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- 2021-05-13 发布
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综合型问题
一、选择题
1.如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式+ x2+1<0的解集是 ( ▲ )
A．x>1 B．x<－1 C．00)的图象与线段OA、AB分别交于点C、D.若AB=3BD，以点C为圆心，CA的倍的长为半径作圆，则该圆与x轴的位置关系是 (填“相离”、“相切”、“相交”).
【解题思路】根据A (，3）知OB=，AB=3 BD得
BD=AB=1，因此D (，1）代入y= 得k=，因此反比例函
数为y=；设直线OA为y=mx，把A (，3）代入y=mx得
m= ，所以直线OA为y=x，解方程，得或
所以C (1，），过C作CH⊥x轴于H，则OH=1，CH=，则OC=，
OA=，AC=OA﹣OC=﹣2，r==
因为，即d0)是直线y=x上的一个动点，Q是OP的中点，以PQ为斜边按图（15.2）所示构造等腰直角三角形PRQ.
①当△PBR与直线CD有公共点时,求x的取值范围；
②在①的条件下，记△PBR与△
COD的公共部分的面积为S.求S关于x的函数关系式，并求S的最大值。
【解题思路】用待定系数法确定一次函数、二次函数的解析式，从而进一步解决问题。
【答案】解：⑴.设以A(1,5)为顶点的二次函数解析式为
∵的图像经过了点B(5,5)
∴ 解得
∴
即：
⑵.
如图，作点A关于y轴对称点,与y轴交与点D,作点B关于x轴对称点,与x轴交与点C,连接AD,AC,CB,BA.四边形ABCD的周长最小。
∵A(1,5),B(5,1)
∴
∴
⑶.①如图
∵
∴直线AB的解析式为
∴直线与直线的交点
∵，点Q为OP的中点
∴
∵△PBR与直线CD有公共点，
∴，即
②
【点评】本题考查了一次函数、二次函数、三角形、四边形等知识的综合运用。难度较大。
如图，已知一次函数y = - x +7与正比例函数y = x的图象交于点A，且与x轴交于点B
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
（备用图）
【解题思路】第（1）小题联立两函数解析式解方程组即可得到A点坐标，B点为直线与x轴交点，令y=0求出x就能得到坐标；第（2）小题按照P点的运动路线，分为P在OC上与P在CA上（即0≤t＜4、4≤t＜7）两种情况画出相应图形分类讨论，第①问第一种情况利用梯形面积减三个三角形面积列出方程求解，第二种情况直接利用三角形面积列出方程求解，第②要按腰相等分三种情况进行讨论等腰三角形PAQ的存在．
【答案】解：（1）根据题意，得，解得 ，∴A(3，4) .令y=-x+7=0，得x=7．∴B（7，0）.
（2）①当P在OC上运动时，0≤t＜4.
由S△APR=S梯形COBA-S△ACP-S△POR-S△ARB=8，得
(3+7)×4-×3×(4-t)- t(7-t)- t×4=8
整理,得t2-8t+12=0, 解之得t1=2,t2=6（舍）
当P在CA上运动，4≤t＜7.
由S△AP R = ×(7-t)×4=8，得t =3（舍）
∴当t=2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.
②当P在OC上运动时，0≤t＜4.
∴AP=，AQ=(4-t)，PQ=7-t
当AP =AQ时，(4-t)2+32=2(4-t)2,
整理得，t2-8t+7=0. ∴t=1, t=7(舍)
当AP=PQ时，(4-t)2+32=(7-t)2,
整理得，6t =24. ∴t=4(舍去)
当AQ=PQ时，2(4-t)2=(7-t)2
整理得，t2-2t-17=0 ∴t=1±3 (舍)
当P在CA上运动时，4≤t＜7. 过A作AD⊥OB于D，则AD=BD=4.
设直线l交AC于E，则QE⊥AC，AE=RD=t-4，AP=7-t.
由cos∠OAC= = ，得AQ = (t-4)．
当AP=AQ时，7-t = (t-4)，解得t = .
当AQ=PQ时，AE＝PE，即AE= AP
得t-4= (7-t)，解得t =5.
当AP=PQ时，过P作PF⊥AQ于F，AF= AQ = ×(t-4).
在Rt△APF中，由cos∠PAF＝ ＝ ，得AF＝ AP
即 ×(t-4)= ×(7-t)，解得t= .
∴综上所述，t=1或 或5或 时，△APQ是等腰三角形.
【点评】此题属于代数与几何的动态综合型问题，它综合考查了直线与坐标轴交点求法、列方程组求直线与直线交点、用变量t表示线段长度、图形面积与方程、等腰三角形等方面的知识．重点考查学生运用转化思想、方程思想和分类讨论的思想解决实际问题的能力．求解动态型问题的关键是抓住变化中的“不变”，以变化中的几个关键位置为切入点，分类讨论，将“运动”转化为“静止”进行求解．本题入口虽然不难，但学生极易出现分类讨论不
如图，在△ABO中，已知点、、，正比例函数图像是直线，直线AC∥轴交直线与点C。
⑴C点的坐标为 ；
⑵以点O为旋转中心，将△ABO顺时针旋转角（90°＜＜180°），使得点B落在直线上的对应点为，点A的对应点为，得到△
①∠=
②画出△
⑶写出所有满足△DOC∽△AOB的点D的坐标。
【解题思路】（1）由直线AC∥轴交直线与点C，知点C纵坐标为y=3，代入y=-x求出x=-3,点C（-3,3）；（2）由点C和点B的坐标可判断∠BOC=∠=900；（3）由△DOC∽△AOB根据对应关系可求点D的坐标。
【解答】（1）根据题意，点C纵坐标为y=3，代入y=-x求出x=-3,∴点C（-3,3）；（2）①∠=900；②画图略；（3）根据勾股定理得OC=3，OB=,OA=2,∵△DOC∽△AOB,∴OD=6,点D的坐标有两个解，（3，-9）和（9，-3）。
【点评】本题是一道综合试题，解答本题的关键是对函数知识有充分的理解，以及对相似三角形的对应性的正确认识，还要注意分类讨论思想的运用。
在平面直角坐标系XOY中，直线过点且与轴平行，直线过点且与轴平行，直线与直线相交于点P。点E为直线上一点，反比例函数（＞0）的图像过点E与直线相交于点F。
⑴若点E与点P重合，求的值；
⑵连接OE、OF、EF。若＞2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求E点的坐标；
⑶是否存在点E及轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由。
【解答】（1）k=1×2=2.
（2）当k>2时，如图28-1，
点E、F分别在P点的右侧和上方过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于G，则四边形OCGD为矩形。
∵ PF⊥PE.
∴
四边形OCGD为矩形
∴
=2
=
解得k=6或2.因为k=2时,E、F重合,所以k=6.
所以E点的坐标为(3,2)
（3）存在点E及y轴上的点M,使得△MEF与△PEF全等
①当k<2时，如图28-2，
只可能△MEF≌△PEF。作FH⊥y轴于H，△FHM∽△MBE得：.
∵FH=1,EM=PE=1-,FM=PF=2-k
∴,BM=,
在Rt△MBE中，由勾股定理得,
∴,解得k=,此时E点的坐标为（，2）
②当k>2时，如图28-3，
只可能只可能△MEF≌△PEF，作作FQ⊥y轴于Q，
△FQM∽△MBE得：
∵FQ=1,EM=PF=k-2,FM=PE=,
∴,BM=2,
在Rt△MBE中，由勾股定理得,
解得k=或0，但k=0不符合题意，所以k=。
此时E点的坐标为（，2），符合条件的E点坐标为
【点评】本题是一次函数、反比例函数、全等、相似等知识的综合，难度较大，还考查了分类讨论的思想.
（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y＝（x＞0）图象上的任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、B．
（1）判断P是否在线段AB上，并说明理由；
（2）求△AOB的面积；
（3）Q是反比例函数y＝（x＞0）图象上异于点P的另一点，请以Q为圆心，QO为半径画圆与x、y轴分别交于点M、N，连接AN、MB．求证：AN∥MB．
（第26题）
【解题思路】（1）利用圆的性质“90的圆周角所对的弦是直径”进行判断．（2）利用反比例函数的性质和三角形中位线定理进行解决即可．（3）通过面积相等得出等积式，再由等积式得出比例式，从而证明三角形相似，得出对应角相等，最后得出两直线平行．
【答案】（1）点P在线段AB上，理由如下：
∵点O在⊙P上，且∠AOB＝90°，
∴AB是⊙P的直径．
∴点P在线段AB上．
（2）过点P作PP1⊥x轴，PP2⊥y轴．
由题意可知PP1、PP2是△AOB的中位线，
故S△AOB＝OA×OB＝×2 PP1×2PP2．
∵P是反比例函数y＝（x＞0）图象上的任意一点，
∴S△AOB＝OA×OB＝×2 PP1×2PP2＝2 PP1×PP2＝12．
（3）如图，连接MN，则MN过点Q，且S△MON＝S△AOB＝12．
∴OA·OB＝OM·ON．
∴．
∵∠AON＝∠MOB，
∴△AON∽△MOB．
∴∠OAN＝∠OMB．
∴AN∥MB．
【点评】本题属于代数、几何综合运用题，主要考查了反比例函数、三角形中位线、三角形相似、圆的性质等知识．解答此类题应具备综合运用能力，包括知识综合、方法综合以及数学思想的综合运用，能较好地区分出不同数学水平的学生，保证区分结果的稳定性，从而确保试题具有良好的区分度，进而有利于高一级学校选拔新生．对我们学生而言要注意从简单的地方入手，将一些数学语言用自己熟悉的便于理解的即换一种语言表达出来，这些方法对解答综合题有一定的作用．难度较大．
本题满分12分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ＝t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F．
（1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM；
（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值．
（第27题）
【解题思路】（1）根据正方形的性质可以证明三角形全等．（2）利用二次函数图象的性质，求最小值．
【答案】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB
∵QE⊥AB，MF⊥BC
∴∠AEQ＝∠MFB＝90°
∴四边形ABFM、AEQD都是矩形
∴MF＝AB，QE＝AD，MF⊥QE
又∵PQ⊥MN
∴∠EQP＝∠FMN
又∵∠QEP＝∠MFN＝90°
∴△PEQ≌△NFM．
（2）∵点P是边AB的中点，AB＝2，DQ＝AE＝t
∴PA＝1，PE＝1－t，QE＝2
由勾股定理，得PQ＝＝
∵△PEQ≌△NFM
∴MN＝PQ＝
又∵PQ⊥MN
∴S＝＝＝t2－t＋
∵0≤t≤2
∴当t＝1时，S最小值＝2．
综上：S＝t2－t＋，S的最小值为2．
【点评】本题属于代数、几何综合运用题，主要考查了二次函数、三角形全等等知识．解答此类题应具备综合运用能力，包括知识综合、方法综合以及数学思想的综合运用，能较好地区分出不同数学水平的学生，保证区分结果的稳定性，从而确保试题具有良好的区分度，进而有利于高一级学校选拔新生．难度较大．
已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD.
（1）如图①，当PA的长等于 时，∠PAB=60°；
当PA的长度等于 时，△PAD是等腰三角形；
（2）如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标第（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3.设P点坐标为（a，b），
试求2S1S3﹣S22的最大值，并求出此时a、b的值.
【解题思路】(1)①由直径AB可知△ABC是直角三角形，AP=cos60°×AB=2；②把AD作为底时，AD的垂直平分线与半圆的交点就是顶点P的位置，这时P刚好是切点，AP=cos45°×4=2，把AP作为底时，DP与半圆相切，利用等积公式可得AP=；(2)过点 P作AD、AB、BC的垂线，用P点的坐标表示三个三角形的面积，利用射影定理找到a、b之间的关系，求出表示2S1S3﹣S22的函数解析式，用二次函数的性质求出其最大值.
【解答】（1）①2；②2或，
（2）如图，过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，
【点评】本题综合了四边形、圆、二次函数等知识点，要综合考虑，第二小问题中求最大值，就要想到二次函数.
25.如图（1），矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折痕边AD，使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m，0），其中m＞0.
（1）求点E，F的坐标(用含m的式子表示);(5分)
(2)连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值;(4分)
(3)如图(2)，设抛物线y=a(x—m—6)2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接 AM，若∠OAM=90°，求a、h、m的值.(5 分)
【解题思路】对于(1),由折叠可知,AF=10,故BF=6,则CF=4,可结合相似或勾股定理求出EF,CE;对于(2), △OAF是等腰三角形，要分为三种情况讨论,结合勾股定理解决;(3)的难度较大,借用轴对称性和相似,构造方程.
【答案】（1）∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC=10， AB＝DC＝8 ，∠D＝∠DCB＝∠ABC＝90°.
由折叠对称性：AF=AD=10，FE=DE.
在Rt△ABF中，BF=.
∴FC=4 .
设EF=x,则EC=8-x 在Rt△ECF中，42+（8-x）2=x2解得x=5.
∴CE =8-x=3.
∵B (m,0) ∴E (m+10,3) ,F (m+6,0).
(2)分三种情况讨论：
若OF=AF，∵AB⊥OF∴OB=BF=6，∴ m=6.
若AO=OF，则m+6=10 ,解得 m=4.
若AO=OF，在Rt△AOB中，AO2=OB2+AB2=m2+64 ∴(m+6)2=m2+64,解得m=.
综合得m=6或4或.
（3）由（1）知A（m,8）,E (m+10,3).
依题意： 得.
∴M（m+6，-1）.
设对称轴交AD于G，∴G（m+6,8） ∴AG =6 ,GM =8-(-1)=9.
∵∠OAB +∠BAM =90°, ∠BAM +∠MAG =90°,
∴∠OAB =∠M .
又∵∠ABO=∠MGA=90°,
∴△AOB∽△AMG.
∴，即 , ∴m=12.
【点评】本题作为压轴题,主要考查了轴对称,勾股定理,二次函数和相似等重要知识点,也考查了用字母表示数,方程思想以及分类讨论思想等．难度较大．
24. （2011年怀化24，10分）
在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数的图像与AC边交于点E.
（1） 求证：AE×AO=BF×BO；
（2） 若点E的坐标为（2，4），求经过O、E、F三点的抛物线的解析式；
（3） 是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出此时的OF长；若不存在，请说明理由.
【解题思路】(1)本题主要考查的是反比例函数系数k的几何意义,由点E、F都在反比例函数图像上可求解.
(2)给点E的坐标后能够求出反比例函数的表达式，从而求出点F的坐标，得到抛物线的解析式.
(3)由（1）得到CE=1.5CF，在利用轴对称的性质可以得到CF=C′F，CE=C′E，∠EC′F=∠C=90°，过点E作EH⊥OB于点H，构造相似三角形，利用相似三角形的性质得出边BC′的长度，在Rt△BC′F中，结合勾股定理求出BF的长，从而可求出OF的长度.
【答案】
(1)证明：由题意知，点E、F均在反比例函数图像上，且在第一象限，所以AE×AO=k，BF×BO=k，从而AE×AO=BF×BO.
(2)将点E的坐标为（2，4）代入反比例函数得k=8，
所以反比例函数的解析式为.
∵OB=6，∴当x=6时，y=，点F的坐标为（6，）.
设过点O、E、F三点的二次函数表达式为
，将点O（0，0），E（2、4），F（6，）三点的坐标代入表达式得：
解得
∴经过O、E、F三点的抛物线的解析式为：.
(3) 如图11，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边于点C′.过点E作EH⊥OB于点H.
设CE=n，CF=m，则AE=6-n，BF=4-m
由（1）得AE×AO=BF×BO ∴(6-n)×4=(4-m)×6 ,解得n=1.5m.
由折叠可知，CF=C′F=m，CE=C′E=1.5m，∠EC′F=∠C=90°
在Rt△EHC′中，∠EC′H+∠C′EH=90°，
又∵∠EC′H+∠EC′F+FC′B=180°，∠EC′F=90°
∴∠C′EH=FC′B
∵∠EHC′=C′BF=90°
∴△EC′H∽△C′FB，∴
∴，
∵由四边形AEHO为矩形可得EH=AO=4 ∴C′B=.
在Rt△BC′F中，由勾股定理得，C′F2=BF2+C′B2，即m2=(4-m)2+
解得：m=
BF=4-=,
在Rt△BOF中，由勾股定理得，OF2=BF2+OB2，即OF2=62+=.
∴OF=
∴存在这样的点F，OF=,使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上.
【点评】
本题是关于代数与几何的综合性问题，第一问考察了反比例函数的k的几何意义，由于用字母代替了数字增加了一定的难度；第二问是用三点求二次的表达式，系数中有分数增加了计算的难度，学生要细心；第三问综合运用轴对称的性质、相似三角形、勾股定理、等知识求OF的长，难度在于要通过两个等量关系求解，学生在此问有难度，加上计算量加大，易出错，难度较大.
24．孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点，两直角边与该抛物线交于、两点，请解答以下问题：
（1）若测得（如图1），求的值；
（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点旋转到如图2所示位置时，过作轴于点，测得，写出此时点的坐标，并求点的横坐标；
（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点旋转任意角度时惊奇地发现，交点、的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．
图1
图2
【解题思路】（1）直接由抛物线的对称性，结合等腰直角三角形即可求得点B的坐标，进而求解.（2）可过点作轴于点，利用相似三角形，或锐角三角函数，或勾股定理求解.（3）设出直线的解析式，并和二次函数联立方程，利用相似三角形求得.或利用面积求解.
【答案】解：（1）设线段与轴的交点为，由抛物线的对称性可得为中点， ，，，(，) 将(，)代入抛物线得，.（2）解法一：过点作轴于点，点的横坐标为， (1，)，. 又 ，易知，又，△∽△，设点（，）（），则，，，即点的横坐标为.解法二：过点作轴于点，点的横坐标为， (1，)， ，易知，，设点（-，）（），则，，，即点的横坐标为. 解法三：过点作轴于点，点的横坐标为， (1，)，设（-，）（），则，，， ，，解得：，即点的横坐标为. （3）解法一：设（，）（），（，）（），设直线的解析式为：， 则，
得，， 又易知△∽△，，，.由此可知不论为何值，直线恒过点（，）（说明：写出定点的坐标就给2分）解法二：设（，）（），（，）（），直线与轴的交点为，根据，可得
，
化简，得. 又易知△∽△，，， 为固定值.故直线恒过其与轴的交点（,）说明：的值也可以通过以下方法求得.由前可知，，，，由，得：，化简，得.
【点评】本题将一只三角板有机地放入平面直角坐标系中，并与抛物线结合，同时构建动态问题，应该说是一道十分不错的好题，求解时除了要能灵活运用所学知识外，还必须 充分运用数学思想方法.难度较大．
27． （本题满分10分）已知抛物线．
（1）试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）如图15，当抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C．直线与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D．
①抛物线上是否存在点P使得四边形ACPD是正方形，若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
【解题思路】（1）欲说明此抛物线与x轴总有两个不同的交点，只需计算出△的值，并讨论得出无论m为何实数，恒有△＞0即可．（2）①当P点为抛物线与x轴的另一个交点时，四边形ACPD是正方形，故存在点P，使得四边形ACPD是正方形．②因以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．根据平行四边形对边相等可得MN=CD=4．此题应分两种情况讨论：当点M在点N的上方时，设M（x，x-1），则N（x,x-5）；当点M在点N的下方时，设M（x，x-1），则N（x,x+3）；把N点的坐标代入二次函数的解析式，便可得x的值，从而探索出结论．
【答案】解：（1）抛物线的△==（m-2）2+3．
∵无论m为何实数，（m-2）2≥0，
∴（m-2）2+3＞0
∴△＞0
∴无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点．
（2）①抛物线上存在点P使得四边形ACPD是正方形．
∵抛物线的对称轴为直线x=3，
∴m=3．
∴抛物线的解析式为：，顶点C（3，-2）
设抛物线与x轴交于A、E两点
∴A（1，0） E（5，0）
设对称轴x=3与x轴交于点Q，则Q（3，0）
∴AQ=EQ=2
∵对称轴x=3与直线交点于点D
∴D（3，2）
∴DQ=2
∵C（3，-2）
∴CQ=2，
∴AQ=EQ= DQ= CQ=2
∵AE⊥CD
∴四边形ACED为正方形
∴当点P与点E重合时，四边形ACPD是正方形
故抛物线上存在点P，使得四边形ACPD是正方形，P的坐标为（5，0）
②∵以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形
∴MN=CD=4，
设M（x，x-1），则N（x,x+3）或N（x,x-5）．
∵N点在抛物线上
∴或
解得：或x=5或x=3．
因当x=3时，M、N分别与D、C两点重合，故当CD通过平移，使M（，
）N（，），或M（，）N（，）或M（5，4） N（5，8）时，能使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
∴把直线CD向右移动个单位或向左平移个单位，或向右平移2个单位后，以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
【点评】△决定抛物线与x轴的交点个数：△＞0抛物线与x轴有两个交点；△=0抛物线与x轴有一个交点；△＜0抛物线与x轴没有交点．第（1）问便可根据△的值说明无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；第（2）问体现数形结合的思想，研究时要深刻理解函数解析式与图象之间的关系，根据点的意义求出点的坐标，从而说明平移方向，解法上要与平行四边形的性质结合，此题设置背景独特，构思巧妙，在解决第（2）中的②题，应注意分情况讨论．
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