内江市2016年中考数学卷 13页

四川省内江市2016年中考数学试卷（解析版）‎ A卷(共100分)‎ 一、选择题(每小题3分，共36分)‎ ‎1．－2016的倒数是( )‎ A．－2016 B．－ C． D．2016‎ ‎[答案]B ‎[解析]非零整数n的倒数是，故－2016的倒数是=－，故选B．‎ ‎2．2016年“五一”假期期间，某市接待旅游总人数达到了9180 000人次，将9180 000用科学记数法表示应为( )‎ A．918×104 B．9.18×105 C．9.18×106 D．9.18×107‎ ‎[答案]C ‎[解析] 把一个大于10的数表示成a×10n(1≤a＜10，n是正整数)的形式，这种记数的方法叫科学记数法．科学记数法中，a是由原数的各位数字组成且只有一位整数的数，n比原数的整数位数少1．故选C．‎ ‎3．将一副直角三角板如图1放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板一条直角边在同一条直线上，则∠1的度数为( )‎ A．75° B．65° C．45° D．30°‎ ‎[答案]A ‎[解析]方法一：∠1的对顶角所在的三角形中另两个角的度数分别为60°，45°，∴∠1＝180°－(60°＋45°)＝75°．‎ 方法二：∠1可看作是某个三角形的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和计算．‎ 故选A．‎ 图1‎ ‎30°‎ ‎45°‎ ‎1‎ ‎4．下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎[答案]A ‎[解析]选项B中的图形是轴对称图形，选项C中的图形是中心对称图形，选项D中的图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形．只有选项A中的图形符合题意．‎ 故选A．‎ ‎5．下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎[答案]B ‎[解析]‎ 选项A 选项B 选项C 选项D 主视图 三角形 矩形 矩形 梯形 俯视图 圆(含圆心)‎ 矩形 圆 矩形 故选B．‎ ‎6．在函数y＝中，自变量x的取值范围是( )‎ A．x＞3 B．x≥3 C．x＞4 D．x≥3且x≠4‎ ‎[答案]D ‎[解析]欲使根式有意义，则需x－3≥0；欲使分式有意义，则需x－4≠0．‎ ‎∴x的取值范围是解得x≥3且x≠4．故选D．‎ ‎7．某校有25名同学参加某比赛，预赛成绩各不相同，取前13名参加决赛，其中一名同学已经知道自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这25名同学成绩的( )‎ A．最高分 B．中位数 C．方差 D．平均数 ‎[答案]B ‎[解析]这里中位数是预赛成绩排序后第13名同学的成绩，成绩大于中位数则能进入决赛，否则不能．‎ 故选B．‎ ‎8．甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地，已知A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米，甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时，结果两人同时到达C地，求两人的平均速度分别为多少．为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，由题意列出方程，其中正确的是( )‎ A．＝ B．＝ C．＝ D．＝‎ ‎[答案]A ‎[解析]依题意可知甲骑自行车的平均速度为(x＋2)千米/时．因为他们同时到达C地，即甲行驶110千米所需的时间与乙行驶100千米所需时间相等，所以＝．‎ 故选A．‎ ‎9．下列命题中，真命题是( )‎ A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 ‎[答案]C ‎[解析]满足选项A或选项B中的条件时，不能推出四边形是平行四边形，因此它们都是假命题．由选项D中的条件只能推出四边形是菱形，因此也是假例题．只有选项C中的命题是真命题．‎ 故选C．‎ ‎10．如图2，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为( )‎ A．π－4 B．π－1 C．π－2 D．π－2‎ O A C B 图2‎ ‎[答案]C ‎[解析]∵∠O＝2∠A＝2×45°＝90°．‎ ‎∴S阴影＝S扇形OBC－S△OBC＝－×2×2＝π－2．‎ 故选C．‎ ‎11．已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( )‎ A． B． C． D．不能确定 ‎[答案]B ‎[解析]如图，△ABC是等边三角形，AB＝3，点P是三角形内任意一点，过点P分别向三边AB，BC，CA作垂线，垂足依次为D，E，F，过点A作AH⊥BC于H．则 BH＝，AH＝＝．‎ 连接PA，PB，PC，则S△PAB＋S△PBC＋S△PCA＝S△ABC．‎ ‎∴AB·PD＋BC·PE＋CA·PF＝BC·AH．‎ ‎∴PD＋PE＋PF＝AH＝．‎ 故选B．‎ P B A D E F 答案图 C H ‎12．一组正方形按如图3所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3……在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形A2016B2016C2016D2016的边长是( )‎ A．()2015 B．()2016 C．()2016 D．()2015‎ x O y C1‎ D1‎ A1‎ B1‎ E1‎ E2‎ E3‎ E4‎ C2‎ D2‎ A2‎ B2‎ C3‎ D3‎ A3‎ B3‎ 图3‎ ‎[答案] D ‎[解析]易知△B2C2E2∽△C1D1E1，∴＝＝＝30°．‎ ‎∴B2C2＝C1D1·30°＝．∴C2D2＝．‎ 同理，B3C3＝C2D2·30°＝()2；‎ 由此猜想BnCn＝()n－1．‎ 当n＝2016时，B2016C2016＝()2015．‎ 故选D．‎ 二、填空题(每小题5分，共20分)‎ ‎13．分解因式：ax2－ay2＝______．‎ ‎[答案]a(x－y)(x＋y)．‎ ‎[解析]先提取公因式a，再用平方差公式分解．‎ 原式＝a(x2－y2)＝a(x－y)(x＋y)．‎ 故选答案为：a(x－y)(x＋y)．‎ ‎14．化简：(＋)÷＝______．‎ ‎[答案]a．‎ ‎[解析]先算小括号，再算除法．‎ 原式＝(－)÷＝÷＝(a＋3)·＝a．‎ 故答案为：a．‎ ‎15．如图4，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE＝______．‎ D O C E B A 图4‎ ‎[答案]‎ ‎[解析]∵菱形的对角线互相垂直平分，‎ ‎∴OB＝3，OC＝4，∠BOC＝90°．‎ ‎∴BC＝＝5．‎ ‎∵S△OBC＝OB·OC，又S△OBC＝BC·OE，‎ ‎∴OB·OC＝BC·OE，即3×4＝5OE．‎ ‎∴OE＝．‎ 故答案为：．‎ ‎16．将一些半径相同的小圆按如图5所示的规律摆放，请仔细观察，第n个图形有______个小圆．(用含n的代数式表示)‎ 第1个图 第2个图 第3个图 第4个图 图5‎ ‎[答案] n2＋n＋4‎ ‎[解析]每个图由外围的4个小圆和中间的“矩形”组成，矩形的面积等于长成宽．由此可知 第1个图中小圆的个数＝1×2＋4，‎ 第2个图中小圆的个数＝2×3＋4，‎ 第3个图中小圆的个数＝3×4＋4，‎ ‎……‎ 第n个图中小圆的个数＝n(n＋1)＋4＝n2＋n＋4．‎ 故答案为：n2＋n＋4．‎ 三、解答题(本大题共5小题，共44分)‎ ‎17．(7分)计算：|－3|＋·30°－－(2016－π)0＋()－1．‎ 解：原式＝3＋×－2－1＋2 5分 ‎＝3＋1－2－1＋2 6分 ‎＝3． 7分 ‎18．(9分)如图6所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．‎ ‎(1)求证：D是BC的中点；‎ ‎(2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．‎ D C E F B A 图6‎ ‎(1)证明：∵点E是AD的中点，∴AE＝DE．‎ ‎∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE．‎ ‎∴△EAF≌△EDC． 3分 ‎∴AF＝DC．‎ ‎∵AF＝BD，‎ ‎∴BD＝DC，即D是BC的中点． 5分 ‎(2)四边形AFBD是矩形．证明如下：‎ ‎∵AF∥BD，AF＝BD，‎ ‎∴四边形AFBD是平行四边形． 7分 ‎∵AB＝AC，又由(1)可知D是BC的中点，‎ ‎∴AD⊥BC．‎ ‎∴□AFBD是矩形． 9分 ‎19．(9分)某学校为了增强学生体质，决定开放以下体育课外活动项目：A．篮球、B．乒乓球、C．跳绳、D．踢毽子．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图(如图7(1)，图7(2))，请回答下列问题：‎ ‎(1)这次被调查的学生共有_______人；‎ ‎(2)请你将条形统计图补充完整；‎ ‎(3)在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答)．‎ ‎30°‎ D C B A 图7(1)‎ 项目 人数/人 ‎100‎ ‎80‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎0‎ ‎60‎ D A C B ‎20‎ ‎40‎ ‎80‎ 图7(2)‎ 解：(1)由扇形统计图可知：扇形A的圆心角是36°，‎ 所以喜欢A项目的人数占被调查人数的百分比＝×100%＝10%． 1分 由条形图可知：喜欢A类项目的人数有20人，‎ 所以被调查的学生共有20÷10%＝200(人)． 2分 ‎(2)喜欢C项目的人数＝200－(20＋80＋40)＝60(人)， 3分 因此在条形图中补画高度为60的长方条，如图所示．‎ 项目 人数/人 ‎100‎ ‎80‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎0‎ ‎60‎ D A C B ‎20‎ ‎40‎ ‎80‎ ‎60‎ 答案图 ‎ 4分 ‎(3)画树状图如下：‎ 甲 乙 丙 丁 乙 甲 丙 丁 丙 甲 乙 丁 丁 甲 乙 丙 或者列表如下：‎ 甲 乙 丙 丁 甲 甲乙 甲丙 甲丁 乙 乙甲 乙丙 乙丁 丙 丙甲 丙乙 丙丁 丁 丁甲 丁乙 丁丙 分 7‎ 从树状图或表格中可知，从四名同学中任选两名共有12种结果，每种结果出现的可能性相等，其中选中甲乙两位同学(记为事件A)有2种结果，所以 P(A)＝＝． 9分 ‎20．(9分)如图8，禁渔期间，我渔政船在A处发现正北方向B处有一艘可疑船只，测得A，B两处距离为200海里，可疑船只正沿南偏东45°方向航行．我渔政船迅速沿北偏东30°方向前去拦截，经历4小时刚好在C处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的平均速度(结果保留根号)．‎ 北 C A B ‎30°‎ ‎45°‎ 图8‎ 北 C A B ‎30°‎ ‎45°‎ 答案图 H 解：如图，过点C作CH⊥AB于H，则△BCH是等腰直角三角形．设CH＝x，‎ 则BH＝x，AH＝CH÷30°＝x． 2分 ‎∵AB＝200，∴x＋x＝200．‎ ‎∴x＝＝100(－1)． 4分 ‎∴BC＝x＝100(－)． 6分 ‎∵两船行驶4小时相遇，‎ ‎∴可疑船只航行的平均速度＝100(－)÷4＝45(－)． 8分 答：可疑船只航行的平均速度是每小时45(－)海里． 9分 ‎21．(10分)如图9，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F．⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．‎ ‎(1)试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎(2)当AB＝BE＝1时，求⊙O的面积；‎ ‎(3)在(2)的条件下，求HG·HB的值．‎ D G H O C E F B A 图9‎ D G H O C E F B A 答案图 ‎(1)直线BD与⊙O相切．理由如下：‎ 如图，连接OB，∵BD是△ABC斜边上的中线，∴DB＝DC．‎ ‎∴∠DBC＝∠C．‎ ‎∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB＝∠CED．‎ ‎∵∠C＋∠CED＝90°，‎ ‎∴∠DBC＋∠OBE＝90°．‎ ‎∴BD与⊙O相切； 3分 ‎(2)连接AE．∵AB＝BE＝1，∴AE＝．‎ ‎∵DF垂直平分AC，∴CE＝AE＝．∴BC＝1＋． 4分 ‎∵∠C＋∠CAB＝90°，∠DFA＋∠CAB＝90°，‎ ‎∴∠CAB＝∠DFA．‎ 又∠CBA＝∠FBE＝90°，AB＝BE，‎ ‎∴△CAB≌△FEB．∴BF＝BC＝1＋． 5分 ‎∴EF2＝BE2＋BF2＝12＋(1＋)2＝4＋2． 6分 ‎∴S⊙O＝π·EF2＝π． 7分 ‎(3)∵AB＝BE，∠ABE＝90°，∴∠AEB＝45°．‎ ‎∵EA＝EC，∴∠C＝22.5°． 8分 ‎∴∠H＝∠BEG＝∠CED＝90°－22.5°＝67.5°．‎ ‎∵BH平分∠CBF，∴∠EBG＝∠HBF＝45°．‎ ‎∴∠BGE＝∠BFH＝67.5°．‎ ‎∴BG＝BE＝1，BH＝BF＝1＋． 9分 ‎∴GH＝BH－BG＝．‎ ‎∴HB·HG＝×(1＋)＝2＋． 10分 B卷 一、填空题(每小题6分，共24分)‎ ‎22．任取不等式组的一个整数解，则能使关于x的方程：2x＋k＝－1的解为非负数的概率为______．‎ ‎[答案]‎ ‎[解析]不等式组的解集为－＜k≤3，其整数解为k＝－2，－1，0，1，2，3．‎ 其中，当k＝－2，－1时，方程2x＋k＝－1的解为非负数．‎ 所以所求概率P＝＝．‎ 故答案为：．‎ ‎23．如图10，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，则△OAB的面积等于______．‎ ‎[答案]‎ ‎[解析]设点A的坐标为(a，)．‎ ‎∵AB∥x轴，∴点B的纵坐标为．‎ 将y＝代入y＝，求得x＝．‎ ‎∴AB＝－a＝．‎ ‎∴S△OAB＝··＝．‎ 故答案为：．‎ x y O 图10‎ B A y＝‎ y＝‎ x y O ‎－1‎ ‎1‎ 图11‎ x y O C B A E D 图12‎ ‎24．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图11所示，且P＝|2a＋b|＋|3b－2c|，Q＝|2a－b|－|3b＋2c|，则P，Q的大小关系是______．‎ ‎[答案]P＞Q ‎[解析]∵抛物线的开口向下，∴a＜0．∵－＝1，∴b＞0且a＝－．‎ ‎∴|2a＋b|＝0，|2a－b|＝b－2a．‎ ‎∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0．∴|3b＋2c|＝3b＋2c．‎ 由图象可知当x＝－1时，y＜0，即a－b＋c＜0．‎ ‎∴－－b＋c＜0，即3b－2c＞0．∴|3b－2c|＝3b－2c．‎ ‎∴P＝0＋3b－2c＝3b－2c＞0，‎ Q＝b－2a－(3b＋2c)＝－(b＋2c)＜0．‎ ‎∴P＞Q．‎ 故答案为：P＞Q．‎ ‎25．如图12所示，已知点C(1，0)，直线y＝－x＋7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是______．‎ ‎[答案]10‎ ‎[解析]作点C关于y轴的对称点C1(－1，0)，点C关于x轴的对称点C2，连接C1C2交OA于点E，交AB于点D，则此时△CDE的周长最小，且最小值等于C1C2的长．‎ ‎∵OA＝OB＝7，∴CB＝6，∠ABC＝45°．‎ ‎∵AB垂直平分CC2，‎ ‎∴∠CBC2＝90°，C2的坐标为(7，6)．‎ 在△C1BC2中，C1C2＝＝＝10．‎ 即△CDE周长的最小值是10．‎ x y O 答案图 C B A E D C1‎ C2‎ 故答案为：10．‎ 二、解答题(每小题12分，共36分)‎ ‎26．(12分)问题引入：‎ ‎(1)如图13①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC ‎＝______(用α表示)；如图13②，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝______(用α表示)．‎ ‎(2)如图13③，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______(用α表示)，并说明理由．‎ 类比研究：‎ ‎(3)BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______．‎ O C B A 图13②‎ A B C O 图13①‎ O C B A E D 图13③‎ 解：(1)第一个空填：90°＋； 2分 第一个空填：90°＋． 4分 第一空的过程如下：∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－(180°－∠A)＝90°＋．‎ 第二空的过程如下：∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－(180°－∠A)＝120°＋．‎ ‎(2)答案：120°－．过程如下：‎ ‎∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－(∠DBC＋∠ECB)＝180°－(180°＋∠A)＝120°－． 8分 ‎(3)答案：120°－．过程如下：‎ ‎∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－(∠DBC＋∠ECB)＝180°－(180°＋∠A)＝·180°－． 12分 ‎27．‎ ‎(12分)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图14所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．‎ ‎(1)若苗圃园的面积为72平方米，求x；‎ ‎(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；‎ ‎(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．‎ ‎18m 苗圃园 图14‎ 解：(1)苗圃园与墙平行的一边长为(30－2x)米．依题意可列方程 x(30－2x)＝72，即x2－15x＋36＝0． 2分 解得x1＝3，x2＝12． 4分 ‎(2)依题意，得8≤30－2x≤18．解得6≤x≤11．‎ 面积S＝x(30－2x)＝－2(x－)2＋(6≤x≤11)．‎ ‎①当x＝时，S有最大值，S最大＝； 6分 ‎②当x＝11时，S有最小值，S最小＝11×(30－22)＝88． 8分 ‎(3)令x(30－2x)＝100，得x2－15x＋50＝0．‎ 解得x1＝5，x2＝10． 10分 ‎∴x的取值范围是5≤x≤10． 12分 ‎28．(12分)如图15，已知抛物线C：y＝x2－3x＋m，直线l：y＝kx(k＞0)，当k＝1时，抛物线C与直线l只有一个公共点．‎ ‎(1)求m的值；‎ ‎(2)若直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，直线l与直线l1：y＝－3x＋b交于点P，且＋＝，求b的值；‎ ‎(3)在(2)的条件下，设直线l1与y轴交于点Q，问：是否存在实数k使S△APQ＝S△BPQ，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．‎ x y O l1‎ Q P B A l 图15‎ x y O l1‎ Q P B A l 答案图 C E D 解：(1)∵当k＝1时，抛物线C与直线l只有一个公共点，‎ ‎∴方程组有且只有一组解． 2分 消去y，得x2－4x＋m＝0，所以此一元二次方程有两个相等的实数根．‎ ‎∴△＝0，即(－4)2－4m＝0．‎ ‎∴m＝4． 4分 ‎(2)如图，分别过点A，P，B作y轴的垂线，垂足依次为C，D，E，‎ 则△OAC∽△OPD，∴＝．‎ 同理，＝．‎ ‎∵＋＝，∴＋＝2．‎ ‎∴＋＝2．‎ ‎∴＋＝，即＝． 5分 解方程组得x＝，即PD＝． 6分 由方程组消去y，得x2－(k＋3)x＋4＝0．‎ ‎∵AC，BE是以上一元二次方程的两根，‎ ‎∴AC＋BE＝k＋3，AC·BE＝4． 7分 ‎∴＝．‎ 解得b＝8． 8分 ‎(3)不存在．理由如下： 9分 假设存在，则当S△APQ＝S△BPQ时有AP＝PB，‎ 于是PD－AC＝PE－PD，即AC＋BE＝2PD．‎ 由(2)可知AC＋BE＝k＋3，PD＝，‎ ‎∴k＋3＝2×，即(k＋3)2＝16．‎ 解得k＝1(舍去k＝－7)． 11分 当k＝1时，A，B两点重合，△QAB不存在．‎ ‎∴不存在实数k使S△APQ＝S△BPQ． 12分