交⊙O于点D,BD的延长线交AC于E,连结AD.
(1)求证:△CDE∽△CAD;
(2)若AB=2,AC=2,求AE的长.
解:(1)∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,
∴∠ABD+∠BAD=90°.
又∵AC是⊙O的切线,∴AB⊥AC,∴∠BAC=90°,
∴∠CAD+∠BAD=90°,∴∠ABD=∠CAD.
∵∠ABD=∠BDO=∠CDE,
∴∠CAD=∠CDE,
又∵∠C=∠C,∴△CDE∽△CAD;
(2)在Rt△OAC中,∠OAC=90°,
∴OA2+AC2=OC2,即12+(2)2=OC2,
∴OC=3,则CD=2.又∵△CDE∽△CAD,得=,即=,
∴CE=,
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∴AE=AC-CE=2-=.
(10分)
15.(10分)[2016·巴中]如图32-13,AB是⊙O的直径,OD⊥弦BC于点F,交⊙O于点E,连结CE,AE,CD,若∠AEC=∠ODC.
(1)求证:直线CD为⊙O的切线;
图32-13
(2)若AB=5,BC=4,求线段CD的长.
解:(1)证明:如答图,连结CO,∵圆周角∠AEC与∠ABC所对弧相同,∴∠ABC=∠AEC.
又∠AEC=∠ODC,∴∠ABC=∠ODC.
∵OC=OB,OD⊥BC,
∴∠OCB=∠OBC,且∠OCB+∠COD=90°.
第15题答图
∴∠ODC+∠COD=90°.∴∠OCD=180°-∠ODC-∠COD=90°,即OC⊥CD.
又OC为半径,∴直线CD为⊙O的切线;
(2)在⊙O中,OD⊥弦BC于点F,
∴BF=CF=BC=2.
又OB=AB=,∴OF==.
由(1)知∠OBF=∠CDF,且∠OFB=∠CFD,
∴△OFB∽△CFD.
∴=,∴CD===.
∴线段CD的长为.
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