重庆市2016中考数学题型研究二解答题重难点突破题型五二次函数综合题 35页

二次函数综合题 类型一　与线段、周长有关的问题 针对演练 ‎1. 如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D.‎ ‎ （1）求抛物线的解析式；‎ ‎ （2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；‎ ‎ （3）在抛物线对称轴上是否存在点M，使|MA-MC|的值最大？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎ ‎ 第1题图 备用图 ‎2. （2015珠海）如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=5,且=.以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l：y= -x2+x+c经过点E，且与AB边相交于点F.‎ ‎ （1）求证：△ABD∽△ODE;‎ ‎ （2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MF⊥BD;‎ ‎ （3）P是线段BC上一动点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由. ‎ 第2题图 ‎ 3. （2015孝感改编）在平面直角坐标系中，抛物线y= -x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y=x+4经过A，C两点.‎ ‎ （1）求抛物线的解析式；‎ ‎ （2）在AC上方的抛物线上有一动点P.‎ ‎ ①如图①，过点P作y轴的平行线交AC于点D，当线段PD取得最大值时，求出点P的坐标；‎ ‎ ②如图②，过点O，P的直线y=kx交AC于点E，若PE∶OE=3∶8，求k的值.‎ ‎ ‎ 图① 图②‎ 第3题图 ‎ 4. （2015天水）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝-x2+bx+c(b、c为常数)的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，-1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限.‎ ‎ (1)如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式;‎ ‎ (2)平移（1）中的抛物线，使顶点P在AC上并沿AC方向滑动距离为 时，试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点;‎ ‎ (3)在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由.‎ 第4题图 ‎ 5. 如图，抛物线y= -x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,且OA=2,OC=3.‎ ‎ （1）求抛物线的解析式；‎ ‎ （2）作Rt△OBC的高OD，延长OD与抛物线在第一象限内交于点E，求点E的坐标；‎ ‎ （3）在抛物线的对称轴上，是否存在一点Q，使得△BEQ的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎ 第5题图 ‎6. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，AB∥OC,OA=AB=2,OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D，将∠DBC绕点B顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E、F.‎ ‎（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；‎ ‎（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；‎ ‎（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ=1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标.‎ ‎ ‎ ‎ 第6题图 ‎【答案】‎ 针对演练 ‎1.解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），‎ ‎∴，‎ 解得,‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3.‎ ‎（2）令x=0,则y=3,‎ ‎∴点C（0，3），‎ 又∵点A(3,0),‎ ‎∴直线AC的解析式为y= -x+3,‎ 设点P（x,x2-4x+3）,‎ ‎∵PD∥y轴，且点D在AC上，‎ ‎∴点D(x,-x+3),‎ ‎∴PD=(-x+3)-(x2-4x+3)=-x2+3x=-(x-)2+,‎ ‎∵a=-1<0,‎ ‎∴当x=时，线段PD的长度有最大值，最大值为.‎ ‎(3)存在.由抛物线的对称性可知，对称轴垂直平分AB，‎ 可得：MA＝MB，‎ 由三角形的三边关系，｜MA-MC｜-4,‎ ‎∴当x=-2时，线段PD取得最大值，‎ 将x=-2代入y= -x2-x+4中得y=4,‎ ‎∴线段PD取得最大值时,点P的坐标为（-2,4）.‎ ‎②过点P作PF∥OC交AC于点F，如解图.‎ ‎∵PF∥OC,∴△PEF∽△OEC,‎ ‎∴.‎ 又∵=,OC=4,∴PF=. ‎ ‎∴由 ①得PF＝（-x2-x+4）-(x+4)= .‎ 化简得：x2+4x+3=0,解得x1= -1,x2= -3.‎ 当x= -1时，y=；当x= -3时，y=.‎ 即满足条件的P点坐标是（-1，）或（-3，）.‎ 又∵点P在直线y=kx上，‎ ‎∴k= -或k= -. 第3题解图 ‎4.(1)解：设AC与x轴的交点为M，‎ ‎∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,-1),C的坐标为(4,3),‎ ‎∴直线AC的解析式为y=x-1，‎ ‎∴直线AC与x轴的交点M(1，0).‎ ‎∴OM=OA，∠CAO=45°.‎ ‎∵△CAB是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠ACB=45°，‎ ‎∴BC∥y轴,‎ 又∵∠OMA=45°，‎ ‎∴∠OAB＝90°，‎ ‎∴AB∥x轴,‎ ‎∴点B的坐标为(4，-1).‎ ‎∵抛物线过A(0，-1)，B(4，-1)两点，将两点代入抛物线的解析式中，‎ 得,解得，‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝-x2+2x-1.‎ ‎(2)证明：抛物线y= -x2+2x-1= -(x2-4x)-1=－ (x－2)2+1,‎ ‎∴顶点P的坐标为(2，1)，‎ ‎∵抛物线y= -(x－2)2+1顶点P平移到直线AC上并沿AC方向移动的距离为，‎ ‎∴其实是先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度,‎ ‎∴平移后的二次函数的解析式为y= -(x-3)2+2，‎ ‎∵当y=0时，有0= -(x-3)2+2，‎ 解得x1=1，x2=5，‎ ‎∴y＝-(x-3)2+2过点(1，0)和(5,0)，‎ ‎∵直线AC的解析式为y=x-1，‎ ‎∴直线AC与x轴的交点坐标为(1，0)，‎ ‎∴平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点.‎ ‎(3)解：如解图，NP+BQ存在最小值，最小值为2.理由：取AB的中点F，连接FN，FQ，作B点关于直线AC的对称点B′，设平移后的抛物线的顶点为P′.‎ 连接BB′，B′Q,BQ,则BQ＝B′Q,‎ ‎∵抛物线y= -(x-2)2+1的顶点P(2，1)，A(0,-1)，‎ ‎∴PA==2,‎ ‎∴抛物线沿AC方向任意滑动时，P′Q=2，‎ ‎∵A(0，-1)，B(4，-1)，‎ ‎∴AB中点F(2，-1)，‎ ‎∵B(4，-1)，C(4，3)，‎ ‎∴N(4，1)，‎ ‎∴FN= =2,‎ ‎∴FN＝P′Q,‎ ‎∵在△ABC中，F、N分别为AB、BC的中点， 第4题解图 ‎∴FN∥P′Q，‎ ‎∴四边形P′NFQ是平行四边形，‎ ‎∴NP′=FQ,‎ ‎∴NP′+BQ=FQ+B′Q≥FB′==2.‎ ‎∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为2.‎ ‎5.解：（1）∵OA=2,‎ ‎∴点A的坐标为（-2，0）.‎ ‎∵OC=3,‎ ‎∴点C的坐标为（0，3）.‎ 把A（-2，0），C（0，3）分别代入抛物线y= -x2+bx+c,‎ 得，‎ 解得，‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝-x2+x+3.‎ ‎(2)把y=0代入y= -x2+x+3,‎ 解得x1=3,x2=-2,‎ ‎∴点B的坐标为（3，0），‎ ‎∴OB=OC=3,‎ ‎∵OD⊥BC,‎ ‎∴OE所在的直线为y=x.‎ 解方程组,‎ 解得,‎ ‎∵点E在第一象限内， 第5题解图 ‎∴点E的坐标为（2，2）.‎ ‎（3）存在，‎ 如解图，设Q是抛物线对称轴上的一点，连接QA、QB、QE、BE，‎ ‎∵QA=QB,‎ ‎∴△BEQ的周长＝BE+QA+QE,‎ ‎∵BE为定值，且QA+QE≥AE,‎ ‎∴当A、Q、E三点在同一直线上时，△BEQ的周长最小，‎ 由A(-2,0)、E(2，2)可得直线AE的解析式为y=x+1,‎ 由（2）易得抛物线的对称轴为x=,‎ ‎∴点Q的坐标为（，）,‎ ‎∴在抛物线的对称轴上，存在点Q（，），使得△BEQ的周长最小.‎ ‎6.解：(1)由题意得A(0，2)、B(2，2)、C(3，0).‎ 设经过A,B,C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+2(a≠0),‎ 将点B、C分别代入得,‎ 解得,‎ ‎∴抛物线的解析式为y= - x2+ x+2.‎ ‎(2)∵y= -x2+ x+2= -+，‎ 设抛物线的顶点为G，‎ 则顶点G的坐标为（1，），‎ 过G作GH⊥AB，垂足为H，如解图①,‎ 则AH=BH=1,GH=-2=,‎ ‎∵EA⊥AB,GH⊥AB,‎ ‎∴EA∥GH,‎ ‎∴GH是△BEA的中位线,‎ ‎∴EA=2GH=.‎ 过B作BM⊥OC,垂足为M,如解图①,则MB=OA=AB.‎ ‎ ‎ 第6题解图① 第6题解图②‎ ‎∵∠EBF=∠ABM=90°,‎ ‎∴∠EBA=∠FBM=90°-∠ABF.‎ ‎∴Rt△EBA≌Rt△FBM.‎ ‎∴FM=EA=.‎ ‎∵CM=OC-OM=3-2=1,‎ ‎∴CF=FM+CM=.‎ ‎(3)如解图②,要使四边形BCPQ的周长最小，将B点向下平移一个单位至点K，取C点关于对称轴对称的点M，‎ 连接KM交对称轴于P，将P向上平移1个单位至Q，此时M、P、K三点共线可使KP+PM最短，则QPKB为平行四边形，QB=PK,连接CP，根据轴对称求出CP=MP，则CP+BQ最小，∵CB，QP为定值，∴四边形BCPQ周长最短.‎ ‎∵将点C向上平移一个单位，坐标为（3，1），再作其关于对称轴对称的对称点C1，‎ ‎∴得点C1的坐标为（-1，1）.‎ 可求出直线BC1的解析式为y=x+.‎ 直线y＝x+与对称轴x＝1的交点即为点Q，坐标为（1， ）.‎ ‎∴点P的坐标为（1，）.‎ 综上所述，满足条件的P、Q两点的坐标分别为（1，）、（1，）.‎ 题型五　二次函数综合题 类型二　与面积有关的问题 针对演练 ‎1. （2015桂林）如图，已知抛物线y= -x2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0，8)、B(8，0)和点E,动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动.‎ ‎(1)求抛物线的解析式；‎ ‎(2)求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式：当t为何值时，△CED的面积最大?最大面积是多少?‎ ‎(3)当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P(点E除外)，使△PCD的面积等于△CED的最大面积，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ 第1题图 ‎2. （2015海南）如图①，二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A（-3，0）、B(1,0)，与y轴相交于点C，点G是二次函数图象的顶点，直线GC交x轴于点H(3,0)，AD平行GC交y轴于点D.‎ ‎（1）求该二次函数的表达式；‎ ‎（2）求证：四边形ACHD是正方形；‎ ‎（3）如图②，点M(t,p)是该二次函数图象上的动点，并且点M在第二象限内，过点M的直线y=kx交二次函数的图象于另一点N.‎ ‎①若四边形ADCM的面积为S，请求出S关于t的函数表达式，并写出t的取值范围；‎ ‎②若△CMN的面积等于，请求出此时①中S的值.‎ ‎ ‎ 图① 图②‎ 第2题图 ‎3. (2015深圳)如图①，关于x的二次函数y= -x2+bx+c经过点A(-3,0),点C(0，3)，点D为二次函数的顶点,DE为二次函数的对称轴，E在x轴上.‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在,求出点P;若不存在,请说明理由；‎ ‎（3）如图②，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC=3S△EBC？若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ 图① 图②‎ 第3题图 ‎4. （2015武威）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M.‎ ‎（1）求此抛物线的解析式和对称轴；‎ ‎（2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）连接AC，在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.‎ 第4题图 ‎【答案】‎ 针对演练 ‎1.解：(1)将点A(0，8)、B(8，0)代入抛物线y= -x2+bx+c，‎ 得,解得，‎ ‎∴抛物线的解析式为y= -x2+3x+8.‎ ‎(2)∵点A(0,8)、B(8，0)，∴OA=8,OB=8，‎ 令y=0，得 -x2+3x+8=0,‎ 解得:x1=8,x2=-2,‎ ‎∵点E在x轴的负半轴上，‎ ‎∴点E(-2，0)，∴OE=2，‎ 根据题意得：当D点运动t秒时，BD=t,OC=t,‎ ‎∴OD=8-t,‎ ‎∴DE=OE+OD=10-t,‎ ‎∴S△CED=DE·OC= (10-t)·t= -t2+5t,‎ 即S= -t2+5t=- (t-5)2+,‎ ‎∴当t=5时，S△CED最大＝‎ ‎ (3)存在.由(2)知：当t=5时，S△CED最大＝‎ ‎∴当t=5时，OC=5,OD=3,‎ ‎∴C(0,5),D(3,0),‎ 由勾股定理得CD=,‎ 设直线CD的解析式为：y=kx+b（k≠0）,‎ 将C(0,5),D(3,0)，代入上式得：‎ 解得,∴直线CD的解析式为 y= - x+5,‎ 过E点作EF∥CD，交抛物线于点P1，则S△CED＝， 第1题解图 如解图，设直线EF的解析式为y= -x+m,‎ 将E(-2，0)代入得：m= -,‎ ‎∴直线EF的解析式为y= -x-,‎ 将y= -x-与y= -x2+3x+8联立成方程组得：‎ ‎,‎ 解得（与E点重合，舍去）, ,‎ ‎∴P1(,- );‎ 过点E作EG⊥CD，垂足为G，‎ ‎∵当t=5时，S△ECD=CD·EG=,CD=,‎ ‎∴EG=,‎ 过点D作DN⊥CD,垂足为N，且使DN=,过点N作NM⊥x轴，垂足为M，可得△EGD∽△DMN,‎ ‎∴=,即＝，‎ 解得：DM=,∴OM=,‎ 由勾股定理得：‎ MN= =＝,‎ ‎∴N(,),‎ 过点N作NP2∥CD，与抛物线交于点P2，P3(与B点重合)，则S△CED＝，S△CED＝,设直线NP2的解析式为y= -x+n,‎ 将N(,)，代入上式得n=,‎ ‎∴直线NP2的解析式为y= -x+,‎ 将y= -x+与y= -x2+3x+8联立成方程组得：‎ ‎,解得,,‎ ‎∴P2(,)或P3(8,0),‎ 综上所述，当△CED的面积最大时，在抛物线上存在点P(点E除外)，使△PCD的面积等于△CED的最大面积，点P的坐标为：(,-)或(,)或(8,0).‎ ‎2.(1)解：∵二次函数y=ax2+bx+3过点A(-3，0)、‎ B(1，0)，‎ ‎∴,，解得，‎ ‎∴二次函数的表达式为y=－x2－2x+3.‎ ‎ (2)证明：由(1)知二次函数的表达式为y=－x2－2x+3，‎ 令x=0，则y=3,‎ ‎∴点C的坐标为(0，3)，‎ ‎∴OC=3，‎ 又点A、H的坐标分别为(-3,0)、(3,0)，‎ ‎∴ OA=OH=OC=3，‎ ‎∴ ∠OCH＝∠OHC，‎ ‎∵AD∥GC，‎ ‎∴∠OCH＝∠ODA,∠OHC=∠OAD,‎ ‎∴∠OAD＝∠ODA,‎ ‎∴ OA=OD=OC=OH=3，‎ 又AH⊥CD,‎ ‎∴四边形ACHD为正方形.‎ ‎(3)解：①S四边形ADCM=S四边形AOCM+S△AOD， 第2题解图 由(2)知OA=OD=3，‎ ‎∴S△AOD=×3×3=，‎ ‎∵点M(t,p)是直线y=kx与抛物线y= -x2-2x+3在第二象限内的交点，‎ ‎∴点M的坐标为(t,-t2-2t+3)，‎ 如解图，作MK⊥x轴于点K,ME⊥y轴于点E，则MK=-t2-2t+3,ME=︱t︱=-t，‎ ‎∴S四边形AOCM=S△AOM+S△MOC ‎=×3(-t2-2t+3)+ ×3(-t)，‎ 即S四边形AOCM= -t2-t+，‎ S四边形ADCM＝S四边形AOCM+S△AOD=-t2-t++= -t2-t+9,‎ ‎∴S= -t2-t+9,-3＜t＜0.‎ ‎②设点N的坐标为(t1,p1),过点N作NF⊥y轴于点F，‎ ‎∴NF=︱t1︱,又由①知ME=︱t︱，‎ 则S△CMN=S△COM+S△CON=OC·(︱t︱+︱t1︱)，‎ 又∵点M(t,p)、N(t1,p1)分别在第二、四象限内，‎ ‎∴t＜0, t1＞0, ∴S△CMN= (t1-t),‎ 即 (t1-t)= ，∴t1-t=.‎ 由直线y=kx交二次函数的图象于点M、N得：‎ ‎,则x2+(2+k)x-3=0,‎ ‎∴x=,‎ 即t=,‎ t1=,‎ ‎∴t1-t==,‎ ‎∴是(2+k)2+12的算术平方根,‎ ‎∴(2+k)2+12=,解得k1=-,k2=-,‎ 又(k+2)2+12恒大于0，且k＜0,‎ ‎∴k1=-,k2=-都符合条件.‎ ‎(i)若k= -,有x2+(2-)x-3=0,‎ 解得x1=-2,x2= (不符合题意，舍去);‎ ‎(ii)若k= -,有x2+(2-)x-3=0,‎ 解得x3=-,x4=2(不符合题意，舍去)，‎ ‎∴t= -2或-，‎ 当t= -2时,S=12;当t=-时,S=，‎ ‎∴S的值是12或.‎ ‎3.解：（1）将A(-3，0)，C(0，3)代入y=-x2+bx+c,‎ 得,解得.‎ ‎∴抛物线的解析式为y= -x2-2x+3.‎ ‎ (2存在，由(1)知抛物线的解析式可化为顶点式y=-(x+1)2+4，则D(-1，4)，‎ 当P在∠DAB的平分线上时，如解图①，作PM⊥AD，设P(-1，y0)，‎ ‎∵sin∠ADE= ==，PE=y0,‎ 则PM=PD·sin∠ADE= (4-y0),‎ ‎∵PM=PE, 第3题解图①‎ ‎∴ (4-y0)=y0,‎ 解得y0=-1. ‎ 当P在∠DAB的外角平分线上时，‎ 如解图②，作PN⊥AD,设P(-1，y0)，‎ PE=-y0,‎ 则PN=PD·sin∠ADE= (4-y0),‎ ‎∵PN=PE,‎ ‎∴ (4-y0)=-y0，解得y0=--1. 第3题解图②‎ ‎∴存在满足条件的点P，且点P的坐标为（-1，-1）或（-1，--1）.‎ ‎(3)存在.‎ ‎∵S△EBC=3,2S△FBC=3S△EBC,‎ ‎∴S△FBC=S△EBC＝×3＝,‎ 过点F作FH⊥x轴，交BC的延长线于点Q，如解图③,‎ 连接BF,设BF交y轴于点M，易得△BMC∽△BFQ，‎ ‎∴＝，‎ 即CM＝， ‎ ‎∴S△FBC＝CM·OB+CM·OH＝OB·QF.‎ ‎∵S△FBC=FQ·OB=FQ=,‎ ‎∴FQ=9.‎ ‎∵BC的解析式为y=-3x+3，‎ 设F(x0,-x20-2x0+3),则Q点的坐标为（x0,-3x0+3）,‎ ‎∴QF=-3x0+3+x02+2x0-3=9,‎ 解得x0=或 (舍去)，‎ ‎∴满足条件的点F的坐标是(，). 第3题解图③‎ ‎4.解：（1）∵抛物线过点A（0，4）、B（1，0）、C（5，0），‎ ‎∴设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a(x-1)·(x-5)(a≠0)，‎ ‎∴将点A（0，4）代入y=a(x-1)(x-5)，得a=，‎ ‎∴此抛物线的解析式为y=x2-x+4,‎ ‎∵抛物线过点B（1，0）、C（5，0），‎ ‎∴抛物线的对称轴为直线x＝=3.‎ ‎（2）存在，如解图①，连接AC交对称轴于点P，连接BP、BA,‎ ‎∵点B与点C关于对称轴对称，‎ ‎∴PB=PC,‎ ‎∴AB+AP+PB=AB+AP+PC=AB+AC,‎ ‎∵AB为定值，且AP+PC≥AC,‎ ‎∴当A、P、C三点共线时△PAB的周长最小，‎ ‎∵ A（0，4）、C（5，0），‎ 设直线AC的解析式为y=ax+b(a≠0)， 第4题解图①‎ 将A、C两点坐标代入解析式得,‎ 解得,‎ ‎∴直线AC的解析式为y= -x+4.‎ ‎∵在y= -x+4中，当x＝3时，y=，‎ ‎∴P点的坐标为（3，），‎ 即当对称轴上的点P的坐标为（3，）时，△ABP的周长最小. ‎ ‎（3）在直线AC下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大.‎ 如解图②，设N点的横坐标为t，‎ 此时点N（t, t2-t+4）（0＜t＜5），‎ 过点N作y轴的平行线，分别交x轴、AC于点F、G，过点A作 AD⊥NG，垂足为点D，‎ 由（2）可知直线AC的解析式为y= -x+4，‎ 把x=t代入y= -x+4得y＝-t+4，‎ 则G点的坐标为（t，-t+4 ），‎ 此时，NG＝-t+4-（t2-t+4）＝-t2+4t.‎ ‎∵AD＋CF＝OC＝5，‎ ‎∴S△NAC＝S△ANG＋S△CGN＝NG·AD＋NG·CF＝‎ NG·OC=×（-t2+4t）×5＝-2t2+10t＝‎ ‎-2（t-）2+.‎ ‎∵-2<0，即在对称轴处取得最大值.‎ ‎∴当t=时，△NAC面积有最大值为， 第4题解图②‎ 由t=，得y=t2t+4＝-3，‎ ‎∴N（，-3）.‎ ‎∴存在满足条件的点N，使△NAC的面积最大，N点的坐标为（,-3）.‎ 题型五　二次函数综合题 类型三　与特殊三角形有关的问题 针对演练 ‎1.（2015岳阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,0)、B(4,0)、C(0,3)三点.‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC,在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎ ‎ 图① 图②‎ 第1题图 ‎2. 如图，直线y=-x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、C和点A（-1，0）.‎ ‎（1）求B、C两点坐标；‎ ‎（2）求该二次函数的关系式；‎ ‎（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；‎ ‎（4）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.‎ 第2题图 ‎【答案】‎ 针对演练 ‎1.解：（1）∵点A（1，0），B（4,0）在抛物线上，‎ ‎∴设抛物线解析式为y=a(x-1)(x-4)，‎ 将点C（0,3）代入得a(0-1)(0-4)=3，‎ 解得a=，‎ ‎∴抛物线解析式为y=(x-1)(x-4)，‎ 即y=x2-x+3.‎ ‎（2）存在.连接BC交对称轴于点P，连接PA,如解图①,‎ ‎∵点A与点B关于对称轴x=对称，‎ ‎∴BC≤PB+PC=PA+PC，‎ 即当点P在直线BC上时，四边形PAOC的周长最小，‎ 在Rt△BOC中，OB=4，OC=3，∠BOC=90°，‎ ‎∴BC= =5，‎ ‎∴四边形PAOC的周长的最小值为OA+OC+BC=1+3+5=9.‎ ‎（3）存在.设直线BC的解析式为y=kx+t， 第1题解图①‎ 将点B(4,0)，点C（0,3）代入得，解得，‎ ‎∴直线BC的解析式为y= - x+3.‎ 点M在BC上，设点M的坐标为（m,- m+3）（0＜m＜4），‎ 要使△CQM是等腰三角形，且△BQM是直角三角形，则只有以下两种情况，‎ ‎(Ⅰ)当MQ⊥OB，CM=MQ时，如解图②所示，‎ 则CM=MQ=- m+3,‎ MB=BC-CM=5-(- m+3)=2+m，‎ 由sin∠CBO= = =，‎ 即=，解得m=,‎ 则点M的坐标为（,）；‎ ‎ (Ⅱ)当CM=MQ,MQ⊥BC时，如解图③， 第1题解图②‎ 过M作MN⊥OB于N， ‎ 则ON=m,MN=-m+3,‎ 在Rt△BMN中，易得BM= =×(-m+3)‎ ‎=- m+5，‎ ‎∴CM=BC-BM=m，‎ 在Rt△BMQ中，QM=BM·tan∠MBQ= (-m+5)，‎ 由CM=MQ得 (-m+5)= m， 第1题解图③‎ 解得m=，此时点M的坐标为（,）.‎ 综上所述，存在满足条件的点M,点M的坐标为（,）或（，）.‎ ‎2. 解：（1）令x=0，可得y=2，‎ 令y=0，可得x=4，‎ 即点B（4，0），C（0，2）.‎ ‎（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，‎ 将点A、B、C的坐标代入解析式得，‎ ‎,解得 ,‎ 即该二次函数的关系式为y=-x2+x+2.‎ ‎（3）存在.满足条件的点P的坐标分别为P1（,4），P2（,）,P3(,-).‎ ‎【解法提示】∵y= -x2+x+2，‎ ‎∴y=-（x-）2+，‎ ‎∴抛物线的对称轴是x=，‎ ‎∴OD=．‎ ‎∵C（0，2），‎ ‎∴OC=2．‎ 在Rt△OCD中，由勾股定理得CD=．‎ ‎∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，‎ ‎∴CP1=DP2=DP3=CD．‎ 如解图①所示，作CE⊥对称轴于点E，‎ ‎∴EP1=ED=2，∴DP1=4．‎ ‎∴P1（，4），P2（，），P3（，-）. 第2题解图① ‎ ‎（4）如解图②，过点C作CM⊥EF于点M，‎ 设E（a，-a+2），F（a，-a2+a+2），‎ ‎∴EF=-a2+a+2-（-a+2）‎ ‎=-a2+‎2a（0≤a≤4）．‎ ‎∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF 第2题解图②‎ ‎=BD·OC+EF·CM+EF·BN ‎=+a（-a2+‎2a）+（4-a）·（-a2+‎2a）‎ ‎=-a2+‎4a+‎ ‎=-（a-2）2+（0≤a≤4）,‎ ‎∴a=2时，S四边形CDBF最大=，‎ ‎∴E（2，1）．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 题型五　二次函数综合题 类型四 与特殊四边形有关的问题 针对演练 ‎ 1. （2015重庆模拟）已知正方形OABC中，O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，点B（4，4）.二次函数y= -x2+bx+c的图象经过点A、B.点P（t，0）是x轴上一动点，连接AP.‎ ‎（1）求此二次函数的解析式；‎ ‎（2）如图①，过点P作AP的垂线与线段BC交于点G，当点P在线段OC（点P不与点C、O重合）上运动至何处时，线段GC的长有最大值，求出这个最大值；‎ ‎（3）如图②，过点O作AP的垂线与直线BC交于点D，二次函数y= -x2+bx+c的图象上是否存在点Q，使得以P、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎ ‎ 图① 图② 备用图 第1题图 ‎2. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点左侧，B点的坐标为（4，0），与y轴交于C（0，-4）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.‎ ‎（1）求这个二次函数的表达式;‎ ‎（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由;‎ ‎（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.‎ 第2题图 ‎【答案】‎ 针对演练 ‎1.解：（1）∵B（4，4），‎ ‎∴AB=BC=4，‎ ‎∵四边形ABCO是正方形，‎ ‎∴OA=4，‎ ‎∴A（0，4），‎ 将点A（0，4），B（4，4）代入y= -x2+bx+c，‎ 得，‎ 解得，‎ ‎∴二次函数解析式为y=-x2+x+4.‎ ‎（2）∵P（t，0），‎ ‎∴OP=t，PC=4-t，‎ ‎∵AP⊥PG，‎ ‎∴∠APO+∠CPG=180°-90°=90°，‎ ‎∵∠OAP+∠APO=90°，‎ ‎∴∠OAP=∠CPG，‎ 又∵∠AOP=∠PCG=90°，‎ ‎∴△AOP∽△PCG，‎ ‎∴=，‎ 即=，‎ 整理得，GC=-（t-2）2+1，‎ ‎∴当t=2时，GC有最大值是1，‎ 即P（2，0）时，GC的最大值是1.‎ ‎（3）存在点Q，使得以P、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形．‎ 理由如下：如解图①、②，易得∠OAP=∠COD，‎ 在△AOP和△OCD中，‎ ‎,‎ ‎∴△AOP≌△OCD（ASA）， ‎ ‎∴OP=CD， 第1题解图①‎ 由P、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形得，PC∥DQ且PC=DQ，‎ ‎∵P（t，0），D（4，t），‎ ‎∴PC=DQ=|t-4|，‎ ‎∴点Q的坐标为（t，t）或（8-t，t），‎ ‎①当Q（t，t）时，-t2+t+4=t，‎ 整理得，t2+2t-24=0，‎ 解得t1=4（舍去），t2=-6，‎ ‎②当Q（8-t，t）时，-（8-t）2+（8-t）+4=t， 第1题解图②‎ 整理得，t2-6t+8=0，‎ 解得t1=2，t2=4（舍去），‎ 综上所述，存在点Q（-6，-6）或（6，2），使得以P、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形． ‎ ‎2.解：（1）将B、C两点的坐标代入得：‎ ‎，解得，‎ ‎∴二次函数的表达式为y=x2-3x-4.‎ ‎（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；‎ 设P点坐标为（x，x2-3x-4），PP′交CO于点E，‎ 若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；‎ 如解图①，连接PP′，则PE⊥CO于点E，‎ ‎∵C（0，-4），‎ ‎∴CO=4，‎ 又∵OE=EC，‎ ‎∴OE=EC=2，‎ ‎∴y=-2，‎ ‎∴x2-3x-4=-2， 第2题解图① ‎ 解得x1=，x2=（不合题意，舍去），‎ ‎∴P点的坐标为（，-2）.‎ ‎（3）如解图②，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2-3x-4），设直线BC的解析式为y=kx+d，‎ 则,解得，‎ ‎∴直线BC的解析式为y=x-4，‎ 则Q点的坐标为（x，x-4）；‎ 当0=x2-3x-4，‎ 解得：x1= -1，x2=4，‎ ‎∴AO=1，AB=5， 第2题解图②‎ S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ ‎=AB·OC+QP·BF+QP·OF ‎=×5×4+（4-x）［x-4-（x2-3x-4）］+x［x-4-（x2-3x-4）］‎ ‎=-2x2+8x+10‎ ‎=-2（x-2）2+18,‎ 当x=2时，四边形ABPC的面积最大，‎ 此时P点的坐标为（2，-6），四边形ABPC的面积的最大值为18．‎ ‎ ‎ 题型五　二次函数综合题 拓展类型　与三角形相似有关的问题 针对演练 ‎1. （2015广元）如图，已知抛物线y＝-（x+2）（x-m）（m＞0）与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧.‎ ‎（1）若抛物线过点G（2，2），求实数m的值.‎ ‎（2）在（1）的条件下，解答下列问题：‎ ‎①求△ABC的面积.‎ ‎②在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH最小，并求出点H的坐标.‎ ‎（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由.‎ 第1题图 ‎2. 如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点.‎ ‎（1）求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标.‎ 第2题图 ‎【答案】‎ 针对演练 ‎1.解：(1)∵抛物线过点G(2，2)，‎ ‎∴2=- (2+2)(2-m)，‎ ‎∴m=4.‎ ‎(2)①y=0,- (x+2)(x-m)=0，‎ 解得x1=-2,x2=m,‎ ‎∵m＞0,∴A(-2,0)、B(m,0),‎ 又∵m=4,∴AB=6.‎ 令x=0,得y=2,∴C(0,2),‎ ‎∴OC=2，‎ ‎∴S△ABC=×AB×OC=×6×2＝6. 第1题解图①‎ ‎②∵m=4，‎ ‎∴抛物线y= - (x+2)(x-4)的对称轴为x=1，‎ 如解图①，连接BC交对称轴于点H，‎ 由轴对称的性质和两点之间线段最短的性质可知，‎ 此时AH+CH=BH+CH=BC最小.‎ 设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0).‎ 则,解得,‎ ‎∴直线BC的解析式为y=-x+2.‎ 当x=1时，y=,∴H(1, ).‎ ‎(3)存在.如解图②，分两种情况讨论：‎ ‎(Ⅰ)当△ACB∽△ABM时， =， 第1题解图②‎ 即AB2=AC·AM.‎ ‎∵A(-2,0),C(0,2)，‎ 即OA=OC=2,‎ ‎∴∠CAB=45°,‎ ‎∴∠BAM=45°.‎ 过点M作MN⊥x轴于点N，‎ 则AN=MN，‎ ‎∴OA+ON=2+ON=MN，‎ ‎∴令M(x,-x-2)(x＞0)，‎ 又∵点M在抛物线上， ‎ ‎∴-x-2=- (x+2)(x-m)，‎ ‎∵x＞0,∴x+2＞0，‎ 又∵m＞0,∴x=‎2m,‎ 即M(‎2m,-‎2m-2).‎ ‎∴AM==2 (m+1)，‎ 又∵AB2=AC·AM,AC=2，AB=m+2,‎ ‎∴(m+2)2=2×2 (m+1)，解得m=2±2.‎ ‎∵m＞0,∴m=2+2.‎ ‎(Ⅱ)当△ACB∽△MBA时，‎ 则=，‎ ‎∴AB2=CB·MA，‎ 又∵∠CBA=∠BAM,∠ANM=∠BOC=90°,‎ ‎∴△ANM∽△BOC,‎ ‎∴=，‎ ‎∵OB=m,令ON=x,‎ ‎∴=,‎ ‎∴NM= (x+2)，‎ ‎∴令M(x,- (x+2))(x＞0),‎ 又∵点M在抛物线上，‎ ‎∴- (x+2)=- (x+2)(x-m)，‎ ‎∵x＞0,∴x+2＞0,‎ ‎∵m＞0,∴x=m+2,‎ ‎∴M(m+2,- (m+4))，‎ 又∵AB2=CB·MA,CB=,AN=m+4,MN= (m+4),‎ ‎∴(m+2)2=·‎ 整理得16=0,显然不成立.‎ 综上(Ⅰ)(Ⅱ)得，在第四象限内，当m=2+2时，抛物线上存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似.‎ ‎2. 解：（1）∵该抛物线过点C（0，-2），‎ ‎∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx-2．‎ 将A（4，0），B（1，0）代入，‎ 得,解得，‎ ‎∴此抛物线的解析式为y= - x2+ x-2.‎ ‎（2）存在．如解图①，设P点的横坐标为m，‎ 则P点的纵坐标为-m2+m-2，‎ 当1＜m＜4时，AM=4-m，PM=-m2+m-2．‎ 又∵∠COA=∠PMA=90°，‎ ‎∴①当=时，‎ ‎∴===， 第2题解图①‎ ‎∴△APM∽△ACO，‎ 即4-m=2(-m2+m-2)．‎ 解得m1=2，m2=4（舍去），‎ ‎∴P（2，1）．‎ ‎②当==时，△APM∽△CAO，‎ 即2(4-m)= -m2+m-2．‎ 解得m1=4，m2=5（均不合题意，舍去）,‎ ‎∴当1＜m＜4时，P（2，1）.‎ 当m＞4时，AM=m-4，PM=m2-m+2，‎ ‎①==或②==2，2（m2-m+2）=m-4，‎ ‎2（m-4）=m2-m+2，‎ 解得：第一个方程的解是m=2＜4（舍去）,m=4（舍去），‎ 第二个方程的解是m=5，m=4（舍去）,‎ 求出m=5，-m2+m-2=-2，‎ 则P（5，-2），‎ 当m＜1时，AM=4-m，PM=m2-m+2．‎ ‎①==或==2，‎ 则：2（m2-m+2）=4-m，‎ ‎2（4-m）=m2-m+2，‎ 解得：第一个方程的解是m=0（舍去），m=4（舍去），第二个方程的解是m=4（舍去），m=-3，‎ m=-3时，-m2+m-2=-14，‎ 则P（-3，-14），‎ 综上所述，符合条件的点P的坐标为（2，1）或（5，-2）或（-3，-14）(解图中未画出来).‎ ‎（3）如解图②，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为-t2+t-2．‎ 过点D作y轴的平行线交AC于点E． 第2题解图②‎ 由题意可求得直线AC的解析式为y=x-2． ‎ ‎∴E点的坐标为(t, t-2)．‎ ‎∴DE=-t2+t-2-(t-2)=-t2+2t，‎ ‎∴S△DAC=S△DCE+S△DEA=DE·t+DE·（4-t）=DE·4，‎ ‎∴S△DAC=×（-t2+2t）×4=-t2+4t=-(t-2)2+4，‎ ‎∴当t=2时，△DAC面积最大，‎ ‎∴D（2，1）．‎ ‎ ‎