中考攻略专题18动态几何之和差问题探讨含答案 61页

‎【2013年中考攻略】专题18：动态几何之和差问题探讨 动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。前面我们已经对最值问题、面积问题进行了探讨，本专题对和差问题进行探讨。‎ 结合2011年和2012年全国各地中考的实例，我们从四方面进行动态几何之和差问题的探讨：（1）静态和差问题；（2）和差为定值问题；（3）和差最大问题；（4）和差最小问题。‎ 一、静态和差问题：‎ 典型例题：‎ 例1：（2012海南省3分）如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O. 过O点作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是 ▲ .‎ ‎【答案】9。‎ ‎【考点】角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定。‎ ‎【分析】∵OB是∠B的平分线，∴∠DBO=∠OBC。‎ ‎ 又∵DE∥BC，∴∠OBC =∠BOD。∴∠DBO=∠BOD。∴DO=DB。‎ ‎ 同理，EO=EC。‎ ‎ 又∵AB=5，AC=4，‎ ‎ ∴△ADE的周长=AD＋DE＋AE=AD＋DO＋EO＋AE=AD＋DB＋EC＋AE ‎=AB＋AC=5＋4=9。‎ 例2：（2012湖北荆门3分）如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为【 】‎ A． 8 B． ‎4 ‎C． 8 D． 6‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的对称性质，正方形的性质，勾股定理。‎ ‎【分析】如图，∵正方形ABCD的对角线长为2，即BD=2，∠A=90°，AB=AD，∠ABD=45°，‎ ‎∴AB=BD•cos∠ABD=BD•cos45°=2。‎ ‎∴AB=BC=CD=AD=2。‎ 由折叠的性质：A′M=AM，D′N=DN，A′D′=AD，‎ ‎∴图中阴影部分的周长为 A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8。‎ 故选C。‎ 例3：（2012四川内江3分）如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处，则阴影部分图形的周长为【 】‎ A.15 B‎.20 C.25 D.30‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题），矩形和折叠的性质。‎ ‎【分析】根据矩形和折叠的性质，得A1E=AE，A1D1=AD，D‎1F=DF，则阴影部分的周长即为矩形的周长，为2（10+5）=30。故选D。‎ 例4：（2012山东枣庄3分）如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为【 】‎ A、14 B、‎16 C、20 D、28 ‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】平移的性质，勾股定理。‎ ‎【分析】由勾股定理，得AB=，将五个小矩形的所有上边平移至AD，所有下边平移至BC，所有左边平移至AB，所有右边平移至CD，‎ ‎∴五个小矩形的周长之和=2（AB+CD）=2×（6+8）=28。故选D。‎ 例5：（2012湖北武汉3分）在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB＝5，BC＝6，则CE＋CF的值为【 】‎ A．11＋ B．11－‎ C．11＋或11－ D．11－或1＋‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】平行四边形的性质和面积，勾股定理。‎ ‎【分析】依题意，有如图的两种情况。设BE=x，DF=y。‎ ‎ 如图1，由AB＝5，BE=x，得。‎ ‎ 由平行四边形ABCD的面积为15，BC＝6，得，‎ ‎ 解得（负数舍去）。‎ ‎ 由BC＝6，DF=y，得。‎ 由平行四边形ABCD的面积为15，AB＝5，得，‎ ‎ 解得（负数舍去）。‎ ‎ ∴CE＋CF=（6－）＋（5－）=11－。‎ ‎ 如图2，同理可得BE= ，DF=。‎ ‎ ∴CE＋CF=（6＋）＋（5＋）=11＋。‎ ‎ 故选C。‎ 例6：（2012山东枣庄8分）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2．‎ ‎（1）求证：AB＝BC；‎ ‎（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE＋CD．‎ ‎【答案】解：（1）证明：连接AC。‎ ‎∵∠ABC＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2。‎ ‎∵CD⊥AD，∴AD2＋CD2＝AC2。‎ ‎∵AD2＋CD2＝2AB2，∴AB2＋BC2＝2AB2。‎ ‎∴AB＝BC。‎ ‎（2）证明：过C作CF⊥BE于F。‎ ‎∵BE⊥AD，∴四边形CDEF是矩形。∴CD＝EF。‎ ‎∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF。‎ 又∵AB＝BC，∠BEA＝∠CFB，∴△BAE≌△CBF（AAS）。∴AE＝BF。‎ ‎∴BE＝BF＋EF ＝AE＋CD。‎ ‎【考点】勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）题目中存在直角，垂直，含线段平方的等式，因此考虑连接AC，构造直角三角形，利用勾股定理证明。‎ ‎（2）可采用“截长”法证明，过点C作CF⊥BE于F，易证CD=EF，只需再证明AE=BF即可，这一点又可通过全等三角形获证.‎ 例7：（2012内蒙古呼和浩特7分）如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．‎ ‎（1）求证：AF﹣BF=EF；‎ ‎（2）将△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F′，若正方形边长为3，求点F′与旋转前的图中点E之间的距离．‎ ‎【答案】（1）证明：如图，∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAD=∠BAG+∠EAD=90°。‎ ‎ ∵DE⊥AG，∴∠AED=90°。∴∠EAD+∠ADE=90°。∴∠ADE=∠BAF。‎ 又∵BF∥DE，∴∠AEB=∠AED=90°。‎ 在△AED和△BFA中，∵∠AEB=∠AED，∠ADE=∠BAF，AD = AB。‎ ‎∴△AED≌△BDA（AAS）。∴BF=AE。‎ ‎∵AF﹣AE=EF，∴AF﹣BF=EF。‎ ‎（2）解：如图，‎ 根据题意知：∠FAF′=90°，DE=AF′=AF，‎ ‎∴∠F′AE=∠AED=90°，即∠F′AE+∠AED=180°。‎ ‎∴AF′∥ED。∴四边形AEDF′为平行四边形。‎ 又∵∠AED=90°，∴四边形AEDF′是矩形。‎ ‎∴EF′=AD=3。‎ ‎∴点F′与旋转前的图中点E之间的距离为3。‎ ‎【考点】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）由四边形ABCD为正方形，可得出∠BAD为90°，AB=AD，进而得到∠BAG与∠EAD互余，又DE垂直于AG，得到∠EAD与∠ADE互余，根据同角的余角相等可得出∠ADE=∠BAF，利用AAS可得出三角形ABF与三角形ADE全等，利用全等三角的对应边相等可得出BF=AE，由AF﹣AE=EF，等量代换可得证。‎ ‎（2）将△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F′，连接EF′，如图所示，由旋转的性质可得出∠FAF′为直角，AF=AF′，由（1）的全等可得出AF=DE，等量代换可得出DE=AF′=AF，再利用同旁内角互补两直线平行得到AF′与DE平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得出AEDF′‎ 为平行四边形，再由一个角为直角的平行四边形为矩形可得出AEDF′为矩形，根据矩形的对角线相等可得出EF′=AD，由AD的长即可求出EF′的长。‎ 例8：（2012重庆市10分）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．‎ ‎（1）若CE=1，求BC的长；‎ ‎（2）求证：AM=DF+ME．‎ ‎【答案】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD。∴∠1=∠ACD。‎ ‎ ∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2。∴MC=MD。‎ ‎∵ME⊥CD，∴CD=2CE。‎ ‎∵CE=1，∴CD=2。∴BC=CD=2。‎ ‎（2）证明：∵F为边BC的中点，∴BF=CF=BC。∴CF=CE。‎ ‎∵在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD。‎ 在△CEM和△CFM中，∵CE=CF，∠ACB=∠ACD，CM=CM，‎ ‎∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF。‎ 延长AB交DF于点G，‎ ‎∵AB∥CD，∴∠G=∠2。‎ ‎∵∠1=∠2，∴∠1=∠G。‎ ‎∴AM=MG。‎ 在△CDF和△BGF中，‎ ‎∵∠G=∠2，∠BFG=∠CFD，BF=CF，∴△CDF≌△BGF（AAS）。‎ ‎∴GF=DF。‎ 由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME。‎ ‎【考点】菱形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）根据菱形的对边平行可得AB∥D，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度。‎ ‎（2）先利用SAS证明△CEM和△CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用AAS证明△CDF和 ‎△BGF全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形GM=GF+MF即可得证。‎ 例9：（2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如图，线段AC=n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME．当AB=1时，△AME的面积记为S1；当AB=2时，△AME的面积记为S2；当AB=3时，△AME的面积记为S3；…；当AB=n时，△AME的面积记为Sn．当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1=　 ▲ 　．‎ 例10：（2012贵州铜仁4分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为【 】‎ ‎　　A．6　　B．‎7　‎　C．8　　D．9‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，‎ ‎∵MN∥BC，∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB。∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN。‎ ‎∴BM=ME，EN=CN。∴MN=ME+EN，即MN=BM+CN。‎ ‎∵BM+CN=9∴MN=9。故选D。‎ 例11：（2012广东梅州3分）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=【 】‎ ‎　　A．150°　　B．210°　　C．105°　　D．75°‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理。‎ ‎【分析】∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，‎ ‎∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°。‎ ‎∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°，‎ ‎∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°。‎ 故选A。‎ 例12：（2012湖北孝感3分）已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β－‎ ‎∠γ的值是【 】‎ A．45º B．60º C．90º D．180º ‎【答案】C。‎ ‎【考点】余角和补角、‎ ‎【分析】根据互余两角之和为90°，互补两角之和为180°，结合题意即可得出答案：‎ 由题意得，∠α＋∠β=180°，∠α＋∠γ=90°，‎ 两式相减可得：∠β－∠γ=90°。故选C。‎ 例13：（2012湖南长沙3分）如图，AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=　 ▲ 　度．‎ ‎【答案】360。‎ ‎【考点】平行线的性质。‎ ‎【分析】∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°…①。‎ ‎∵CD∥EF，∴∠CEF+∠ECD=180°…②。‎ ‎①+②得，∠BAC+∠ACD+∠CEF+∠ECD=180°+180°=360°，即∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°。‎ 练习题：‎ ‎1. （2012辽宁本溪3分）如图 在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连接AE，则△ACE的周长为【 】‎ A、16 B、‎15 ‎ C、14 D、13‎ ‎2. （2012吉林省3分）如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD．将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，连接ED．若BC=10，BD=9，则△AED的周长是_ ▲____.‎ ‎3. （2012福建龙岩3分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC = BC = 6，E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，则矩形CFEG的周长是 ▲ ．‎ ‎4. （2012福建宁德4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，EF∥HG，EH∥FG，则四边形EFGH的周长是【 】‎ A． B． C．2 D．2 ‎5. （2012内蒙古包头10分）如图，已知AB为⊙O的直径，过⊙O上的点C的切线交AB 的延长线于点E , AD⊥EC 于点D 且交⊙O于点F ，连接BC , CF , AC 。‎ ‎（1）求证：BC=CF；‎ ‎（2）若AD=6 , DE=8 ，求BE 的长；‎ ‎（3）求证：AF + 2DF = AB。‎ ‎6. （2012山东东营10分）‎ ‎（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF；‎ ‎（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD．‎ ‎（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：‎ 如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积．‎ ‎7. （2012黑龙江牡丹江8分）如图①，△ABC中。AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC， CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：‎ ‎（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并加以证明：‎ ‎（2）填空：若∠A=300，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH= ．点P到AB边的距离PE= ‎ ‎8. （2012江苏南通3分）如图，在△ABC中，∠C＝70º，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝【 】‎ A．360º B．250º C．180º D．140º ‎9.（2012江苏南京2分）如图，、、、是五边形ABCDE的4个外角，若，则 ▲ ‎ ‎10.（2012四川绵阳3分）如图，将等腰直角三角形虚线剪去顶角后，∠1+∠2=【 】。‎ A．225° B．235° C．270° D．与虚线的位置有关 ‎11.（2012四川凉山4分）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是【 】‎ A． B． C． D． ‎ 二、和差为定值问题：‎ 典型例题：‎ 例1： （2012广西崇左10分）如图所示，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但点A到EF的距离AH始终保持与AB的长度相等，问在点E、F移动过程中；‎ ‎（1）∠EAF的大小是否发生变化？请说明理由.‎ ‎（2）△ECF的周长是否发生变化？请说明理由.‎ ‎【答案】解：（1）∠EAF的大小不会发生变化。理由如下：‎ 在正方形ABCD中，∵AH⊥EF，∴∠AHF=∠D=90°，‎ ‎∵AF=AF，AH=AD，∴Rt△AHF≌Rt△ADF(HL)。∴∠HAF=∠DAF。‎ 同理Rt△AHE≌Rt△ABE，∠HAE=∠BAE。‎ ‎∵∠HAF+∠DAF+∠HAE+∠BAE=90°，∴∠EAF=∠HAF+∠HAE=45°。‎ ‎∴∠EAF的大小不会发生变化。‎ ‎（2）△ECF的周长不会发生变化。理由如下：‎ 由（1）知：Rt△AHF≌Rt△ADF， Rt△AHE≌Rt△ABE，‎ ‎∴FH=FD，EH=EB。∴EF=EH+FH=EB+FD。‎ ‎∴CE+CF+EF= CE+CF+ EB+FD=BC+CD。‎ ‎∴CE+CF+EF= CE+CF+ EB+FD=BC+CD。‎ ‎【考点】正方形的性质，动点和定值问题，全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）由HL证得Rt△AHF≌Rt△ADF和Rt△AHE≌Rt△ABE即可得∠EAF=∠HAF+∠HAE=45°，即∠EAF的大小不会发生变化。‎ ‎（2）由（1）两个全等即可得CE+CF+EF= CE+CF+ EB+FD=BC+CD，即CE+CF+EF= CE+CF+ EB+FD=BC+CD。‎ ‎【点评】第二问，△ECF的周长即CE+CF+EF为定值：正方形ABCD边长的2倍。‎ 例2：（2012山东德州12分）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．‎ ‎（1）求证：∠APB=∠BPH；‎ ‎（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；‎ ‎（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．‎ 又∵∠EPH=∠EBC=90°，‎ ‎∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP，即∠PBC=∠BPH。‎ 又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC。∴∠APB=∠BPH。‎ ‎（2）△PHD的周长不变为定值8。证明如下：‎ 如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q。‎ 由（1）知∠APB=∠BPH，‎ 又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，‎ ‎∴△ABP≌△QBP（AAS）。∴AP=QP，AB=BQ。‎ 又∵AB=BC，∴BC=BQ。‎ 又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，‎ ‎∴△BCH≌△BQH（HL）。∴CH=QH。‎ ‎∴△PHD的周长为：‎ PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。‎ ‎（3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB。‎ 又∵EF为折痕，∴EF⊥BP。‎ ‎∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°。‎ ‎∴∠EFM=∠ABP。‎ 又∵∠A=∠EMF=90°，AB=ME，‎ ‎∴△EFM≌△BPA（ASA）。‎ ‎∴EM=AP=x．‎ ‎∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，即。‎ ‎∴。‎ 又∵四边形PEFG与四边形BEFC全等，‎ ‎∴。‎ ‎∵，∴当x=2时，S有最小值6。‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值。‎ ‎【分析】（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案。‎ ‎（2）先由AAS证明△ABP≌△QBP，从而由HL得出△BCH≌△BQH，即可得CH=QH。因此，△PDH的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8为定值。‎ ‎（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，从而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，利用二次函数的最值求出即可。‎ 例3：（2012黑龙江绥化8分）如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P为直线EC上的一点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R．‎ ‎（1）如图1，当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ= （不需证明）．‎ ‎（2）如图2，当点P为线段EC上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．‎ ‎（3）如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．‎ ‎【答案】解：（2）图2中结论PR＋PQ=仍成立。证明如下：‎ 连接BP，过C点作CK⊥BD于点K。‎ ‎∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD=90°。‎ 又∵CD=AB=3，BC=4，∴。‎ ‎∵S△BCD=BC•CD=BD•CK，∴3×4=5CK，∴CK=。‎ ‎∵S△BCE=BE•CK，S△BEP=PR•BE，S△BCP=PQ•BC，且S△BCE=S△BEP＋S△BCP，‎ ‎∴BE•CK=PR•BE＋PQ•BC。‎ 又∵BE=BC，∴CK=PR＋PQ。∴CK=PR＋PQ。‎ 又∵CK=，∴PR＋PQ=。‎ ‎（3）图3中的结论是PR－PQ=．‎ ‎【考点】矩形的性质，三角形的面积，勾股定理。‎ ‎【分析】（2）连接BP，过C点作CK⊥BD于点K．根据矩形的性质及勾股定理求出BD的长，根据三角形面积相等可求出CK的长，最后通过等量代换即可证明。‎ ‎（3）图3中的结论是PR－PQ=125 。‎ 连接BP，S△BPE－S△BCP=S△BEC，S△BEC 是固定值，BE=BC 为两个底，PR，PQ 分别为高，从而PR－PQ=。‎ 例4：（2012山东潍坊11分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(－2，O)、B(2，0)、C(0，－l)三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D(0，－‎ ‎2)作平行于x轴的直线、．‎ ‎ (1)求抛物线对应二次函数的解析式；‎ ‎ (2)求证以ON为直径的圆与直线相切；‎ ‎ (3)求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直线的距离之和等于线段MN的长．‎ ‎【答案】解：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax2＋bx＋c，‎ 则 解得。‎ ‎∴抛物线对应二次函数的解析式 所以。‎ ‎ （2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为点M、N在抛物线上，‎ ‎ ∴，∴x22=4(y2+1)。‎ 又∵，∴。‎ 又∵y2≥－l，∴ON=2＋y2。‎ 设ON的中点E，分别过点N、E向直线作垂线，垂足为P、F， 则 ，‎ ‎∴ON=2EF，‎ 即ON的中点到直线的距离等于ON长度的一半，‎ ‎∴以ON为直径的圆与相切。‎ ‎（3）过点M作MH⊥NP交NP于点H，‎ 则，‎ 又∵y1=kx1，y2=kx2，∴（y2－y1)2=k2(x2－x1)2。∴MN2=(1+k2)(x2一xl)2。‎ 又∵点M、N既在y=kx的图象上又在抛物线上，‎ ‎∴，即x2－4kx－4=0，∴x2＋x1=4k，x2·x1=－4。‎ ‎∴MN2=(1+k2)(x2一xl)2=(1+k2)[ (x2＋xl)2－4x2·xl] =16(1+k2)2。∴MN=4(1+k2)。‎ 延长NP交于点Q，过点M作MS⊥交于点S，‎ 则MS＋NQ=y1＋2＋y2＋2=‎ ‎ ∴MS+NQ=MN，即M、N两点到距离之和等于线段MN的长。‎ ‎【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，中点坐标的求法，直线与圆相切的条件，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出抛物线对应二次函数的解析式。‎ ‎（2）要证以ON为直径的圆与直线相切，只要证ON的中点到直线的距离等于ON长的一半即可。‎ ‎（3）运用一元二次方程根与系数的关系，求出MN和M、N两点到直线的距离之和，相比较即可。‎ 例5：（2012江苏苏州9分）如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以‎1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合.在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD.已知正方形ABCD的边长为‎1cm，矩形EFGH的边FG、GH的长分别为‎4cm、‎3cm.设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0≤x≤2.5.‎ ‎ ⑴试求出y关于x的函数关系式，并求出y =3时相应x的值；‎ ‎⑵记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2．试说明S1－S2是常数；‎ ‎⑶当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长.‎ ‎【答案】解：（1）∵CG∥AP，∴∠CGD=∠PAG，则。∴。‎ ‎∵GF=4，CD=DA=1，AF=x，∴GD=3－x，AG=4－x。‎ ‎∴，即。∴y关于x的函数关系式为。‎ 当y =3时，，解得:x=2.5。‎ ‎（2）∵， ‎∴为常数。‎ ‎（3）延长PD交AC于点Q.‎ ‎∵正方形ABCD中，AC为对角线，∴∠CAD=45°。‎ ‎∵PQ⊥AC，∴∠ADQ=45°。‎ ‎∴∠GDP=∠ADQ=45°。‎ ‎∴△DGP是等腰直角三角形，则GD=GP。‎ ‎∴，化简得：，解得：。 ‎∵0≤x≤2.5，∴。‎ 在Rt△DGP中，。‎ ‎【考点】正方形的性质，一元二次方程的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】（1）根据题意表示出AG、GD的长度，再由可解出x的值。‎ ‎（2）利用（1）得出的y与x的关系式表示出S1、S2，然后作差即可。‎ ‎（3）延长PD交AC于点Q，然后判断△DGP是等腰直角三角形，从而结合x的范围得出x的值，在Rt△DGP中，解直角三角形可得出PD的长度。‎ 练习题：‎ ‎1. （广东广州14分）已知关于的二次函数的图象经过点C（0，1），且与轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的取值范围；‎ ‎（3）该二次函数的图象与直线＝1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜＜1时，求证：S1﹣S2为常数，并求出该常数．‎ ‎2. （2011湖南岳阳8分）如图①，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起．‎ ‎（1）操作：如图②，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）．‎ 求证：BH•GD=BF2‎ ‎（2）操作：如图③，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG．‎ 探究：FD+DG=　 　．请予证明．‎ ‎3. （2011福建莆田10分） 如图，将—矩形OABC放在直角坐际系中，O为坐标原点．点A在x轴正半轴上．点E是边AB上的—个动点(不与点A、N重合)，过点E的反比例函数 的图象与边BC交于点F。‎ ‎（1）(4分)若△OAE、△OCF的而积分别为S1、S2．且S1＋S2=2，求的值：‎ ‎（2）(6分) 若OA=2．‎0C=4．问当点E运动到什么位置时，四边形OAEF的面积最大．其最大值为多少?‎ ‎4. （2011黑龙江龙东五市8分）如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P为直线EC上的一点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R。‎ ‎（1）如图1，当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ=（不需证明）。‎ ‎（2）如图2，当点P为线段EC上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。‎ ‎（3）如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想。‎ ‎5. （2011湖南永州10分）探究问题：‎ ‎⑴方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．‎ 感悟解题方法，并完成下列填空：‎ 将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：‎ AB=AD，BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，∴∠ABG+∠ABF=90°＋90°=180°，‎ 因此，点G，B，F在同一条直线上．‎ ‎∵∠EAF=45° ∴∠2＋∠3=∠BAD－∠EAF=90°－45°=45°．‎ ‎∵∠1=∠2， ∴∠1＋∠3=45°．即∠GAF=∠_________．‎ 又AG=AE，AF=AF∴△GAF≌_______．∴_________=EF，故DE＋BF=EF． ‎ ‎⑵方法迁移：‎ 如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．‎ ‎⑶问题拓展：‎ 如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足∠EAF=∠DAB,试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．‎ ‎6.（2011福建莆田14分）已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。‎ ‎（1）（4分）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；‎ ‎（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．‎ ‎ ①（4分）猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；‎ ‎ ②（6分）拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由。‎ 三、和差最大问题：‎ 典型例题：‎ 例1： （2012广西崇左10分）如图所示，抛物线（a≠0）的顶点坐标为点A（－2，3），且抛物线与y轴交于点B（0，2）.‎ ‎ （1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）是否在x轴上存在点P使△PAB为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎ （3）若点P是x轴上任意一点，则当PA－PB最大时，求点P的坐标.‎ ‎【答案】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为A(－2，3)，∴可设抛物线的解析式为。‎ 由题意得 ，解得。‎ ‎∴物线的解析式为，即。‎ ‎（2）设存在符合条件的点P，其坐标为（p，0），则 PA=，PB=，AB=‎ 当PA=PB时，=，解得；‎ 当PA=PB时，=5，方程无实数解；‎ 当PB=AB时，=5，解得。‎ ‎∴x轴上存在符合条件的点P，其坐标为（，0）或（－1,0）或（1,0）。‎ ‎（3）∵PA－PB≤AB，∴当A、B、P三点共线时，可得PA－PB的最大值，这个最大值等于AB，此时点P是直线AB与x轴的交点。设直线AB的解析式为，则 ‎，解得。∴直线AB的解析式为，‎ 当=0时，解得。‎ ‎∴当PA－PB最大时，点P的坐标是（4，0）。‎ ‎【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）由已知用待定系数法，设顶点式求解。‎ ‎　　　　（2）分PA=PB、PA=PB、PB=A三种情况讨论即可。‎ ‎　　　　（3）求得PA－PB最大时的位置，即可求解。‎ 例3：（2012广东广州14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）．‎ ‎（1）当α=60°时，求CE的长；‎ ‎（2）当60°＜α＜90°时，‎ ‎①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎②连接CF，当CE2﹣CF2取最大值时，求tan∠DCF的值．‎ ‎【答案】解：（1）∵α=60°，BC=10，∴sinα=，即sin60°=，解得CE=。‎ ‎（2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF。理由如下：‎ 连接CF并延长交BA的延长线于点G，‎ ‎∵F为AD的中点，∴AF=FD。‎ 在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠G=∠DCF。‎ 在△AFG和△CFD中，‎ ‎∵∠G=∠DCF， ∠G=∠DCF，AF=FD，‎ ‎∴△AFG≌△CFD（AAS）。∴CF=GF，AG=CD。‎ ‎∵CE⊥AB，∴EF=GF。∴∠AEF=∠G。‎ ‎∵AB=5，BC=10，点F是AD的中点，∴AG=5，AF=AD=BC=5。‎ ‎∴AG=AF。‎ ‎∴∠AFG=∠G。‎ 在△AFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF，‎ 又∵∠CFD=∠AFG，∴∠CFD=∠AEF。‎ ‎∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，‎ 因此，存在正整数k=3，使得∠EFD=3∠AEF。‎ ‎②设BE=x，∵AG=CD=AB=5，∴EG=AE+AG=5﹣x+5=10﹣x，‎ 在Rt△BCE中，CE2=BC2﹣BE2=100﹣x2。‎ 在Rt△CEG中，CG2=EG2+CE2=（10﹣x）2+100﹣x2=200﹣20x。‎ ‎∵CF=GF（①中已证），‎ ‎∴CF2=（CG）2=CG2=（200﹣20x）=50﹣5x。‎ ‎∴CE2﹣CF2=100﹣x2﹣50+5x=﹣x2+5x+50=﹣（x﹣）2+50+。‎ ‎∴当x=，即点E是AB的中点时，CE2﹣CF2取最大值。‎ 此时，EG=10﹣x=10﹣，CE=，‎ ‎∴。‎ ‎【考点】锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行四边形的性质，对顶角的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）利用60°角的正弦值列式计算即可得解。‎ ‎（2）①连接CF并延长交BA的延长线于点G，利用“角边角”证明△AFG和△CFD全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=GF，AG=CD，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=GF，再根据AB、BC的长度可得AG=AF，然后利用等边对等角的性质可得∠AEF=∠G=∠AFG，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EFC=2∠G，然后推出∠EFD=3∠AEF，从而得解。‎ ‎②设BE=x，在Rt△BCE中，利用勾股定理表示出CE2，表示出EG的长度，在Rt△CEG中，利用勾股定理表示出CG2，从而得到CF2，然后相减并整理，再根据二次函数的最值问题解答。‎ 例4：（2012河北省12分）如图1和2，在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC=．‎ 探究：如图1，AH⊥BC于点H，则AH= ，AC= ，△ABC的面积S△ABC= ；‎ 拓展：如图2，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E，F，设BD=x，AE=m，CF=n（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD=0）‎ ‎（1）用含x，m，n的代数式表示S△ABD及S△CBD；‎ ‎（2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；‎ ‎（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．‎ 发现：请你确定一条直线，使得A、B、C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．‎ ‎【答案】解：探究：12；15；84。‎ 拓展：（1）由三角形面积公式，得 ‎，。‎ ‎ （2）由（1）得，，‎ ‎ ∴‎ ‎ ∵△ABC中AC边上的高为，‎ ‎∴x的取值范围为。‎ ‎ ∵随x的增大而减小，‎ ‎∴当时，的最大值为15，当时，的最小值为12。‎ ‎（3）x的取值范围为或。‎ 发现：直线AC，A、B、C三点到这条直线的距离之和最小，最小值为。‎ ‎【考点】动点问题，锐角三角函数定义，特殊角有三角函数值，勾股定理， 垂直线段的性质，反比例函数的性质。‎ ‎【分析】探究：在Rt△ABH中，AB=13，，∴BH=AB。‎ ‎ ∴根据勾股定理，得。‎ ‎ ∵BC=14，∴HC=BC－BH=9。‎ ‎∴根据勾股定理，得。‎ ‎ ∴。‎ 拓展：（1）直接由三角形面积公式可得。‎ ‎ （2）由（1）和即可得到关于x的反比例函数关系式。根据垂直线段最短的性质，当BD⊥AC时，x最小，由面积公式可求得；因为AB=13，BC=14，所以当BD=BC=14时，x最大。从而根据反比例函数的性质求出m+n）的最大值和最小值。‎ ‎ （3）当时，此时BD⊥AC，在线段AC上存在唯一的点D；当时，此时在线段AC上存在两点D；当时，此时在线段AC上存在唯一的点D。因此x的取值范围为或。‎ 发现：由拓展（2）知，直线AC，A、B、C三点到这条直线的距离之和（即△ABC中AC边上的高）最小，最小值为（它小于BC边上的高12和AB边上的高）。‎ 练习题：‎ ‎1. （2011内蒙古乌兰察布4分）如图，是半径为 6 的⊙D的圆周，C点是上的任意一点， △ABD是等边三角形,则四边形ABCD的周长P的取值范围是 ▲ ‎ ‎2.（2011四川广安12分）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（），B（），D（3，0）．连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON．若抛物线经过点D、M、N．‎ ‎（1）求抛物线的解析式．‎ ‎（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE－QC|最大？并求出最大值．‎ ‎3. （2011河南省11分）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在轴上，点B的横坐标为﹣8．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．‎ ‎①设△PDE的周长为，点P的横坐标为，求关于的函数关系式，并求出的最大值；‎ ‎②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG．随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在轴上时，直接写出对应的点P的坐标．‎ ‎4. （2011山东青岛10分）)问题提出：我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定他们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M－N，若M－N＞0，则M＞N；若M－N＝0，则M＝N；若M－N＜0，则M＜N．‎ 问题解决：如图1，把边长为＋b(≠b)的大正方形分割成两个边长分别是、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小．‎ 解：由图可知：M＝2＋2，N＝2．∴M－N＝2＋2－2＝(－)2．‎ ‎∵≠，∴(－)2＞0．∴M－N＞0．∴M＞N．‎ 类别应用：(1)已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克(、是正数，且≠)，试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低．‎ ‎(2)试比较图2和图3中两个矩形周长M1、N1的大小(＞)．‎ 联系拓广：小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图4所示(其中b＞a＞c＞0)，售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由．‎ 四、和差最小问题：‎ 典型例题：‎ 例1：（2012浙江台州4分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【 】‎ ‎　 A． 1 B． C． 2 D．＋1‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】菱形的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】分两步分析：‎ ‎ （1）若点P，Q固定，此时点K的位置：如图，作点P关于BD的对称点P1，连接P1Q，交BD于点K1。‎ ‎ 由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得 ‎ P1K1 = P K1，P1K=PK。‎ ‎ 由三角形两边之和大于第三边的性质，得P1K＋QK＞P1Q= P1K1＋Q K1= P K1＋Q K1。‎ ‎ ∴此时的K1就是使PK+QK最小的位置。‎ ‎ （2）点P，Q变动，根据菱形的性质，点P关于BD的对称点P1在AB上，即不论点P在BC上任一点，点P1总在AB上。‎ ‎ 因此，根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质，得，当P1Q⊥AB时P1Q最短。‎ ‎ 过点A作AQ1⊥DC于点Q1。 ∵∠A=120°，∴∠DA Q1=30°。‎ ‎ 又∵AD=AB=2，∴P1Q=AQ1=AD·cos300=。‎ ‎ 综上所述，PK+QK的最小值为。故选B。‎ 例2：（2012四川攀枝花4分）如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】轴对称（最短路线问题），正方形的性质，勾股定理。‎ ‎【分析】连接DE，交BD于点P，连接BD。‎ ‎∵点B与点D关于AC对称，∴DE的长即为PE+PB的最小值。‎ ‎∵AB=4，E是BC的中点，∴CE=2。‎ 在Rt△CDE中，。‎ 例3：（2012福建莆田4分）点A、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P是x轴上使得的值最大的点，Q是y轴上使得QA十QB的值最小的点，则＝　　▲　　．‎ ‎【答案】5。‎ ‎【考点】轴对称（最短路线问题），坐标与图形性质，三角形三边关系，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】连接AB并延长交x轴于点P，作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点Q，求出点Q与y轴的交点坐标即可得出结论：‎ 连接AB并延长交x轴于点P，‎ 由三角形的三边关系可知，点P即为x轴上使得|PA－PB|的值最大的点。‎ ‎∵点B是正方形ADPC的中点，‎ ‎∴P（3，0）即OP=3。‎ 作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点Q，则A′B即为QA+QB的最小值。‎ ‎∵A′（－1，2），B（2，1），‎ 设过A′B的直线为：y=kx+b，‎ 则 ，解得 。∴Q（0， ），即OQ=。‎ ‎∴OP•OQ=3×=5。‎ 例4：（2012湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC中，BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是 ▲ 。‎ ‎【答案】4。‎ ‎【考点】最短路线问题，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】如图，在BA上截取BE=BN，连接EM。‎ ‎∵∠ABC的平分线交AC于点D，∴∠EBM=∠NBM。‎ 在△AME与△AMN中，∵BE=BN ，∠EBM=∠NBM，BM=BM，‎ ‎∴△BME≌△BMN（SAS）。∴ME=MN。∴CM+MN=CM+ME≥CE。‎ 又∵CM+MN有最小值，∴当CE是点C到直线AB的距离时，CE取最小值。‎ ‎∵BC=，∠ABC=45°，∴CE的最小值为sin450=4。‎ ‎∴CM+MN的最小值是4。‎ 例5：（2012广西贵港2分）如图，MN为⊙O的直径，A、B是O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA＋PB的最小值是　　▲　　。‎ 例6：（2012内蒙古赤峰14分）阅读材料：‎ ‎（1）对于任意两个数的大小比较，有下面的方法：‎ 当时，一定有；‎ 当时，一定有；‎ 当时，一定有．‎ 反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．‎ ‎（2）对于比较两个正数的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：‎ ‎∵，‎ ‎∴（）与（）的符号相同 当＞0时，＞0，得 当=0时，=0，得 当＜0时，＜0，得 解决下列实际问题：‎ ‎（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，每张B5纸的面积为y，且x＞y，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学的用纸总面积为W2．回答下列问题：‎ ‎①W1= （用x、y的式子表示）‎ W2= （用x、y的式子表示）‎ ‎②请你分析谁用的纸面积最大．‎ ‎（2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A．B两镇供气，已知A．B到l的距离分别是‎3km、‎4km（即AC=‎3km，BE=‎4km），AB=xkm，现设计两种方案：‎ 方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a1=AB+AP．‎ 方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a2=AP+BP．‎ ‎①在方案一中，a1= km（用含x的式子表示）；‎ ‎②在方案二中，a2= km（用含x的式子表示）；‎ ‎③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．‎ ‎【答案】解：（1）①3x+7y；2x+8y。‎ ‎②W1﹣W2=（3x+7y）﹣（2x+8y）=x﹣y，‎ ‎∵x＞y，∴x﹣y＞0。∴W1﹣W2＞0。‎ ‎∴W1＞W2，所以张丽同学用纸的总面积大。 ‎ ‎（2）①x+3。‎ ‎②。‎ ‎③∵‎ ‎∴当＞0（即a1﹣a2＞0，a1＞a2）时，6x﹣39＞0，解得x＞6.5；‎ 当=0（即a1﹣a2=0，a1=a2）时，6x﹣39=0，解得x=6.5；‎ 当＜0（即a1﹣a2＜0，a1＜a2）时，6x﹣39＜0，解得x＜6.5。‎ 综上所述，当x＞6.5时，选择方案二，输气管道较短，‎ 当x=6.5时，两种方案一样，‎ 当0＜x＜6.5时，选择方案一，输气管道较短。‎ 例7：（2012山东滨州10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点．‎ ‎（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；‎ ‎（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．‎ ‎【答案】解：（1）把A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c中，得 ‎，解这个方程组，得。‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x。‎ ‎（2）由y=﹣x2+x=﹣（x﹣1）2+，可得 抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB。‎ ‎∴OM=BM。∴OM+AM=BM+AM。‎ 连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小。‎ 过点A作AN⊥x轴于点N，‎ 在Rt△ABN中，，‎ 因此OM+AM最小值为。‎ ‎【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，解方程组，二次函数的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）已知抛物线上不同的三点坐标，利用待定系数法可求出该抛物线的解析。‎ ‎（2）根据O、B点的坐标发现：抛物线上，O、B两点正好关于抛物线的对称轴对称，那么只需连接A、B，直线AB和抛物线对称轴的交点即为符合要求的M点，而AM+OM的最小值正好是AB的长。‎ 对x=1上其它任一点M′，根据三角形两边之和大于第三边的性质，总有：‎ O M′+A M′= B M′+A M′＞AB=OM+AM，‎ 即OM+AM为最小值。‎ 例8：（2012山西省14分）综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．‎ ‎（1）求直线AC的解析式及B．D两点的坐标；‎ ‎（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A．P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．‎ ‎【答案】解：（1）当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3。‎ ‎ ∵点A在点B的左侧，∴A．B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）。‎ 当x=0时，y=3。∴C点的坐标为（0，3）。‎ 设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k1≠0），则 ‎，解得。‎ ‎∴直线AC的解析式为y=3x+3。‎ ‎∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）。‎ ‎（2）抛物线上有三个这样的点Q。如图，‎ ‎①当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）；‎ ‎②当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为﹣3，代入抛物线可得点Q2坐标为（1+，﹣3）；‎ ‎③当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1﹣，﹣3）。‎ 综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q1（2，3），Q2（1+，﹣3），Q3（1﹣，﹣3）。‎ ‎（3）点B作BB′⊥AC于点F，使B′F=BF，则B′为点B关于直线AC 的对称点．连接B′D交直线AC与点M，则点M为所求。‎ 过点B′作B′E⊥x轴于点E。‎ ‎∵∠1和∠2都是∠3的余角，∴∠1=∠2。‎ ‎∴Rt△AOC∽Rt△AFB。∴。‎ 由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，‎ ‎∴AC=，AB=4。‎ ‎∴，解得。∴BB′=2BF=，‎ 由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB，∴。‎ ‎∴。∴B′E=，BE=。∴OE=BE﹣OB=﹣3=．‎ ‎∴B′点的坐标为（﹣，）。‎ 设直线B′D的解析式为y=k2x+b2（k2≠0），则 ‎，解得。‎ ‎∴直线B'D的解析式为：。‎ 联立B'D与AC的直线解析式可得：‎ ‎，解得。‎ ‎∴M点的坐标为（）。‎ ‎【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，平行四边形的性质，轴对称的性质，直角三角形两锐角的关系，三角形三边关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解二元一次方程组。‎ ‎【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，由抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A．B两点可求得A．B两点的坐标，同样，由由抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C可求得C点的坐标。用待定系数法，可求得直线AC的解析式。由y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4可求得顶点D的坐标。‎ ‎（2）由于点P 在x轴上运动，故由平行四边形对边平行的性质求得点Q的坐标。‎ ‎ （3）点B作BB′⊥AC于点F，使B′F=BF，则B′为点B关于直线AC ‎ 的对称点．连接B′D交直线AC与点M，则根据轴对称和三角形三边关系，知点M为所求。‎ ‎ 因此，由勾股定理求得AC=，AB=4。由Rt△AOC∽Rt△AFB求得，从而得到BB′=2BF=。由Rt△AOC∽Rt△B′EB得到B′E=，BE= ，OE=BE﹣OB=﹣3=，从而得到点B′的坐标。用待定系数法求出线B′D的解析式，与直线AC的解析式即可求得点M的坐标。‎ 例9：（2012湖北恩施8分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．‎ ‎（1）抛物线及直线AC的函数关系式；‎ ‎（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；‎ ‎（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；‎ ‎（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．‎ ‎【答案】解：（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，‎ ‎，解得。∴抛物线的函数关系式为。‎ 设直线AC的函数关系式为y=kx+n，由直线AC过点A（﹣1，0）及C（2，3）得 ‎，解得。∴直线AC的函数关系式为y=x+1。‎ ‎（2）作N点关于直线x=3的对称点N′，‎ ‎ 令x=0，得y=3，即N（0，3）。‎ ‎∴N′（6， 3）‎ 由得 D（1，4）。‎ 设直线DN′的函数关系式为y=sx+t，则 ‎，解得。‎ ‎∴故直线DN′的函数关系式为。‎ 根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，‎ ‎∴。‎ ‎∴使MN+MD的值最小时m的值为。‎ ‎（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），‎ ‎ ①当BD为平行四边形对角线时，由B、C、D、N的坐标知，四边形BCDN是平行四边形，此时，点E与点C重合，即E（2，3）。‎ ‎ ②当BD为平行四边形边时，‎ ‎∵点E在直线AC上，∴设E（x，x+1），则F（x，）。‎ 又∵BD=2‎ ‎∴若四边形BDEF或BDFE是平行四边形时，BD=EF。‎ ‎∴，即。‎ 若，解得，x=0或x=1（舍去），∴E（0，1）。‎ 若，解得，，∴E或E。‎ 综上，满足条件的点E为（2，3）、（0，1）、、。‎ ‎（4）如图，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G， ‎ 设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）。‎ ‎∴。‎ ‎∴ ‎ ‎。‎ ‎ ∵，‎ ‎∴当时，△APC的面积取得最大值，最大值为。‎ 例10：（2012湖北黄冈14分）如图，已知抛物线的方程C1:与x 轴相交于点B、‎ C，与y 轴相交于点E，且点B 在点C 的左侧.‎ ‎(1)若抛物线C1过点M(2，2)，求实数m 的值．‎ ‎(2)在(1)的条件下，求△BCE的面积．‎ ‎(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标．‎ ‎(4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）∵抛物线C1过点M(2，2)，∴，解得m=4。‎ ‎（2）由（1）得。‎ ‎ 令x=0，得。∴E（0，2），OE=2。‎ ‎ 令y=0，得，解得x1=－2，x=4。‎ ‎∴B（－2，，0），C（4，0），BC=6。‎ ‎ ∴△BCE的面积=。‎ ‎（3）由（2）可得的对称轴为x=1。‎ ‎ 连接CE，交对称轴于点H，由轴对称的性质和两点之间线段最短的性质，知此时BH+EH最小。‎ ‎ 设直线CE的解析式为，则 ‎ ，解得。∴直线CE的解析式为。‎ ‎ 当x=1时，。∴H（1，）。‎ ‎（4）存在。分两种情形讨论：‎ ‎ ①当△BEC∽△BCF时，如图所示。‎ 则，∴BC2=BE•BF。‎ 由（2）知B（－2，0），E（0，2），即OB=OE，‎ ‎∴∠EBC=45°，∴∠CBF=45°。‎ 作FT⊥x轴于点F，则BT=TF。‎ ‎∴令F（x，－x－2）（x＞0），‎ 又点F在抛物线上，∴－x－2=，‎ ‎∵x+2＞0（∵x＞0），∴x=‎2m，F（‎2m，－‎2m－2）。‎ 此时，‎ 又BC2=BE•BF，∴（m+2）2= •，解得m=2±。‎ ‎∵m＞0，∴m=+2。‎ ‎②当△BEC∽△FCB时，如图所示。‎ 则，∴BC2=EC•BF。‎ 同①，∵∠EBC=∠CFB，△BTF∽△COE，‎ ‎∴。‎ ‎∴令F（x，－（x+2））（x＞0），‎ 又点F在抛物线上，∴－（x+2）=。‎ ‎∵x+2＞0（∵x＞0），‎ ‎∴x=m+2。∴F（m+2，－（m+4）），，BC=m+2。‎ 又BC2=EC•BF，∴（m+2）2= .‎ 整理得：0=16，显然不成立。‎ 综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似，m=+2。‎ ‎【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短的性质，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）将点（2，2）的坐标代入抛物线解析式，即可求得m的值。‎ ‎（2）求出B、C、E点的坐标，从而求得△BCE的面积。‎ ‎（3）根据轴对称以及两点之间线段最短的性质，可知点B、C关于对称轴x=1对称，连接EC与对称轴的交点即为所求的H点。‎ ‎（4）分两种情况进行讨论：‎ ‎①当△BEC∽△BCF时，如图所示，此时可求得+2。‎ ‎②当△BEC∽△FCB时，如图所示，此时得到矛盾的等式，故此种情形不存在。‎ 例11：（2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西6分） 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3．‎ ‎(1)求抛物线的解析式．‎ ‎(2)若点D(2，2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．‎ 注：二次函数（≠0）的对称轴是直线= ‎ ‎【答案】解：（1）∵OA=2，OC=3，∴A（－2，0），C（0，3）。‎ 将C（0，3）代入得c=3。‎ 将A（－2，0）代入得，，解得b=。‎ ‎∴抛物线的解析式为。‎ ‎（2）如图：连接AD，与对称轴相交于P，由于点A和点B关于对称轴对称，则即BP+DP=AP+DP，当A、P、D共线时BP+DP=AP+DP最小。‎ 设AD的解析式为y=kx+b，‎ 将A（－2，0），D（2，2）分别代入解析式得， ‎ ‎，解得，，∴直线AD解析式为y=x+1。‎ ‎∵二次函数的对称轴为，‎ ‎∴当x=时，y=×+1=。∴P（，）。‎ ‎【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，轴对称（最短路线问题）。‎ ‎【分析】（1）根据OC=3，可知c=3，于是得到抛物线的解析式为，然后将A（－2，0）代入解析式即可求出b的值，从而得到抛物线的解析式。‎ ‎（2）由于BD为定值，则△BDP的周长最小，即BP＋DP最小，由于点A和点B关于对称轴对称，则即BP+DP=AP+DP，当A、P、D共线时BP+DP=AP+DP最小。‎ 例12：（2012湖南郴州10分）如图，已知抛物线经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及对称轴．‎ ‎（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MA+MB的值最小，并求出点M的坐标．‎ ‎（3）在抛物线上是否存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）∵抛物线经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点，‎ ‎∴ ，解得。‎ ‎∴抛物线的解析式为：，其对称轴为：。‎ ‎（2）由B（2，3），C（0，3），且对称轴为x=1，可知点B、C是关于对称轴x=1的对称点。‎ 如图1所示，连接AC，交对称轴x=1于点M，连接MB，则MA＋MB=MA＋MC=AC，根据两点之间线段最短可知此时MA＋MB的值最小。‎ 设直线AC的解析式为y=kx＋b，‎ ‎∵A（4，0），C（0，3），∴ ，解得。‎ ‎∴直线AC的解析式为：y=x＋3。‎ 令x=1，得y= 。∴M点坐标为（1，）。‎ ‎（3）结论：存在。‎ 如图2所示，在抛物线上有两个点P满足题意：‎ ‎①若BC∥AP1，此时梯形为ABCP1。‎ 由B（2，3），C（0，3），可知BC∥x轴，则x轴与抛物线的另一个交点P1即为所求。‎ 在中令y=0，解得x1=－2，x2=4。‎ ‎∴P1（－2，0）。‎ ‎∵P‎1A=6，BC=2，∴P‎1A≠BC。‎ ‎∴四边形ABCP1为梯形。‎ ‎②若AB∥CP2，此时梯形为ABCP2。‎ 设CP2与x轴交于点N，‎ ‎∵BC∥x轴，AB∥CP2，∴四边形ABCN为平行四边形。∴AN=BC=2。∴N（2，0）。‎ 设直线CN的解析式为y=k1x+b1，则有： ，解得。‎ ‎∴直线CN的解析式为：y=x+3。‎ ‎∵点P2既在直线CN：y=x+3上，又在抛物线：上，‎ ‎∴x+3=，化简得：x2－6x=0，解得x1=0（舍去），x2=6。‎ ‎∴点P2横坐标为6，代入直线CN解析式求得纵坐标为－6。∴P2（6，－6）。‎ ‎∵ABCN，∴AB=CN，而CP2≠CN，∴CP2≠AB。∴四边形ABCP2为梯形。‎ 综上所述，在抛物线上存在点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形，点P的坐标为（－2，0）或（6，－6）。‎ ‎【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质，‎ 线段最短的性质，梯形的判定。‎ ‎【分析】（1）已知抛物线上三点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再由对称轴公式求出对称轴。‎ ‎（2）如图1所示，连接AC，则AC与对称轴的交点即为所求之M点；已知点A、C的坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式，从而求出点M的坐标。‎ ‎（3）根据梯形定义确定点P，如图2所示：①若BC∥AP1，确定梯形ABCP1．此时P1为抛物线与x轴的另一个交点，解一元二次方程即可求得点P1的坐标；②若AB∥CP2，确定梯形ABCP2．此时P2位于第四象限，先确定CP2与x轴交点N的坐标，然后求出直线CN的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点P2的坐标。‎ 例13：（2012四川凉山8分）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题。‎ 如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？‎ 你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？你可以在上找几个点试一试，能发现什么规律？‎ 聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l 看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：‎ ‎①作点B关于直线l的对称点B′．‎ ‎②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．‎ 请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．‎ ‎（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．‎ ‎（2）请直接写出△PDE周长的最小值： ‎ ‎．‎ ‎【答案】解：（1）作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求。‎ ‎（2）8．‎ ‎【考点】轴对称（最短路线问题），三角形三边关系，三角形中位线定理，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）根据提供材料DE不变，只要求出DP+PE的最小值即可，作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求。‎ ‎（2）利用中位线性质以及勾股定理得出D′E的值，即可得出答案：‎ ‎∵点D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE为△ABC中位线。‎ ‎∵BC=6，BC边上的高为4，∴DE=3，DD′=4。‎ ‎∴。‎ ‎∴△PDE周长的最小值为：DE+D′E=3＋5=8。‎ 例14：（2012湖北十堰6分）阅读材料：‎ 例：说明代数式 的几何意义，并求它的最小值．‎ 解： ，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成点P与点A（0，1）的距离，可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA＋PB的最小值．‎ 设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA＋PB的最小值，只需求PA′＋PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′＋PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=3，即原式的最小值为3。‎ 根据以上阅读材料，解答下列问题：‎ ‎（1）代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B 的距离之和．（填写点B的坐标）‎ ‎（2）代数式 的最小值为 ．‎ ‎【答案】解：（1）（2，3）。‎ ‎ （2）10。‎ ‎【考点】坐标与图形性质，轴对称（最短路线问题）。‎ ‎【分析】（1）∵原式化为的形式，‎ ‎∴代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A ‎（1，1）、点B（2，3）的距离之和。‎ ‎（2）∵原式化为的形式，‎ ‎∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）‎ 的距离之和。‎ 如图所示：设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，‎ ‎∴求PA＋PB的最小值，只需求PA′＋PB的最小值，而点A′、B 间的直线段距离最短。‎ ‎ ∴PA′＋PB的最小值为线段A′B的长度。‎ ‎∵A（0，7），B（6，1），∴A′（0，－7），A′C=6，BC=8。‎ ‎∴。‎ 例15：（2012甘肃兰州12分）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(－3，0)、(0，4)，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B，且顶点在直线x＝上．‎ ‎(1)求抛物线对应的函数关系式；‎ ‎(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；‎ ‎(3)在(2)的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；‎ ‎(4)在(2)、(3)的条件下，若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合)，过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B(0，4)，∴c＝4。‎ ‎∵顶点在直线x＝上，∴，解得。‎ ‎∴所求函数关系式为。‎ ‎（2）在Rt△ABO中，OA＝3，OB＝4，∴。‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝DA＝AB＝5。‎ ‎∴C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，‎ 当x＝5时，；‎ 当x＝2时，。‎ ‎∴点C和点D都在所求抛物线上。‎ ‎（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，‎ 设直线CD对应的函数关系式为y＝kx＋b，‎ 则，解得，。∴直线CD对应的函数关系式为。‎ 当x＝时，。∴P()。‎ ‎（4）∵MN∥BD，∴△OMN∽△OBD。‎ ‎∴，即，得。‎ 设对称轴交x于点F，‎ 则。‎ ‎∵，‎ ‎ ，‎ ‎ (0＜t＜4)。‎ ‎∵，，0＜＜4，‎ ‎∴当时，S取最大值是。此时，点M的坐标为(0，)。‎ ‎【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）根据抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B(0，4)，以及顶点在直线x＝上，得出b，c即可。‎ ‎（2）根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，利用图象上点的性质得出x＝5或2时，y的值即可。‎ ‎（3）首先设直线CD对应的函数关系式为y＝kx＋b，求出解析式，当x＝时，求出y即可。‎ ‎（4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出，得到，从而表示出△PMN的面积，利用二次函数最值求出即可。‎ 例16：（2012甘肃兰州4分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为【 】‎ A．130° B．120° C．110° D．100°‎ 练习题：‎ ‎1. （2011福建福州14分）已知，如图，二次函数图象的顶点为H，与轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线：对称．‎ ‎（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；‎ ‎（2）求二次函数解析式；‎ ‎（3）过点B作直线BK∥AH交直线于K点，M、N分别为直线AH和直线上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．‎ ‎2. （2011贵州黔南12分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是．‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；‎ ‎（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）在（2）中轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把△AOB分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎3. （四川雅安12分）如图，已知二次函数图像的顶点M在反比例函数上，且与轴交于A，B两点。‎ ‎（1）若二次函数的对称轴为，试求的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下求AB的长；‎ ‎（3）若二次函数的对称轴与轴的交点为N，当NO+MN取最小值时，试求二次函数的解析式。‎ ‎4. （2011四川乐山13分）已知顶点为A(1,5)的抛物线经过点B(5,1).‎ ‎(1)求抛物线的解析式; ‎ ‎(2)如图（1）,设C,D分别是轴、轴上的两个动点，求四边形ABCD周长的最小值；‎ ‎（3）在（2）中，当四边形ABCD的周长最小时，作直线CD.设点P()()是直线上的一个动点，Q是OP的中点，以PQ为斜边按图（2）所示构造等腰直角三角形PRQ.‎ ‎①当△PBR与直线CD有公共点时,求的取值范围；‎ ‎②在①的条件下，记△PBR与△COD的公共部分的面积为S.求S关于的函数关系式，并求S的最大值。‎ ‎5. （2011山东莱芜12分）如图，在平面直角坐标系中，己知点A（－2，－4 ) , OB＝2。抛物线经过A、O、B 三点。‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）若点M 是抛物线对称轴上的一点，试求MO＋MA的最小值；‎ ‎（3）在此抛物线上，是否存在一点P，使得以点P与点O、A、B ‎ 为顶点的四边形是梯形。若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎6. （2011湖北黄石3分）初三年级某班有54名学生，所在教室有6行9列座位，用表示第行第列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为，如果调整后的座位为，则称该生作了平移[],并称为该生的位置数。若某生的位置数为10，则当取最小值时，的最大值为 ▲ .‎ ‎7. （2011四川南充8分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点．‎ ‎（1）求证：△MDC是等边三角形；‎ ‎（2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC（即MC′）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．‎ ‎8. （2011四川眉山11分）如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（－4，4），将点B绕点A顺时针方向旋转90°得到点C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B．‎ ‎（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；‎ ‎（2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2=d1＋1；‎ ‎（3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC 的周长的最小值．‎ ‎9. （2011辽宁本溪3分）如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值【 】‎ A、2 B、‎4 C、 D、‎ ‎10.（2011辽宁阜新3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为【 】‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎11. （2011贵州六盘水3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是 【 】‎ A．3 B．‎4 C．5 D．6‎ ‎12. （2011甘肃天水4分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，对角线AC平分∠BAD，点E在AB上，且AE=2（AE＜AD），点P是AC上的动点，则PE+PB的最小值是 ▲ ．‎ ‎13. （2011四川资阳9分）在一次机器人测试中，要求机器人从A出发到达B处．如图1，已知点A在O的正西方‎600cm处，B在O的正北方‎300cm处，且机器人在射线AO及其右侧(AO下方)区域的速度为‎20cm/秒，在射线AO的左侧(AO上方)区域的速度为‎10cm/秒．‎ ‎(1) 分别求机器人沿A→O→B路线和沿A→B路线到达B处所用的时间(精确到秒)；(3分)‎ ‎(2) 若∠OCB=45°，求机器人沿A→C→B路线到达B处所用的时间(精确到秒)；(3分)‎ ‎(3) 如图2,作∠OAD=30°，再作BE⊥AD于E,交OA于P．试说明：从A出发到达B处，机器人沿A→P→B路线行进所用时间最短．(3分)‎ ‎14. （广东深圳9分）如图1，抛物线的顶点为（1，4），交轴于A、B，交轴于D，其中B点的坐标为（3，0）‎ ‎（1）求抛物线的解析式 ‎（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎（3）如图3，抛物线上是否存在一点T，过点T作的垂线，垂足为M，过点M作直线MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎15. （2011湖北咸宁12分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．‎ ‎（1）直接写出点A，B的坐标，并求直线AB与CD交点的坐标；‎ ‎（2）动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AB以每秒个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为秒．‎ ‎①若△MPH与矩形AOCD重合部分的面积为1，求的值；‎ ‎②点Q是点B关于点A的对称点，问BP+PH+HQ是否有最小值，如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由．‎ ‎16. （2011云南昆明12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=‎10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为‎1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为‎2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．‎ ‎（1）求AC、BC的长；‎ ‎（2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y 与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由；‎ ‎（4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由．‎ ‎17. （2011贵州安顺12分）如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；‎ ‎（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；‎ ‎（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．‎