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- 2021-05-13 发布
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2015年浙江省舟山市中考数学试卷解析
(本试卷满分120分,考试时间120分钟)
参考公式:抛物线的顶点坐标为.
一、选择题(本题有10小题,每小题3分,共30分)
1. (2015年浙江舟山3分) 计算的结果是【 】
A. -1 B. C. 1 D. 2
【答案】A.
【考点】有理数的减法.
【分析】根据“减去一个数,等于加上这个数的相反数”的有理数的减法计算即可:.故选A.
2. (2015年浙江舟山3分)下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标:
其中属于中心对称图形的有【 】
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B.
【考点】中心对称图形.
【分析】根据中心对称图形的概念,中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合.因此,因为第一、三个图形沿中心旋转180度后与原图重合,而第二、四个图形沿中心旋转180度后与原图不重合,所以,四个图形中属于中心对称图形的有2个. 故选B.
3. (2015年浙江舟山3分) 截至今年4月10日,舟山全市蓄水量为84 327 000m3,数据84 327 000用科学计数法表示为【 】
A. 0.8437×108 B. 8.437×107 C. 8.437×108 D. 8437×103
【答案】B.
【考点】科学记数法.
【分析】根据科学记数法的定义,科学记数法的表示形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值. 在确定n的值时,看该数是大于或等于1还是小于1.
当该数大于或等于1时,n为它的整数位数减1;当该数小于1时,-n为它第一个有效数字前0的个数(含小数点前的1个0). 因此,
∵84 327 000一共8位,∴8.437×107.
故选B.
4. (2015年浙江舟山3分) 质检部门为了检测某品牌电器的质量,从同一批次共10 000件产品中随机抽取100件进行检测,检测出次品5件,由此估计这一批次产品中的次品件数是【 】
A. 5 B. 100 C. 500 D. 10 000
【答案】C.
【考点】用样本估计总体.
【分析】∵100件样品中,检测出次品5件,∴次品率为5%.
∴估计这一批次产品中的次品件数是(件).
故选C.
5. (2015年浙江舟山3分) 如图,直线∥∥,直线AC分别交,,于点A,B,C;直线DF分别交,,于点D,E,F. AC与DF相交于点G,且AG=2,GB=1,BC=5,则的值为【 】
A. B. 2 C. D.
【答案】D.
【考点】平行线分线段成比例的性质.
【分析】∵AG=2,GB=1,BC=5,∴.
∵直线∥∥,∴.
故选D.
6. (2015年浙江舟山3分) 与无理数最接近的整数是【 】
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】C.
【考点】估计无理数的大小;作差法的应用.
【分析】∵,∴在.
又∵,∴.
∴,即与无理数最接近的整数是6.
故选C.
7. (2015年浙江舟山3分) 如图,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,以点C为圆心的圆与AB相切,则⊙O的半径为【 】
A. 2.3 B. 2.4 C. 2.5 D. 2.6
【答案】B.
【考点】切线的性质;勾股定理逆定理;相似三角形的判定和性质.
【分析】如答图,设⊙O与AB相切于点D,连接CD,
∵AB=5,BC=3,AC=4,∴.
∴△ABC是直角坐标三角形,且.
∵⊙O与AB相切于点D,∴,即.
∴易证.∴. ∴.
∴⊙O的半径为2.4.
故选B.
8. (2015年浙江舟山3分) 一元一次不等式的解在数轴上表示为【 】
A. B. C. D.
【答案】A.
【考点】解一元一次不等式;数轴上表示不等式的解集。
【分析】解出一元一次不等式,得,
不等式的解集在数轴上表示的方法:>,≥向右画;<,≤向左画,在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示。因此不等式在数轴上表示正确的是A.
故选A
9. (2015年浙江舟山3分) 数学活动课上,四位同学围绕作图问题:“如图,已知直线和外一点P,用直尺和圆规作直线PQ,使PQ⊥于点Q”. 分别作出了下列四个图形.其中作法错误的是【 】
A. B. C. D.
【答案】A.
【考点】尺规作图.
【分析】根据垂线的作法,选项A错误. 故选A.
10. (2015年浙江舟山3分) 如图,抛物线交轴于点A(,0)和B(, 0),交轴于点C,抛物线的顶点为D.下列四个命题:①当时,;②若,则;③抛物线上有两点P(,)和Q(,),若,且,则;④点C关于抛物线对称轴的对称点为E,点G,F分别在轴和轴上,当时,四边形EDFG周长的最小值为. 其中真命题的序号是【 】
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案】C.
【考点】真假命题的判断;二次函数的图象和性质;曲线上点的坐标与方程的关系;轴对称的应用(最短线路问题);勾股定理.
【分析】根据二次函数的图象和性质对各结论进行分析作出判断:
①从图象可知当时,,故命题“当时,”不是真命题;
②∵抛物线的对称轴为,点A和B关于轴对称,∴若,则,故命题“若,则”不是真命题;
③∵故抛物线上两点P(,)和Q(,)有,且,∴,又∵抛物线的对称轴为,∴,故命题“抛物线上有两点P(,)和Q(,),若,且,则” 是真命题;
④如答图,作点E关于轴的对称点M,作点D关于轴的对称点N,连接MN,ME和ND的延长线交于点P,则MN与轴和轴的交点G,F即为使四边形EDFG周长最小的点.
∵,
∴的顶点D的坐标为(1,4),点C的坐标为(0,3).
∵点C关于抛物线对称轴的对称点为E,∴点E的坐标为(2,3).
∴点M的坐标为,点N的坐标为,点P的坐标为(2,4).
∴.
∴当时,四边形EDFG周长的最小值为.
故命题“点C关于抛物线对称轴的对称点为E,点G,F分别在轴和轴上,当时,四边形EDFG周长的最小值为” 不是真命题.
综上所述,真命题的序号是③.
故选C.
二、填空题(本题有6小题,每小题4分,共24分)
11. (2015年浙江舟山4分)因式分解:= ▲
【答案】.
【考点】提公因式法因式分解.
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式,若有公因式,则把它提取出来,之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式,若是就考虑用公式法继续分解因式. 因此,直接提取公因式即可:.
12. (2015年浙江舟山4分)把二次函数化为形如的形式: ▲
【答案】.
【考点】二次函数的三种形式的互化.
【分析】∵,
∴把二次函数化为形如的形式为.
13. (2015年浙江舟山4分)把一枚均匀的硬币连续抛掷两次,两次正面朝上的概率是 ▲
【答案】.
【考点】概率.
【分析】根据概率的求法,找准两点:①全部等可能情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.了因此,
∵一共有4 次等可能结果:正正,正反,反正,反反,两次正面朝上的情况有一种,
∴两次正面朝上的概率是.
14. (2015年浙江舟山4分)一张三角形纸片ABC,AB=AC=5. 折叠该纸片,使点A落在BC的中点上,折痕经过AC上的点E,则AE的长为 ▲
【答案】2.5.
【考点】折叠问题;等腰三角形的性质;三角形中位线定理.
【分析】∵一张三角形纸片ABC,AB=AC,折叠该纸片,使点A落在BC的中点上,
∴折痕是△ABC的中位线.
∵折痕经过AC上的点E,AB=AC=5,
∴AE的长为2.5.
15. (2015年浙江舟山4分)
如图,多边形的各顶点都在方格纸的格点(横竖格子线的交错点)上,这样的多边形称为格点多边形,它的面积S可用公式(是多边形内的格点数,是多边形边界上的格点数)计算,这个公式称为“皮克定理”. 现有一张方格纸共有200个格点,画有一个格点多边形,它的面积S=40.
(1)这个格点多边形边界上的格点数= ▲ (用含的代数式表示);
(2)设该格点多边形外的格点数为,则= ▲
【答案】(1);(2)118.
【考点】网格问题;数形结合思想的应用.
【分析】(1)由得.
(2)∵方格纸共有200个格点,∴.
将代入,得.
16. (2015年浙江舟山4分)如图,在直角坐标系中,已知点A(0,1),点P在线段OA上,以AP为半径的⊙P周长为1. 点M从A开始沿⊙P按逆时针方向转动,射线AM交轴于点N(,0). 设点M转过的路程为(). 随着点M的转动,当从变化到时,点N相应移动的路径长为
▲
【答案】.
【考点】单点和线动旋转问题;圆周角定理;等边三角形的判定和性质;含30度直角三角形的性质.
【分析】∵以AP为半径的⊙P周长为1,
∴当从变化到时,点M转动的圆心角为120°,即圆周角为60°.
∴根据对称性,当点M转动的圆心角为120°时,点N相应移动的路径起点和终点关于轴对称.
∴此时构成等边三角形,且.
∵点A(0,1),即OA=1,∴.
∴当从变化到时,点N相应移动的路径长为.
三、解答题(本题有8小题,共66分,每个小题都必须写出解答过程)
17. (2015年浙江舟山6分)
(1)(2015年浙江舟山3分)计算:;
【答案】解:原式=.
【考点】实数的运算;绝对值;二次根式化简;负整数指数幂.
【分析】针对绝对值,二次根式化简,负整数指数幂3个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.
(2)(2015年浙江舟山3分)化简:
【答案】解:原式=.
【考点】整式的化简.
【分析】应用平方差公式和单项式乘多项式展开后合并同类项即可.
18. (2015年浙江舟山6分)小明解方程的过程如图.请指出他解答过程中的错误,并写出正确的解答过程.
【答案】解:小明的解法有三处错误:
步骤①去分母错误;步骤②去括号错误;步骤⑥之前缺少“检验”步骤.
正确的解答过程如下:
去分母,得,
去括号,得,
移项,得,
合并同类项,得,
两边同除以,得.
经检验,是原方程的解,
∴原方程的解是.
【考点】解分式方程.
【分析】首先去掉分母,观察可得最简公分母是,方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解,然后解一元一次方程,最后检验即可求解.
19. (2015年浙江舟山6分)如图,正方形ABCD中,点E,F分别在AB,BC上,AF=DE,AF和DE相交于点G.
(1)观察图形,写出图中所有与∠AED相等的角;
(2)选择图中与∠AED相等的任意一个角,并加以证明.
【答案】解:(1)与∠AED相等的角有.
(2)选择:
正方形ABCD中,,
又∵AF=DE,∴.∴.
【考点】开放型;正方形的性质;平行的性质;全等三角形的判定和性质.
【分析】(1)观察图形,可得 结果.
(2)答案不唯一,若选择,则由可得结论;
若选择,则由正方形ABCD得到AB∥CD,从而得到结论;,
若选择,则一方面,由可得,另一方面,由正方形ABCD得到AD∥BC,得到,进而可得结论
20. (2015年浙江舟山8分)舟山市2010~2014年社会消费品零售总额及增速统计图如下:
请根据图中信息,解答下列问题:
(1)求舟山市2010~2014年社会消费品零售总额增速这组数据的中位数;
(2)求舟山市2010~2014年社会消费品零售总额这组数据的平均数;
(3)用适当的方法预测舟山市2015年社会消费品零售总额(只要求列式说明,不必计算出结果).
【答案】解:(1)舟山市2010~2014年社会消费品零售总额增速这组数据的中位数为15.4%.
(2)舟山市2010~2014年社会消费品零售总额这组数据的平均数为
(亿元).
(3)从增速中位数分析,舟山市2015年社会消费品零售总额为:(亿元).
(答案不唯一)
【考点】开放型;条形统计图;折线统计图;中位数;平均数.线
【分析】(1)中位数是一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数).由此将2010~2014年社会消费品零售总额增速这组数据重新排序为18.4%,17.0%,15.4%,14.2%,13.5%,∴中位数是按从从大到小排列后第3个数为:154%.
(2)平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.
(3)可从增速中位数分析,也可从零售总额趋势或增速趋势等其它角度分析,答案不唯一.
21. (2015年浙江舟山8分)如图,直线与反比例函数的图象交于点A(1,),B是反比例函数图象上一点,直线OB与轴的夹角为,.
(1)求的值;
(2)求点B的坐标;
(3)设点P(,0),使△PAB的面积为2,求的值.
【答案】解:(1)∵直线与反比例函数的图象交于点A(1,),
∴,解得.
∴.
(2)如答图1,过点B作BC⊥轴于点C,
∵点B在反比例函数的图象上,
∴可设点B的坐标为,即.
∵,即,∴,解得.
又∵,∴. ∴点B的坐标为.
(3)如答图2,设所在直线AB与轴交于点D,
∵A(1,2),B ,
∴.
∵P(,0),,且,
∴, 得.
【考点】反比例函数和一次函数综合题;曲线图上点的坐标与方程的关系;锐角三角函数定义;转换思想和方程思想的应用.
【分析】(1)根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系,由直线与反比例函数的图象交于点A(1,)列出方程组求解即可.
(2)作辅助线:过点B作BC⊥轴于点C,构成直角三角形,根据锐角三角函数定义列式求解即可.
(3)设所在直线AB与轴交于点D,根据列方程求解即可.
22. (2015年浙江舟山10分)小红将笔记本电脑水平放置在桌子上,显示屏OB与底板OA所在的水平线的夹角为120°时,感觉最舒适(如图1),侧面示意图为图2;使用时为了散热,她在底板下垫入散热架后,电脑转到位置(如图3),侧面示意图为图4.已知OA=OB=24cm,于点C,=12cm.
(1)求的度数;
(2)显示屏的顶部比原来升高了多少?
(3)如图4,垫入散热架后,要使显示屏与水平线的夹角仍保持120°,则显示屏应绕点按顺时针方向旋转多少度?
【答案】解:(1)∵于点C,OA=OB=24,O’C=12,
∴.
∴30°.
(2)如答图,过点作交的延长线于点.
∵,∴.
∵,∴.
∴.
∴显示屏的顶部比原来升高了 cm.
(3)显示屏应绕点按顺时针方向旋转30°.理由如下:
如答图,电脑显示屏’绕点按顺时针方向旋转度至处,∥.
∵电脑显示屏’ 与水平线的夹角仍保持120°,
∴.∴.∴.
∴,即.
∴显示屏应绕点按顺时针方向旋转30°.
【考点】解直角三角形的应用;线动旋转问题;锐角三角函数定义;特殊角的三角函数值.
【分析】(1)直接正弦函数定义和30度角的正弦函数值求解即可.
(2)过点作交的延长线于点,则显示屏的顶部比原来升高的距离就是,从而由求出即可求解.
(3)根据旋转和平行的的性质即可得出结论.
23. (2015年浙江舟山10分)某企业接到一批粽子生产任务,按要求在15天内完成,约定这批粽子的出厂价为每只6元. 为按时完成任务,该企业招收了新工人,设新工人李明第天生产的粽子数量为只,与满足如下关系式:.
(1)李明第几天生产的粽子数量为420只?
(2)如图,设第天每只粽子的成本是元,与之间的关系可用图中的函数图象来刻画. 若李明第天创造的利润为元,求与之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大?最大值是多少元(利润=出厂价-成本)?
(3)设(2)小题中第天利润达到最大值,若要使第()天的利润比第天的利润至少多48元,则第()天每只粽子至少应提价几元?
【答案】解:(1)设李明第天生产的粽子数量为420只,
根据题意,得,
解得.
答:李明第10天生产的粽子数量为420只.
(2)由图象可知,当时,;
当时,设,
把点(9,4.1),(15,4.7)代入止式,得,解得.
∴.
①时,,当时,(元);
②时,,
∵是整数,∴当时,(元);
③时,,
∵,∴当时,(元).
综上所述,与之间的函数表达式为,第12天的利润最大,最大值是768元.
(3)由(2)知,,,设第13天提价元.
由题意,得,
∴,得.
答:第13天应皮至少提价0.1元.
【考点】一元一次方程。一元一次不等式、一次函数和二次函数的综合应用;分类思想的应用.
【分析】(1)方程的应用解题关键是找出等量关系,列出方程求解. 本题设李明第天生产的粽子数量为420只,等量关系为:“第天生产的粽子数量等于420只”.
(2)先求出与之间的关系式,分,,三种情况求解即可.
(3)不等式的应用解题关键是找出不等量关系,列出不等式求解. 本题先求出,从而设第13天提价元,不等量关系为:“第13天的利润比第12天的利润至少多48元”.
24. (2015年浙江舟山12分)类比等腰三角形的定义,我们定义:有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.
(1)概念理解:
如图1,在四边形ABCD中,添加一个条件,使得四边形ABCD
是“等邻边四边形”,请写出你添加的一个条件;
(2)问题探究:
①小红猜想:对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形,她的猜想正确吗?请说明理由;
②如图2,小红画了一个Rt△ABC,其中∠ABC=90°,AB=2,BC=1,并将Rt△ABC沿∠B的平分线方向平移得到,连结. 小红要使平移后的四边形是“等邻边四边形”,应平移多少距离(即线段的长)?
(3)应用拓展:
如图3,“等邻边四边形”ABCD中,AB=AD,∠BAD+∠BCD=90°,AC,BD为对角线,.试探究BC,CD,BD的数量关系.
【答案】解:(1)(答案不唯一).
(2)①正确.理由如下:
∵四边形的对角线互相平分,∴这个四边形是平行四边形.
∵四边形是“等邻边四边形”,∴这个四边形有一组邻边相等.
∴这个四边形是菱形.
②∵∠ABC=90°,AB=2,BC=1,∴.
∵将Rt△ABC平移得到,
∴,∥,.
i)如答图1,当时,;
ii)如答图2,当时,;
iii)如答图3,当时,延长交于点,则.
∵平分,∴.
设,则.
在中,,
∴,解得(不合题意,舍去).
∴.
iv)如答图4,当时,同ii)方法,设,
可得,即,
解得(不合题意,舍去).
∴.
综上所述,要使平移后的四边形是“等邻边四边形”,应平移2或或或的距离.
(3)BC,CD,BD的数量关系为.
如答图5,
∵,∴将绕点A旋转到.
∴.
∴.
∴.
∴.∴.∴.
∵,
∴.
∴.∴.
∴.
【考点】新定义;面动平移问题;菱形的判定;全等三角形的判定和性质;相似三角形的判定和性质;等腰直角三角形的判定和性质;多边形内角和定理;勾股定理;分类思想和方程思想的应用.
【分析】(1)根据定义,添加或或或即可(答案不唯一).
(2)根据定义,分,,,四种情况讨论即可.
(3)由,可将绕点A旋转到,构成全等三角形:,从而得到,进而证明得到,通过角的转换,证明,根据勾股定理即可得出.