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- 2021-05-13 发布
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2010中考数学压轴题100题精选(61-80题)
【061】如图已知直线L:,它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点。
(1)求点A、点B的坐标。
(2)设F为x轴上一动点,用尺规作图作出⊙P,使⊙P经过点B且与x轴相切于点F(不写作法,保留作图痕迹)。
(3)设92)中所作的⊙P的圆心坐标为P(x,y),求y关于x的函数关系式。
(4)是否存在这样的⊙P,既与x轴相切又与直线L相切于点B,若存在,求出圆心P的坐标,若不存在,请说明理由。
【062】如图13-1至图13-5,⊙O均作无滑动滚动,⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置,⊙O的周长为c.
阅读理解:
图13-1
A
O1
O
O2
B
B
图13-2
A
C
n°
D
O1
O2
B
图13-3
O2
O3
O
A
O1
C
O4
(1)如图13-1,⊙O从⊙O1的位置出发,沿AB滚动到
⊙O2的位置,当AB = c时,⊙O恰好自转1周.
(2)如图13-2,∠ABC相邻的补角是n°,⊙O在
∠ABC外部沿A-B-C滚动,在点B处,必须由
⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置,⊙O绕点B旋
转的角∠O1BO2 = n°,⊙O在点B处自转周.
实践应用:
(1)在阅读理解的(1)中,若AB = 2c,则⊙O自
转 周;若AB = l,则⊙O自转 周.在
阅读理解的(2)中,若∠ABC = 120°,则⊙O
在点B处自转 周;若∠ABC = 60°,则⊙O
在点B处自转 周.
(2)如图13-3,∠ABC=90°,AB=BC=c.⊙O从
⊙O1的位置出发,在∠ABC外部沿A-B-C滚动
到⊙O4的位置,⊙O自转 周.
O
A
B
C
图13-4
D
拓展联想:
(1)如图13-4,△ABC的周长为l,⊙O从与AB相切于点D的位置出发,在△ABC外部,按顺时针方向沿三角形滚动,又回到与AB相切于点D的位置,⊙O自转了多少周?请说明理由.
(2)如图13-5,多边形的周长为l,⊙O从与某边相切于
D
图13-5
O
点D的位置出发,在多边形外部,按顺时针方向沿多
边形滚动,又回到与该边相切于点D的位置,直接写
出⊙O自转的周数.
【063】如图12,已知抛物线交轴于A、B两点,交轴于点C,抛物线的对称轴交轴于点E,点B的坐标为(,0).
(1)求抛物线的对称轴及点A的坐标;
(2)在平面直角坐标系中是否存在点P,与A、B、C三点构成一个平行四边形?若存在,请写出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
O
D
B
C
A
E
图12
(3)连结CA与抛物线的对称轴交于点D,在抛物线上是否存在点M,使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分?若存在,请求出直线CM的解析式;若不存在,请说明理由.
【064】如图,抛物线的顶点为A,与y 轴交于点B.
(1)求点A、点B的坐标.
(2)若点P是x轴上任意一点,求证:.
(3)当最大时,求点P的坐标.
B
O
A
·
x
y
第28题图
【065】如图11,AB是⊙O的直径,弦BC=2cm,∠ABC=60º.
(1)求⊙O的直径;
(2)若D是AB延长线上一点,连结CD,当BD长为多少时,CD与⊙O相切;
(3)若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动,同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动,设运动时间为,连结EF,当为何值时,△BEF为直角三角形.
图10(3)
A
B
C
O
E
F
A
B
C
O
D
图10(1)
A
B
O
E
F
C
图10(2)
【066】如图,反比例函数y=(x>0)的图象与一次函数y=-x+的图象交于A、B两点,点C的坐标为(1,),连接AC,AC∥y轴.
(1)求反比例函数的解析式及点B的坐标;
(2)现有一个直角三角板,让它的直角顶点P在反比例函数图象上A、B之间的部分滑动(不与A、B重合),两直角边始终分别平行于x轴、y轴,且与线段AB交于M、N两点,试判断P点在滑动过程中△PMN是否与△CBA总相似?简要说明判断理由.
【067】如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90º,AB=12cm,AD=8cm,BC=22cm,AB为⊙O的直径,动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动,动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动,P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t(s).
(1)当t为何值时,四边形PQCD为平行四边形?
(2)当t为何值时,PQ与⊙O相切?
A
B
O
C
D
P
Q
【068】如图12,在直角梯形OABC中, OA∥CB,A、B两点的坐标分别为A(15,0),B(10,12),动点P、Q分别从O、B两点出发,点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动,点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动,当点P停止运动时,点Q也同时停止运动.线段OB、PQ相交于点D,过点D作DE∥OA,交AB于点E,射线QE交轴于点F.设动点P、Q运动时间为t(单位:秒).
(1)当t为何值时,四边形PABQ是等腰梯形,请写出推理过程;
(2)当t=2秒时,求梯形OFBC的面积;
(3)当t为何值时,△PQF是等腰三角形?请写出推理过程.
069】如图11,已知二次函数的图象与轴相交于两个不同的点、,与轴的交点为.设的外接圆的圆心为点.
(1)求与轴的另一个交点D的坐标;
(2)如果恰好为的直径,且的面积等于,求和的值.
【070】如图所示,菱形的边长为6厘米,.从初始时刻开始,点、同时从点出发,点以1厘米/秒的速度沿的方向运动,点以2厘米/秒的速度沿的方向运动,当点运动到点时,、两点同时停止运动,设、运动的时间为秒时,与重叠部分的面积为平方厘米(这里规定:点和线段是面积为的三角形),解答下列问题:
(1)点、从出发到相遇所用时间是 秒;
(2)点、从开始运动到停止的过程中,当是等边三角形时的值是 秒;
(3)求与之间的函数关系式.
P
Q
A
B
C
D
(第28题)
【071】已知:抛物线的对称轴为与轴交于两点,与轴交于点其中、
(1)求这条抛物线的函数表达式.
(2)已知在对称轴上存在一点P,使得的周长最小.请求出点P的坐标.
(3)若点是线段上的一个动点(不与点O、点C重合).过点D作交轴于点连接、.设的长为,的面积为.求与之间的函数关系式.试说明是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.
A
C
x
y
B
O
(第24题图)
【072】如图1所示,直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与轴负半轴上.过点B、C作直线.将直线平移,平移后的直线与轴交于点D,与轴交于点E.
(1)将直线向右平移,设平移距离CD为(t0),直角梯形OABC被直线扫过的面积(图中阴影部份)为,关于的函数图象如图2所示, OM为线段,MN为抛物线的一部分,NQ为射线,N点横坐标为4.
①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积;
②当时,求S关于的函数解析式;
(2)在第(1)题的条件下,当直线向左或向右平移时(包括与直线BC重合),在直线AB上是否存在点P,使为等腰直角三角形?若存在,请直接写出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【073】)如图,半径为2的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点.
(1)求证:PA·PB=PC·PD;
(2)设BC的中点为F,连结FP并延长交AD于E,求证:EF⊥AD:
(3)若AB=8,CD=6,求OP的长.
第23题图
【074】如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为,以点为圆心,8为半径的圆与轴交于两点,过作直线与轴负方向相交成60°的角,且交轴于点,以点为圆心的圆与轴相切于点.
(1)求直线的解析式;
O
y
x
C
D
B
A
O1
O2
60°
(第22题)
l
(2)将以每秒1个单位的速度沿轴向左平移,当第一次与外切时,求平移的时间.
【075】如图11,已知抛物线()与轴的一个交点为,与y轴的负半轴交于点C,顶点为D.
(1)直接写出抛物线的对称轴,及抛物线与轴的另一个交点A的坐标;
(2)以AD为直径的圆经过点C.
①求抛物线的解析式;
②点在抛物线的对称轴上,点在抛物线上,且以四点为顶点的四边形为平行四边形,求点的坐标.
O
x
y
A
B
C
D
图11
【076】如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,四边形OBHC为矩形,CH的延长线交抛物线于点D(5,2),连结BC、AD.
(1)求C点的坐标及抛物线的解析式;
(2)将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后 再沿x轴对折得到
△BEF(点C与点E对应),判断点E是否落在抛物线上,并说明理由;
(3)设过点E的直线交AB边于点P,交CD边于点Q. 问是否存在点P,使直线PQ分梯形ABCD的面积为1∶3两部分?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
【077】已知直线与轴轴分别交于点A和点B,点B的坐标为(0,6)
(1)求的值和点A的坐标;
(2)在矩形OACB中,点P是线段BC上的一动点,直线PD⊥AB于点D,与轴交于点E,设BP=,梯形PEAC的面积为。
①求与的函数关系式,并写出的取值范围;
②⊙Q是△OAB的内切圆,求当PE与⊙Q相交的弦长为2.4时点P的坐标。
【078】如图 12,已知直线过点和,是轴正半轴上的动点,的垂直平分线交于点,交轴于点.
(1)直接写出直线的解析式;
(2)设,的面积为,求关于t的函数关系式;并求出当时,的最大值;
(3)直线过点且与轴平行,问在上是否存在点, 使得是以为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求出点C的坐标,并证明;若不存在,请说明理由.
L
A
O
M
P
B
x
y
L1
图12
Q
【079】如图,在平面直角坐标系中,若、的长是关于的一元二次方程的两个根,且
(1)求的值.
(2)若为轴上的点,且求经过、两点的直线的解析式,并判断与是否相似?
(3)若点在平面直角坐标系内,则在直线上是否存在点使以、、、为顶点的四边形为菱形?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
x
y
A
D
B
O
C
28题图
【080】已知:等边三角形的边长为4厘米,长为1厘米的线段在的边上沿方向以1厘米/秒的速度向点运动(运动开始时,点与点重合,点到达点时运动终止),过点分别作边的垂线,与的其它边交于两点,线段运动的时间为秒.
(1)线段在运动的过程中,为何值时,四边形恰为矩形?并求出该矩形的面积;
(2)线段在运动的过程中,四边形的面积为,运动的时间为.求四边形的面积随运动时间变化的函数关系式,并写出自变量的取值范围.
C
P
Q
B
A
M
N
【061】解(1)A(,0),B(0,3) 2分(每对一个给1分)
(2)满分3分.其中过F作出垂线1分,作出BF中垂线1分,找出圆心并画出⊙P给1分. (注:画垂线PF不用尺规作图的不扣分)
(3)过点P作PD⊥轴于D,则PD=,BD=, 6分
y
x
O
A
B
D
P
F
PB=PF=,∵△BDP为直角三形,∴
∴,即
即∴与的函数关系为
(4)存在
解法1:∵⊙P与轴相切于点F,且与直线相切于点B
∴,∵,∴
∵AF= , ∴,∴ 11分
把代入,得
∴点P的坐标为(1,)或(9,15)12分
【062】解:实践应用(1)2;.;.(2).
拓展联想(1)∵△ABC的周长为l,∴⊙O在三边上自转了周.
又∵三角形的外角和是360°,
∴在三个顶点处,⊙O自转了(周).
∴⊙O共自转了(+1)周.
(2)+1.
【063】(1)① 对称轴 (2分)
② 当时,有,解之,得 ,
∴ 点A的坐标为(,0). (4分)
(2)满足条件的点P有3个,分别为(,3),(2,3),(,). (7分)
(3)存在.当时, ∴ 点C的坐标为(0,3)
∵ DE∥轴,AO3,EO2,AE1,CO3
∴ ∽ ∴ 即 ∴ DE1 (9分)
∴ 4
在OE上找点F,使OF,此时2,直线CF把四边形DEOC
分成面积相等的两部分,交抛物线于点M. (10分)
设直线CM的解析式为,它经过点.则 (11分)
解之,得 ∴ 直线CM的解析式为 (12分)
B
O
A
·
x
y
第28题图
P
H
【064】解:(1)抛物线与y轴的交于点B,令x=0得y=2.
∴B(0,2)
∵ ∴A(—2,3)
(2)当点P是 AB的延长线与x轴交点时,
.
当点P在x轴上又异于AB的延长线与x轴的交点时,
在点P、A、B构成的三角形中,.
综合上述:
(3)作直线AB交x轴于点P,由(2)可知:当PA—PB最大时,点P是所求的点 8分
作AH⊥OP于H.∵BO⊥OP,∴△BOP∽△AHP
∴ 由(1)可知:AH=3、OH=2、OB=2,∴OP=4,故P(4,0)
【065】解:(1)∵AB是⊙O的直径(已知)
∴∠ACB=90º(直径所对的圆周角是直角)
∵∠ABC=60º(已知)
∴∠BAC=180º-∠ACB-∠ABC= 30º(三角形的内角和等于180º)
∴AB=2BC=4cm(直角三角形中,30º锐角所对的直角边等于斜边的一半)
即⊙O的直径为4cm.
(2)如图10(1)CD切⊙O于点C,连结OC,则OC=OB=1/2·AB=2cm.
∴CD⊥CO(圆的切线垂直于经过切点的半径)
∴∠OCD=90º(垂直的定义) ∵∠BAC= 30º(已求)
∴∠COD=2∠BAC= 60º ∴∠D=180º-∠COD-∠OCD= 30º∴OD=2OC=4cm ∴BD=OD-OB=4-2=2(cm)
∴当BD长为2cm,CD与⊙O相切.
(3)根据题意得:
BE=(4-2t)cm,BF=tcm;
如图10(2)当EF⊥BC时,△BEF为直角三角形,此时△BEF∽△BAC
∴BE:BA=BF:BC即:(4-2t):4=t:2解得:t=1
如图10(3)当EF⊥BA时,△BEF为直角三角形,此时△BEF∽△BCA
∴BE:BC=BF:BA即:(4-2t):2=t:4解得:t=1.6
∴当t=1s或t=1.6s时,△BEF为直角三角形.
【066】(1)由得,代入反比例函数中,得
∴反比例函数解析式为: 2分
解方程组由化简得:
,所以 5分
(2)无论点在之间怎样滑动,与总能相似.因为两点纵坐标相等,所以轴.
又因为轴,所以为直角三角形.
同时也是直角三角形,
8分
(在理由中只要能说出轴,即可得分.)
【067】(1)解:∵直角梯形
O
A
P
D
B
Q
C
当时,四边形
为平行四边形.
由题意可知:
当时,四边形为平行四边形. 3分
O
A
P
D
B
Q
C
H
E
(2)解:设与相切于点
过点作垂足为
直角梯形
由题意可知:
为的直径,
为的切线
5分
在中,,
即:,,
,因为在边运动的时间为秒
而,(舍去),当秒时,与相切. 8分
【068】解:(1)如图4,过B作
则
过Q作
则
(2分)
要使四边形PABQ是等腰梯形,则,
即
或(此时是平行四边形,不合题意,舍去) (3分)
(2)当时,。
(4分)
(5分)
(6分)
(3)①当时,则
(7分)
②当时,
即 (8分)
③当时, (9分)
综上,当时,△PQF是等腰三角形. (10分)
【069】解 (1)易求得点的坐标为
由题设可知是方程即 的两根,
所以,所 (1分)
如图3,∵⊙P与轴的另一个交点为D,由于AB、CD是⊙P的两条相交弦,设它们的交点为点O,连结DB,∴△AOC∽△DOC,则 (2分)
由题意知点在轴的负半轴上,从而点D在轴的正半轴上,
所以点D的坐标为(0,1) (3分)
(2)因为AB⊥CD, AB又恰好为⊙P的直径,则C、D关于点O对称,
所以点的坐标为,即 (4分)
又,
所以解得 (6分)
【070】解:(1)6.(2)8. (3分)
(3)①当0时,
Q1
A
B
C
D
Q2
P3
Q3
E
P2
P1
O
. (5分)
②当3时,
= (7分)
③当时,设与交于点.
(解法一)
过作则为等边三角形.
.
. (10分)
(解法二)
如右图,过点作于点,,于点
过点作交延长线于点.
P3
O
A
B
C
D
Q3
G
H
F
又
又
(10分)
【071】解:(1)由题意得,解得
∴此抛物线的解析式为 3分
(2)连结、.因为的长度一定,所以周长最小,就是使最小.点关于对称轴的对称点是点,与对称轴的交点即为所求的点.
(第24题图)
O
A
C
x
y
B
E
P
D
设直线的表达式为
则 解得
∴此直线的表达式为……5分
把代入得∴点的坐标为 6分
(3)存在最大值 7分
理由:∵即
∴∴即
∴
方法一:
连结
=
= 8分
∵,∴当时, 9分
方法二:
=
= 8分
∵,∴当时, 9分
【072】解:(1)①,,,S梯形OABC=12
②当时,直角梯形OABC被直线扫过的面积=直角梯形OABC面积-直角三角开DOE面积
(2) 存在 ,
对于第(2)题我们提供如下详细解答(评分无此要求).下面提供参考解法二:
以点D为直角顶点,作轴
设.(图示阴影),在上面二图中分别可得到点的生标为P(-12,4)、P(-4,4)E点在0点与A点之间不可能;
② 以点E为直角顶点
同理在②二图中分别可得点的生标为P(-,4)、P(8,4)E点在0点下方不可能.
以点P为直角顶点
同理在③二图中分别可得点的生标为P(-4,4)(与①情形二重合舍去)、P
(4,4),
E点在A点下方不可能.
综上可得点的生标共5个解,分别为P(-12,4)、P(-4,4)、P(-,4)、
P(8,4)、P(4,4).
下面提供参考解法二:
以直角进行分类进行讨论(分三类):
第一类如上解法⑴中所示图
,直线的中垂线方程:,令得.由已知可得即化简得解得 ;
第二类如上解法②中所示图
,直线的方程:,令得.由已知可得即化简得解之得 ,
第三类如上解法③中所示图
,直线的方程:,令得.由已知可得即解得
(与重合舍去).
综上可得点的生标共5个解,分别为P(-12,4)、P(-4,4)、P(-,4)、
P(8,4)、P(4,4).
事实上,我们可以得到更一般的结论:
如果得出设,则P点的情形如下
直角分类情形
【073】(1)∵∠A、∠C所对的圆弧相同,∴∠A=∠C.
∴Rt△APD∽Rt△CPB,∴,∴PA·PB=PC·PD;………………………3分
(2)∵F为BC的中点,△BPC为Rt△,∴FP=FC,∴∠C=∠CPF.
又∠C=∠A,∠DPE=∠CPF,∴∠A=∠DPE.∵∠A+∠D=90°,
∴∠DPE+∠D=90°.∴EF⊥AD.
(3)作OM⊥AB于M,ON⊥CD于N,同垂径定理:
O
y
x
C
D
B
A
D1
O1
O2
O3
P
60°
(第22题答图)
l
∴OM2=(2)2-42=4,ON2=(2)2-32=11
又易证四边形MONP是矩形,
∴OP=
【074】(1)解:由题意得,
点坐标为.在中,,
点的坐标为.
设直线的解析式为,由过两点,得
解得直线的解析式为:.
(2)如图,设平移秒后到处与第一次外切于点,
与轴相切于点,连接.则
轴,,
在中,. 6分
,,
(秒)平移的时间为5秒. 8分
【075】解:(1)对称轴是直线:,
点A的坐标是(3,0). 2分
(说明:每写对1个给1分,“直线”两字没写不扣分)
(2)如图11,连接AC、AD,过D作于点M,
解法一:利用
∵点A、D、C的坐标分别是A (3,0),D(1,)、C(0,),
∴AO=3,MD=1.由得∴ 3分
又∵∴由 得
∴函数解析式为: 6分
解法二:利用以AD为直径的圆经过点C
∵点A、D的坐标分别是A (3,0) 、D(1,)、C(0,),
∴,,∵
∴…① 又∵…② 4分
由①、②得 ∴函数解析式为: 6分
(3)如图所示,当BAFE为平行四边形时,则∥,并且=.
∵=4,∴=4 ,由于对称为,∴点F的横坐标为5. 7分
y
x
O
A
B
C
D
图11
E
F
将代入得,∴F(5,12).
根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧
抛物线上也存在点F,使得四边形BAEF是
平行四边形,此时点F坐标为(,12).
当四边形BEAF是平行四边形时,
点F即为点D,此时点F的坐标为(1,).
综上所述,点F的坐标为(5,12),
(,12)或(1,).
【076】解:(1)∵四边形OBHC为矩形,∴CD∥AB,
又D(5,2), ∴C(0,2),OC=2 .
∴ 解得
∴抛物线的解析式为: …… 4分
(2)点E落在抛物线上. 理由如下:……… 5分
由y = 0,得. 解得x1=1,x2=4. ∴A(4,0),B(1,0).
∴OA=4,OB=1. 由矩形性质知:CH=OB=1,BH=OC=2,∠BHC=90°,
由旋转、轴对称性质知:EF=1,BF=2,∠EFB=90°,∴点E的坐标为(3,-1).
把x=3代入,得, ∴点E在抛物线上.
(3)法一:存在点P(a,0),延长EF交CD于点G,易求OF=CG=3,PB=a-1.
S梯形BCGF = 5,S梯形ADGF = 3,记S梯形BCQP = S1,S梯形ADQP = S2,
下面分两种情形: ①当S1∶S2 =1∶3时,,
此时点P在点F(3,0)的左侧,则PF = 3-a,由△EPF∽△EQG,得,则QG=9-3a,∴CQ=3-(9-3a) =3a -6,由S1=2,得,解得;
②当S1∶S2=3∶1时,,此时点P在点F(3,0)的右侧,则PF = a-3,由△EPF∽△EQG,得QG = 3a-9,∴CQ = 3 +(3 a-9)= 3 a-6,
由S1= 6,得,解得,综上所述:所求点P的坐标为(,0)或(,0)……… 14分
法二:存在点P(a,0). 记S梯形BCQP = S1,S梯形ADQP = S2,易求S梯形ABCD = 8.
当PQ经过点F(3,0)时,易求S1=5,S2 = 3,此时S1∶S2不符合条件,故a≠3.
设直线PQ的解析式为y = kx+b(k≠0),则,解得,
∴. 由y = 2得x = 3a-6,∴Q(3a-6,2) ……… 10分
∴CQ = 3a-6,BP = a-1,.
下面分两种情形:①当S1∶S2 = 1∶3时,= 2;
∴4a-7 = 2,解得;……………………………………………… 12分
②当S1∶S2 = 3∶1时,; ∴4a-7 = 6,解得;
综上所述:所求点P的坐标为(,0)或(,0)………… 14分
[说明:对于第(3)小题,只要考生能求出或两个答案,就给6分. ]
【077】解:(1)把B(0,6)代入,得=6………………………1分
把=0代入,得=8
∴点A的坐标为(8,0)…………… 3分
(2)在矩形OACB中,AC=OB=6,
BC=OA=8,∠C=90°
∴AB=
∵PD⊥AB∴∠PDB=∠C=90°
,∴∴∴
又∵BC∥AE,∴△PBD∽△EAD
∴,即,∴
∵,∴ ()……………………………7分 (注:写成不扣分)
② ⊙Q是△OAB的内切圆 ,可设⊙Q的半径为r
∵,解得r=2.………………………………………8分
设⊙Q与OB、AB、OA分别切于点F、G、H
可知,OF=2∴BF=BG=OB-OF=6-2=4,设直线PD与⊙Q交于点 I、J ,过Q作QM⊥IJ于点M,连结IQ、QG, ∵QI=2,
∴ ∴ 在矩形GQMD中,GD=QM=1.6
∴BD=BG+GD=4+1.6=5.6,由,得
∴点P的坐标为(7,6)…………………………………………………………………11分
当PE在圆心Q的另一侧时,同理可求点P的坐标为(3,6)………………………12分
综上,P点的坐标为(7,6)或(3,6).………………………………………………13分。
【078】(1) 2分
(2)∵,∴点的横坐标为,
①当,即时,,
∴. 3分
②当时,,
∴.∴ 4分
当,即时,,
∴当时,有最大值. 6分
(3)由,所以是等腰直角三角形,若在上存在点,使得是以为直角顶点的等腰直角三角形,则,所以,又轴,则,两点关于直线对称,所以,得. 7 分
L
A
O
P
B
x
y
L1
23题图-1
Q
C
下证.连,则四边形是正方形.
法一:(i)当点在线段上,在线段上
(与不重合)时,如图–1.
由对称性,得,
∴ ,
∴ . 8分
(ii)当点在线段的延长线上,在线段上时,如图–2,如图–3
∵, ∴. 9分
(iii)当点与点重合时,显然.
综合(i)(ii)(iii),.
y
L
A
O
P
B
x
L1
23题图-3
Q
C
2
1
∴在上存在点,使得是以为直角顶点的等腰直角三角形. 11 分
L
A
O
P
B
x
L1
23题图-2
Q
C
2
1
y
法二:由,所以是等腰直角三角形,若在上存在点,使得是以为直角顶点的等腰直角三角形,则,所以,又轴, 则,两点关于直线对称,所以,得. 7 分
延长与交于点.
(i)如图–4,当点在线段上(与不重合)时,
∵四边形是正方形,
∴四边形和四边形都是矩形,和都是等腰直角三角形.
∴.
L
A
O
P
B
x
y
L1
23题图-1
Q
C
又∵, ∴,
∴,
∴,
又∵,
∴.
∴. 8分
(ii)当点与点重合时,显然. 9分
(iii)在线段的延长线上时,如图–5,
∵,∠1=∠2
∴
综合(i)(ii)(iii),.
∴在上存在点,使得是以为直角顶点的等腰直角三角形. 11分
23题图-4
L
A
O
M
P
B
x
y
L1
Q
C
N
y
L
A
O
P
B
x
L1
23题图-5
Q
C
2
1
法三:由,所以是等腰直角三角形,若在上存在点,使得是以为直角顶点的等腰直角三角形,则,所以,又轴,
则,O两点关于直线对称,所以,得. 9分
连,∵,,,
∴,
.
∴,∴. 10分
∴在上存在点,使得是以为直角顶点的等腰直角三角形. 11分
【079】解:(1)解得
, 1分
在中,由勾股定理有,
(2)∵点在轴上,,,
1分
由已知可知D(6,4),设当时有
解得,同理时, 1分
在中,
在中,,,
(3)满足条件的点有四个, 4分
说明:本卷中所有题目,若由其它方法得出正确结论,可参照本评
C
P
Q
B
A
M
D
N
【080】(1)过点作,垂足为.则,
当运动到被垂直平分时,四边形是矩形,
即时,四边形是矩形,
秒时,四边形是矩形.
C
P
Q
B
A
M
N
,
(2)当时,
C
P
Q
B
A
M
N
当时
C
P
Q
B
A
M
N
当时,
10分