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- 2021-05-13 发布
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山东省潍坊市2017年中考数学真题试卷和答案
一、选择题(每小题3分,满分36分)。
1.下列算式,正确的是( )
A.a3×a2=a6 B.a3÷a=a3 C.a2+a2=a4 D.(a2)2=a4
2.如图所示的几何体,其俯视图是( )
A. B. C. D.
3.可燃冰,学名叫“天然气水合物”,是一种高效清洁、储量巨大的新能源.据报道,仅我国可燃冰预测远景资源量就超过了1000亿吨油当量.将1000亿用科学记数法可表示为( )
A.1×103 B.1000×108 C.1×1011 D.1×1014
4.小莹和小博士下棋,小莹执圆子,小博士执方子.如图,棋盘中心方子的位置用(﹣1,0)表示,右下角方子的位置用(0,﹣1)表示.小莹将第4枚圆子放入棋盘后,所有棋子构成一个轴对称图形.他放的位置是( )
A.(﹣2,1) B.(﹣1,1) C.(1,﹣2) D.(﹣1,﹣2)
5.用教材中的计算器依次按键如下,显示的结果在数轴上对应点的位置介于( )之间.
A.B与C B.C与D C.E与F D.A与B
6.如图,∠BCD=90°,AB∥DE,则∠α与∠β满足( )
A.∠α+∠β=180° B.∠β﹣∠α=90° C.∠β=3∠α D.∠α+∠β=90°
7.甲、乙、丙、丁四名射击运动员在选选拔赛中,每人射击了10次,甲、乙两人的成绩如表所示.丙、丁两人的成绩如图所示.欲选一名运动员参赛,从平均数与方差两个因素分析,应选( )
甲
乙
平均数
9
8
方差
1
1
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
8.一次函数y=ax+b与反比例函数y=,其中ab<0,a、b为常数,它们在同一坐标系中的图象可以是( )
A. B. C. D.
9.若代数式有意义,则实数x的取值范围是( )
A.x≥1 B.x≥2 C.x>1 D.x>2
10.如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形.延长AB与DC相交于点G,AO⊥CD,垂足为E,连接BD,∠GBC=50°,则∠DBC的度数为( )
A.50° B.60° C.80° D.90°
11.定义[x]表示不超过实数x的最大整数,如[1.8]=1,[﹣1.4]=﹣2,[﹣3]=﹣3.函数y=[x]的图象如图所示,则方程[x]= x2的解为( )#N.
A.0或 B.0或2 C.1或 D.或﹣
12.点A、C为半径是3的圆周上两点,点B为的中点,以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD,顶点D恰在该圆直径的三等分点上,则该菱形的边长为( )
A.或2 B.或2 C.或2 D.或2
二、填空题(每小题3分,共18分)。
13.计算:(1﹣)÷= .
14.因式分解:x2﹣2x+(x﹣2)= .
15.如图,在△ABC中,AB≠AC.D、E分别为边AB、AC上的点.AC=3AD,AB=3AE,点F为BC边上一点,添加一个条件: ,可以使得△FDB与△ADE相似.(只需写出一个)
16.若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根,则k的取值范围是 .
17.如图,自左至右,第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成;第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成;第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成;…按照此规律,第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为 个.
18.如图,将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折,使点B落在AD边上,记为B′,折痕为CE,再将CD边斜向下对折,使点D落在B′C边上,记为D′,折痕为CG,B′D′=2,BE=BC.则矩形纸片ABCD的面积为 .
三、 解答题:
19.本校为了解九年级男同学的体育考试准备情况,随机抽取部分男同学进行了1000米跑步测试.按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级,学校绘制了如下不完整的统计图.
(1)根据给出的信息,补全两幅统计图;
(2)该校九年级有600名男生,请估计成绩未达到良好有多少名?
(3)某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛.预赛分别为A、B、C三组进行,选手由抽签确定分组.甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少?
20.如图,某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度.该楼底层为车库,高2.5米;上面五层居住,每层高度相等.测角仪支架离地1.5米,在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°,在B处测得四楼顶点E的仰角为30°,AB=14米.求居民楼的高度(精确到0.1米,参考数据:≈1.73)
21.某蔬菜加工公司先后两批次收购蒜薹(tái)共100吨.第一批蒜薹价格为4000元/吨;因蒜薹大量上市,第二批价格跌至1000元/吨.这两批蒜苔共用去16万元.
(1)求两批次购进蒜薹各多少吨?
(2)公司收购后对蒜薹进行加工,分为粗加工和精加工两种:粗加工每吨利润400元,精加工每吨利润1000元.要求精加工数量不多于粗加工数量的三倍.为获得最大利润,精加工数量应为多少吨?最大利润是多少?
22.如图,AB为半圆O的直径,AC是⊙O的一条弦,D为的中点,作DE⊥AC,交AB的延长线于点F,连接DA.
(1)求证:EF为半圆O的切线;
(2)若DA=DF=6,求阴影区域的面积.(结果保留根号和π)
23.工人师傅用一块长为10dm,宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形.(厚度不计)
(1)在图中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,虚线表示折痕;并求长方体底面面积为12dm2时,裁掉的正方形边长多大?
(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍,并将容器进行防锈处理,侧面每平方分米的费用为0.5元,底面每平方分米的费用为2元,裁掉的正方形边长多大时,总费用最低,最低为多少?
24.边长为6的等边△ABC中,点D、E分别在AC、BC边上,DE∥AB,EC=2
(1)如图1,将△DEC沿射线方向平移,得到△D′E′C′,边D′E′与AC的交点为M,边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N,当CC′多大时,四边形MCND′为菱形?并说明理由.
(2)如图2,将△DEC绕点C旋转∠α(0°<α<360°),得到△D′E′C,连接AD′、BE′.边D′E′的中点为P.
①在旋转过程中,AD′和BE′有怎样的数量关系?并说明理由;
②连接AP,当AP最大时,求AD′的值.(结果保留根号)
25.如图1,抛物线y=ax2+bx+
c经过平行四边形ABCD的顶点A(0,3)、B(﹣1,0)、D(2,3),抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分,与抛物线交于另一点F.点P在直线l上方抛物线上一动点,设点P的横坐标为t
(1)求抛物线的解析式;
(2)当t何值时,△PFE的面积最大?并求最大值的立方根;
(3)是否存在点P使△PAE为直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.
答案
一、选择题(每小题3分,满分36分)
1.D
2.D.
3.C.
4.B.
5.A.
6.解:过C作CF∥AB,
∵AB∥DE,
∴AB∥CF∥DE,
∴∠1=∠α,∠2=180°﹣∠β,
∵∠BCD=90°,
∴∠1+∠2=∠α+180°﹣∠β=90°,
∴∠β﹣∠α=90°,
故选B.
7.解:丙的平均数==9,丙的方差= [1+1+1=1]=0.4,
乙的平均数==8.2,
由题意可知,丙的成绩最好,
8.C.
9.B
10.解:如图,∵A、B、D、C四点共圆,
∴∠GBC=∠ADC=50°,
∵AE⊥CD,
∴∠AED=90°,
∴∠EAD=90°﹣50°=40°,
延长AE交⊙O于点M,
∵AO⊥CD,
∴,
∴∠DBC=2∠EAD=80°.
故选C.
11.解:当1≤x≤2时, x2=1,解得x1=,x2=﹣;
当﹣1≤x≤0时, x2=0,解得x1=x2=0;
当﹣2≤x<﹣1时, x2=﹣1,方程没有实数解;
所以方程[x]= x2的解为0或.
12.解:过B作直径,连接AC交AO于E,
∵点B为的中点,
∴BD⊥AC,
①如图①,
∵点D恰在该圆直径的三等分点上,
∴BD=×2×3=2,
∴OD=OB﹣BD=1,
∵四边形ABCD是菱形,
∴DE=BD=1,
∴OE=2,
连接OD,
∵CE==,
∴边CD==;
如图②,BD=×2×3=4,
同理可得,OD=1,OE=1,DE=2,
连接OD,
∵CE===2,
∴边CD===2,
故选D.
二、填空题(每小题3分,满分18分)
13.解:(1﹣)÷
=
=
=x+1,
14.(x+1)(x﹣2).
15.解:DF∥AC,或∠BFD=∠A.
理由:∵∠A=∠A, ==,
∴△ADE∽△ACB,
∴①当DF∥AC时,△BDF∽△BAC,
∴△BDF∽△EAD.
②当∠BFD=∠A时,∵∠B=∠AED,
∴△FBD∽△AED.
故答案为DF∥AC,或∠BFD=∠A.
16.解:∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根,
∴△=b2﹣4ac≥0,
即:4﹣4k≥0,
解得:k≤1,
∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0中k≠0,
故k≤1且k≠0.
17.解:∵第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成,
∴正方形和等边三角形的和=6+6=12=9+3;
∵第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成,
∴正方形和等边三角形的和=11+10=21=9×2+3;
∵第3个图由16个正方形和14个等边三角形组成,
∴正方形和等边三角形的和=16+14=30=9×3+3,
…,
∴第n个图中正方形和等边三角形的个数之和=9n+3.
18.解:设BE=a,则BC=3a,
由题意可得,
CB=CB′,CD=CD′,BE=B′E=a,
∵B′D′=2,
∴CD′=3a﹣2,
∴CD=3a﹣2,
∴AE=3a﹣2﹣a=2a﹣2,
∴DB′===2,
∴AB′=3a﹣2,
∵AB′2+AE2=B′E2,
∴,
解得,a=或a=,
当a=时,BC=2,
∵B′D′=2,CB=CB′,
∴a=时不符合题意,舍去;
当a=时,BC=5,AB=CD=3a﹣2=3,
∴矩形纸片ABCD的面积为:5×3=15,
三、 解答题
19.解:(1)抽取的学生数:16÷40%=40(人);
抽取的学生中合格的人数:40﹣12﹣16﹣2=10,
合格所占百分比:10÷40=25%,
优秀人数:12÷40=30%,
如图所示:
;
(2)成绩未达到良好的男生所占比例为:25%+5%=30%,
所以600名九年级男生中有600×30%=180(名);
(3)如图:
,
可得一共有9种可能,甲、乙两人恰好分在同一组的有3种,
所以甲、乙两人恰好分在同一组的概率P==.
20.解:设每层楼高为x米,
由题意得:MC′=MC﹣CC′=2.5﹣1.5=1米,
∴DC′=5x+1,EC′=4x+1,
在Rt△DC′A′中,∠DA′C′=60°,
∴C′A′==(5x+1),
在Rt△EC′B′中,∠EB′C′=30°,
∴C′B′==(4x+1),
∵A′B′=C′B′﹣C′A′=AB,
∴(4x+1)﹣(5x+1)=14,
解得:x≈3.17,
则居民楼高为5×3.17+2.5≈18.4米.
21.解:(1)设第一批购进蒜薹x吨,第二批购进蒜薹y吨.
由题意,
解得,
答:第一批购进蒜薹20吨,第二批购进蒜薹80吨.
(2)设精加工m吨,总利润为w元,则粗加工吨.
由m≤3,解得m≤75,
利润w=1000m+400=600m+40000,
∵600>0,
∴w随m的增大而增大,
∴m=75时,w有最大值为85000元.
22.(1)证明:连接OD,
∵D为的中点,
∴∠CAD=∠BAD,
∵OA=OD,
∴∠BAD=∠ADO,
∴∠CAD=∠ADO,
∵DE⊥AC,
∴∠E=90°,
∴∠CAD+∠EDA=90°,即∠ADO+∠EDA=90°,
∴OD⊥EF,
∴EF为半圆O的切线;
(2)解:连接OC与CD,
∵DA=DF,
∴∠BAD=∠F,
∴∠BAD=∠F=∠CAD,
又∵∠BAD+∠CAD+∠F=90°,
∴∠F=30°,∠BAC=60°,
∵OC=OA,
∴△AOC为等边三角形,
∴∠AOC=60°,∠COB=120°,
∵OD⊥EF,∠F=30°,
∴∠DOF=60°,
在Rt△ODF中,DF=6,
∴OD=DF•tan30°=6,
在Rt△AED中,DA=6,∠CAD=30°,
∴DE=DA•sin30,EA=DA•cos30°=9,
∵∠COD=180°﹣∠AOC﹣∠DOF=60°,
∴CD∥AB,
故S△ACD=S△COD,
∴S阴影=S△AED﹣S扇形COD=×9×3﹣π×62=﹣6π.
23.解:
(1)如图所示:
设裁掉的正方形的边长为xdm,
由题意可得(10﹣2x)(6﹣2x)=12,
即x2﹣8x+12=0,解得x=2或x=6(舍去),
答:裁掉的正方形的边长为2dm,底面积为12dm2;
(2)∵长不大于宽的五倍,
∴10﹣2x≤5(6﹣2x),解得0<x≤2.5,
设总费用为w元,由题意可知
w=0.5×2x(16﹣4x)+2(10﹣2x)(6﹣2x)=4x2﹣48x+120=4(x﹣6)2﹣24,
∵对称轴为x=6,开口向上,
∴当0<x≤2.5时,w随x的增大而减小,
∴当x=2.5时,w有最小值,最小值为25元,
答:当裁掉边长为2.5dm的正方形时,总费用最低,最低费用为25元.
24.解:(1)当CC'=时,四边形MCND'是菱形.
理由:由平移的性质得,CD∥C'D',DE∥D'E',
∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠ACB=60°,
∴∠ACC'=180°﹣∠ACB=120°,
∵CN是∠ACC'的角平分线,
∴∠D'E'C'=∠ACC'=60°=∠B,
∴∠D'E'C'=∠NCC',
∴D'E'∥CN,
∴四边形MCND'是平行四边形,
∵∠ME'C'=∠MCE'=60°,∠NCC'=∠NC'C=60°,
∴△MCE'和△NCC'是等边三角形,
∴MC=CE',NC=CC',
∵E'C'=2,
∵四边形MCND'是菱形,
∴CN=CM,
∴CC'=E'C'=;
(2)①AD'=BE',
理由:当α≠180°时,由旋转的性质得,∠ACD'=∠BCE',
由(1)知,AC=BC,CD'=CE',
∴△ACD'≌△BCE',
∴AD'=BE',
当α=180°时,AD'=AC+CD',BE'=BC+CE',
即:AD'=BE',
综上可知:AD'=BE'.
②如图连接CP,
在△ACP中,由三角形三边关系得,AP<AC+CP,
∴当点A,C,P三点共线时,AP最大,
如图1,在△D'CE'中,由P为D'E的中点,得AP⊥D'E',PD'=,
∴CP=3,
∴AP=6+3=9,
在Rt△APD'中,由勾股定理得,AD'==2.
25.解:
(1)由题意可得,解得,
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;
(2)∵A(0,3),D(2,3),
∴BC=AD=2,
∵B(﹣1,0),
∴C(1,0),
∴线段AC的中点为(,),
∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分,
∴直线l过平行四边形的对称中心,
∵A、D关于对称轴对称,
∴抛物线对称轴为x=1,
∴E(3,0),
设直线l的解析式为y=kx+m,把E点和对称中心坐标代入可得,解得,
∴直线l的解析式为y=﹣x+,
联立直线l和抛物线解析式可得,解得或,
∴F(﹣,),
如图1,作PH⊥x轴,交l于点M,作FN⊥PH,
∵P点横坐标为t,
∴P(t,﹣t2+2t+3),M(t,﹣t+),
∴PM=﹣t2+2t+3﹣(﹣t+)=﹣t2+t+,
∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM•FN+PM•EH=PM•(FN+EH)=(﹣t2+t+)(3+)=﹣(t﹣)+×,
∴当t=时,△PEF的面积最大,其最大值为×,
∴最大值的立方根为=;
(3)由图可知∠PEA≠90°,
∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°,
①当∠PAE=90°时,如图2,作PG⊥y轴,
∵OA=OE,
∴∠OAE=∠OEA=45°,
∴∠PAG=∠APG=45°,
∴PG=AG,
∴t=﹣t2+2t+3﹣3,即﹣t2+t=0,解得t=1或t=0(舍去),
②当∠APE=90°时,如图3,作PK⊥x轴,AQ⊥PK,
则PK=﹣t2+2t+3,AQ=t,KE=3﹣t,PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t,
∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°,
∴∠PAQ=∠KPE,且∠PKE=∠PQA,
∴△PKE∽△AQP,
∴=,即=,即t2﹣t﹣1=0,解得t=或t=<﹣(舍去),
综上可知存在满足条件的点P,t的值为1或.
2017年12月24日