济南中考数学题分综合压轴题 15页

济南中考数学28题9分 综合压轴题 ‎2007济南中考 已知：如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，‎ 点的坐标分别为，，．‎ ‎（1）求过点的直线的函数表达式；‎ ‎（2）在轴上找一点，连接，使得与相似（不包括全等），并求点的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，如分别是和上的动点，连接，设，‎ 问是否存在这样的使得与相似，如存在，请求出的值；如不存在，请说明理由．‎ A C O B x y ‎2008济南中考 抛物线(a≠0)，顶点C (1，)，与x轴交于A、B两点，．‎ ‎（1）求这条抛物线的解析式．‎ ‎（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，‎ 点P为线段AB上一个动点(P与A、B两点不重合)，过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，‎ 请判断是否为定值? 若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．‎ ‎（3）在(2)的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP ，‎ FG分别与边AE、BE相交于点F、G(F与A、E不重合，G与E、B不重合)，‎ C O x A D P M E B N y 请判断是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．‎ ‎2009年济南中考 已知：抛物线的对称轴为与轴交于两点，与轴交于点 其中、‎ ‎（1）求这条抛物线的函数表达式．‎ ‎（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标．‎ ‎（3）若点是线段上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作交轴于点 连接、．设的长为，的面积为．求与之间的函数关系式．‎ 试说明是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．‎ A C x y B O ‎2010年济南中考 如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，直线BD的函数表达式为，‎ 抛物线的对称轴l与直线BD交于点C、与x轴交于点E．‎ ‎⑴求A、B、C三个点的坐标．‎ ‎⑵点P为线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M，以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N，分别连接AN、BM、MN．‎ ‎①求证：AN=BM．‎ ‎②在点P运动的过程中，四边形AMNB的面积有最大值还是有最小值？并求出该最大值或最小值.‎ D C M N O A B P l y E x ‎2011年济南中考 如图，点C为线段AB上任意一点（不与A、B重合）分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作 等腰△ACD和等腰△BCE，CA = CD，CB = CE，∠ACD与∠BCE都是锐角，且∠ACD =∠BCE，‎ 连接AE交CD于点M，‎ 连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC．‎ ‎（1）求证：△ACE≌△DCB；‎ ‎（2）请你判断△AMC与△DMP的形状有何关系并说明理由；‎ ‎（3）求证：∠APC =∠BPC．‎ ‎2012年济南中考 如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（－3，0），B（－1，0），与y轴相交于点C，‎ ‎⊙O1为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）求cos∠CAB的值和⊙O1的半径；‎ ‎（3）如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．‎ ‎2013年如济南中考 图1，抛物线与轴交于点A，C，与y轴交于点B，连接AB，BC，‎ 点A的坐标为（2，0），.以线段BC为直径作交AB于点D.过点B作直线，‎ 与抛物线和的另一个交点分别是E，F.‎ ‎（1）求该抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）求点C的坐标和线段EF的长；‎ ‎（3）如图2，连接CD并延长，交直线l于点N.点P，Q为射线上的两个动点（点P在点Q的右侧，且不与N重合）线段PQ与EF的长度相等，连接DP，CQ，四边形CDPQ的周长是否有最小值？若有，请求出此时点P的坐标并直接写出四边形CDPQ周长的最小值；若没有，请说明理由.‎ ‎2014年济南中考.‎ 如图1，抛物线平移后过点A（8，,0）和原点，顶点为B，‎ 对称轴与轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．‎ ‎（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积；‎ ‎（2）如图2，直线AB与轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，‎ 为直角，边MN与AP相交于点N，设，‎ 试探求：‎ ‎①为何值时为等腰三角形；‎ ‎②为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．‎ ‎2015年济南中考 ‎28．抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1），B（5，﹣1），与y轴交于点C．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）如图1，连接CB，以CB为边作▱CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，‎ Q为坐标平面内的一点，且▱CBPQ的面积为30，求点P的坐标；‎ ‎（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为 上的一动点（不与点A，E重合），‎ ‎∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．‎ 参考答案 ‎2007济南中考 解：（1）点，‎ ‎，，点坐标为 1分 设过点的直线的函数表达式为，‎ 由 得， 2分 第24题图1‎ 直线的函数表达式为 3分 ‎（2）如图1，过点作，交轴于点，‎ 在和中，‎ ‎ ，‎ 点为所求 4分 又，‎ ‎ 5分 ‎， 6分 ‎（3）这样的存在 7分 在中，由勾股定理得 第24题图2‎ 如图1，当时，‎ 则，解得 8分 如图2，当时，‎ 则，解得 9分 ‎2008济南中考 解：(1)设抛物线的解析式为 ‎ 将A(－1，0)代入: ∴ ‎ ‎∴ 抛物线的解析式为，即： ‎ ‎（2）是定值， 4分 ‎∵ AB为直径，∴ ∠AEB=90°，∵ PM⊥AE，∴ PM∥BE ‎∴ △APM∽△ABE，∴ ①‎ 同理: ② 5分 ‎① + ②: 6分 ‎（3）∵ 直线EC为抛物线对称轴，∴ EC垂直平分AB ‎∴ EA=EB ‎∵ ∠AEB=90°‎ ‎∴ △AEB为等腰直角三角形．‎ ‎∴ ∠EAB=∠EBA=45° 7分 如图，过点P作PH⊥BE于H，‎ 由已知及作法可知，四边形PHEM是矩形，‎ ‎∴PH=ME且PH∥ME 在△APM和△PBH中 ‎∵∠AMP=∠PHB=90°， ∠EAB=∠BPH=45°‎ ‎∴ PH=BH 且△APM∽△PBH ‎∴ ‎ ‎∴ 　① 8分 在△MEP和△EGF中，‎ ‎∵ PE⊥FG， ∴ ∠FGE+∠SEG=90°‎ ‎∵∠MEP+∠SEG=90° ∴ ∠FGE=∠MEP ‎∵ ∠PME=∠FEG=90° ∴△MEP∽△EGF ‎∴ 　　　　②‎ 由①、②知： 9分 ‎（本题若按分类证明，只要合理，可给满分）‎ ‎2009济南中考 解：（1）由题意得 解得 ‎∴此抛物线的解析式为 ‎ ‎（2）连结、.因为的长度一定， ‎ 所以周长最小，就是使最小.‎ 点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点.‎ 设直线的表达式为则解得 ‎∴此直线的表达式为 ‎ ‎（第1题图）‎ O A C x y B E P D 把代入得 ∴点的坐标为 ‎ ‎（3）存在最大值 理由：‎ ‎∵即 ∴‎ ‎∴ 即 ‎ ‎ ∴‎ 方法一： 连结 ‎== ‎ ‎∵ ∴当时， ‎ 方法二：‎ ‎=‎ ‎= ‎ ‎∵ ∴当时，‎ ‎2010济南中考 D C M N O A B P 第2题图 l x y F E 解：⑴令，解得：， ‎ ‎∴A(－1，0)，B(3，0)‎ ‎∵=，‎ ‎∴抛物线的对称轴为直线x=1，‎ 将x=1代入，得y=2，‎ ‎∴C（1，2）. ‎ ‎⑵①在Rt△ACE中，tan∠CAE=，‎ ‎∴∠CAE=60º，‎ 由抛物线的对称性可知l是线段AB的垂直平分线，‎ ‎∴AC=BC，‎ ‎∴△ABC为等边三角形， ‎ ‎∴AB= BC =AC = 4，∠ABC=∠ACB= 60º，‎ 又∵AM=AP，BN=BP，‎ ‎∴BN = CM， ‎ ‎∴△ABN≌△BCM， ‎ ‎∴AN=BM. ‎ ‎②四边形AMNB的面积有最小值． ‎ 设AP=m，四边形AMNB的面积为S，‎ 由①可知AB= BC= 4，BN = CM=BP，S△ABC=×42=，‎ ‎∴CM=BN= BP=4－m，CN=m， ‎ 过M作MF⊥BC,垂足为F,‎ 则MF=MC•sin60º=，‎ ‎∴S△CMN==•=，‎ ‎∴S=S△ABC－S△CMN=－（）= ‎ ‎∴m=2时，S取得最小值3. ‎ ‎ 2011济南中考 ‎（1）证明：∵△ACD和△BCE都是等腰三角形，‎ ‎∴AC = DC，BC = EC．‎ ‎∵∠ACD =∠BCE，‎ ‎∴∠ACE =∠DCB．‎ 在△ACE和△DCB中，‎ 第28题图 ‎，‎ ‎∴△ACE≌△DCB（SAS）．‎ ‎（2）△AMC∽△DMP．理由如下：‎ 由（1）知△ACE≌△DCB，‎ ‎∴∠CAE =∠CDB．‎ 又∵∠AMC =∠PMD，‎ ‎∴△AMC∽△DMP．‎ ‎（3）证明：在DB上截取DF=AP，连接CF，‎ 由（1）知△ACE≌△DCB，‎ ‎∴∠CAE =∠CDB．‎ 又∵CA = CD，DF=AP，‎ ‎∴△ACP≌△DCF，‎ ‎∴∠APC=∠DFC，CP=CF．‎ ‎∴∠BPC =∠DFC，‎ ‎∴∠APC =∠BPC．‎ ‎2012济南中考 解：（1）∵ 抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（－3，0），B（－1，0），‎ ‎∴，解得a=1，b=4， ∴抛物线的解析式为：y=x2+4x+3． （2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x2+4x+3，‎ ‎∵令x=0，得y=3， ∴C（0，3），‎ ‎∴OC=OA=3，则△AOC为等腰直角三角形，∴∠CAB=45°，∴cos∠CAB=．‎ 在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=．‎ 如答图1所示，连接O1B、O1C，‎ 由圆周角定理得：∠BO‎1C=2∠BAC=90°， ∴△BO‎1C为等腰直角三角形，∴⊙O1的半径O1B=BC=．‎ ‎（3）抛物线y=x2+4x+3=（x+2）2－1，‎ ‎∴顶点P坐标为（－2，－1），对称轴为x= －2．‎ 又∵A（－3，0），B（－1，0），可知点A、B关于对称轴x=2对称．‎ 如答图2所示，由圆及抛物线的对称性可知：点D、点C（0，3）关于对称轴对称，‎ ‎∴D（－4，3）．‎ 又∵点M为BD中点，B（－1，0）， ∴M（，），‎ ‎∴BM=；‎ 在△BPC中，B（－1，0），P（－2，－1），C（0，3），‎ 由两点间的距离公式得：BP=，BC=，PC=．‎ ‎∵△BMN∽△BPC，∴，‎ 即，解得：，MN．‎ 设N（x，y），由两点间的距离公式可得：‎ ‎，解之得，， ∴点N的坐标为（，）或（，）．‎ ‎2013济南中考 解：（1）∵点A（2，0），， ∴AO=2，BO=4， ‎ ‎∴点B的坐标为（0，4）.（1分）‎ ‎∵抛物线过点A，B，‎ ‎∴解得 ‎ ‎∴此抛物线的解析式为.（3分）‎ ‎（2）解法一：在图1中连接CF，‎ 令，即， 解得. ‎ ‎∴点C坐标为，CO=3.（4分）‎ 令，即，解得.‎ ‎∴点E坐标为，∴BE=1.（5分）‎ ‎∵BC为直径， ∴.‎ 又∵， ∴‎ ‎∴，∴四边形为矩形，‎ ‎∴BF=CO=3. ∴EF=BFBE=31=2.（6分）‎ 解法二：∵抛物线对称轴为直线，‎ ‎∴点A的对称点C的坐标为.（4分）‎ 点B的对称点E的坐标为.（5分）‎ ‎∵BC是的直径， ∴点M的坐标为.‎ 如图2，过点M作，则，‎ ‎∵，∴，∴BF=2BG=3.‎ ‎∵点E的坐标为，∴BE=1.‎ ‎∴EF=BFBE=31=2.（6分）‎ ‎（3）四边形的周长有最小值.（7分） 理由如下：‎ ‎∵，AC=OC+OA=3+2=5，‎ ‎∴AC=BC.‎ ‎∵BC为直径，‎ ‎∴即，‎ ‎∴D为AB中点，‎ ‎∴点D的坐标为（1，2）.‎ 作点D关于直线l的对称点，点C向右平移2个单位得点，‎ 连接与直线l交于点P，点P向左平移两个单位得点Q，四边形即为周长最小的四边形.‎ 解法一：设直线的函数表达式为，‎ ‎∴∴ ∴直线的表达式为.‎ ‎∵， ∴，‎ ‎∴点P的坐标为（8分）‎ 解法二：如图3，直线交直线l于点H，交x轴于点K，‎ 易得 由题意可知，‎ 由直线轴，易证，‎ ‎∴，∴.‎ ‎∴，‎ ‎∴点的坐标为.（8分）‎ ‎（9分）‎ ‎2014济南中考 解：（1）设平移后抛物线的解析式，‎ 将点A（8，,0）代入，得.顶点B（4,3）， =OC×CB＝12.‎ ‎（2）直线AB的解析式为，作NQ垂直于x轴于点Q，‎ ‎①当MN＝AN时， N点的横坐标为，纵坐标为，‎ 由三角形NQM和三角形MOP相似可知,得，解得（舍去）.‎ 当AM＝AN时，AN＝,由三角形ANQ和三角形APO相似可知,‎ MQ＝，由三角形NQM和三角形MOP相似可知得：，解得：＝12（舍去）.‎ 当MN＝MA时，故是钝角，显然不成立. 故.‎ ‎②方法一：作PN的中点C，连接CM，则CM＝PC＝PＮ， 当CM垂直于x轴且M为OQ中点时PN最小，‎ 此时＝3，证明如下：‎ 假设＝3时M记为，C记为 若M不在处，即M在左侧或右侧，‎ 若C在左侧或者C在处，则CM一定大于,而PC却小于，这与CM＝PC矛盾，‎ 故C在右侧，则PC大于,相应PN也会增大，‎ 故若M不在处时 PN大于处的PN的值，‎ 故当＝3时，MQ＝3, ,根据勾股定理可求出PM＝与MN＝,．‎ 故当＝3时，PN取最小值为．‎ 方法二：由所在直线方程为，与直线AB的解析式联立，‎ 得点N的横坐标为，即，‎ 由判别式，得或，又，‎ 所以的最小值为6，此时＝3，‎ 当＝3时，N的坐标为（6，），此时PN取最小值为．‎ ‎2015济南中考 解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式得：‎ ‎，解得：．∴抛物线得解析式为y=x2﹣6x+4．‎ ‎（2）如图所示：设点P的坐标为P（m，m2﹣6m+4）‎ ‎∵平行四边形的面积为30，‎ ‎∴S△CBP=15，即：S△CBP=S梯形CEDP﹣S△CEB﹣S△PBD．‎ ‎∴m（5+m2﹣6m+4+1）﹣×5×5﹣（m﹣5）（m2﹣6m+5）=15．‎ 化简得：m2﹣5m﹣6=0， 解得：m=6，或m=﹣1．‎ ‎∵m＞0 ∴点P的坐标为（6，4）．‎ ‎ ‎ ‎（3）连接AB、EB．‎ ‎∵AE是圆的直径，∴∠ABE=90°．∴∠ABE=∠MBN．‎ 又∵∠EAB=∠EMB，∴△EAB∽△NMB．‎ ‎∵A（1，﹣1），B（5，﹣1），∴点O1的横坐标为3，‎ 将x=0代入抛物线的解析式得：y=4，∴点C的坐标为（0，4）．‎ 设点O1的坐标为（3，m），∵O1C=O1A，‎ ‎∴，解得：m=2，∴点O1的坐标为（3，2），‎ ‎∴O1A=，‎ 在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE===6，‎ ‎∴点E的坐标为（5，5）．∴AB=4，BE=6．‎ ‎∵△EAB∽△NMB，∴．∴．∴NB=．‎ ‎∴当MB为直径时，MB最大，此时NB最大．‎ ‎∴MB=AE=2，‎ ‎∴NB==3．‎