中考数学动态问题押轴题专练 26页

动态问题的押轴题解析汇编一 ‎ 动态问题 一、选择题 ‎1. （2011安徽，10，4分）如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC=2，BD=1，AP=x，则△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是 ( )‎ 第10题图 O ‎ ‎ ‎【解题思路】首先确定y与x之间的函数关系式，再由函数关系式来确认图象.观察点P运动和对应△AMN的变化以及备选答案可知：y与x之间的函数之间是分段函数关系.当0≤x≤1时，由△AMN∽△ABD得：，即y=.当1≤x≤2时，由△CMN∽△CBD得：，，即MN=2-x，∴y=MN×AP=x=x2+x.根据两段函数的图像特点，应选C.‎ ‎【答案】C.‎ ‎【点评】本题以动态变化的几何图形为背景，从数形结合的角度，考查学生由条件确定分段函数关系式以及由函数关系式再来确认函数图像的能力，过程中对相似三角形知识的运用也是一个重要的考查目的.难度较大.‎ ‎2.‎ 二、填空 ‎1. （2011甘肃兰州，18，4分）已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移‎50m，半圆的直径为‎4m，则圆心O所经过的路线长是 m.（结果用π表示）‎ O O O O l ‎【解题思路】根据弧长的公式先求出半圆形的弧长，即半圆作无滑动翻转所经过的路线长，把它与沿地面平移所经过的路线长相加即为所求．由图形可知，圆心先向前走的长度即圆的周长，然后沿着弧旋转圆的周长，最后向右平移‎50米，所以圆心总共走过的路程为圆周长的一半即半圆的弧长加上50，由已知得圆的半径为2，则半圆形的弧长L= =2π，∴圆心O所经过的路线长=（2π+50）米．‎ ‎【答案】（2π+50） ．‎ ‎【点评】本题主要考查了弧长公式，同时考查了平移的知识．解题关键是得出半圆形的弧长=半圆作无滑动翻转所经过的路线长．难度中等.‎ ‎2. （2011贵州安顺，17，4分）已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为 ．‎ ‎【解题思路】由题意可知点P在BC上运动，所以P点纵坐标是4，横坐标等于CP的长度。OP=5时易求出CP=3，所以P（3，4），DP=5时易求出CP=2或8，所以P（2，4）或（8，4）‎ ‎【答案】P（3，4）或（2，4）或（8，4）‎ ‎【点评】本题主要考查等腰三角形的存在性问题，涉及到等腰三角形、矩形、勾股定理等知识，此题的关键在于分情况讨论，同时要注意“△ODP是腰长为5的等腰三角形”这一条件。难度中等。‎ ‎3.‎ ‎1. （2011湖北襄阳，17，3分）如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16， E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t＝_________秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．‎ ‎【解题思路】分两种情况思考，即Ｑ点分别运动至CE段和BE段上．‎ ‎【答案】由题意，得PD＝6－t，QE＝8－2t或2t－8，所以6－t＝8－2t或2t－8，解得t＝2或．‎ ‎【点评】本题属于动点探究问题，综合考查梯形，平行四边形知识，以及运动与变化，分类讨论和方程的数学思想．明白PD＝EQ以及QE＝8－2t或2t－8‎ 是解题关键．难度中等．‎ 三、解答题 ‎1. （2011安徽，22，12分）在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A/B/C.‎ ‎(1)如图(1)，当AB∥CB/时，设AB与CB/相交于D.证明：△A/CD是等边三角形；‎ ‎（2）如图(2)，连接A/A、B/B，设△ACA/和△BCB/的面积分别为 S△ACA/和S△BCB/. 求证：S△ACA/∶S△BCB/=1∶3；‎ ‎（3）如图(3)，设AC中点为E，A/ B/中点为P，AC=a，连接EP，当θ=_______°时，EP长度最大，最大值为________.‎ 第22题图(3)‎ 第22题图(2)‎ 第22题图(1)‎ ‎【解题思路】（1）由条件得△A/CD的三个内角都是60°而得证.（2）先证∽，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方来解决问题. （3）由EC+PE≥EP，而EC、PE都是定值可知：当点P转到在EC的延长线上时，EP最长.‎ ‎【答案】证明：（1）∵AB∥CB/，∴∠B/CB=∠ABC=30°∴, ‎ 又∠A/ =∠A=60°，∴∠A/DC=60°，∴△A/CD是等边三角形.‎ 证明：(2)∵CA∶CB=C A/∶C B/=，，而∠ACA/=∠BCB/=θ°，∴∽,∴ S△ACA/∶S△BCB/=（）2=1∶3.‎ ‎（3）连接CP，则CP=，∵EC+PE≥EP，∴EP ≤+a=，当点P还是AB中点时，∠ACP=60°；当∠ACP=180°时，E、C、P三点共线，这时EP=为最大，θ=180°- 60°=120°.‎ ‎【点评】从旋转变换的角度设计问题，着重考查以“静”制“动”，在动态变化的过程中探究“静”的元素而最终解决问题的能力.本题将平行线的性质、相似三角形的判定和性质、等腰（边）三角形的判定、直角三角形的性质以及三角形的两边之和大于第三边等基本的几何知识综合地进行考查，并且思维有一定的跨度.难度较大.‎ ‎2. (2011广东河源，21，本题满分9分)‎ ‎ 如图（1）,已知线段AB的长为‎2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．‎ ‎ （1）当△APC与△PBD的面积之和取最小值时，AP=；（直接写结果）‎ ‎ （2）连结AD、BC，相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由；‎ ‎ （3）如图（2），若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）‎ 图（1）‎ 图（2）‎ ‎ ‎ ‎【解题思路】设AP为x, 则PB为a-x，△APC的面积为，△BPD的面积为，列出两三角形面积和的二次函数解析式，通过二次函数求极值得出面积和最小时AP的值；通过△APD≌△CPB, 得到∠PAD=∠PCB,由等量代换得到∠QCP+∠QAC+∠ACP=1200, 所以∠AQC=1800-1200 =600.‎ ‎【答案】（1）a；（2）α的大小不会随点P的移动而变化，‎ 理由：∵△APC是等边三角形，∴PA=PC, ∠APC=600,‎ ‎∵△BDP是等边三角形，∴PB=PD, ∠BPD=600, ∴∠APC=∠BPD,‎ ‎∴∠APD=∠CPB, ∴△APD≌△CPB, ∴∠PAD=∠PCB, ‎ ‎∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=1200,∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=1200, ∴∠AQC=1800-1200 =600;‎ ‎(3) 此时α的大小不会发生改变，始终等于600.‎ ‎【点评】本例考查了二次函数的极值及三角形全等的有关知识，解题关键是关于面积和的二次函数的建立及三角形全等知识的应用，会因不能整体代换而导致错误，难度较大.‎ ‎3. （2011广东省，21，9分）如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90º，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G，H点，如图(2)‎ B H F A（D）‎ G C E C（E）‎ B F A（D）‎ ‎（1）问：始终与△AGC相似的三角形有△HAB及△HGA；‎ ‎（2）设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图(2)的情形说明理由）；‎ ‎（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形.‎ ‎【解题思路】第（1）小题可以利用角的关系来证明，也可以考虑先证明DE⊥BC,还可以考虑用三角形的中位线来证明．第（2‎ ‎）小题关键之处在于要分顶点的两种不同对应关系来讨论．第（3）小题当“四边形MEND与△BDE的面积相等”相等时可带来≌,可以推证得到DE=BE,DM=BM.对于本题，还有很重要的一点那就是∽，它的三边之比是3:4:5.综合这些结论可以通过列方程等方法解决本题.‎ ‎【答案】（1）△HAB及△HGA ‎（2）由△AGC∽△HAB，得AC/HB=GC/AB，即9/y=x/9，故y=81/x (00)，正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S．‎ ‎ (1)当t=l时，正方形EFGH的边长是 ，‎ ‎ 当t=3时，正方形EFGH的边长是 ；‎ ‎ (2)当00）.‎ ‎（1）△PBM与△QNM相似吗？以图1为例说明理由；‎ ‎（2）若∠ABC=60°，AB=‎4厘米.‎ ‎ ①求动点Q的运动速度；‎ ‎②设△APQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式；‎ ‎ （3）探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系，以图1为例说明理由.‎ 图1 图2（备用图）‎ ‎【解题思路】（1）由MN⊥BC，MQ⊥MP，∠BAC=90°，可得∠PMB=∠QMN，∠PBM=∠QNM，从而证得相似．（2）①由题意可求BC=4，无论P、Q两点在边BA、NC上运动还是在BA、NC延长线上运动，即当P、Q在射线BA、NC上运动时，△PBM与△QNM一直都相似，再根据相似三角形的性质可求得Q的运动速度．②由①分析可知要求△APQ的面积需分两种情况：0