版中考总复习数学人教版湖南专用基础讲练锁定考试目标导学必备知识探究重难方法 整式及因式分解含解析 5页

第2讲　整式及因式分解 考标要求 考查角度 ‎1.明确字母表示数的真实内涵及其规范的书写格式，能用代数式探索有关的规律．‎ ‎2．会用语言文字叙述代数式的意义，同时掌握求代数式的值的方法．‎ ‎3．理解同类项的概念，掌握合并同类项的法则和去括号的法则以及乘法公式，能准确地进行整式的加、减、乘、除、乘方等混合运算．‎ ‎4．能对多项式进行因式分解.‎ ‎　　整式作为初中数学的基础内容之一，在中考试题中多以填空题和选择题的形式命题，重点考查其基本概念及运算法则，同时也会设计一些新颖的探索与数、式有关的规律性问题.‎ 知识梳理 一、整式的有关概念 ‎1．整式 整式是单项式与__________的统称．‎ ‎2．单项式 单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的________因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母指数的____叫做单项式的次数．‎ ‎3．多项式 几个单项式的______叫做多项式；多项式中，每一个________叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中__________项的次数就是这个多项式的次数．‎ 二、整数指数幂的运算 正整数指数幂的运算法则：am·an＝______，(am)n＝______，(ab)n＝anbn，＝am－n(m，n是正整数)．‎ 三、同类项与合并同类项 ‎1．同类项 所含字母相同，并且相同字母的______也分别相同的项叫做同类项．‎ ‎2．合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项叫做____________，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的______，字母和字母的指数不变．‎ 四、求代数式的值 ‎1．代数式的值 一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算关系计算出的结果就叫做代数式的值．‎ ‎2．求代数式的值的基本步骤 ‎(1)代入：一般情况下，先对代数式进行化简，再将数值代入；(2)计算：按代数式指明的运算关系计算出结果．‎ 五、整式的运算 ‎1．整式的加减 ‎(1)整式的加减实质就是合并同类项；‎ ‎(2)整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要______．‎ ‎2．整式的乘除 ‎(1)整式的乘法．‎ ‎①单项式与单项式相乘：把______、__________分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．‎ ‎②单项式与多项式相乘：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc．‎ ‎③多项式与多项式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nB．‎ ‎(2)整式的除法．‎ ‎①单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的______作为商的一个因式．‎ ‎②多项式除以单项式：(a＋b)÷m＝a÷m＋b÷m.‎ ‎3．乘法公式 ‎(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2；‎ ‎(2)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.‎ 六、因式分解 ‎1．因式分解的概念 把一个多项式化成几个整式的____的形式，叫做多项式的因式分解．‎ ‎2．因式分解的方法 ‎(1)提公因式法．‎ 公因式的确定：第一，确定系数(取各项整数系数的最大公约数)；第二，确定字母或因式底数(取各项的相同字母)；第三，确定字母或因式的指数(取各相同字母的最低次幂)．‎ ‎(2)运用公式法．‎ ‎①运用平方差公式：a2－b2＝__________.‎ ‎②运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝________.‎ ‎3．因式分解的一般步骤 一提(提取公因式法)；二套(套公式法)．一直分解到不能分解为止．‎ 自主测试 ‎1．(2019福建福州)下列计算正确的是(　　)‎ A．a＋a＝‎2a B．b3·b3＝2b‎3 ‎ C．a3÷a＝a3 D．(a5)2＝a7‎ ‎2．下列各式中，与x2y是同类项的是(　　)‎ A．xy2 B．2xy C．－x2y D．3x2y2‎ ‎3．(2019四川绵阳)图(1)是一个长为‎2m，宽为2n(m＞n)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图(2)那样拼成一个正方形，则中间空白部分的面积是(　　)‎ A．2mn B．(m＋n)‎2 ‎ C．(m－n)2 D．m2－n2‎ ‎4．(2019四川宜宾)分解因式：‎3m2‎－6mn＋3n2＝__________.‎ ‎5．单项式－m2n的系数是______，次数是______．‎ 考点一、整数指数幂的运算 ‎【例1】 (2019湖南郴州)下列计算正确的是(　　)‎ A．a2·a3＝a6 B．a＋a＝a‎2 ‎ C．(a2)3＝a6 D．a8÷a2＝a4‎ 解析：A项是同底数幂的乘法，a2·a3＝a2＋3＝a5，故A项错误；B项是整式的加减运算，a＋a＝‎2a，故B项错误；C项是幂的乘方，(a2)3＝a2×3＝a6，故C项正确；D项是同底数幂的除法，a8÷a2＝a8－2＝a6，故D项错误．‎ 答案：C 方法总结 幂的运算问题除了注意底数不变外，还要弄清幂与幂之间的运算是乘、除还是乘方，以便确定结果的指数是相加、相减还是相乘．[来源:学#科#网]‎ 触类旁通1下列运算中，正确的是(　　)‎ A．x3·x2＝x5 B．x＋x2＝x‎3 ‎ C．2x3÷x2＝x D．3＝ 考点二、同类项与合并同类项 ‎【例2】 单项式－xa＋bya－1与3x2y是同类项，则a－b的值为(　　)‎ A．2 B．‎0 C．－2 D．1‎ 解析：本题主要考查了同类项的概念及方程组的解法，由－xa＋bya－1与3x2y是同类项，得解得 所以a－b＝2－0＝2.‎ 答案：A 方法总结 1.同类项必须具备以下两个条件：(1)所含字母相同；(2)相同字母的指数分别相同．二者必须同时具备，缺一不可；‎ ‎2．同类项与项的系数无关，与项中字母的排列顺序无关，如xy2与－y2x也是同类项．‎ ‎3．根据同类项概念，相同字母的指数相同，列方程(组)是解此类题的一般方法．‎ 触类旁通2如果3x2n－1ym与－5xmy3是同类项，则m和n的取值是(　　)‎ A．3和－2 B．－3和‎2 C．3和2 D．－3和－2‎ 考点三、整式的运算 ‎【例3】 先化简，再求值：(a＋b)(a－b)＋(a＋b)2－‎2a2，其中a＝3，b＝－.‎ 解：(a＋b)(a－b)＋(a＋b)2－‎2a2＝a2－b2＋a2＋2ab＋b2－‎2a2＝2ab，当a＝3，b＝－时，2ab＝2×3×＝－2.‎ 方法总结 整式的乘法法则和除法法则是整式运算的依据，必须在理解的基础上加强记忆，并在运算时灵活运用法则进行计算．使用乘法公式时，要认清公式中a，b所表示的两个数及公式的结构特征，注意套用公式．‎ 触类旁通3 已知2x－1＝3，求代数式(x－3)2＋2x(3＋x)－7的值．‎ 考点四、因式分解 ‎【例4】 (2019湖南常德)分解因式：m2－n2＝__________.‎ 答案：(m＋n)(m－n)‎ 方法总结 (1)因式分解时有公因式的要先提取公因式，再考虑是否应用公式法或其他方法继续分解．‎ ‎(2)提取公因式时，若括号内合并的项有公因式，应再次提取；注意符号的变换y－x＝－(x－y)，(y－x)2＝(x－y)2.‎ ‎(3)应用公式法因式分解时，要牢记平方差公式和完全平方公式及其特点．‎ ‎(4)因式分解要分解到每一个多项式不能分解为止．‎ ‎1．(2019湖南常德)下列运算中，结果正确的是(　　)‎ A．a3·a4＝a12 B．a10÷a2＝a‎5 ‎ C．a2＋a3＝a5 D．‎4a－a＝‎‎3a ‎2．(2019湖南益阳)下列计算正确的是(　　)‎ A．‎2a＋3b＝5ab B．(x＋2)2＝x2＋‎4 ‎C．(ab3)2＝ab6 D．(－1)0＝1‎ ‎3．(2019湖南湘潭)因式分解：m2－mn＝__________.‎ ‎4．(2019湖南益阳)写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式：__________.‎ ‎5．(2019湖南怀化)当x＝1，y＝时，3x(2x＋y)－2x(x－y)＝__________.‎ ‎6．(2019湖南株洲)一组数据为：x，－2x2,4x3，－8x4，…观察其规律，推断第n个数据应为__________．‎ ‎1．将代数式x2＋4x－1化成(x＋p)2＋q的形式为(　　)‎ A．(x－2)2＋3 B．(x＋2)2－‎4 ‎ C．(x＋2)2－5 D．(x＋2)2＋4‎ ‎2．如图所示，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式(　　)‎ A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2‎ C．a2－b2＝(a＋b)(a－b) D．(a±b)2＝a2±2ab＋b2‎ ‎3．多项式__________与m2＋m－2的和是m2－‎2m.‎ ‎4．若3xm＋5y2与x3yn的和是单项式，则nm＝__________.[来源:学§科§网Z§X§X§K]‎ ‎5．若m－n＝2，m＋n＝5，则m2－n2的值为__________．‎ ‎6．若2x＝3,4y＝5，则2x－2y的值为__________．[来源:]‎ ‎7．给出3个整式：x2,2x＋1，x2－2x.‎ ‎(1)从上面3个整式中，选择你喜欢的两个整式进行加法运算，若结果能因式分解，‎ 请将其因式分解；‎ ‎(2)从上面3个整式中，任意选择两个整式进行加法运算，其结果能因式分解的概率是多少？‎ 参考答案 ‎【知识梳理】‎ 一、1.多项式　2.数字　和 3．和　单项式　次数最高 二、am＋n　amn 三、1.指数　2.合并同类项　系数 五、1.(2)变号 ‎2．(1)①系数　同底数幂　(2)①指数 六、1.积 ‎2．(2)①(a＋b)(a－b)　②(a±b)2‎ 导学必备知识 自主测试 ‎1．A　a＋a＝‎2a，A项正确；b3·b3＝b6，B项错误；a3÷a＝a2，C项错误；(a5)2＝a10，D项错误．‎ ‎2．C　只有C选项中相同字母的指数与x2y分别相同．‎ ‎3．C　因为长方形的长为‎2m，宽为2n(m＞n)，则小长方形的长为m，宽为n，小正方形的边长为(m－n)，所以面积是(m－n)2.‎ ‎4．3(m－n)2　原式＝3(m2－2mn＋n2)＝3(m－n)2.‎ ‎5．－　3‎ 探究考点方法 触类旁通1.A　A项是同底数幂相乘，x3·x2＝x3＋2＝x5，B项中的两项不是同类项，不能合并，C项是单项式相除，2x3÷x2＝(2÷1)x3－2＝2x，D项3＝＝.‎ 触类旁通2.C　此题考查同类项概念和二元一次方程组的解法，由题意得解得 触类旁通3.分析：本题需先把2x－1＝3进行整理，得出x的值，把代数式进行化简，再把x的值代入即可求出结果．‎ 解：由2x－1＝3得x＝2，又(x－3)2＋2x(3＋x)－7＝x2－6x＋9＋6x＋2x2－7＝3x2＋2，∴当x＝2时，原式＝14.‎ 品鉴经典考题 ‎1．D　a3·a4＝a7，所以A项不正确；a10÷a2＝a8，所以B项不正确；a2与a3不是同类项，不能合并，所以C项不正确；‎4a－a＝‎3a，D项正确．[来源:学&科&网Z&X&X&K]‎ ‎2．D　‎2a与3b不能合并，A项不正确；(x＋2)2＝x2＋4x＋4，B项不正确；(ab3)2＝a2b6，C项不正确；由任何一个不等于零的数的零次幂等于1，知D项正确．‎ ‎3．m(m－n)　m2－mn＝m(m－n)．‎ ‎4．答案不唯一，如x2－1.‎ ‎5．5　3x(2x＋y)－2x(x－y)＝6x2＋3xy－2x2＋2xy＝4x2＋5xy.‎ 当x＝1，y＝时，‎ 原式＝4×12＋5×1×＝4＋1＝5.[来源:]‎ ‎6．(－2)n－1xn　x的系数为1＝(－2)1－1，次数为1；－2x2的系数为－2＝(－2)2－1，次数为2；4x3的系数为4＝(－2)3－1，次数为3；－8x4的系数为－8＝(－2)4－1，次数为4；…‎ ‎.所以第n个数据的系数为(－2)n－1，次数为n，即(－2)n－1xn.‎ 研习预测试题 ‎1．C　x2＋4x－1＝(x2＋4x＋4)－4－1＝(x＋2)2－5.‎ ‎2．C　因为第一个图是一个大的正方形挖去了一个小的正方形，其面积表达式为a2－b2.第二个图是一个梯形，下底为‎2a，上底为2b，高为(a－b)，其面积为(‎2a＋2b)(a－b)＝(a＋b)(a－b)，‎ 所以两个图验证了公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．‎ ‎3．2－‎3m　由题意得此多项式为(m2－‎2m)－(m2＋m－2)＝m2－‎2m－m2－m＋2＝2－‎3m.‎ ‎4.　由题意得m＋5＝3，n＝2，所以m＝－2，所以nm＝2－2＝＝.‎ ‎5．‎10　m2－n2＝(m＋n)(m－n)＝5×2＝10.‎ ‎6.　2x－2y＝2x÷22y＝2x÷4y＝3÷5＝.‎ ‎7．解：(1)x2＋(2x＋1)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2或x2＋(x2－2x)＝2x2－2x＝2x(x－1)或(2x＋1)＋(x2－2x)＝2x＋1＋x2－2x＝x2＋1.‎ ‎(2)由(1)可知，概率为.‎