2012数学中考压轴题训练 29页

几何与函数问题 【知识纵横】 客观世界中事物总是相互关联、相互制约的。几何与函数问题就是从量和形的侧面去描 述客观世界的运动变化、相互联系和相互制约性。函数与几何的综合题，对考查学生的双基 和探索能力有一定的代表性，通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步 研究几何的性质，沟通函数与几何的有机联系，可以培养学生的数形结合的思想方法。 【典型例题】 【例 1】（重庆）如图，矩形 ABCD 中，AB=6，BC=2 ，点 O 是 AB 的中点，点 P 在 AB 的延长线上，且 BP=3．一动点 E 从 O 点出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 OA 匀速运动， 到达 A 点后，立即以原速度沿 AO 返回； 另一动点 F 从 P 点发发，以每秒 1 个单 位长度的速度沿射线 PA 匀速运动，点 E、 F 同时出发，当两点相遇时停止运动，在 点 E、F 的运动过程中，以 EF 为边作等边 △EFG，使△EFG 和矩形 ABCD 在射线 PA 的 同 侧 ． 设 运 动 的 时 间 为 t 秒 （t≥0）． （1）当等边△EFG 的边 FG 恰好经过点 C 时，求运动时间 t 的值； （2）在整个运动过程中，设等边△EFG 和矩形 ABCD 重叠部分的面积为 S，请直接写 出 S 与 t 之间的函数关系式和相应的自变量 t 的取值范围； （3）设 EG 与矩形 ABCD 的对角线 AC 的交点为 H，是否存在这样的 t，使△AOH 是 等腰三角形？若存大，求出对应的 t 的值；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（2）按照等边△EFG 和矩形 ABCD 重叠部分的图形特点，分为 0≤t＜1，1≤ t＜3，3≤t＜4，4≤t＜6 四种情况讨论。（3）当△AOH 是等腰三角形时，分为三种情况， 列方程求 t 的值。 3 【例 2】（广西梧州）如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝6cm，AB＝ 8cm，BC＝14cm.动点 P、Q 都从点 C 出发，点 P 沿 C→B 方向做匀速运动，点 Q 沿 C→D→A 方向做匀速运动，当 P、Q 其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． （1）求 CD 的长； （2）若点 P 以 1cm/s 速度运动，点 Q 以 2 2cm/s 的速度运动，连接 BQ、PQ，设△BQP 面积为 S（cm2），点 P、Q 运动的时间为 t（s），求 S 与 t 的函数关系式，并写出 t 的取 值范围； （3）若点 P 的速度仍是 1cm/s，点 Q 的速度为 cm/s，要使在运动过程中出现 PQ∥DC，请你直接写出 的取值范围． 【思路点拨】（1）作辅助线：过 D 点作 DH⊥BC。（2）分 Q 在 CD 和 Q 在 DA 上两种情况讨 论。（3）要使运动过程中出现 PQ∥DC，根据平行四边形判定，只要考虑 QD＝PC 即可。 a a 【例 3】（山东青岛）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC 于点 D，且 BD＝ 8cm．点 M 从点 A 出发，沿 AC 的方向匀速运动，速度为 2cm/s；同时直线 PQ 由点 B 出发， 沿 BA 的方向匀速运动，速度为 1cm/s，运动过程中始终保持 PQ∥AC，直线 PQ 交 AB 于 点 P、交 BC 于点 Q、交 BD 于点 F．连接 PM，设运动时间为 ts(0＜ ＜5)． (1)当 t 为何值时，四边形 PQCM 是平行四边形？ (2)设四边形 PQCM 的面积为 ycm2，求 y 与 t 之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻 t，使 S 四边形 PQCM＝ 9 16S△ABC？若存在，求出 的值；若不存在，说 明理由； (4)连接 PC，是否存在某一时刻 ，使点 M 在线段 PC 的垂直平分线上？若存在，求出 此时 的值；若不存在，说明理由． 【思路点拨】(1) 假设四边形 PQCM 是平行四边形，从而推出结论。（2）把梯形的上下 底和高用 来表示。（3）在假设 S 四边形 PQCM＝ 9 16S△ABC 的条件下，求出 ，讨论。（4）在假 设点 M 在线段 PC 的垂直平分线上，求出此时 的值。 t t t t t t t 【例 4】（湖南湘潭）已知，AB 是⊙O 的直径，AB=8，点 C 在⊙O 的半径 OA 上运动， PC⊥AB，垂足为 C，PC=5，PT 为⊙O 的切线，切点为 T． （1）如图（1），当 C 点运动到 O 点时，求 PT 的长； （2）如图（2），当 C 点运动到 A 点时，连接 PO、BT，求证：PO∥BT； （3）如图（3），设 PT2= ，AC= ，求 与 的函数关系式及 的最小值． 【思路点拨】（1）连接 OT。（2）连接 AT。（3）连接 OP、OT，应用勾股定理，可得出 与 之间的关系式。 y x y x y y x 几何问题 【知识纵横】 应用几何的判定与性质，解直角三角形的应用和方程思想解决几何问题。 【典型例题】 【例 1】（重庆綦江）如图，等边△ABC 中，AO 是∠BAC 的角平分 线，D 为 AO 上一点，以 CD 为一边且在 CD 下方作等边△CDE，连 接 BE． （1）求证：△ACD≌△BCE； （ 2 ）延 长 BE 至 Q ， P 为 BQ 上 一 点 ， 连 接 CP 、 CQ 使 CP=CQ=5，若 BC=8 时，求 PQ 的长． 【思路点拨】（1）证△ACD≌△BCE。（2）过点 C 作 CH⊥BQ 于 H，求 得∠DAC=30°，再求 PQ 的长。 【例 2】（山东济南）如图，点 C 为线段 AB 上任意一点(不与点 A、B 重合)，分别以 AC、BC 为一腰在 AB 的同侧作等腰△ACD 和△BCE， CA＝CD，CB＝CE，∠ACD 与∠BCE 都是锐 角，且∠ACD＝∠BCE，连接 AE 交 CD 于点 M， 连接 BD 交 CE 于点 N，AE 与 BD 交于点 P， 连接 CP． (1)求证：△ACE≌△DCB； (2)请你判断△ACM 与△DPM 的形状有何关系并说明理由； (3)求证：∠APC＝∠BPC． 【思路点拨】（3）由(1)可得∠CAE＝∠CDB，从而点 A、C、P、D 四点共圆，可得∠APC＝∠ ADC，再证明∠BPC＝∠BEC，即可。 【例 3】（广东广州）如图 1，⊙O 中 AB 是直径，C 是⊙O 上一点，∠ABC＝45°，等腰直 角三角形 DCE 中∠DCE 是直角，点 D 在线段 AC 上． （1）证明：B、C、E 三点 共线； （2）若 M 是线段 BE 的中 点，N 是线段 AD 的中点， 证明：MN＝ OM； （3）将△DCE 绕点 C 逆时 针旋转 α（0°＜α＜90°）后， 记为△D1CE1（图 2），若 M1 是线段 BE1 的中点，N1 是线段 AD1 的中点，M1N1＝ OM1 是否成立？若是，请证明； 若不是，说明理由． 【思路点拨】（1）证明∠BCA＋∠DCE＝90°＋90°＝ 180°；（2）连接 BD，AE，ON，延长 BD 交 AE 于 F，先 证明 Rt△BCD≌Rt△ACE，再证△ONM 为等腰直角三角 形，即可得到结论。（3）证明的方法和（2）相同。 2 2 【例 4】（上海）在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点 P 是 AB 边上任意一 点，直线 PE⊥AB，与边 AC 或 BC 相交于 E．点 M 在线段 AP 上，点 N 在线段 BP 上，EM ＝EN， ． （1）如图 1，当点 E 与点 C 重合时，求 CM 的长； （2）如图 2，当点 E 在边 AC 上时，点 E 不与点 A、C 重合，设 AP＝ ，BN＝ ，求 关于 的函数关系式，并写出函数的定义域； （3）若△AME∽△ENB（△AME 的顶点 A、M、E 分别与△ENB 的顶点 E、N、B 对 应），求 AP 的长． 【思路点拨】（2）根据 EM＝EN， ，得出△AEP∽△ABC，再求出 。 （3）分点 E 在 AC 上和点 E 在 BC 上两种情况讨论。 12sin EMP 13 ∠ = x y y x 12sin EMP 13 ∠ = PE BC AP AC = 函数及图像与几何问题 【知识纵横】 函数（本节主要指一次函数、反比例函数）及图像与几何问题，是以函数为背景探求 几何性质，这类题很重要点是利用函数的性质，解决几个主要点的坐标问题，使几何知识和 函数知识有机而自然结合起来，这样，才能突破难点。但在解这类题目时，要注意方程的解 与坐标关系，及坐标值与线段长度关系。 【典型例题】 【例 1】（山东济宁）如图，第一象限内半径为 2 的⊙C 与 轴相切于点 A，作直径 AD，过点 D 作⊙C 的切线 l 交 轴于点 B，P 为直线 l 上一动点，已知直线 PA 的解析 式为： =k +3。 (1) 设点 P 的纵坐标为 p，写出 p 随 k 变化的函数关 系式。 (2)设⊙C 与 PA 交于点 M，与 AB 交于点 N，则不论 动点 P 处于直线 l 上（除点 B 以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP。请你对于点 P 处于图中位置时的两三角形相似给予证明； (3)是否存在使△AMN 的面积等于 的 k 值？若存在，请求出符合的 k 值；若不存在， 请说明理由。 【思路点拨】（1）将 P 的坐标代入 =k +3 即可。（2）要证△AMN∽△ABP，只要证∠ABD ∠AMN 即可。（3）根据（2）的结论，由相似三角形△AMN 和△ABP 的面积比，分点 P 在 B 点上下方两种情况求解。 y x y x 32 25 y x 【例 2】（湖南怀化）在矩形 AOBC 中，OB=6，OA=4，分別以 OB，OA 所在直线为 轴和 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是 BC 上的一个动点（不与 B、C 重 合），过 F 点的反比例函数 的图象与 AC 边交于点 E． （1）求证：AE•AO=BF•BO； （2）若点 E 的坐标为（2，4），求经过 O、E、F 三点的抛物线的解析式； （3）是否存在这样的点 F，使得将△CEF 沿 EF 对 折后，C 点恰好落在 OB 上？若存在，求出此时的 OF 的长：若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（1）根据反比例函数的性质得出 ，即可得出 AE•AO=BF•BO。 （2）利用 E 点坐标首先求出 BF= ，再利用待定系数法求二次函数解析式即可。 x y ( 0)ky kx = > xy k= 4 3 【例 3】（湖南娄底）在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，且 AD=2，以 CD 为直径作 ⊙O1，交 BC 于点 E，过点 E 作 EF⊥AB 于 F，建立如图所示的平面直角坐标系，已知 A，B 两点的坐标分别为 A（0，2 ），B（﹣2，0）． （1）求 C，D 两点的坐标． （2）求证：EF 为⊙O1 的切线． （3）探究：如图，线段 CD 上是否存在点 P，使得线段 PC 的长度与 P 点到 轴的距离 相等？如果存在，请找出 P 点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【思路点拨】（1）连接 DE。（2）连接 O1E，可证 O1E∥AB，再由 EF⊥AB，证明 O1E⊥EF 即可。（3）过 P 作 PM⊥ 轴于 M，作 PN⊥ 轴于 N，再利用锐角三角函数定义求解。 3 y y x 【例 4】（浙江金华、丽水）如图，在平面直角坐标系中，点 A（10，0），以 OA 为直 径在第一象限内作半圆 C，点 B 是该半圆周上一动点，连接 OB、AB，并延长 AB 至点 D， 使 DB=AB，过点 D 作 轴垂线，分别交 轴、直线 OB 于点 E、F，点 E 为垂足，连接 CF． （1）当∠AOB=30°时，求弧 AB 的长度； （2）当 DE=8 时，求线段 EF 的长； （3）在点 B 运动过程中，是否存在以点 E、C、F 为顶点的三角形与△AOB 相似，若存 在，请求出此时点 E 的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（1）连接 BC。（2）连接 OD，证明△OEF∽△DEA，再利用相似比求 EF。 （3）当以点 E、C、F 为顶点的三角形与△AOB 相似时，分为①当交点 E 在 O，C 之间时，② 当交点 E 在点 C 的右侧时，③当交点 E 在点 O 的左侧时三种情况，分别求出 E 点坐标。 x x 直角坐标下通过几何图形列函数式问题 【知识纵横】 以平面直角坐标系为背景，通过几何图形运动变化中两个变量之间的关系建立函数关 系式，进一步研究几何图形的性质，体现了数形结合的思想方法。但在坐标系中，每一个坐 标由一对的序实数对应，实数的正负之分，而线段长度值均为正的，注意这一点，就可类似 于讲座一的方法解决。所列函数式有：反比例函数、一次函数、二次函数。 【典型例题】 【例 1】（浙江温州）如图，在平面直角坐标系中，O 是坐 标原点，点 A 的坐标是（﹣4，0），点 B 的坐标是（0， ） （ ＞0）．P 是直线 AB 上的一个动点，作 PC⊥ 轴，垂 足为 C．记点 P 关于 y 轴的对称点为 P´（点 P´不在 y 轴 上），连接 PP´，P´A，P´C．设点 P 的横坐标为 ． （1）当 =3 时， ①求直线 AB 的解析式； ②若点 P′的坐标是（﹣1， ），求 的值； （2）若点 P 在第一象限，记直线 AB 与 P´C 的交点为 D．当 P´D：DC=1：3 时，求 的值； （3）是否同时存在 ， ，使△P´CA 为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要 求的 ， 的值；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（1）①利用待定系数法考虑。②把（﹣1， ）代入函数解析式即可。（2） 证明△PP′D∽△ACD，根据相似三角形的对应边的比成比例求解。（3）分 P 在第一，二， 三象限，三种情况进行讨论。 b b x a b m m a a b a b m 【例 2】（浙江舟山、嘉兴）已知直线 （ ＜0）分别交 轴、 轴于 A、B 两点，线段 OA 上有一动点 P 由原点 O 向点 A 运动，速度为每秒 1 个单位长度，过点 P 作 轴的垂线交直线 AB 于点 C，设运动时间为 秒． （1）当 时，线段 OA 上另有一动点 Q 由点 A 向点 O 运动，它与点 P 以相同速度 同时出发，当点 P 到达点 A 时两点同时停止运动（如图 1）． ① 直接写出 ＝1 秒时 C、Q 两点的坐标； ② 若以 Q、C、A 为顶点的三角形与△AOB 相似，求 的值． （2）当 时，设以 C 为顶点的抛物线 与直线 AB 的另一交点为 D （如图 2）， ① 求 CD 的长； ② 设△COD 的 OC 边上的高为 ，当 为何值时， 的值最大？ 【思路点拨】（1）②分两种情形讨论。（2）①过点 D 作 DE⊥CP 于点 E，证明△DEC∽△ AOB。 ②先求得三角形 COD 的面积为定值，又由 Rt△PCO∽Rt△OAB，在比例线段中求出 t 值 为多少时，h 最大。 3+= kxy k x y x t 1−=k t t 4 3−=k nmxy ++= 2)( h t h 【例 3】（江苏常州、镇江）在平面直角坐标系 XOY 中，直线 过点 且与 轴 平行，直线 过点 且与 轴平行，直线 与直线 相交于点 P。点 E 为直线 上 一点，反比例函数 （ ＞0）的图像过点 E 与直线 相交于点 F。 ⑴若点 E 与点 P 重合，求 的值； ⑵连接 OE、OF、EF。若 ＞2，且△OEF 的面积为△PEF 的面积的 2 倍，求 E 点的坐 标； ⑶是否存在点 E 及 轴上的点 M，使得以点 M、E、F 为顶点的三角形与△PEF 全等？ 若存在，求 E 点坐标；若不存在，请说明理由。 【思路点拨】（2）先利用相似三角形对应边的比，用 K 表示相关各点的坐标并表示相关 线段的长，再利用相似三角形 OEF 面积是 PEF 面积 2 倍的关系求出 K。（3）先由全等得到相 似三角形，利用相似三角形对应边的比，用 K 表示相关各点的坐标并表示相关线段的长，再 利用勾股定理求出 K。点 P、E、F 三点位置分 K＜2 和 K＞2 两种情况讨论。 1l ( )0,1A y 2l ( )2,0B x 1l 2l 2l x ky = k 1l k k y 【例 4】（浙江义乌）已知二次函数的图象经过 A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴 为直线 x=4. 设顶点为点 P，与 轴的另一交点为点 B. （1）求二次函数的解析式及顶点 P 的坐标； （2）如图 1，在直线 =2 上是否存在点 D，使四边形 OPBD 为等腰梯形？若存在，求 出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图 2，点 M 是线段 OP 上的一个动点（O、P 两点除外），以每秒 个单位长度的 速度由点 P 向点 O 运动，过点 M 作直线 MN∥ 轴，交 PB 于点 N. 将△PMN 沿直线 MN 对 折，得到△P1MN. 在动点 M 的运动过程中，设△P1MN 与梯形 OMNB 的重叠部分的面积为 S，运动时间为 t 秒. 求 S 关于 t 的函数关系式. 【思路点拨】（1）利用对称轴公式，A、C 两点坐标，列方程组求 、 、 的值即可。 （2）由（1）可求直线 PB 解析式为 ，可知 PB∥OD，利用 BD=PO，列方程求解， 注意排除平行四边形的情形。（3）分 0＜t≤2，2＜t＜4 两种情形讨论。 x y x 2 x a b c 2 12y x= − 抛物线与几何问题 【知识纵横】 抛物线的解析式有下列三种形式：1、一般式： (a≠0)；2、顶点式：y =a(x—h) 2-＋k；3、交点式：y=a(x—x 1)(x—x 2 ) ，这里 x 1、x 2 是方程 ax 2 +bx+c=0 的两个 实根。 解函数与几何的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充 分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。 【典型例题】 【例 1】（浙江宁波）如图，平面直角坐标 系 中，点 A 的坐标为（－2，2）,点 B 的 坐标为（6，6），抛物线经过 A、O、B 三 点，连结 OA、OB、AB，线段 AB 交 轴于 点 E． （1） 求点 E 的坐标； （2） 求抛物线的函数解析式； （3） 点 F 为线段 OB 上的一个动 点（不与点 O、B 重合），直线 EF 与抛物线交于 M、N 两点（点 N 在 轴右侧），连结 ON、BN，当点 F 在线段 OB 上运动时，求△BON 面积的最大值，并求出此时点 N 的坐 标； （4） 连结 AN，当△BON 面积最大时，在坐标平面内求使得△BOP 与△OAN 相似（点 B、O、P 分别与点 O、A、N 对应）的点 P 的坐标． 【思路点拨】（1）根据 A、B 两点坐标求直线 AB 的解析式，令 =0，即可求 E 点坐标。 （2）列方程组求 、 的值。（3）依题意，设 N ，求出△BON 面积关于 的函数表达式，用二次函数的最值原理，可求 N 点的坐标。（4）根据三角形相似的性 质得到 BO：OA=OP：AN=BP：ON，然后根据勾股定理即可求出点 P 的坐标。 2y ax bx c= + + Ox y y y x a b 21 1 , 4 2x x x −   x 【例 2】（天津）已知抛物线 ： ．点 F(1，1)． (Ⅰ) 求抛物线 的顶点坐标； (Ⅱ) ①若抛物线 与 轴的交点为 A．连接 AF，并延长交抛物线 于点 B，求证： ②抛物线 上任意一点 P（ ）)（ ）．连接 PF．并延长交抛物线 于点 Q（ ），试判断 是否成立？请说明理由； (Ⅲ) 将抛物线 作适当的平移．得抛物线 ： ，若 时． 恒成立，求 m 的最大值． 【思路点拨】(I) 只要把二次函数变形为 的形式即可。 (II) ①求出 AF 和 BF 即可证明。②应用勾股定理和相似三角形的判定和性质求出 PF 和 QF 即可。(Ⅲ) 应用图象平移和抛物线的性质来证明。 1C 2 1 1 12y x x= − + 1C 1C y 1C 1 1 2AF BF + = 1C P Px y， 0 1Px< < 1C Q Qx y， 1 1 2PF QF + = 1C 2C 2 2 1 ( )2y x h= − 2 x m< ≤ 2y x≤ ( )2y a x m n= − + 【例 3】（浙江省）如图，在直 角坐标系中，抛物线 与 轴交 与点 A（－1,0）、B（3,0）两点，抛 物线交 轴于点 C（0,3），点 D 为 抛物线的顶点．直线 交抛 物线于点 M、N 两点，过线段 MN 上一点 P 作 轴的平行线交抛物 线于点 Q． (1)求此抛物线的解析式及顶点 D 的坐标； (2)问点 P 在何处时，线段 PQ 最长，最长为多少？ (3)设 E 为线段 OC 上的三等分点，连接 EP，EQ，若 EP=EQ，求点 P 的坐标． 【思路点拨】（1）由待定系数法可求抛物线的解析式，化为顶点式可求顶点坐标。（2） 把线段 PQ 用含 P( , －1) ，Q ( , )来表示，用二次函数的最值原理 可求。 ( )2 0y ax bx c a= + + ≠ x y 1y x= − y x x x 2 2 3x x− + + 【例 4】（四川成都）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ABC 的 A、B 两个顶点在 轴上，顶点 C 在 轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC 的面积 S△ABC=15，抛物线 ）经过 A、B、C 三点． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）设 E 是 轴右侧抛物线上异于点 B 的一个动点，过点 E 作 轴的平行线交抛物线 于另一点 F，过点 F 作 FG 垂直于 轴于点 G，再过点 E 作 EH 垂直于 轴于点 H，得 到矩形 EFGH．则在点 E 的运动过程中，当矩形 EFGH 为正方形时，求出该正方形的边 长； （3）在抛物线上是否存在异于 B、C 的点 M，使△MBC 中 BC 边上的高为 ？若存 在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（1） 由已知设 ，根据题意求 的值。（2）设 E 点坐标为 ，抛物线对称轴为 =2，根据 ，列方程求解。（3）利用直 线解析式与抛物线解析式联立，求 M 点的坐标。 x y 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠ y x x x 7 2 OA ( 0)t t= > t 2( 4 5)x x x− −， x EH EF= 函数、方程、不等式问题 【知识纵横】 函数、方程、不等式的结合，是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式， 体现了一般到特殊的观念。也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系，例求两个函数的 交点坐标，一般通过函数解析式组成的方程组来解决。又如例 4 复合了一次函数、二次函数， 并对所得的函数要结合自变量的取值范围来考虑最值，这就需要结合图像来解决。 【典型例题】 【 例 1 】（ 四 川 雅 安 ） 如 图 ， 已 知 二 次 函 数 图 像 的 顶 点 M 在 反 比 例 函 数 上，且与 轴交于 A，B 两点。 （1）若二次函数的对称轴为 ，试求 的值； （2）在（1）的条件下求 AB 的长； （3）若二次函数的对称轴与 轴的交点为 N，当 NO+MN 取最小值时，试求二次函数 的解析式。 【思路点拨】（1）先求得二次函数 中的 ，再根据顶点在 反比例函数 上，求出 。（3）可用含有 的式子表示点 M、N 的坐标，即求出 的 值，再求得解析式。 cxaxy ++= 22 )0( >a xy 3= x 2 1−=x ca, x cxaxy ++= 22 )0( >a a xy 3= c a a 【例 2】（江苏南通）如图，已知直线 经过点 A(1，0)，与双曲线 交于 点 B(2 ，1) ．过点 P( ， －1)( ＞1) 作 轴的平行 线分别交双曲线 和 于点 M、 N． (1)求 的值和直线 的解析式； (2)若点 P 在直线 ＝2 上，求证：△PMB∽△PNA； (3)是否存在实数 ，使得 S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满 足条件的 的值；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 (2)先求 的值，再利用对应线段成比例证△PMB∽△PNA。 (3)考虑 点 P 的位置，得 1＜ ＜3 时的情况。作延长 MP 交 轴于 Q，先求直线 MP 的方程，再求 出各点坐标（用 表示），然后求出面积表达式，代入 S△AMN＝4S△AMP 后求出 值。 l ( )0my x >x = p p p x ( )0my x >x = ( )0my x : :a b c 小明：那直角三角形 中是否存在奇异三 角形呢？ 老师：我们新定义一种三角形， 两边平方和等于第三边平方的 2 倍 的 三 角 形 叫 做 奇 异 三 角 形． A B C D E O 小华：等边三角形一 定是奇异三角形！ 【思路点拨】（2）正确理解新概念的含义后，然后，根据题目中的条件加以分析，画出 直角三角形 ABC 的图形，观察图形的特征，通过方程思想、方法等加以解决。（3）中第①小 题，只需利用直径的性质、弧的中点性质勾股定理即可解决。对于第②小题，利用第（2） 的结果并结合条件，通过联想、类比、猜想、分类、推理等加以解决。 【例 2】（浙江台州）已知抛物线 ＝ ( －m)2＋n 与 轴交于点 A，它的顶点为点 B，点 A、B 关于原点 O 的对称点分别为 C、D．若 A、B、C、D 中任何三点都不在一直线 上，则称四边形 ABCD 为抛物线的伴随四边形，直线 AB 为抛物线的伴随直线． (1)如图 1，求抛物线 ＝( －2)2＋1 的伴随直线的解析式． (2)如图 2，若抛物线 ＝ ( －m)2＋n(m＞0)的伴随直线是 ＝ －3，伴随四边形的 面积为 12，求此抛物线的解析式． (3)如图 3，若抛物线 ＝ ( －m)2＋n 的伴随直线是 ＝－2 ＋b(b＞0)，且伴随四 边形 ABCD 是矩形． ①用含 b 的代数式表示 m、n 的值； ②在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使得△PBD 是一个等腰三角形？若存在，请 直接写出点 P 的坐标(用含 b 的代数式表示)，若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（1）利用抛物线求它与 轴交于点 A 和顶点为点 B。（2）求出 BE 的长， 得出顶点 B 的坐标。（3）①试用 m 、b 表示 B 点坐标，利用勾股定理求出。②利用①中 B 点坐标，以及 BD 的长度即可得出 P 点的坐标。分 BD=BP，BD=DP，BP=DP 三种情况讨论。 y a x y y x y a x y x y a x y x y 探究、操作性问题 【知识纵横】 探索研究是通过对题意的理解，解题过程由简单到难，在承上启下的作用下，引导学 生思考新的问题，大胆进行分析、推理和归纳，即从特殊到一般去探究，以特殊去探求一般 从而获得结论，有时还要用已学的知识加以论证探求所得结论。操作性问题是让学生按题目 要求进行操作，考察学生的动手能力、想象能力和概括能力。 【典型例题】 【例 1】（江苏南京）问题情境:已知矩形的面积为 （ 为常数， ＞0），当该矩形的长 为多少时，它的周长最小？最小值是多少？ 数学模型:设该矩形的长为 ，周长为 ，则与 的函数关系式为 ． 探索研究:⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数 的图象性质． ① 填写下表，画出函数的图象： x …… 1 2 3 4 …… y …… …… ②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质； ③在求二次函数 的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以 通过配方得到．请你通过配方求函数 (x＞0)的最小值． 解决问题:⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案． a a a x y x 2( )( 0)ay x xx = + ＞ 1 ( 0)y x xx = + ＞ 1 4 1 3 1 2 ( )2 0y ax bx c a= + + ≠ 1y x x = + 1 x y O 1 3 4 5 2 2 3 54－1 －1 【思路点拨】⑴将 值代入函类数关系式求出 值, 描点作图即可， 然后分析函数图像。 ⑵仿⑴对③ 进行配方成二次函数的顶点式，即可解决。 【例 2】（湖南岳阳）九 （1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们 经历了实践﹣﹣应用﹣﹣探究的过程： （1）实践：他们对一条公路上横截面为拋物线的单向双车道的隧道（如图①）进行测 量，测得一隧道的路面宽为 10m，隧道顶部最高处距地面 6.25m，并画出了隧道截面图， 建立了如图②所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式． （2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至 少为 0.5m．为了确保安全，问该隧道能否让最宽 3m，最高 3.5m 的两辆厢式货车居中并 列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？ （3）探究：该课题学习小组为进一步 探索抛物线的有关知识，他们借助上 述拋物线模型，提出了以下两个问题， 请予解答： I．如图③，在抛物线内作矩形 ABCD， 使顶点 C、D 落在拋物线上，顶点 A、 B 落在 轴 上．设矩形 ABCD 的周 长为 ，求 的最大值． II•如图④，过原点作一条 = 的直线 OM，交抛物线于点 M，交抛物线对称轴于点 N， P 为直线 0M 上一动点，过 P 点作 轴的垂线交抛物线于点 Q．问在直线 OM 上是否存 在点 P，使以 P、N、Q 为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出 P 点的坐 标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（1）利用顶点式求解。（2）可得当 =2 时，正好是两辆汽车的宽度。（3） I．首先表示出矩形周长，再利用二次函数最值公式求出。II．利用等腰直角三角形的 x y 2( )ay x x = + x l l y x x x 性质，以及 P 在 = 的图象上，即可得出 P 点的坐标。 【例 3】（湖南株洲）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛 物线 的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原 点 O，两直角边与该抛物线交于 A、B 两点，请解答以下问题： （1）若测得 OA=OB= （如图 1），求 的值； （2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点 旋转到如图 2 所示位置时，过 B 作 轴于点 F，测得 OF=1，写出此时点 B 的坐标，并求点 的横坐标； （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点 O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点 A、B 的连 线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标． 【思路点拨】（2）过点 A 作 AE⊥ 轴于点 E，证△AEO∽△OFB，得出 AE=2OE，可得 方程点 A 的横坐标。（3）设 A（ ， ）（ ），B（ ， ）（ ），可 证△AEO∽△OFB，再根据相似三角形的性质可知交点 A、B 的连线段总经过一个固定的 点（0，－2）。 y x 2 ( 0)y ax a= < 2 2 a O BF x⊥ A x m− 21 2 m− 0m > n 21 2 n− 0n >