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- 2021-05-13 发布
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2015年福建省泉州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(共7小题,每小题3分,满分21分)
1.(3分)(2015•泉州)﹣7的倒数是( )
A. 7 B. ﹣7 C. D. ﹣
解:﹣7的倒数是﹣,故选:D.
点评: 本题考查了倒数,分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键.
2.(3分)(2015•泉州)计算:(ab2)3=( )
A. 3ab2 B. ab6 C. a3b6 D. a3b2
解:(ab2)3=a3(b2)3=a3b6故选C
3.(3分)(2015•泉州)把不等式x+2≤0的解集在数轴上表示出来,则正确的是( )
A.
B.
C.
D.
解:解不等式x+2≤0,得x≤﹣2.
表示在数轴上为:.
故选:D.
4.(3分)(2015•泉州)甲、乙、丙、丁四人参加训练,近期的10次百米测试平均成绩都是13.2秒,方差如表
选手
甲
乙
丙
丁
方差(秒2)
0.020
0.019
0.021
0.022
则这四人中发挥最稳定的是( )
A.
甲
B.
乙
C.
丙
D.
丁
解:∵0.019<0.020<0.021<0.022,∴乙的方差最小,
∴这四人中乙发挥最稳定,故选:B.
5.(3分)(2015•泉州)如图,△ABC沿着由点B到点E的方向,平移到△DEF,已知BC=5.EC=3,那么平移的距离为( )
A.
2
B.
3
C.
5
D.
7
解:根据平移的性质,
易得平移的距离=BE=5﹣3=2,
故选A.
6.(3分)(2015•泉州)已知△ABC中,AB=6,BC=4,那么边AC的长可能是下列哪个值( )
A.
11
B.
5
C.
2
D.
1
解:根据三角形的三边关系,
6﹣4<AC<6+4,
即2<AC<10,
符合条件的只有5,
故选:B.
7.(3分)(2015•泉州)在同一平面直角坐标系中,函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
解:A、对于直线y=bx+a来说,由图象可以判断,a>0,b>0;而对于抛物线y=ax2+bx来说,对称轴x=﹣<0,应在y轴的左侧,故不合题意,图形错误.
B、对于直线y=bx+a来说,由图象可以判断,a<0,b<0;而对于抛物线y=ax2+bx来说,图象应开口向下,故不合题意,图形错误.
C、对于直线y=bx+a来说,由图象可以判断,a<0,b>0;而对于抛物线y=ax2+bx来说,图象开口向下,对称轴y=﹣位于y轴的右侧,故符合题意,
D、对于直线y=bx+a来说,由图象可以判断,a>0,b>0;而对于抛物线y=ax2+bx来说,图象开口向下,a<0,故不合题意,图形错误.
故选:C.
二、填空题(共10小题,每小题4分,满分40分)
8.(4分)(2015•泉州)比较大小:4 > (填“>”或“<”)
解:4=,
>,
∴4>,
故答案为:>.
9.(4分)(2015•泉州)因式分解:x2﹣49= (x+7)(x﹣7) .
解:x2﹣49=(x﹣7)(x+7),
10.(4分)(2015•泉州)声音在空气中每小时约传播1200千米,将1200用科学记数法表示为 1.2×103 .
解:1200=1.2×103,
11.(4分)(2015•泉州)如图,在正三角形ABC中,AD⊥BC于点D,则∠BAD= 30° °.
解:∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=60°,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠BAC=30°,
故答案为:30°.
12.(4分)(2015•泉州)方程x2=2的解是 ± .
解:x2=2,
x=±.
故答案为±.
13.(4分)(2015•泉州)计算:+= 2 .
解:原式===2,
故答案为:2
14.(4分)(2015•泉州)如图,AB和⊙O切于点B,AB=5,OB=3,则tanA= .
解:∵直线AB与⊙O相切于点B,
则∠OBA=90°.
∵AB=5,OB=3,
∴tanA==.
故答案为:
15.(4分)(2015•泉州)方程组的解是 .
解:,
①+②得:3x=3,即x=1,
把x=1代入①得:y=﹣3,
则方程组的解为,
故答案为:
16.(4分)(2015•泉州)如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,点E在DC的延长线上.若∠A=50°,则∠BCE= 50° .
解:∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠BCE=∠A=50°.
故答案为50°.
17.(4分)(2015•泉州)在以O为圆心3cm为半径的圆周上,依次有A、B、C三个点,若四边形OABC为菱形,则该菱形的边长等于 3 cm;弦AC所对的弧长等于 2π或4π cm.
解:连接OB和AC交于点D,
∵四边形OABC为菱形,
∴OA=AB=BC=OC,
∵⊙O半径为3cm,
∴OA=OC=3cm,
∵OA=OB,
∴△OAB为等边三角形,
∴∠AOB=60°,
∴∠AOC=120°,
∴==2π,
∴优弧==4π,
故答案为3,2π或4π.
三、解答题(共9小题,满分89分)
18.(9分)(2015•泉州)计算:|﹣4|+(2﹣π)0﹣8×4﹣1+÷.
解:原式=4+1﹣2+3=6.
19.(9分)(2015•泉州)先化简,再求值:(x﹣2)(x+2)+x2(x﹣1),其中x=﹣1.
解:原式=x2﹣4+x3﹣x2=x3﹣4,
当x=﹣1时,原式=﹣5.
20.(9分)(2015•泉州)如图,在矩形ABCD中.点O在边AB上,∠AOC=∠BOD.求证:AO=OB.
解:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠B=90°,AD=BC,
∵∠AOC=∠BOD,
∴∠AOC﹣∠DOC=∠BOD﹣∠DOC,
∴∠AOD=∠BOC,
在△AOD和△BOC中,
,
∴△AOD≌△BOC,
∴AO=OB.
21.(9分)(2015•泉州)为弘扬“东亚文化”,某单位开展了“东亚文化之都”演讲比赛,在安排1位女选手和3位男选手的出场顺序时,采用随机抽签方式.
(1)请直接写出第一位出场是女选手的概率;
(2)请你用画树状图或列表的方法表示第一、二位出场选手的所有等可能结果,并求出他们都是男选手的概率.
解:(1)P(第一位出场是女选手)=;
(2)列表得:
女
男
男
男
女
﹣﹣﹣
(男,女)
(男,女)
(男,女)
男
(女,男)
﹣﹣﹣
(男,男)
(男,男)
男
(女,男)
(男,男)
﹣﹣﹣
(男,男)
男
(女,男)
(男,男)
(男,男)
﹣﹣﹣
所有等可能的情况有12种,其中第一、二位出场都是男选手的情况有6种,
则P(第一、二位出场都是男选手)==.
22.(9分)(2015•泉州)清明期间,某校师生组成200个小组参加“保护环境,美化家园”植树活动.综合实际情况,校方要求每小组植树量为2至5棵,活动结束后,校方随机抽查了其中50个小组,根据他们的植树量绘制出如图所示的两幅不完整统计图.请根据图中提供的信息,解答下面的问题:
(1)请把条形统计图补充完整,并算出扇形统计图中,植树量为“5棵树”的圆心角是 72 °.
(2)请你帮学校估算此次活动共种多少棵树.
解:(1)植树量为“5棵树”的圆心角是:360°×=72°,
故答案是:72;
(2)每个小组的植树棵树:(2×8+3×15+4×17+5×10)=(棵),
则此次活动植树的总棵树是:×200=716(棵).
答:此次活动约植树716棵.
23.(9分)(2015•泉州)如图,在平面直角坐标系中,点A(,1)、B(2,0)、O(0,0),反比例函数y=图象经过点A.
(1)求k的值;
(2)将△AOB绕点O逆时针旋转60°,得到△COD,其中点A与点C对应,试判断点D是否在该反比例函数的图象上?
解:(1)∵函数y=的图象过点A(,1),
∴k=xy=×1=;
(2)∵B(2,0),
∴OB=2,
∵△AOB绕点O逆时针旋转60°得到△COD,
∴OD=OB=2,∠BOD=60°,
如图,过点D作DE⊥x轴于点E,
DE=OE•sin60°=2×=,
OE=OD•cos60°=2×=1,
∴D(1,),
由(1)可知y=,
∴当x=1时,y==,
∴D(1,)在反比例函数y=的图象上.
24.(9分)(2015•泉州)某校在基地参加社会实践话动中,带队老师考问学生:基地计划新建一个矩形的生物园地,一边靠旧墙(墙足够长),另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成,与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口,如图所示,如何设计才能使园地的而积最大?下面是两位学生争议的情境:
请根据上面的信息,解决问题:
(1)设AB=x米(x>0),试用含x的代数式表示BC的长;
(2)请你判断谁的说法正确,为什么?
解:(1)设AB=x米,可得BC=69+3﹣2x=72﹣2x;
(2)小英说法正确;
矩形面积S=x(72﹣2x)=﹣2(x﹣18)2+648,
∵72﹣2x>0,
∴x<36,
∴0<x<36,
∴当x=18时,S取最大值,
此时x≠72﹣2x,
∴面积最大的表示正方形.
25.(13分)(2015•泉州)(1)如图1是某个多面体的表面展开图.
①请你写出这个多面体的名称,并指出图中哪三个字母表示多面体的同一点;
②如果沿BC、GH将展开图剪成三块,恰好拼成一个矩形,那么△BMC应满足什么条件?(不必说理)
(2)如果将一个三棱柱的表面展开图剪成四块,恰好拼成一个三角形,如图2,那么该三棱柱的侧面积与表面积的比值是多少?为什么?(注:以上剪拼中所有接缝均忽略不计)
解:(1)①根据这个多面体的表面展开图,可得
这个多面体是直三棱柱,
点A、M、D三个字母表示多面体的同一点.
②△BMC应满足的条件是:
a、∠BMC=90°,且BM=DH,或CM=DH;
b、∠MBC=90°,且BM=DH,或BC=DH;
c、∠BCM=90°,且BC=DH,或CM=DH;
(2)如图2,连接AB、BC、CA,,
∵△DEF是由一个三棱柱表面展开图剪拼而成,
∴矩形ACKL、BIJC、AGHB为棱柱的三个侧面,
且四边形DGAL、EIBH、FKCJ须拼成与底面△ABC全等的另一个底面的三角形,
∴AC=LK,且AC=DL+FK,
∴,
同理,可得
,
∴△ABC∽△DEF,
∴,
即S△DEF=4S△ABC,
∴,
即该三棱柱的侧面积与表面积的比值是.
26.(13分)(2015•泉州)阅读理解
抛物线y=x2上任意一点到点(0,1)的距离与到直线y=﹣1的距离相等,你可以利用这一性质解决问题.
问题解决
如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx+1与y轴交于C点,与函数y=x2的图象交于A,B两点,分别过A,B两点作直线y=﹣1的垂线,交于E,F两点.
(1)写出点C的坐标,并说明∠ECF=90°;
(2)在△PEF中,M为EF中点,P为动点.
①求证:PE2+PF2=2(PM2+EM2);
②已知PE=PF=3,以EF为一条对角线作平行四边形CEDF,若1<PD<2,试求CP的取值范围.
解:(1)当x=0时,y=k•0+1=1,
则点C的坐标为(0,1).
根据题意可得:AC=AE,
∴∠AEC=∠ACE.
∵AE⊥EF,CO⊥EF,
∴AE∥CO,
∴∠AEC=∠OCE,
∴∠ACE=∠OCE.
同理可得:∠OCF=∠BCF.
∵∠ACE+∠OCE+∠OCF+∠BCF=180°,
∴2∠OCE+2∠OCF=180°,
∴∠OCE+∠OCF=90°,即∠ECF=90°;
(2)①过点P作PH⊥EF于H,
Ⅰ.若点H在线段EF上,如图2①.
∵M为EF中点,
∴EM=FM=EF.
根据勾股定理可得:
PE2+PF2﹣2PM2=PH2+EH2+PH2+HF2﹣2PM2
=2PH2+EH2+HF2﹣2(PH2+MH2)
=EH2﹣MH2+HF2﹣MH2
=(EH+MH)(EH﹣MH)+(HF+MH)(HF﹣MH)
=EM(EH+MH)+MF(HF﹣MH)
=EM(EH+MH)+EM(HF﹣MH)
=EM(EH+MH+HF﹣MH)
=EM•EF=2EM2,
∴PE2+PF2=2(PM2+EM2);
Ⅱ.若点H在线段EF的延长线(或反向延长线)上,如图2②.
同理可得:PE2+PF2=2(PM2+EM2).
综上所述:当点H在直线EF上时,都有PE2+PF2=2(PM2+EM2);
②连接CD、PM,如图3.
∵∠ECF=90°,
∴▱CEDF是矩形,
∵M是EF的中点,
∴M是CD的中点,且MC=EM.
由①中的结论可得:
在△PEF中,有PE2+PF2=2(PM2+EM2),
在△PCD中,有PC2+PD2=2(PM2+CM2).
∵MC=EM,
∴PC2+PD2=PE2+PF2.
∵PE=PF=3,
∴PC2+PD2=18.
∵1<PD<2,
∴1<PD2<4,
∴1<18﹣PC2<4,
∴14<PC2<17.
∵PC>0,
∴<PC<.