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  • 2021-05-13 发布

2020届中考数学全程演练 第二部分 图形与几何 第十单元 相似形 第32课时 相似形

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第十单元 相似形 第32课时 相似形 ‎(60分)‎ 一、选择题(每题5分,共30分)‎ ‎1.丽水市第一座横跨瓯江的单塔斜拉式大桥紫金大桥,比例尺为1∶500的图纸上的大桥的长度约为‎1.04 m,则大桥的实际长度约是 (D)‎ A.‎104 m B.1 ‎‎040 m C.5 ‎200 m D.‎‎520 m ‎【解析】 设大桥的实际长度为x,依题意,‎ 得1∶500=1.04∶x;‎ 得x=1.04×500=520(m).‎ 图32-1‎ ‎2.[2016·南京]如图32-1,在△ABC中,DE∥BC,=,则下列结论中正确的是 (C)‎ A.= B.= C.= D.= 图32-2‎ ‎3.[2016·永州]如图32-2,下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是 (D)‎ A.∠ABD=∠ACB B.∠ADB=∠ABC C.AB2=AD·AC D.= ‎【解析】 在△ADB和△ABC中,∠A是它们的公共角,那么当=时,才能使△ADB∽△ABC,不是=.故答案选D.‎ ‎4.[2017·河北]在研究相似问题时,甲乙同学的观点如下:‎ 甲:将边长为3,4,5的三角形按图32-3①的方式向外扩张,得到新三角形,它们的对应边间距为1,则新三角形与原三角形相似.‎ 7‎ ‎  ‎ ‎① ②‎ 图32-3‎ 乙:将邻边为3和5的矩形按图32-3②的方式向外扩张,得到新矩形,它们的对应边间距为1,则新矩形与原矩形相似.‎ 对于两人的观点,下列说法正确的是 (C)‎ A.两人都对 B.两人都不对 C.甲对,乙不对 D.甲不对,乙对 图32-4‎ ‎5.如图32-4,在平行四边形ABCD中,E是AB的中点,CE和BD交于点O,设△OCD的面积为m,△OEB的面积为,则下列结论中正确的是 (B)‎ A.m=5 B.m=4 C.m=3 D.m=10‎ ‎【解析】 ∵AB∥CD,∴△OCD∽△OEB,‎ 又∵E是AB的中点,∴2EB=AB=CD,‎ ‎∴=,即=,‎ 解得m=4.‎ ‎∴m的值为4.‎ 图32-5‎ ‎6.[2016·武威]如图32-5,D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,DE∥AC,若S△BDE∶S△CDE=1∶3,则S△DOE∶S△AOC的值为 (D)‎ A. B. C. D. ‎【解析】 ∵S△BDE∶S△CDE=1∶3,‎ ‎∴BE∶EC=1∶3,‎ ‎∴BE∶BC=1∶4,‎ ‎∵DE∥AC,∴△DOE∽△COA,△BED∽△BCA,‎ 7‎ ‎∴==,‎ ‎∴S△DOE∶S△AOC==.‎ 二、填空题(每题5分,共20分)‎ ‎7.[2016·东莞]若两个相似三角形的周长比为2∶3,则它们的面积比是__4∶9__.‎ ‎8.[2016·金华]如图32-6,直线l1,l2,…,l6是一组等距的平行线,过直线l1上的点A作两条射线,分别与直线l3,l6相交于B,E,C,F,若BC=2,则EF的长是__5__.‎ 图32-6‎ ‎9.[2016·梅州]如图32-7,△ABC中,点E是AB边的中点,点F在AC边上,若以A,E,F为顶点的三角形与△ABC相似,则需要增加的一个条件是__AF=AC 或∠AFE=∠ABC__.(写出一个即可)‎ 图32-7‎ ‎【解析】 分两种情况:‎ ‎①∵△AEF∽△ABC,‎ ‎∴AE∶AB=AF∶AC,‎ 即1∶2=AF∶AC,‎ ‎∴AF=AC;‎ ‎②∵△AEF∽△ACB,‎ ‎∴∠AFE=∠ABC.‎ ‎∴要使以A,E,F为顶点的三角形与△ABC相似,则AF=AC或∠AFE=∠ABC.‎ ‎10.[2016·泰州]如图32-8,△ABC中,D为BC上一点,‎ ‎∠BAD=∠C,AB=6,BD=4,则CD的长为__5__.‎ ‎【解析】 ∵∠BAD=∠C,∠B=∠B,∴△BAD∽△BCA,‎ 图32-8‎ ‎∴=.‎ ‎∵AB=6,BD=4,‎ 7‎ ‎∴=,‎ ‎∴BC=9,‎ ‎∴CD=BC-BD=9-4=5.‎ 三、解答题(共20分)‎ ‎11.(10分)[2016·泰安]如图32-9,在△ABC中,AB=AC,点P,D分别是BC,AC边上的点,且∠APD=∠B.‎ ‎(1)求证:AC·CD=CP·BP;‎ ‎(2)若AB=10,BC=12,当PD∥AB时,求BP的长.‎ 图32-9‎ 解:(1)证明:∵AB=AC,‎ ‎∴∠B=∠C.‎ ‎∵∠APD=∠B,‎ ‎∴∠APD=∠B=∠C.‎ ‎∵∠APC=∠BAP+∠B,‎ ‎∠APC=∠APD+∠DPC,‎ ‎∴∠BAP=∠DPC,‎ ‎∴△ABP∽△PCD,‎ ‎∴=,‎ ‎∴AB·CD=PC·BP.‎ ‎∵AB=AC,‎ ‎∴AC·CD=CP·BP;‎ ‎(2)∵PD∥AB,∴∠APD=∠BAP.‎ ‎∵∠APD=∠C,∴∠BAP=∠C.‎ ‎∵∠B=∠B,‎ ‎∴△BAP∽△BCA,‎ ‎∴=.‎ 7‎ ‎∵AB=10,BC=12,‎ ‎∴=,‎ ‎∴BP=.‎ 图32-10‎ ‎12.(10分)[2016·滨州]如图32-10,已知B,C,E三点在同一条直线上,△ABC与△DCE都是等边三角形,其中线段BD交AC于点G,线段AE交CD于点F,求证:‎ ‎(1)△ACE≌△BCD;‎ ‎ (2)=.‎ 证明:(1)∵△ABC与△DCE都为等边三角形,‎ ‎∴AC=BC,CE=CD,∠ACB=∠DCE=60°,‎ ‎∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠ACE=∠BCD,‎ 在△ACE和△BCD中,‎ ‎∴△ACE≌△BCD(SAS);‎ ‎(2)∵△ACE≌△BCD,‎ ‎∴∠BDC=∠AEC,‎ 在△GCD和△FCE中,‎ ‎∴△GCD≌△FCE(ASA),‎ ‎∴CG=CF,‎ ‎∴△CFG为等边三角形,‎ ‎∴∠CGF=∠ACB=60°,‎ ‎∴GF∥CE,‎ ‎∴=.‎ ‎(20分)‎ 图32-11‎ ‎13.(10分)如图32-11,在△ABC和△ADE中,∠BAD=∠CAE,∠ABC 7‎ ‎=∠ADE.‎ ‎(1)写出图中两对相似三角形(不得添加辅助线);‎ ‎(2)请分别说明两对三角形相似的理由.‎ ‎【解析】 由两个角对应相等得两三角形相似,关键是得到∠BAC=∠DAE.‎ 解:(1)△ABC∽△ADE,△ABD∽△ACE;‎ ‎(2)∵∠BAD=∠CAE,‎ ‎∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,‎ 即∠BAC=∠DAE.‎ 又∵∠ABC=∠ADE,‎ ‎∴△ABC∽△ADE.‎ ‎∴=.‎ 又∵∠BAD=∠CAE,‎ ‎∴△ABD∽△ACE.    ‎ 图32-12‎ ‎14.(10分)[2017·资阳]如图32-12,AB是⊙O的直径,过点A作⊙O的切线并在其上取一点C,连结OC交⊙O于点D,BD的延长线交AC于E,连结AD.‎ ‎(1)求证:△CDE∽△CAD;‎ ‎(2)若AB=2,AC=2,求AE的长.‎ 解:(1)∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,‎ ‎∴∠ABD+∠BAD=90°.‎ 又∵AC是⊙O的切线,∴AB⊥AC,∴∠BAC=90°,‎ ‎∴∠CAD+∠BAD=90°,∴∠ABD=∠CAD.‎ ‎∵∠ABD=∠BDO=∠CDE,‎ ‎∴∠CAD=∠CDE,‎ 又∵∠C=∠C,∴△CDE∽△CAD;‎ ‎(2)在Rt△OAC中,∠OAC=90°,‎ ‎∴OA2+AC2=OC2,即12+(2)2=OC2,‎ ‎∴OC=3,则CD=2.又∵△CDE∽△CAD,得=,即=,‎ ‎∴CE=,‎ 7‎ ‎∴AE=AC-CE=2-=.‎ ‎(10分)‎ ‎15.(10分)[2016·巴中]如图32-13,AB是⊙O的直径,OD⊥弦BC于点F,交⊙O于点E,连结CE,AE,CD,若∠AEC=∠ODC.‎ ‎(1)求证:直线CD为⊙O的切线;‎ 图32-13‎ ‎(2)若AB=5,BC=4,求线段CD的长.‎ 解:(1)证明:如答图,连结CO,∵圆周角∠AEC与∠ABC所对弧相同,∴∠ABC=∠AEC.‎ 又∠AEC=∠ODC,∴∠ABC=∠ODC.‎ ‎∵OC=OB,OD⊥BC,‎ ‎∴∠OCB=∠OBC,且∠OCB+∠COD=90°.‎ 第15题答图 ‎∴∠ODC+∠COD=90°.∴∠OCD=180°-∠ODC-∠COD=90°,即OC⊥CD.‎ 又OC为半径,∴直线CD为⊙O的切线;‎ ‎(2)在⊙O中,OD⊥弦BC于点F,‎ ‎∴BF=CF=BC=2.‎ 又OB=AB=,∴OF==.‎ 由(1)知∠OBF=∠CDF,且∠OFB=∠CFD,‎ ‎∴△OFB∽△CFD.‎ ‎∴=,∴CD===.‎ ‎∴线段CD的长为.‎ 7‎