三年中考20102012全国各地中考数学试题分类汇编 矩形菱形与正方形 194页

2012年全国各地中考数学真题分类汇编 第26章 矩形、菱形与正方形 一.选择题 1．（2012•烟台）一个由小菱形组成的装饰链，断去了一部分，剩下部分如图所示，则断去部分的小菱形 的个数可能是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 考点：规律型：图形的变化类。 专题：规律型。 分析：答案中断去的菱形个数均为较小的正整数，由所示的图形规律画出完整的装饰链，可得断去部分的 小菱形的个数． 解答： 解： 如图所示，断去部分的小菱形的个数为 5， 故选 C． 点评：考查图形的变化规律；按照图形的变化规律得到完整的装饰链是解决本题的关键． 2．（2012•烟台）如图，⊙O1，⊙O，⊙O2 的半径均为 2cm，⊙O3，⊙O4 的半径均为 1cm，⊙O 与其他 4 个圆 均相外切，图形既关于 O1O2 所在直线对称，又关于 O3O4 所在直线对称，则四边形 O1O4O2O3 的面积为（ ） A．12cm2 B．24cm2 C．36cm2 D．48cm2 考点：相切两圆的性质；菱形的判定与性质。 专题：探究型。 分析：连接 O1O2，O3O4，由于图形既关于 O1O2 所在直线对称，又因为关于 O3O4 所在直线对称，故 O1O2⊥O3O4， O、O1、O2 共线，O、O3、O4 共线，所以四边形 O1O4O2O3 的面积为 O1O2×O3O4． 解答：解：连接 O1O2，O3O4， ∵图形既关于 O1O2 所在直线对称，又关于 O3O4 所在直线对称， ∴O1O2⊥O3O4，O、O1、O2 共线，O、O3、O4 共线， ∵⊙O1，⊙O，⊙O2 的半径均为 2cm，⊙O3，⊙O4 的半径均为 1cm ∴⊙O 的直径为 4，⊙O3，的直径为 2， ∴O1O2=2×8=8，O3O4=4+2=6， ∴S 四边形 O1O4O2O3= O1O2×O3O4= ×8×6=24cm2． 故选 B． 点评：本题考查的是相切两圆的性质，根据题意得出 O1O2⊥O3O4，O、O1、O2 共线，O、O3、O4 共线是解答此题 的关键． 3．（2012•烟台）如图，矩形 ABCD 中，P 为 CD 中点，点 Q 为 AB 上的动点（不与 A，B 重合）．过 Q 作 QM⊥PA 于 M，QN⊥PB 于 N．设 AQ 的长度为 x，QM 与 QN 的长度和为 y．则能表示 y 与 x 之间的函数关系的图象大 致是（ ） A． B． C． D． 考点：动点问题的函数图象。 分析：根据三角形面积得出 S△PAB= PE×AB；S△PAB=S△PAQ+S△PQB= ×QN•PB+ ×PA×MQ，进而得出 y= ， 即可得出答案． 解答：解：连接 PQ，作 PE⊥AB 垂足为 E， ∵过 Q 作 QM⊥PA 于 M，QN⊥PB 于 N ∴S△PAB= PE×AB； S△PAB=S△PAQ+S△PQB= ×QN•PB+ ×PA×MQ， ∵矩形 ABCD 中，P 为 CD 中点， ∴PA=PB， ∵QM 与 QN 的长度和为 y， ∴S△PAB=S△PAQ+S△PQB= ×QN•PB+ ×PA×MQ= PB（QM+QN）= PBy， ∴S△PAB= PE×AB= PBy， ∴y= ，∵PE=AD，∴PB，AB，PB 都为定值， ∴y 的值为定值，符合要求的图形为 D， 故选：D． 点评：此题主要考查了动点函数的图象，根据已知得出 y= ，再利用 PE=AD，PB，AB，PB 都为定值是 解题关键． 4．（2012 泰安）如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=4，对角线 AC 的垂直平分线分别交 AD、AC 于点 E、O， 连接 CE，则 CE 的长为（ ） A．3 B．3.5 C．2.5 D．2.8 考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质。 解答：解：∵EO 是 AC 的垂直平分线， ∴AE=CE， 设 CE=x，则 ED=AD﹣AE=4﹣x， 在 Rt△CDE 中，CE2=CD2+ED2， 即 2 2 2=2 4 )x x （ ， 解得 2.5x  ， 即 CE 的长为 2.5． 故选 C． 5．（2012 泰安）如图，菱形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A 在 x 轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形 OABC 绕原点顺时针旋转 105°至 OA′B′C′的位置，则点 B′的坐标为（ ） A．（ 2 ， 2 ） B．（ 2 ， 2 ） C．（2012 泰安） D．（ 3 ， 3 ） 考点：坐标与图形变化-旋转；菱形的性质。 解答：解：连接 OB，OB′，过点 B′作 B′E⊥x 轴于 E， 根据题意得：∠BOB′=105°， ∵四边形 OABC 是菱形， ∴OA=AB，∠AOB= ∠AOC= ∠ABC= ×120°=60°， ∴△OAB 是等边三角形， ∴OB=OA=2， ∴∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=105°﹣60°=45°，OB′=OB=2， ∴OE=B′E=OB′•sin45°= 22 22   ， ∴点 B′的坐标为：（ 2 ， 2 ）． 故选 A． 6．（2012 泰安）如图，将矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使点 B 与 CD 的中点重合，若 AB=2，BC=3，则△FCB′ 与△B′DG 的面积之比为（ ） A．9：4 B．3：2 C．4：3 D．16：9 考点：翻折变换（折叠问题）。 解答：解：设 BF=x，则 CF=3﹣x，BF′=x， 又点 B′为 CD 的中点， ∴B′C=1， 在 Rt△B′CF 中，BF′2=B′C2+CF2，即 2 21 (3 )x x   ， 解得： 5 3x  ，即可得 CF= 5 43 3 3   ， ∵∠DB′G=∠DGB=90°，∠DB′G+∠CB′F=90°， ∴∠DGB=∠CB′F， ∴Rt△DB′G∽Rt△CFB′， 根据面积比等于相似比的平方可得： = = 24 16( )3 9  ． 故选 D． 7．（2012 成都）如图．在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，下列说法错误．．的是（ ） A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OC 考点：菱形的性质。 解答：解：A、菱形的对边平行且相等，所以 AB∥DC，故本选项正确； B、菱形的对角线不一定相等，故本选项错误； C、菱形的对角线一定垂直，AC⊥BD，故本选项正确； D、菱形的对角线互相平分，OA=OC，故本选项正确． 故选 B． 8．（2012•济宁）如图，将矩形 ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形 EFGH，EH=12 厘米，EF=16 厘米，则边 AD 的长是（ ） A．12 厘米 B．16 厘米 C．20 厘米 D．28 厘米 考点： 翻折变换（折叠问题）；勾股定理。 分析： 先求出△EFH 是直角三角形，再根据勾股定理求出 FH=20，再利用全等三角形的性质解答即可． 解答： 解：设斜线上两个点分别为 P、Q， ∵P 点是 B 点对折过去的， ∴∠EPH 为直角，△AEH≌△PEH， ∴∠HEA=∠PEH， 同理∠PEF=∠BEF， ∴这四个角互补， ∴∠PEH+∠PEF=90°， ∴四边形 EFGH 是矩形， ∴△DHG≌△BFE，HEF 是直角三角形， ∴BF=DH=PF， ∵AH=HP， ∴AD=HF， ∵EH=12cm，EF=16cm， ∴FH= = =20cm， ∴FH=AD=20cm． 故选 C． 点评： 本题考查的是翻折变换及勾股定理、全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是作出辅助线，构 造出全等三角形，再根据直角三角形及全等三角形的性质解答． 9．（2012•恩施州）如图，菱形 ABCD 和菱形 ECGF 的边长分别为 2 和 3，∠A=120°，则图中阴影部分的面 积是（ ） A． B．2 C．3 D． 考点： 菱形的性质；解直角三角形。 专题： 常规题型。 分析： 设 BF、CE 相交于点 M，根据相似三角形对应边成比例列式求出 CG 的长度，从而得到 DG 的长度， 再求出菱形 ABCD 边 CD 上的高与菱形 ECGF 边 CE 上的高，然后根据阴影部分的面积=S△BDM+S△DFM，列 式计算即可得解． 解答： 解：如图，设 BF、CE 相交于点 M， ∵菱形 ABCD 和菱形 ECGF 的边长分别为 2 和 3， ∴△BCM∽△BGF， ∴ = ， 即 = ， 解得 CM=1.2， ∴DM=2﹣1.2=0.8， ∵∠A=120°， ∴∠ABC=180°﹣120°=60°， ∴菱形 ABCD 边 CD 上的高为 2sin60°=2× = ， 菱形 ECGF 边 CE 上的高为 3sin60°=3× = ， ∴阴影部分面积=S△BDM+S△DFM= ×0.8× + ×0.8× = ． 故选 A． 点评： 本题考查了菱形的性质，解直角三角形，把阴影部分分成两个三角形的面积，然后利用相似三角形 对应边成比例求出 CM 的长度是解题的关键． 10．（2012•荆门）如图，已知正方形 ABCD 的对角线长为 2 ，将正方形 ABCD 沿直线 EF 折叠，则图中阴 影部分的周长为（ ） A． 8 B． 4 C． 8 D． 6 解析：∵正方形 ABCD 的对角线长为 2 ， 即 BD=2 ，∠A=90°，AB=AD，∠ABD=45°， ∴AB=BD•cos∠ABD=BD•cos45°=2 × =2， ∴AB=BC=CD=AD=2， 由折叠的性质：A′M=AM，D′N=DN，A′D′=AD， ∴图中阴影部分的周长为：A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8． 故选 C． 11．（2012•黔东南州）如图，矩形 ABCD 边 AD 沿拆痕 AE 折叠，使点 D 落在 BC 上的 F 处，已知 AB=6，△ABF 的面积是 24，则 FC 等于（ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 解析：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠B=90°，AD=BC， ∵AB=6， ∴S△ABF= AB•BF= ×6×BF=24， ∴BF=8， ∴AF= = =10， 由折叠的性质：AD=AF=10， ∴BC=AD=10， ∴FC=BC﹣BF=10﹣8=2． 故选 B． 12．（2012•黔东南州）点 P 是正方形 ABCD 边 AB 上一点（不与 A、B 重合），连接 PD 并将线段 PD 绕点 P 顺 时针旋转 90°，得线段 PE，连接 BE，则∠CBE 等于（ ） A． 75° B． 60° C． 45° D． 30° 解析：过点 E 作 EF⊥AF，交 AB 的延长线于点 F，则∠F=90°， ∵四边形 ABCD 为正方形， ∴AD=AB，∠A=∠ABC=90°， ∴∠ADP+∠APD=90°， 由旋转可得：PD=PE，∠DPE=90°， ∴∠APD+∠EPF=90°， ∴∠ADP=∠EPF， 在△APD 和△FEP 中， ∵ ， ∴△APD≌△FEP（AAS）， ∴AP=EF，AD=PF， 又∵AD=AB， ∴PF=AB，即 AP+PB=PB+BF， ∴AP=BF， ∴BF=EF，又∠F=90°， ∴△BEF 为等腰直角三角形， ∴∠EBF=45°，又∠CBF=90°， 则∠CBE=45°． 故选 C． 13．（2012•长沙）已知：菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，OE∥DC 交 BC 于点 E，AD=6cm，则 OE 的长为（ ） A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm 解答： 解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴OB=OD，CD=AD=6cm， ∵OE∥DC， ∴BE=CE， ∴OE= CD=3cm． 故选 C． 14．（2012 山西）如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC．BD 的长分别为 6cm、8cm，AE⊥BC 于点 E，则 AE 的 长是（ ） A． B． C． D． 考点：菱形的性质；勾股定理。 解答：解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴CO= AC=3cm，BO= BD=4cm，AO⊥BO， ∴BC= =5cm， ∴S 菱形 ABCD= = ×6×8=24cm2， ∵S 菱形 ABCD=BC×AD， ∴BC×AE=24， ∴AE= cm， 故选 D． 15．（2012 黄石）如图（3）所示，矩形纸片 ABCD 中， 6AB cm ， 8BC cm ，现将其沿 EF 对折， 使得点 C 与点 A 重合，则 AF 长为（ B ） A. 25 8 cm B. 25 4 cm C. 25 2 cm D. 8cm 【考点】翻折变换（折叠问题）． 【分析】设 AF=xcm，则 DF=（8-x）cm，利用矩形纸片 ABCD 中， 现 将 其 沿 EF 对折，使得点 C 与点 A 重合，由勾股定理求 AF 即 可． 【解答】解：设 AF=xcm，则 DF=（8-x）cm， ∵矩形纸片 ABCD 中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿 EF 对折，使得点 C 与点 A 重合， ∴DF=D′F， 在 Rt△AD′F 中，∵AF2=AD′2+D′F2， ∴x2=62+（8-x）2， 解得：x=25/4 （cm）． 故选：B． 【点评】本题考查了图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据 D (C) A B CE F D 图（3） 轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变是解题关键． 16．（2012 张家界）顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是（ ） A． 正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 考点：菱形的判定；三角形中位线定理；矩形的性质。 解答：解：连接 AC．BD， 在△ABD 中， ∵AH=HD，AE=EB ∴EH= BD， 同理 FG= BD，HG= AC，EF= AC， 又∵在矩形 ABCD 中，AC=BD， ∴EH=HG=GF=FE， ∴四边形 EFGH 为菱形． 故选 C． 17．（2012 武汉）如图，矩形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，将矩形 ABCD 沿直线 DE 折叠，点 A 恰好落在边 BC 的点 F 处．若 AE=5，BF=3，则 CD 的长是（ ） A． 7 B． 8 C． 9 D． 10 考点：翻折变换（折叠问题）。 解答：解：∵△DEF 由△DEA 翻折而成， ∴EF=AE=5， 在 Rt△BEF 中， ∵EF=5，BF=3， ∴BE= = =4， ∴AB=AE+BE=5+4=9， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴CD=AB=9． 故选 C． 18．（2012•台湾）如图，边长 12 的正方形 ABCD 中，有一个小正方形 EFGH，其中 E、F、G 分别在 AB、BC、 FD 上．若 BF=3，则小正方形的边长为何？（ ） A． B． C．5 D．6 考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质。 专题： 探究型。 分析： 先根据相似三角形的判定定理得出△BEF∽△CFD，再根据勾股定理求出 DF 的长，再由相似三角形 的对应边成比例即可得出结论． 解答： 解：在△BEF 与△CFD 中 ∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3 ∵∠B=∠C=90°， ∴△BEF∽△CFD， ∵BF=3，BC=12， ∴CF=BC﹣BF=12﹣3=9， 又∵DF= = =15， ∴ = ，即 = ， ∴EF= 故选 B． 点评： 本题考查的是相似三角形的判定与性质及勾股定理，根据题意得出△BEF∽△CFD 是解答此题的关 键． 19．（2012•苏州）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，CE∥BD，DE∥AC，若 AC=4，则四边形 CODE 的周长（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 考点： 菱形的判定与性质；矩形的性质。 分析： 首先由 CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形 CODE 是平行四边形，又由四边形 ABCD 是矩 形，根据矩形的性质，易得 OC=OD=2，即可判定四边形 CODE 是菱形，继而求得答案． 解答： 解：∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形 CODE 是平行四边形， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD， ∴OD=OC= AC=2， ∴四边形 CODE 是菱形， ∴四边形 CODE 的周长为：4OC=4×2=8． 故选 C． 点评： 此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形 CODE 是菱形是解此题的关键． 20．（2012•苏州）已知在平面直角坐标系中放置了 5 个如图所示的正方形（用阴影表示），点 B1 在 y 轴上， 点 C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3 在 x 轴上．若正方形 A1B1C1D1 的边长为 1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则 点 A3 到 x 轴的距离是（ ） A． B． C． D． 考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形。 专题： 规律型。 分析： 利用正方形的性质以及平行线的性质分别得出 D1E1=B2E2= ，B2C2= ，进而得出 B3C3= ，求出 WQ= × = ，FW=WA3•cos30°= × = ，即可得出答案． 解答： 解：过小正方形的一个顶点 W 作 FQ⊥x 轴于点 Q，过点 A3F⊥FQ 于点 F， ∵正方形 A1B1C1D1 的边长为 1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3， ∴∠B3C3 E4=60°，∠D1C1E1=30°，∠E2B2C2=30°， ∴D1E1= D1C1= ， ∴D1E1=B2E2= ， ∴cos30°= = ， 解得：B2C2= ， ∴B3E4= ， cos30°= ， 解得：B3C3= ， 则 WC3= ， 根据题意得出：∠WC3 Q=30°，∠C3 WQ=60°，∠A3 WF=30°， ∴WQ= × = ， FW=WA3•cos30°= × = ， 则点 A3 到 x 轴的距离是：FW+WQ= + = ， 故选：D． 点评： 此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数的应用等知识，根据已知得出 B3C3 的长是解题关 键． 二.填空题 1．（2012 铜仁）以边长为 2 的正方形的中心 O 为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于 A、 B 两点，则线段 AB 的最小值是 ． 考点：正方形的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线。 解答：解： ∵四边形 CDEF 是正方形， ∴∠OCD=∠ODB=45°，∠COD=90°，OC=OD， ∵AO⊥OB， ∴∠AOB=90°， ∴∠CAO+∠AOD=90°，∠AOD+∠DOB=90°， ∴∠COA=∠DOB， ∵在△COA 和△DOB 中 ， ∴△COA≌△DOB， ∴OA=OB， ∵∠AOB=90°， ∴△AOB 是等腰直角三角形， 由勾股定理得：AB= = OA， 要使 AB 最小，只要 OA 取最小值即可， 根据垂线段最短，OA⊥CD 时，OA 最小， ∵正方形 CDEF， ∴FC⊥CD，OD=OF， ∴CA=DA， ∴OA= CF=1， 即 AB= ， 故答案为： ． 2. （2012 安徽，14，5 分）如图，P 是矩形 ABCD 内的任意一 点，连接 PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA， 设它们的面积分别是 S1、S2、S3、S4，给出如下结论： ①S1+S2=S3+S4 ② S2+S4= S1+ S3 ③若 S3=2 S1，则 S4=2 S2 ④若 S1= S2，则 P 点在矩形 的对角线上 其中正确的结论的序号是_________________（把所有正确结论的序号都填在横线上）. 解析：过点 P 分别向 AD、BC 作垂线段，两个三角形的面积之和 42 SS  等于矩形面积的一半，同理，过 点 P 分别向 AB、CD 作垂线段，两个三角形的面积之和 31 SS  等于矩形面积的一半. 31 SS  = 42 SS  ,又 因为 21 SS  ，则 32 SS  = ABCDSSS 2 1 41  ,所以④一定成立 答案：②④． 点评：本题利用三角形的面积计算，能够得出②成立，要判断④成立，在这里充分利用所给条件，对等式 进行变形.不要因为选出②，就认为找到答案了，对每个结论都要分析，当然感觉不一定对的，可以举反 例即可.对于 ④这一选项容易漏选. 3．（2012 绍兴）如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 上，将△ABE 沿 AE 折叠，使点 B 落在 AC 上的点 B′处，又将△CEF 沿 EF 折叠，使点 C 落在 EB′与 AD 的交点 C′处．则 BC：AB 的值为 。 考点：翻折变换（折叠问题）。 解答：解：连接 CC′， ∵将△ABE 沿 AE 折叠，使点 B 落在 AC 上的点 B′处，又将△CEF 沿 EF 折叠，使点 C 落在 EB′与 AD 的交 点 C′处。 ∴EC=EC′， ∴∠EC′C=∠ECC′， ∵∠DC′C=∠ECC′， ∴∠EC′C=∠DC′C， ∴得到 CC′是∠EC'D 的平分线， ∵∠CB′C′=∠D=90°， ∴CB′=CD， 又∵AB′=AB， 所以 B′是对角线 AC 中点， 即 AC=2AB， 所以∠ACB=30°， ∴cot∠ACB=cot30°= BC 3AB  ， BC：AB 的值为： 3 。 故答案为： 3 。 4．(2012•扬州)如图，将矩形 ABCD 沿 CE 折叠，点 B 恰好落在边 AD 的 F 处，如果 ，那么 tan∠DCF 的值是 ． 考点： 翻折变换(折叠问题)。 分析： 由矩形 ABCD 沿 CE 折叠，点 B 恰好落在边 AD 的 F 处，即可得 BC＝CF，CD＝AB，由 ，可得 ， 然后设 CD＝2x，CF＝3x，利用勾股定理即可求得 DF 的值，继而求得 tan∠DCF 的值． 解答： 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB＝CD，∠D＝90°， ∵将 矩形 ABCD 沿 CE 折叠，点 B 恰好落在边 AD 的 F 处， ∴CF＝BC， ∵ ， ∴ ， 设 CD＝2x，CF＝3x， ∴DF＝ ＝ x， ∴tan∠DCF＝ ＝ ＝ ． 故答案为： ． 点评： 此题考查了矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理．此题比较简单，注意折叠中的对应关系，注意 数形结合思想的应用． 5．（2012•资阳）如图，O 为矩形 ABCD 的中心，M 为 BC 边上一点，N 为 DC 边上一点，ON⊥OM，若 AB=6， AD=4，设 OM=x，ON=y，则 y 与 x 的函数关系式为 ． 考点： 相似三角形的判定与性质；矩形的性质。 分析： 求两条线段的关系，把两条线段放到两个三角形中，利用两个三角形的关系求解． 解答： 解：如图，作 OF⊥BC 于 F，OE⊥CD 于 E， ∵ABCD 为矩形 ∴∠C=90° ∵OF⊥BC，OE⊥CD ∴∠EOF=90° ∴∠EON+∠FON=90° ∵ON⊥OM ∴∠EON=∠FOM ∴△OEN∽△OFM = ∵O 为中心 ∴ = = = ∴ = 即 y= x， 故答案为：y= x， 点评： 此题主要考查的是相似三角形的判定与性质，解题的关键是合理的在图中作出辅助线，熟练掌握相 似三角形的判定定理和性质． 6．（2012 江西）如图，正方形 ABCD 与正三角形 AEF 的顶点 A 重合，将△AEF 绕顶点 A 旋转，在旋转过程 中，当 BE=DF 时，∠BAE 的大小可以是 ． 考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质。 专题：分类讨论。 分析：利用正方形的性质和等边三角形的性质证明△ABE≌△ADF（SSS），有相似三角形的性质和已知条件 即可求出当 BE=DF 时，∠BAE 的大小，应该注意的是，正三角形 AEF 可以再正方形的内部也可以在正方形 的外部，所以要分两种情况分别求解． 解答：解：①当正三角形 AEF 在正方形 ABCD 的内部时，如图 1， ∵正方形 ABCD 与正三角形 AEF 的顶点 A 重合， 当 BE=DF 时， ∴ ， ∴△ABE≌△ADF（SSS）， ∴∠BAE=∠FAD， ∵∠EAF=60°， ∴∠BAE+∠FAE=30°， ∴∠BAE=∠FAD=15°， ②当正三角形 AEF 在正方形 ABCD 的外部时．如图 2， ∵正方形 ABCD 与正三角形 AEF 的顶点 A 重合， 当 BE=DF 时， ∴ ， ∴△ABE≌△ADF（SSS）， ∴∠BAE=∠FAD， ∵∠EAF=60°， ∴∠BAE+∠FAE=360°﹣60=300°， ∴∠BAE=∠FAD=165° 故答案为：15°或 165°． 点评：本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、旋转的性质以及全等三角形的判定和全等三角形的 性质和分类讨论的数学思想，题目的综合性不小． 7. （2012 湛江）如图，设四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，以对角线 AC 为边作第二个正方形 ACEF、再 以对角线 AE 为边作笫三个正方形 AEGH，如此下去…．若正方形 ABCD 的边长记为 a1，按上述方法所作的正 方形的边长依次为 a2，a3，a4，…，an，则 an= ． 解析：∵a2=AC，且在直角△ABC 中，AB2+BC2=AC2， ∴a2= a1= ， 同理 a3= a2=2， a4= a3=2 ， … 由此可知：an=（ ）n﹣1a1=（ ）n﹣1， 故答案为：（ ）n﹣1 8．（2012 攀枝花）如图，正方形 ABCD 中，AB=4，E 是 BC 的中点，点 P 是对角线 AC 上一动点，则 PE+PB 的最小值为 ． 考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质。 专题：探究型。 分析：由于点 B 与点 D 关于 AC 对称，所以如果连接 DE，交 AC 于点 P，那 PE+PB 的值最小．在 Rt△CDE 中， 由勾股定理先计算出 DE 的长度，即为 PE+PB 的最小值． 解答：解：连接 DE，交 BD 于点 P，连接 BD． ∵点 B 与点 D 关于 AC 对称， ∴DE 的长即为 PE+PB 的最小值， ∵AB=4，E 是 BC 的中点， ∴CE=2， 在 Rt△CDE 中， DE= = =2 ． 故答案为：2 ． 点评：本题考查了轴对称﹣最短路线问题和正方形的性质，根据两点之间线段最短，可确定点 P 的位置． 9．（2012 宜宾）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 1，连接 AC．BD，CE 平分∠ACD 交 BD 于点 E，则 DE= ． 考点：正方形的性质；角平分线的性质。 解答：解：过 E 作 EF⊥DC 于 F， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AC⊥BD， ∵CE 平分∠ACD 交 BD 于点 E， ∴EO=EF， ∵正方形 ABCD 的边长为 1， ∴AC= ， ∴CO= AC= ， ∴CF=CO= ， ∴DF=DC﹣CF=1﹣ ， ∴DE= = ﹣1， 故答案为： ﹣1． 三.解答题 1．（2012 临沂）如图，点 A．F、C．D 在同一直线上，点 B 和点 E 分别在直线 AD 的两侧，且 AB=DE，∠A=∠D， AF=DC． （1）求证：四边形 BCEF 是平行四边形， （2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当 AF 为何值时，四边形 BCEF 是菱形． 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定。 解答：（1）证明：∵AF=DC， ∴AF+FC=DC+FC，即 AC=DF． 在△ABC 和△DEF 中， ， ∴△ABC≌DEF（SAS）， ∴BC=EF，∠ACB=∠DFE， ∴BC∥EF， ∴四边形 BCEF 是平行四边形． （2）解：连接 BE，交 CF 与点 G， ∵四边形 BCEF 是平行四边形， ∴当 BE⊥CF 时，四边形 BCEF 是菱形， ∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3， ∴AC= =5， ∵∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG， ∴△ABC∽△BGC， ∴ = ， 即 = ， ∴CG= ， ∵FG=CG， ∴FC=2CG= ， ∴AF=AC﹣FC=5﹣ = ， ∴当 AF= 时，四边形 BCEF 是菱形． 2．（2012 临沂）已知，在矩形 ABCD 中，AB=a，BC=b，动点 M 从点 A 出发沿边 AD 向点 D 运动． （1）如图 1，当 b=2a，点 M 运动到边 AD 的中点时，请证明∠BMC=90°； （2）如图 2，当 b＞2a 时，点 M 在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与证明；若不存在， 请说明理由； （3）如图 3，当 b＜2a 时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 考点：相似三角形的判定与性质；根的判别式；矩形的性质。 解答：（1）证明：∵b=2a，点 M 是 AD 的中点， ∴AB=AM=MD=DC=a， 又∵在矩形 ABCD 中，∠A=∠D=90°， ∴∠AMB=∠DMC=45°， ∴∠BMC=90°． （2）解：存在， 理由：若∠BMC=90°， 则∠AMB=∠DMC=90°， 又∵∠AMB+∠ABM=90°， ∴∠ABM=∠DMC， 又∵∠A=∠D=90°， ∴△ABM∽△DMC， ∴ = ， 设 AM=x，则 = ， 整理得：x2﹣bx+a2=0， ∵b＞2a，a＞0，b＞0， ∴△=b2﹣4a2＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意， ∴当 b＞2a 时，存在∠BMC=90°， （3）解：不成立． 理由：若∠BMC=90°， 由（2）可知 x2﹣bx+a2=0， ∵b＜2a，a＞0，b＞0， ∴△=b2﹣4a2＜0， ∴方程没有实数根， ∴当 b＜2a 时，不存在∠BMC=90°，即（2）中的结论不成立． 3．（2012•烟台）（1）问题探究 如图 1，分别以△ABC 的边 AC 与边 BC 为边，向△ABC 外作正方形 ACD1E1 和正方形 BCD2E2，过点 C 作直线 KH 交直线 AB 于点 H，使∠AHK=∠ACD1 作 D1M⊥KH，D2N⊥KH，垂足分别为点 M，N．试探究线段 D1M 与线段 D2N 的数量关系，并加以证明． （2）拓展延伸 ①如图 2，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点 C 作直线 K1H1，K2H2，分别交直线 AB 于点 H1， H2，使∠AH1K1=∠BH2K2=∠ACD1．作 D1M⊥K1H1，D2N⊥K2H2，垂足分别为点 M，N．D1M=D2N 是否仍成立？若成立， 给出证明；若不成立，说明理由． ②如图 3，若将①中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变．D1M=D2N 是否仍成立？（要求：在 图 3 中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明） 考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质；正多边形和圆。 专题：几何综合题。 分析：（1）根据正方形的每一个角都是 90°可以证明∠AHK=90°，然后利用平角等于 180°以及直角三角 形的两锐角互余证明∠D1CK=∠HAC，再利用“角角边”证明△ACH 和△CD1M 全等，根据全等三角形对 应边相等可得 D1M=CH，同理可证 D2N=CH，从而得证； （2）①过点 C 作 CG⊥AB，垂足为点 G，根据三角形的内角和等于 180°和平角等于 180°证明得到 ∠H1AC=∠D1CM，然后利用“角角边”证明△ACG 和△CD1M 全等，根据全等三角形对应边相等可得 CG=D1M，同理可证 CG=D2N，从而得证； ②结论仍然成立，与①的证明方法相同． 解答：（1）D1M=D2N．…（1 分） 证明：∵∠ACD1=90°， ∴∠ACH+∠D1CK=180°﹣90°=90°， ∵∠AHK=∠ACD1=90°， ∴∠ACH+∠HAC=90°， ∴∠D1CK=∠HAC，…（2 分） 在△ACH 和△CD1M 中， ， ∴△ACH≌△CD1M（AAS）， ∴D1M=CH，…（3 分） 同理可证 D2N=CH， ∴D1M=D2N；…（4 分） （2）①证明：D1M=D2N 成立．…（5 分） 过点 C 作 CG⊥AB，垂足为点 G， ∵∠H1AC+∠ACH1+∠AH1C=180°， ∠D1CM+∠ACH1+∠ACD1=180°， ∠AH1C=∠ACD1， ∴∠H1AC=∠D1CM，…（6 分） 在△ACG 和△CD1M 中， ， ∴△ACG≌△CD1M（AAS）， ∴CG=D1M，…（7 分） 同理可证 CG=D2N， ∴D1M=D2N；…（8 分） ②作图正确．…（9 分） D1M=D2N 还成立．…（10 分） 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正方形的性质，正多边形的性质，读懂 题意，证明得到∠D1CK=∠HAC（或 H1AC=∠D1CM）是证明三角形全等的关键，也是解决本题的难点与 突破口． 4．（2012•益阳）已知：如图 1，在面积为 3 的正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC 和 CD 边上的两点，AE⊥BF 于点 G，且 BE=1． （1）求证：△ABE≌△BCF； （2）求出△ABE 和△BCF 重叠部分（即△BEG）的面积； （3）现将△ABE 绕点 A 逆时针方向旋转到△AB′E′（如图 2），使点 E 落在 CD 边上的点 E′处，问△ABE 在旋转前后与△BCF 重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由． 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形。 专题：几何综合题。 分析：（1）由四边形 ABCD 是正方形，可得∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，又由 AE⊥BF，由同角的余角相等， 即可证得∠BAE=∠CBF，然后利用 ASA，即可判定：△ABE≌△BCF； （2）由正方形 ABCD 的面积等于 3，即可求得此正方形的边长，由在△BGE 与△ABE 中，∠GBE=∠BAE， ∠EGB=∠EBA=90°，可证得△BGE∽△ABE，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答 案； （3）首先由正切函数，求得∠BAE=30°，易证得 Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，可得 AB′与 AE 在同一直线上，即 BF 与 AB′的交点是 G，然后设 BF 与 AE′的交点为 H，可证得△BAG≌△HAG， 继而证得结论． 解答：（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC， ∴∠ABF+∠CBF=90°， ∵AE⊥BF， ∴∠ABF+∠BAE=90°， ∴∠BAE=∠CBF， 在△ABE 和△BCF 中， ∴△ABE≌△BCF．…（4 分） （2）解：∵正方形面积为 3， ∴AB= ，…（5 分） 在△BGE 与△ABE 中， ∵∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°， ∴△BGE∽△ABE，…（7 分） ∴ ， 又∵BE=1， ∴AE2=AB2+BE2=3+1=4， ∴S△BGE= ×S△ABE= = ．…（8 分） （3）解：没有变化． …（9 分） 理由：∵AB= ，BE=1， ∴tan∠BAE= = ，∠BAE=30°，…（10 分） ∵AB′=AD，∠AB′E′=∠ADE'=90°，AE′公共， ∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′， ∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°， ∴AB′与 AE 在同一直线上，即 BF 与 AB′的交点是 G， 设 BF 与 AE′的交点为 H， 则∠BAG=∠HAG=30°，而∠AGB=∠AGH=90°，AG 公共， ∴△BAG≌△HAG，…（11 分） ∴S 四边形 GHE′B′=S△AB′E′﹣S△AGH=S△ABE﹣S△ABG=S△BGE． ∴△ABE 在旋转前后与△BCF 重叠部分的面积没有变化．…（12 分） 点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数等知 识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用． 5．（2012 泰安）如图，E 是矩形 ABCD 的边 BC 上一点，EF⊥AE，EF 分别交 AC，CD 于点 M，F，BG⊥AC，垂 足为 C，BG 交 AE 于点 H． （1）求证：△ABE∽△ECF； （2）找出与△ABH 相似的三角形，并证明； （3）若 E 是 BC 中点，BC=2AB，AB=2，求 EM 的长． 考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形。 解答：（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABE=∠ECF=90°． ∵AE⊥EF，∠AEB+∠FEC=90°． ∴∠AEB+∠BEA=90°， ∴∠BAE=∠CEF， ∴△ABE∽△ECF； （2）△ABH∽△ECM． 证明：∵BG⊥AC， ∴∠ABG+∠BAG=90°， ∴∠ABH=∠ECM， 由（1）知，∠BAH=∠CEM， ∴△ABH∽△ECM； （3）解：作 MR⊥BC，垂足为 R， ∵AB=BE=EC=2， ∴AB：BC=MR：RC=2，∠AEB=45°， ∴∠MER=45°，CR=2MR， ∴MR=ER= 1 2 RC= 2 3 ， ∴EM= MR 2 2 sin 45 3  ． 6．（2012•聊城）如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，DE∥AC，CE∥BD． 求证：四边形 OCED 是菱形． 考点：菱形的判定；矩形的性质。 专题：证明题。 分析：首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形 OCED 是平行四边形，再根据矩形的性质 可得 OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论． 解答：证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形 OCED 是平行四边形， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴OC=OD， ∴四边形 OCED 是菱形． 点评：此题主要考查了菱形的判定，矩形的性质，关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相 等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 7．（2012•乐山）如图 1，△ABC 是等腰直角三角形，四边形 ADEF 是正方形，D、F 分别在 AB、AC 边上，此 时 BD=CF，BD⊥CF 成立． （1）当正方形 ADEF 绕点 A 逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图 2，BD=CF 成立吗？若成立，请证明； 若不成立，请说明理由． （2）当正方形 ADEF 绕点 A 逆时针旋转 45°时，如图 3，延长 BD 交 CF 于点 G． ①求证：BD⊥CF； ②当 AB=4，AD= 时，求线段 BG 的长． 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性质； 旋转的性质。 专题：几何综合题。 分析：（1）△ABC 是等腰直角三角形，四边形 ADEF 是正方形，易证得△BAD≌△CAF，根据全等三角形的 对应边相等，即可证得 BD=CF； （2）①由△BAD≌△CAF，可得∠ABM=∠GCM，又由对顶角相等，易证得△BMA∽△CMG，根据相似三 角形的对应角相等，可得 BGC=∠BAC=90°，即可证得 BD⊥CF； ②首先过点 F 作 FN⊥AC 于点 N，利用勾股定理即可求得 AE，BC 的长，继而求得 AN，CN 的长，又由 等角的三角函数值相等，可求得 AM= AB= ，然后利用△BMA∽△CMG，求得 CG 的长，再由勾股定理 即可求得线段 BG 的长． 解答：解（1）BD=CF 成立． 理由：∵△ABC 是等腰直角三角形，四边形 ADEF 是正方形， ∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°， ∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC， ∴∠BAD=∠CAF， 在△BAD 和△CAF 中， ∴△BAD≌△CAF（SAS）． ∴BD=CF．…（3 分） （2）①证明：设 BG 交 AC 于点 M． ∵△BAD≌△CAF（已证）， ∴∠ABM=∠GCM． ∵∠BMA=∠CMG， ∴△BMA∽△CMG． ∴∠BGC=∠BAC=90°． ∴BD⊥CF．…（6 分） ②过点 F 作 FN⊥AC 于点 N． ∵在正方形 ADEF 中，AD=DE= ， ∴AE= =2， ∴AN=FN= AE=1． ∵在等腰直角△ABC 中，AB=4， ∴CN=AC﹣AN=3，BC= =4 ． ∴在 Rt△FCN 中，tan∠FCN= = ． ∴在 Rt△ABM 中，tan∠ABM= =tan∠FCN= ． ∴AM= AB= ． ∴CM=AC﹣AM=4﹣ = ，BM= = ．…（9 分） ∵△BMA∽△CMG， ∴ ． ∴ ． ∴CG= ．…（11 分） ∴在 Rt△BGC 中，BG= = ．…（12 分） 点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、矩形的 性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想的应用，注 意辅助线的作法． 8．（2012•资阳）（1）如图（1），正方形 AEGH 的顶点 E、H 在正方形 ABCD 的边上，直接写出 HD：GC：EB 的结果（不必写计算过程）； （2）将图（1）中的正方形 AEGH 绕点 A 旋转一定角度，如图（2），求 HD：GC：EB； （3）把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知 DA：AB=HA：AE=m：n，此时 HD：GC：EB 的值 与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）． 考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性质。 分析： （1）首先连接 AG，由正方形 AEGH 的顶点 E、H 在正方形 ABCD 的边上，易证得∠GAE=∠CAB=45°， AE=AH，AB=AD，即 A，G，C 共线，继而可得 HD=BE，GC= BE，即可求得 HD：GC：EB 的值； （2）连接 AG、AC，由△ADC 和△AHG 都是等腰直角三角形，易证得△DAH∽△CAG 与△DAH≌△BAE， 利用相似三角形的对应边成比例与正方形的性质，即可求得 HD：GC：EB 的值； （3）由矩形 AEGH 的顶点 E、H 在矩形 ABCD 的边上，由 DA：AB=HA：AE=m：n，易证得△ADC∽△AHG， △DAH∽△CAG，△ADH∽△ABE，利用相似三角形的对应边成比例与勾股定理即可求得 HD：GC：EB 的值． 解答： 解：（1）连接 AG， ∵正方形 AEGH 的顶点 E、H 在正方形 ABCD 的边上， ∴∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD， ∴A，G，C 共线，AB﹣AE=AD﹣AH， ∴HD=BE， ∵AG= = AE，AC= = AB， ∴GC=AC﹣AG= AB﹣ AE= （AB﹣AE）= BE， ∴HD：GC：EB=1： ：1…（3 分） （2）连接 AG、AC， ∵△ADC 和△AHG 都是等腰直角三角形， ∴AD：AC=AH：AG=1： ，∠DAC=∠HAG=45°， ∴∠DAH=∠CAG，…（4 分） ∴△DAH∽△CAG， ∴HD：GC=AD：AC=1： ，…（5 分） ∵∠DAB=∠HAE=90°， ∴∠DAH=∠BAE， 在△DAH 和△BAE 中， ， ∴△DAH≌△BAE（SAS）， ∴HD=EB， ∴HD：GC：EB=1： ：1；…（6 分） （3）有变化， 连接 AG、AC， ∵矩形 AEGH 的顶点 E、H 在矩形 ABCD 的边上，DA：AB=HA：AE=m：n， ∴∠ADC=∠AHG=90°， ∴△ADC∽△AHG， ∴AD：AC=AH：AG=m： ，∠DAC=∠HAG， ∴∠DAH=∠CAG，…（4 分） ∴△DAH∽△CAG， ∴HD：GC=AD：AC=m： ，…（5 分） ∵∠DAB=∠HAE=90°， ∴∠DAH=∠BAE， ∵DA：AB=HA：AE=m：n， ∴△ADH∽△ABE， ∴DH：BE=AD：AB=m：n， ∴HD：GC：EB=m： ：n．…（8 分） 点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及 勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 9．（2012•德州）如图所示，现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD，点 P 为正方形 AD 边上的一点（不与点 A、点 D 重合）将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG 交 DC 于 H，折痕为 EF，连接 BP、 BH． （1）求证：∠APB=∠BPH； （2）当点 P 在边 AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论； （3）设 AP 为 x，四边形 EFGP 的面积为 S，求出 S 与 x 的函数关系式，试问 S 是否存在最小值？若存在， 求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 考点： 翻折变换（折叠问题）；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；正方形的性质。 分析： （1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC 即可得出答 案； （2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出 PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8； （3）利用已知得出△EFM≌△BPA，进而利用在 Rt△APE 中，（4﹣BE）2+x2=BE2，利用二次函数的最 值求出即可． 解答： （1）解：如图 1，∵PE=BE， ∴∠EBP=∠EPB． 又∵∠EPH=∠EBC=90°， ∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP． 即∠PBC=∠BPH． 又∵AD∥BC， ∴∠APB=∠PBC． ∴∠APB=∠BPH． （2）△PHD 的周长不变为定值 8． 证明：如图 2，过 B 作 BQ⊥PH，垂足为 Q． 由（1）知∠APB=∠BPH， 又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP， ∴△ABP≌△QBP． ∴AP=QP，AB=BQ． 又∵AB=BC， ∴BC=BQ． 又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH， ∴△BCH≌△BQH． ∴CH=QH． ∴△PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8． （3）如图 3，过 F 作 FM⊥AB，垂足为 M，则 FM=BC=AB． 又∵EF 为折痕， ∴EF⊥BP． ∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°， ∴∠EFM=∠ABP． 又∵∠A=∠EMF=90°， ∴△EFM≌△BPA． ∴EM=AP=x． ∴在 Rt△APE 中，（4﹣BE）2+x2=BE2． 解得， ． ∴ ． 又四边形 PEFG 与四边形 BEFC 全等， ∴ ． 即： ． 配方得， ， ∴当 x=2 时，S 有最小值 6． 点评： 此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理、二次函数的最值问题等 知识，熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键． 10．（2012 娄底）如图，在矩形 ABCD 中，M、N 分别是 AD．BC 的中点，P、Q 分别是 BM、DN 的中点． （1）求证：△MBA≌△NDC； （2）四边形 MPNQ 是什么样的特殊四边形？请说明理由． 考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；菱形的判定。 分析：（1）根据矩形的性质和中点的定义，利用 SAS 判定△MBA≌△NDC； （2）四边形 MPNQ 是菱形，连接 AN，有（1）可得到 BM=CN，再有中点得到 PM=NQ，再通过证明△MQD≌△NPB 得到 MQ=PN，从而证明四边形 MPNQ 是平行四边形，利用三角形中位线的性质可得：MP=MQ，进而证明四边 形 MQNP 是菱形． 解答：证明：（1）∵四边形 ABCD 是矩形， ∵AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°， ∵在矩形 ABCD 中，M、N 分别是 AD．BC 的中点， ∴AM= AD，CN= BC， ∴AM=CN， 在△MAB≌△NDC， ∵ ， ∴△MAB≌△NDC； （2）四边形 MPNQ 是菱形， 理由如下：连接 AN， 易证：△ABN≌△BAM， ∴AN=BM， ∵△MAB≌△NDC， ∴BM=DN， ∵P、Q 分别是 BM、DN 的中点， ∴PM=NQ， ∵DM=BN，DQ=BP，∠MDQ=∠NBP， ∴△MQD≌△NPB． ∴四边形 MPNQ 是平行四边形， ∵M 是 AB 中点，Q 是 DN 中点， ∴MQ= AN， ∴MQ= BM， ∴MP= BM， ∴MP=MQ， ∴四边形 MQNP 是菱形． 点评：本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和全等三角形的性质、三角形中位线定理以及平行四边 形的判定和菱形的判定方法，属于基础题目． 11．（2012•恩施州）如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于 D，点 D，E，F 分别是 BC，AB，AC 的中点．求证：四边 形 AEDF 是菱形． 考点： 菱形的判定；三角形中位线定理。 专题： 证明题。 分析： 首先判定四边形 AEDF 是平行四边形，然后证得 AE=AF，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定菱 形即可． 解答： 证明：∵点 D，E，F 分别是 BC，AB，AC 的中点， ∴DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形 AEDF 是平行四边形， 又∵AD⊥BC，BD=CD， ∴AB=AC， ∴AE=AF， ∴平行四边形 AEDF 是菱形． 点评： 本题考查了菱形的判定及三角形的中位线定理，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依 据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分． 12．（2012•南通）（本小题满分 10 分） 如图，菱形 ABCD 中，∠B＝60º， 点 E 在边 BC 上，点 F 在边 CD 上． (1)如图 1，若 E 是 BC 的中点，∠ AEF＝60º， 求证：BE＝DF； (2)如图 2，若∠EAF＝60º， 求证：△AEF 是等边三角形． B E C F A D 图 1 B E C F A D 图 2 【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定． 【专题】证明题． 【分析】（1）首先连接 AC，由菱形 ABCD 中，∠B=60°，根据菱形的性质，易得△ABC 是等边三角形，又 由三线合一，可证得 AE⊥BC，继而求得∠FEC=∠CFE，即可得 EC=CF，继而证得 BE=DF； （2）首先连接 AC，可得△ABC 是等边三角形，即可得 AB=AC，以求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平 行线与三角形外角的性质，可求得∠AEB=∠AFC，证得△AEB≌△AFC，即可得 AE=AF，证得：△AEF 是等边三角形． 【解答】证明：（1）连接 AC， ∵菱形 ABCD 中，∠B=60°， ∴AB=BC=CD，∠C=180°-∠B=120°， ∴△ABC 是等边三角形， ∵E 是 BC 的中点， ∴AE⊥BC， ∵∠AEF=60°， ∴∠FEC=90°-∠AEF=30°， ∴∠CFE=180°-∠FEC-∠C =180°-30°-120°=30°， ∴∠FEC=∠CFE， ∴EC=CF， ∴BE=DF； （2）连接 AC， ∵四边形 ABCD 是菱形，∠B=60° ∴AB=BC，∠D=∠B=60°，∠ACB=∠ACF， ∴△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC，∠ACB=60°， ∴∠B=∠ACF=60°， ∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD， ∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD， ∴∠AEB=∠AFC， 在△ABE 和△AFC 中， ∠ B= ∠ ACF ∠ AEB= ∠ AFC AB=AC ∴ △ ABE ≌ △ ACF （AAS）， ∴ AE=AF， ∵ ∠EAF=60°， ∴△AEF 是等边三角形． 【点评】此题考查了菱形的性质、等边三 角形的判定与性质、全 等三角形的判定与性质以及等腰 三 角 形 的 判 定 与 性 质．此题难度适中，注意准确作出 辅助线，注意数形结合 思想的应用． 13.（2012•常德）已知四边形 ABCD 是正方形，O 为正方形对角线的交点，一动点 P 从 B 开始，沿射线 BC 运到，连结 DP，作 CN⊥DP 于点 M，且交直线 AB 于点 N，连结 OP，ON。（当 P 在线段 BC 上时，如图 9： 当 P 在 BC 的延长线上时，如图 10） （1）请从图 9，图 10 中任选一图证明下面结论： ①BN=CP： ②OP=ON，且 OP⊥ON (2) 设 AB=4，BP= x ，试确定以 O、P、B、N 为顶点的四边形的面积 y 与 x 的函数关系。 知识点考察：①正方形的性质，②三角形外角和定理，③全等三角形的判定， ④两线垂直的判定，⑤多边形的面积的分解，⑥函数解析式的确定， ⑦分段函数，⑧点到直线的距离。 能力考察：①观察能力，②逻辑 思维与推理能力，③书写表达能力，④综合运用知识的能 力，⑤分类讨论的能力。 分析：对于图 9，证明线段相等，一般情况下找全等。根据 BN，CP 的分布情况， 可以观察△CNB 和△DPC，然后证明两三角形全等。也可以观察△CAN 和△DBP，证明 AN=BP，从而有 BN=CP。至于以 O、P、B、N 为顶点的四边 形的面积，则要把四边形分解为两个三角形去解决问题。 对于图 10 来说图型要稍微复杂一点，先证△PDB≌△NCA，得 DP=CN 再证△PDO≌△NCO，则有 OP=ON， 证明：对于图 9，（1）①∵ABCD 为正方形， ∴∠DCP=90º，△DCP 为 Rt△， 同理：△CBN 为 Rt△， 而 CM⊥DP ∴∠PCM=∠CDP 在 Rt△DCP 与 Rt△CBN 中： ∠DCP=∠CBN=90º ∠CDP=∠PCN CD=BC ∴Rt△DCP≌Rt△CBN ∴CP=BN ②而∠OCP=∠OBN=45º OC=OB ∴△COP≌△BON ∴ON=OP ∠COP=∠BON 又∵OC⊥OB ∴∠COB=∠COP+∠POB=90º =∠BON+∠POB=90º ∴ON⊥OP （2）S 四边形 OPBN=S△ONB+S△OPB = 22 12)-42 1  xx（ =4 (0AB），将纸片折叠一次，使 点 A 与点 C 重合，再展开，折痕 EF 交 AD 边于点 E，交 BC 边于点 F，分别连结 AF 和 CE。 （1）求证：四边形 AFCE 是菱形； （2）若 AE=10cm，△ABF 的面积为 24cm2，求△ABF 的周长； （3）在线段 AC 上是否存在一点 P，使得 2AE2=AC·AP？若存在，请说明点 P 的位置，并予以证明；若不存 在，请说明理由。 A B C DE F O 【答案】（1）由折叠可知 EF⊥AC，AO=CO ∵AD∥BC ∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO ∴△AOE≌△COF ∴EO=FO ∴四边形 AFCE 是菱形。 （2）由（1）得 AF=AE=10 设 AB=a，BF=b，得 a2+b2=100 ①，ab=48 ② ①+2×②得 (a+b)2=196，得 a+b=14（另一负值舍去） ∴△ABF 的周长为 24cm （3）存在，过点 E 作 AD 的垂线交 AC 于点 P，则点 P 符合题意。 A B C DE F O P 证明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAP=∠OAE ∴△AOE∽△AEP ∴ AO AE AE AP  ，得 AE2=AO·AP 即 2AE2=2AO·AP 又 AC=2AO ∴2AE2=AC·AP 15. （2011 广东株洲，23，8 分）如图，矩形 ABCD 中，点 P 是线段 AD 上一动点，O 为 BD 的中点， PO 的 延长线交 BC 于 Q. （1）求证： OP=OQ； （2）若 AD=8 厘米，AB=6 厘米，P 从点 A 出发，以 1 厘米/秒的速度向 D 运动（不与 D 重合）.设点 P 运 动时间为 t 秒，请用 t 表示 PD 的长；并求 t 为何值时，四边形 PBQD 是菱形． 【答案】（1）证明：四边形 ABCD 是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠PDO=∠QBO，又 OB=OD，∠POD=∠QOB， ∴△POD≌△QOB， ∴OP=OQ。 （2）解法一： PD=8-t ∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠A=90°， ∵AD=8cm，AB=6cm，∴BD=10cm，∴OD=5cm. 当四边形 PBQD 是菱形时， PQ⊥BD，∴∠POD=∠A，又∠ODP=∠ADB， ∴△ODP∽△ADB， ∴ OD AD PD BD  ，即 5 8 8 10t  ， 解得 7 4t  ,即运动时间为 7 4 秒时，四边形 PBQD 是菱形. 解法二：PD=8-t 当四边形 PBQD 是菱形时，PB=PD=(8-t)cm， ∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠A=90°，在 RT△ABP 中，AB=6cm， ∴ 2 2 2AP AB BP  ， ∴ 2 2 26 (8 )t t   ， 解得 7 4t  ,即运动时间为 7 4 秒时，四边形 PBQD 是菱形. 16. （2011 江苏苏州，28,9 分）（本题满分 9 分）如图①，小慧同学吧一个正三角形纸片（即△OAB）放 在直线 l1 上，OA 边与直线 l1 重合，然后将三角形纸片绕着顶点 A 按顺时针方向旋转 120°，此时点 O 运动 到了点 O1 处，点 B 运动到了点 B1 处；小慧又将三角形纸片 AO1B1 绕 B1 点按顺时针方向旋转 120°，点 A 运 动到了点 A1 处，点 O1 运动到了点 O2 处（即顶点 O 经过上述两次旋转到达 O2 处）. 小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点 O 运动所形成的图形是两段圆弧，即弧 OO1 和 弧 O1O2，顶点 O 所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两端圆弧与直线 l1 围成的图形面积等于扇 形 AOO1 的面积、△AO1B1 的面积和扇形 B1O1O2 的面积之和. 小慧进行类比研究：如图②，她把边长为 1 的正方形纸片 OABC 放在直线 l2 上，OA 边与直线 l2 重合， 然后将正方形纸片绕着顶点 A 按顺时针方向旋转 90°，此时点 O 运动到了点 O1 处（即点 B 处），点 C 运动 到了点 C1 处，点 B 运动到了点 B1 处；小慧又将正方形纸片 AO1C1B1 绕 B1 点按顺时针方向旋转 90°，……， 按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题： 问题①：若正方形纸片 OABC 按上述方法经过 3 次旋转，求顶点 O 经过的路程，并求顶点 O 在此运动 过程中所形成的图形与直线 l2 围成图形的面积；若正方形 OABC 按上述方法经过 5 次旋转，求顶点 O 经过 的路程； 问题②：正方形纸片 OABC 按上述方法经过多少次旋转，顶点 O 经过的路程是 2 22041 π？ 请你解答上述两个问题. 【答案】解问题①：如图，正方形纸片 OABC 经过 3 次旋转，顶点 O 运动所形成的图形是三段弧，即弧 OO1、 弧 O1O2 以及弧 O2O3， ∴顶点 O 运动过程中经过的路程为  )2 21(180 2902180 190  . 顶点 O 在此运动过程中所形成的图形与直线 l2 围成图形的面积为 112 12360 )2(902360 190 22   =1+π. 正方形 OABC 经过 5 次旋转，顶点 O 经过的路程为  )2 2 2 3(180 2903180 190  . 问题②：∵方形 OABC 经过 4 次旋转，顶点 O 经过的路程为  )2 21(180 2902180 190  ∴ 2 22041 π=20× )2 21(  π+ 2 1 π. ∴正方形纸片 OABC 经过了 81 次旋转. 17. （2011 江苏泰州，24，10 分）如图，四边形 ABCD 是矩形，直线 L 垂直平分线段 AC，垂足为 O，直线 L 分别与线段 AD、CB 的延长线交于点 E、F． （1）△ABC 与△FOA 相似吗？为什么？ （2）试判定四边形 AFCE 的形状，并说明理由． 【答案】(1)相似.由直线 L 垂直平分线段 AC，所以 AF=FC，∴∠FAC=∠ACF，又∵∠ABC=∠AOF=90°， ∴△ABC∽FOA． （2）四边形 AFCE 是菱形。理由：∵AE∥CF，∴∠EAO=∠FCO，又∵AO＝CO，∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△ COF，∴AE=CF，又 AE∥CF，∴四边形 AFCE 为平行四边形，又 AF=FC，所以平行四边形 AFCE 为菱形． 18. （2011 江苏泰州，28，12 分）在平面直角坐标系 xoy 中，边长为 a（a 为大于 0 的常数）的正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 P，顶点 A 在 x 轴正半轴上运动，顶点 B 在 y 轴正半轴上运动（x 轴的正半轴、 y 轴的正半轴都不包含原点 O），顶点 C、D 都在第一象限． （1）当∠BAO=45°时，求点 P 的坐标; (2)求证：无论点 A 在 x 轴正半轴上、点 B 在 y 轴正半轴上怎样运动，点 P 都在∠AOB 的平分线上； （3）设点 P 到 x 轴的距离为 h，试确定 h 的取值范围，并说明理由． 【答案】解：（1）当∠BAO=45°时，∠PAO=90°，在 Rt⊿AOB 中，OA＝ 2 2 AB＝ a2 2 ，在 Rt⊿APB 中， PA＝ 2 2 AB＝ a2 2 。∴点 P 的坐标为（ a2 2 ， a2 2 ） （2）过点 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线垂足分别为 M、N，则有∠PMA=∠PNB=∠NPM=∠BPA=90°，∴∠MPA= ∠NPB，又 PA＝PB，∴△PAM≌△PBN，∴PM=PN，于是，点 P 都在∠AOB 的平分线上； （3） 2 a ＜h≤ a2 2 。当点 B 与点 O 重合时，点 P 到 AB 的距离为 2 a ，然后顶点 A 在 x 轴正半轴上向左 运动，顶点 B 在 y 轴正半轴上向上运动时，点 P 到 AB 的距离逐渐增大，当∠BAO=45°时，PA⊥x 轴，这时 点 P 到 AB 的距离最大为 a2 2 ，然后又逐渐减小到 2 a ，∵x 轴的正半轴、y 轴的正半轴都不包含原点 O ， ∴点 P 到 x 轴的距离的取值范围是 2 a ＜h≤ a2 2 。 19. （2011 山东济宁，17， 5 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 O 作直 线 EF⊥BD，分别交 AD、BC 于点 E 和点 F，求证：四边形 BEDF 是菱形． 第 17 题 【答案】证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AD∥BC，OB=OD，…………………………………………1 分 ∴∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，…………………………2 分 ∴△OED≌△OFB， ∴DE=BF，………………………………………………………3 分 又∵DE∥BF， ∴四边形 BEDF 是平行四边形，………………………………4 分 ∵EF⊥BD， ∴四边形 BEDF 是菱形．………………………………………5 分 20．（2011 山东聊城，25，12 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝12cm，BC＝8cm，点 E、F、G 分别从点 A、B、 C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点 E、G 的速度均为 2cm/s，点 F 的速度为 4cm/s， 当点 F 追上点 G（即点 F 与点 G 重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第 t 秒时，△EFG 的 面积为 S（cm2）． （1）当 t＝1 秒时，S 的值是多少？ （2）写出 S 和 t 之间的函数解析式，并指出自变量 t 的取值范围． （3）若点 F 在矩形的边 BC 上移动，当 t 为何值时，以点 E、B、F 为顶点的三角形与以 F、C、G 为顶 点的三角形相似？请说明理由． 【答案】（1）如图甲，当 t＝1 秒时，AE＝2，EB＝10，BF＝4，FC＝4，CG＝2，由 S＝S 梯形 EGCG－SEBF－SFCG ＝ 2 1 (10＋2)×8－ 2 1 ×10×4－ 2 1 ×4×2＝24 (2)如图（甲），当 0≤t≤2 时，点 E、F、G 分别在 AB、BC、CD 上移动，此时 AE＝2t，EB＝12－2t， BF＝4t，FC＝8－4t，S＝8t2－32t＋48（0≤t≤2） （3）如图乙，当点 F 追上点 G 时，4t＝2t＝8，解得 t＝4，当 2＜t≤4 时，CF＝4t－8，CG＝2t，FG ＝CG－CF＝8－2t，即 S＝－8t＋32(2＜t≤4)， (3)如图（甲），当点 F 在矩形的边 BC 上移动时，0≤t≤2，在 EFF 和 FCG 中，B＝C＝90，，①若 CG BF FC EB  ， 即 t t t t 2 4 48 212   ，解得 t＝ 3 2 ，又 t＝ 3 2 满足 0≤t≤2，所以当 t＝ 3 2 时△EBF∽△GCF②若 CF BF GC EB  ， 即 t t t t 48 4 2 212  ，解得 t＝ 2 3 ，又 t＝ 2 3 满足 0≤t≤2，所以当 t＝ 2 3 时△EBF∽△GCF，综上知，当 t ＝ 3 2 或 2 3 时，以点 E、B、F 为顶点的三角形与以 F、C、G 为顶点的三角形相似 21. （2011 山东潍坊，18，8 分）已知正方形 ABCD 的边长为 a，两条对角线 AC、BD 相交于点 O，P 是射线 AB 上任意一点，过 P 点分别做直线 AC、BD 的垂线 PE、PF，垂足为 E、F. （1）如图 1，当 P 点在线段 AB 上时，求 PE+PF 的值； （2）如图 2，当 P 点在线段 AB 的延长线上时，求 PE－PF 的值. 【解】（1）∵四边形 ABCD 为正方形，∴AC⊥BD. ∵PF⊥BD，∴PF//AC，同理 PE//BD. ∴四边形 PFOE 为矩形，故 PE=OF. 又∵∠PBF=45°，∴PF=BF. ∴PE+PF=OF+FB=OB= 2cos 45 2 a a  . （2）∵四边形 ABCD 为正方形，∴AC⊥BD. ∵PF⊥BD，∴PF//AC，同理 PE//BD. ∴四边形 PFOE 为矩形，故 PE=OF. 又∵∠PBF=45°，∴PF=BF. ∴PE－PF=OF－BF= OB= 2cos 45 2 a a  . 22. （2011 四川广安，23，8 分）如图 5 所示，在菱形 ABCD 中，∠ABC= 60°，DE∥AC 交 BC 的延长 线于点 E．求证：DE= 1 2 BE 【答案】证明：∵ABCD 是菱形，∠ABC= 60° ∴BC=AC=AD 又∵DE∥AC ∴ACED 为平行四边形 ∴CE=AD=BC DE=AC ∴DE=CE=BC ∴DE= 1 2 BE 23. (2011 江苏南京，21，7 分)如图，将□ABCD 的边 DC 延长到点 E，使 CE=DC，连接 AE，交 BC 于点 F． ⑴求证：△ABF≌△ECF ⑵若∠AFC=2∠D，连接 AC、BE．求证：四边形 ABEC 是矩形． 图 5 A B C D E F (第 21 题) 【答案】证明：⑴∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD,AB=CD．∴∠ABF=∠ECF. ∵EC=DC, ∴AB=EC． 在△ABF 和△ECF 中，∵∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC， ∴⊿ABF≌⊿ECF． （2）解法一：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形 ABEC 是平行四边形．∴AF=EF， BF=CF． ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠ABC=∠D，又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC． ∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，∴∠ABF=∠BAF．∴FA=FB． ∴FA=FE=FB=FC, ∴AE=BC．∴口 ABEC 是矩形． 解法二：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形 ABEC 是平行四边形． ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D=∠BCE． 又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠BCE， ∵∠AFC=∠FCE+∠FEC，∴∠FCE=∠FEC．∴∠D=∠FEC．∴AE=AD． 又∵CE=DC，∴AC⊥DE．即∠ACE=90°． ∴口 ABEC 是矩形． 24. （2011 江苏南通，26，10 分）（本体满分 10 分） 已知：如图 1，O 为正方形 ABCD 的中心，分别延长 OA 到点 F，OD 到点 E，使 OF＝2OA，OE＝2OD，连 结 EF，将△FOE 绕点 O 逆时针旋转α角得到△ ' 'F OE （如图 2）. （1） 探究 AE′与 BF'的数量关系，并给予证明； （2） 当α＝30°时，求证：△AOE′为直角三角形. 【答案】（1）AE′＝BF 证明：如图 2， ∵在正方形 ABCD 中， AC⊥BD ∴∠ ' 'F OE ＝∠AOD＝∠AOB＝90° 即∠AOE′＋∠AOF′＝∠BOF′＋∠AOF′ ∴∠AOE′＝∠BOF′ 又∵OA＝OB＝OD，OE′＝2OD，OF′＝2OA ∴OE′＝OF′ ∴△OAE′≌△OBF′ ∴AE′＝BF （2）作△AOE′的中线 AM，如图 3. 则 OE′＝2OM＝2OD＝2OA ∴OA＝OM ∵α＝30° ∴∠AOM＝60° ∴△AOM 为等边三角形 ∴ MA＝MO＝ME′，∠ 'AE M ＝∠ 'E AM 又∵∠ 'AE M ＋∠ 'E AM ＝∠AMO 即 2∠ 'AE M ＝60° ∴∠ 'AE M ＝30° ∴∠ 'AE M ＋∠AOE′＝30°＋60°＝90° ∴△AOE′为直角三角形. 25. （2011 山东临沂，22，7 分）如图，△ABC 中，AB＝AC，AD、CD 分别是△ABC 两个外角的平分线．在 直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠ABC＝90°，＝2CD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，线段 OA，OB 的中点 分别为点 E，F （1）求证：AC＝AD； （2）若∠B＝60°，求证：四边形 ABCD 是菱形； 【解】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠BCA， ∴∠EAC＝∠B＋∠BCA＝2∠B， ∵AD 平分∠FAC， ∴∠FAD＝∠B， ∴AD∥BC，……………………………………………………………………（2 分） ∴∠D＝∠DCE， ∵CD 平分∠ACE， ∴∠ACD＝∠DCE， ∴∠D＝∠ACD，………………………………………………………………（3 分） ∴AC＝AD；……………………………………………………………………（4 分） （2）证明：∵∠B＝60°， ∴∠ACB＝60°，∠FAC＝∠ACE＝120°， ∴∠DCE＝∠B＝60°，………………………………………………………（5 分） ∴DC∥AB, ∵AD∥BC， ∴四边形 ABCD 为平行四边形，……………………………………………（6 分） 又由（1）知 AC＝AD， ∴AB＝AD， ∴四边形 ABCD 是菱形．……………………………………………………（7 分） 26. （2011 山东临沂，25，11 分)如图 1，奖三角板放在正方形 ABCD 上，使三角板的直角顶点 E 与正方形 ABCD 的顶点 A 重合，三角板的一边交 CD 于点 F，另一边交 CB 的延长线于点 G． （1）求证：EF＝EG； （2）如图 2，移动三角板，使顶点 E 始终在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，其他条件不变．（1）中的结 论是否仍然成立？若成立，情给予证明；若不成立，请说明理由； （3）如图 3，将（2）中的“正方形 ABCD”改为“矩形 ABCD”，且使三角板的一边经过点 B，其他条 件不变，若 AB＝a,BC＝b，求 EG EF 的值． 图 1 图 2 图 3 （1）证明：∵∠GEB＋∠BEF＝90°，∠DEF＋∠BEF＝90°， ∴∠DEF＝GEB，………………………………………………（ 1 分） 又∵ED＝BE， ∴Rt△FED≌Rt△GEB，…………………………………………（ 2 分） ∴EF＝EG．……………………………………………………（ 3 分） (2)成立．……………………………………………………………………（ 4 分） 证明：如图，过点 E 分别作 BC、CD 的垂线，垂足分别为 H、I， 则 EH＝EI，∠HEI＝90°，…………………………………（ 5 分） ∵∠GEH＋∠HEF＝90°，∠IEF＋∠HEF＝90°， ∴∠IEF＝∠GEH，……………………………………………（ 6 分） ∴Rt△FEI≌Rt△GEH, ∴EF＝EG．………………………………………………………（7 分） (3)解：如图，过点 E 分别作 BC、CD 的垂线，垂足分别为 M、N ， 则∠MEN＝90°，EM∥AB，EN∥AD,………………………（ 8 分） ∴ AB EM ＝ CA CE ＝ AD EN ， ∴ EN EM ＝ AD AB ＝ b a , …………………………………………（9 分） ∵∠GEM＋∠MEF＝90°，∠FEN＋∠MEF＝90°， ∴∠FEN＝∠GEM， ∴Rt△FEN∽Rt△GEM, …………………………………………（10 分） ∴ EG EF ＝ EM EN ＝ a b ．…………………………………………（11 分） 27. （2011 上海，23，12 分）如图，在梯形 ABCD 中，AD//BC，AB＝DC，过点 D 作 DE⊥BC，垂足为 E，并 延长 DE 至 F，使 EF＝DE．联结 BF、CF、AC． （1）求证：四边形 ABFC 是平行四边形； （2）如果 DE2＝BE·CE，求证四边形 ABFC 是矩形． 【答案】（1）连接 BD． ∵DE⊥BC，EF=DE， ∴BD=BF，CD=CF． ∵在梯形 ABCD 中，AD//BC，AB=DC， ∴四边形 ABCD 是等腰梯形． ∴BD=AC． ∴AC=BF，AB=CF． ∴四边形 ABFC 是平行四边形． （2）∵DE2 =BE·CE，EF=DE， ∴EF2 =BE·CE． ∴ EF CE BE EF  ． 又∵DE⊥BC， ∴∠CEF=∠FEB=90°． ∴△CEF∽△FEB． ∴∠CFE=∠FBE． ∵∠FBE+∠BFE=90°， ∴∠CFE +∠BFE=90°． 即∠BFC=90°． 由（1）知四边形 ABFC 是平行四边形， ∴证四边形 ABFC 是矩形． 20．28. （2011 四川乐山 20，10 分）如图，E、F 分别是矩形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 上的点，且 AE=DF。 求证：BE=CF 【答案】 证明：∵四边形 ABCD 为矩形 ∴OA=OB=OC=OD AB=CD ∵AE=DF ∴OE=OF 在ΔBOE 与ΔCOF 中，       OFOE COFBOE OCOB ∴ΔBOE≌ΔCOF(SAS) ∴BE=CF 29. （2011 湖南衡阳，26，10 分）如图，在矩形 ABCD 中，AD=4，AB=m(m＞4)，点 P 是 AB 边上的任意一 点（不与 A、B 重合），连结 PD，过点 P 作 PQ⊥PD，交直线 BC 于点 Q． (1)当 m=10 时，是否存在点 P 使得点 Q 与点 C 重合？若存在，求出此时 AP 的长；若不存在，说明理 由； (2)连结 AC，若 PQ∥AC,求线段 BQ 的长（用含 m 的代数式表示） (3)若△PQD 为等腰三角形，求以 P、Q、C、D 为顶点的四边形的面积 S 与 m 之间的函数关系式，并写 出 m 的取值范围． 【解】(1) 假设当 m=10 时，存在点 P 使得点 Q 与点 C 重合（如下图）， ∵PQ⊥PD∴∠DPC=90°，∴∠APD＋∠BPC=90°， 又∠ADP＋∠APD=90°，∴∠BPC=∠ADP， 又∠B=∠A=90°，∴△PBC∽△DAP，∴ PB BC DA AP  ， ∴10 4 4 AP AP   ，∴ 2AP  或 8，∴存在点 P 使得点 Q 与点 C 重合，出此时 AP 的长 2 或 8． (2) 如下图，∵PQ∥AC，∴∠BPQ=∠BAC，∵∠BPQ=∠ADP，∴∠BAC=∠ADP，又∠B=∠DAP=90°，∴ △ABC∽△DAP，∴ AB BC DA AP  ，即 4 4 m AP  ，∴ 16AP m  ． ∵PQ∥AC，∴∠BPQ=∠BAC，∵∠B=∠B，∴△PBQ∽△ABC， PB BQ AB BC  ，即 16 4 m BQm m   ，∴ 2 164BQ m   ． (3)由已知 PQ⊥PD，所以只有当 DP=PQ 时，△PQD 为等腰三角形（如图）， ∴∠BPQ=∠ADP，又∠B=∠A=90°，∴△PBQ≌△DAP， ∴PB=DA=4，AP=BQ= 4m  ， ∴以 P、Q、C、D 为顶点的四边形的面积 S 与 m 之间的函数关系式为：S 四边形 PQCD= S 矩形 ABCD－S△DAP－S△ QBP= 1 1 2 2DA AB DA AP PB BQ       =    1 14 4 4 4 42 2m m m        =16（4＜ m ≤8）． 30. （2011 贵州贵阳，18，10 分） 如图，点 E 是正方形 ABCD 内一点，△CDE 是等边三角形，连接 EB、EA，延长 BE 交边 AD 于点 F． （1）求证：△ADE≌△BCE；（5 分） （2）求∠AFB 的度数．（5 分） （第 18 题图） 【答案】解：（1）∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ADC=∠BCD=90°，AD=BC． ∵△CDE 是等边三角形， ∴∠CDE=∠DCE=60°，DE=CE． ∵∠ADC=∠BCD=90°，∠CDE=∠DCE=60°， ∴∠ADE=∠BCE=30°． ∵AD=BC，∠ADE=∠BCE，DE=CE， ∴△ADE≌△BCE． （2）∵△ADE≌△BCE， ∴AE=BE， ∴∠BAE=∠ABE． ∵∠BAE+∠DAE=90°，∠ABE+∠AFB=90°，∠BAE=∠ABE， ∴∠DAE=∠AFB． ∵AD=CD=DE， ∴∠DAE=∠DEA． ∵∠ADE=30°， ∴∠DAE=75°， ∴∠AFB=75°． 31. （2011 广东肇庆，20，7 分）如图，在正方形 ABCD 中，E 为对角线 AC 上一点，连接 EB、ED． （1）求证：△BEC≌△DEC； （2）延长 BE 交 AD 于点 F，若∠DEB ＝ 140 ，求∠AFE 的度数． A BC D E F 【答案】解：（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形 ∴CD＝CB， ∵AC 是正方形的对角线 ∴∠DCA＝∠BCA 又 CE ＝ CE ∴△BEC≌△DEC (2）∵∠DEB ＝ 140 由△BEC≌△DEC 可得∠DEC ＝∠BEC＝140 2＝70 ， ∴∠AEF ＝∠BEC＝70 ， 又∵AC 是正方形的对角线， ∠DAB＝90 ∴∠DAC ＝∠BAC＝90 2＝45 ， 在△AEF 中，∠AFE＝180 — 70 — 45 ＝65 32. （2011 广东肇庆，22，8 分）如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：四边形 OCED 是菱形； （2）若∠ACB＝30 ，菱形 OCED 的面积为 38 ，求 AC 的长． A B C D E O 【答案】解：（1）证明：∵DE∥OC ，CE∥OD，∴四边形 OCED 是平行四边形． ∵四边形 ABCD 是矩形 ∴ AO＝OC＝BO＝OD ∴四边形 OCED 是菱形． A B C D E O 图 F （2）∵∠ACB＝30° ∴∠DCO ＝ 90°— 30°＝ 60° 又∵OD＝ OC， ∴△OCD 是等边三角形 过 D 作 DF⊥OC 于 F，则 CF＝ 2 1 OC，设 CF＝ x ，则 OC＝ 2 x ，AC＝4 x 在 Rt△DFC 中，tan 60°＝ FC DF ∴DF＝FC tan 60° x3 由已知菱形 OCED 的面积为 38 得 OC DF＝ 38 ，即 3832  xx ， 解得 x ＝2， ∴ AC＝4 2＝8 33. （2011 湖北襄阳，25，10 分) 如图 9，点 P 是正方形 ABCD 边 AB 上一点（不与点 A，B 重合），连接 PD 并将线段 PD 绕点 P 顺时针方 向旋转 90°得到线段 PE，PE 交边 BC 于点 F，连接 BE，DF. （1）求证：∠ADP＝∠EPB； （2）求∠CBE 的度数； （3）当 AB AP 的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由. 图 9 【答案】 （1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形 ∴∠A＝∠PBC＝90°，AB＝AD，∴∠ADP＋∠APD＝90°···················· 1 分 ∵∠DPE＝90° ∴∠APD＋∠EPB＝90° ∴∠ADP＝∠EPB.·······································································2 分 （2）过点 E 作 EG⊥AB 交 AB 的延长线于点 G，则∠EGP＝∠A＝90°·········· 3 分 又∵∠ADP＝∠EPB，PD＝PE，∴△PAD≌△EGP ∴EG＝AP，AD＝AB＝PG，∴AP＝EG＝BG··········································4 分 ∴∠CBE＝∠EBG＝45°.······························································5 分 （3）方法一： 当 2 1 AB AP 时，△PFE∽△BFP.······················································ 6 分 ∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF······························7 分 设 AD＝AB＝a，则 AP＝PB＝ a2 1 ，∴BF＝BP· aAD AP 4 1 ···················· 8 分 ∴ aAPADPD 2 522  ， aBFPBPF 4 522  ∴ 5 5 PF BF PD PB ······································································ 9 分 又∵∠DPF＝∠PBF＝90°，∴△ADP∽△BFP····································10 分 方法二： 假设△ADP∽△BFP，则 PF BF PD PB  .···············································6 分 ∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF···························· 7 分 ∴ BF AP PF PD  ，·········································································8 分 ∴ BF AP BF PB  ，········································································· 9 分 ∴PB＝AP， ∴当 2 1 AB AP 时，△PFE∽△BFP. 10 分 34. （2011 湖南永州，25，10 分）探究问题： ⑴方法感悟： 如图①，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别为 DC，BC 边上的点，且满足∠EAF=45°，连接 EF，求证 DE+BF=EF． 感悟解题方法，并完成下列填空： 将△ADE 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ABG，此时 AB 与 AD 重合，由旋转可得： AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°, ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°， 因此，点 G，B，F 在同一条直线上． ∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°． ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45°． 即∠GAF=∠_________． 又 AG=AE，AF=AF ∴△GAF≌_______． ∴_________=EF，故 DE+BF=EF． 3 2 1 G E F D C B A （第 25 题）① ⑵方法迁移： 如图②，将 ABCRt 沿斜边翻折得到△ADC，点 E，F 分别为 DC，BC 边上的点，且∠EAF= 2 1 ∠DAB．试猜想 DE，BF，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想． E F D C B A （第 25 题）② ⑶问题拓展： 如图③，在四边形 ABCD 中，AB=AD，E，F 分别为 DC,BC 上的点，满足 DABEAF  2 1 ,试猜想当∠B 与 ∠D 满足什么关系时，可使得 DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）． E F D C B A （第 25 题）③ 【答案】⑴EAF、△EAF、GF． ⑵DE+BF=EF，理由如下： 假设∠BAD 的度数为 m ，将△ADE 绕点 A 顺时针旋转 m 得到△ABG，此时 AB 与 AD 重合，由旋转可得： AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°, ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°， 因此，点 G，B，F 在同一条直线上． ∵∠EAF= m2 1 ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=  mmm 2 1 2 1 ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3= m2 1 ． 即∠GAF=∠EAF 又 AG=AE，AF=AF ∴△GAF≌△EAF． ∴GF=EF， 又∵GF=BG+BF=DE+BF ∴DE+BF=EF． 3 2 1 G E F D C B A （第 25 题）②解得图 ⑶当∠B 与∠D 互补时，可使得 DE+BF=EF． 35. （2011 江苏盐城，27，12 分） 情境观察 将矩形 ABCD 纸片沿对角线 AC 剪开，得到△ABC 和△A′C′D，如图 1 所示.将△A′C′D 的顶点 A′ 与点 A 重合，并绕点 A 按逆时针方向旋转，使点 D、A(A′)、B 在同一条直线上，如图 2 所示． 观察图 2 可知：与 BC 相等的线段是 ▲ ，∠CAC′= ▲ °． 图 1 图 2 问题探究 如图 3，△ABC 中，AG⊥BC 于点 G，以 A 为直角顶点，分别以 AB、AC 为直角边，向△ABC 外作等腰 Rt△ABE 和等腰 Rt△ACF，过点 E、F 作射线 GA 的垂线，垂足分别为 P、Q. 试探究 EP 与 FQ 之间的数 量关系，并证明你的结论. 图 3 拓展延伸 如图 4，△ABC 中，AG⊥BC 于点 G，分别以 AB、AC 为一边向△ABC 外作矩形 ABME 和矩形 ACNF， 射线 GA 交 EF 于点 H. 若 AB= k AE，AC= k AF，试探究 HE 与 HF 之间的数量关系，并说明理由. 图 4 【答案】情境观察 AD（或 A′D），90 问题探究 结论：EP=FQ. 证明：∵△ABE 是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°. ∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP. ∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP. 同理 AG=FQ. ∴EP=FQ. 拓展延伸 结论： HE=HF. 理由：过点 E 作 EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为 P、Q. ∵四边形 ABME 是矩形，∴∠BAE=90°， ∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°， ∴∠ABG=∠EAP. ∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，∴AG EP = AB EA . 同理△ACG∽△FAQ，∴AG FP = AC FA . ∵AB= k AE，AC= k AF，∴AB EA = AC FA = k，∴AG EP = AG FP . ∴EP=FQ. ∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE=HF. 36. (20011 江苏镇江,23,7 分)已知:如图,在梯形 ABCD 中 AB∥CD,BC=CD,AD⊥BD,E 为 AB 中点, 求证:四边形 BCDE 是菱形. 答案:证明：∵AD⊥BD， ∴∠ADB=90°。 又 E 为 AB 中点，∴DE= 1 2 AB,BE= 1 2 AB, ∴DE=BE ∴∠ DBE =∠EDB 又 AB∥CD, ∴∠ BDC =∠EDB ∵BC=CD, ∴∠DBC =∠DBC ∴BC∥DE. ∵EB∥CD ∴四边形 BCDE 是平行四边形 ∵BC=CD ∴四边形 BCDE 是菱形。 37. (20011 江苏镇江,25,6 分)已知:如图 1,图形①满足:AD=AB,MD=MB, ∠A=72°, ∠M=144°.图形②与图 形①恰好拼成一个菱形(如图 2).记作 AB 的长度为 a,BM 的长度为 b. (1)图中①中∠B=___度,图中②中∠E=____度. (2)小明有两种纸片各若干张,其中一种纸片的形状及大小与图形①相同,这咱纸片称为“风筝一号”另一 种纸片的形状及大小与图形②相同,这种纸片称为“飞镖一号”. ①小明仅有“,风筝一号”纸片拼成一个边长为 b 的正十边形,需要这种纸片____张; ②小明用若干张“风筝一号”和 “飞镖一号”纸片拼成一个“大风筝”(如图 3),其中 ∠P=72°, ∠Q=144°,PI=PJ=a+b,IQ=JQ.庄股你在图穷匕见中画出拼接线并保留画图痕迹.(本题中均为 无重叠、无缝隙拼接) 【答案】（1）∠B=72°，∠E=36° （2）5 个； （3）图略 38. （2011贵州安顺，25，10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E， F在DE上，且AF=CE=AE． ⑴说明四边形ACEF是平行四边形； ⑵当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由． 第 25 题图 【答案】（1）证明：由题意知∠FDC =∠DCA = 90°．∴EF∥CA ∴∠AEF =∠EAC ∵AF = CE = AE ∴∠F =∠AEF =∠EAC =∠ECA 又∵AE = EA ∴△AEC≌△EAF，∴EF = CA，∴四边形 ACEF 是平行四边形 ． （2）当∠B=30°时，四边形 ACEF 是菱形 ． 理由是：∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC= AB2 1 ，∵DE 垂直平分 BC，∴ BE=CE 又∵AE=CE，∴CE= AB2 1 ，∴AC=CE，∴四边形 ACEF 是菱形． 39. （2011 河北，23，9 分）如图 12，四边形 ABCD 是正方形，点 E,K 分别在 BC,AB 上，点 G 在 BA 的延长 线上，且 CE=BK=AG. (1)求证：①DE=EG; ②DE⊥EG； （2）尺规作图：以线段 DE，DG 为边作出正方形 DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）； （3）连接（2）中的 KF，猜想并写出四边形 CEFK 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想； （4）当 n 1 CB CE 时，请直接写出 DEFG ABCD S S 正方形 正方形 的值. 【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴DC=DA，∠DCE=∠DAG=90°，又∵CE=AG，∴△DCE≌△DAG, ∴∠EDC=∠GDA,DE=DG.又∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠ADE+∠GDA=90°,∴DE⊥DG. （2）如图 (3)四边形 CEFK 为平行四边形。 证明：设 CK,DE 相交于 M 点，∵四边形 ABCD 和四边形 DEFG 都是正方形，∴AB∥CD,AB=CD,EF=DG,EF∥DG; ∵BK=AG,∴KG=AB=CD,∴四边形 CKGD 为平行四边形。∴CK=DG=EF,CK∥DG.∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°.∴ ∠KME+∠DEF=180°,∴CK∥EF,∴四边形 CKEF 为平行四边形。 （4） DEFG ABCD S S 正方形 正方形 = 1n n 2 2  40. （2011 湖南湘潭市，24，8 分）（本题满分 8 分） 两个全等的直角三角形重叠放在直线l 上，如图⑴，AB=6cm，BC=8cm， ∠ABC=90°，将 Rt△ABC 在直线l 上左右平移，如图⑵所示. ⑴ 求证：四边形 ACFD 是平行四边形; ⑵ 怎样移动 Rt△ABC，使得四边形 ACFD 为菱形; ⑶ 将 Rt△ABC 向左平移 cm4 ，求四边形 DHCF 的面积. l 图(1) A(D) B(E) C(F) D l 图(2) FE CB A H 【答案】 （1）证明：∵△ABC≌△DEF，∴AC=DF,∠ACB=∠DFE，∴AC∥DF， ∴四边形 ACFD 是平行四边形； （2）在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 AC=10cm，要使四边形 ACFD 为菱形，则 AC=CF， ∴可将 Rt△ABC 向左平移 10cm 或向右平移 10cm； （3）在 Rt△ABC 中， 6 3tan 8 4 ABACB BC     ． ∴当 Rt△ABC 向左平移 cm4 时，EC=BC-BE=8-4=4（cm）， 在 Rt△HEC 中， 3tan 4 34HE EC ACB     ． ∴四边形 DHCF 的面积为： 1 18 6 4 3 182 2       cm2． 41. （2011 湖北荆州，19，7 分）（本题满分 7 分）如图，P 是矩形 ABCD 下方一点，将△PCD 绕 P 点顺时 针旋转 60°后恰好 D 点与 A 点重合，得到△PEA，连接 EB，问△ABE 是什么特殊三角形？请说明理由. 【答案】△ABE 是等边三角形，理由如下： 因为△PEA 是将△PCD 绕 P 点顺时针旋转 60°后得到的 所以△PEA≌△PCD，且 AE 与 DC 所夹的锐角为 60° 所以 AE＝DC 又因为四边形 ABCD 是矩形 所以 DC＝AB 且 DC∥AB 所以 AE＝AB 且∠EAB＝60° 所以△ABE 是等边三角形. 2010 年全国各地中考数学真题分类汇编 第 26 章 矩形、菱形与正方形 一、选择题 1．（2010 江苏苏州）如图，在菱形 ABCD 中，DE⊥AB， 3cos 5A  ，BE=2，则 tan∠DBE 的值是 A． 1 2 B．2 C． 5 2 D． 5 5 【答案】B 2．（2010 湖南怀化）如图２，在菱形 ABCD 中， 对角线 AC=4，∠BAD=120°， 则菱形 ABCD 的周长为（ ） A．20 B．18 C．16 D．15 【答案】C 3．（2010 安徽芜湖）下列命题中是真命题的是（） A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C．两条对角线相等的平行四边形是矩形 D．两边相等的平行四边形是菱形 【答案】C 4．（2010 甘肃兰州）如图所示，菱形 ABCD 的周长为 20 cm ，DE⊥AB，垂足为 E，sin A= 5 3 ，则下列结论正 确的个数有 ① cmDE 3 ② cmBE 1 ③菱形的面积为 215cm ④ cmBD 102 A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个 【答案】C 5．（2010 江苏南通） 如图，菱形 ABCD 中，AB = 5，∠BCD = 120°，则对角线 AC 的长是 B A C D （第 8 题） A．20 B．15 C．10 D．5 【答案】D 6．（2010 江苏盐城）如图所示，在菱形 ABCD 中，两条对角线 AC＝6，BD＝8，则此菱形 的边长为 A．5 B．6 C．8 D．10 A B C D （第 6 题） 【答案】A 7．（2010 浙江省温州）下列命题中，属于假命题的是(▲) A．三角形三个内角的和等于 l80° B．两直线平行，同位角相等 C．矩形的对角线相等 D．相等的角是对顶角． 【答案】D 8．（2010 浙江省温州）如图，AC；BD 是矩形 ABCD 的对角线，过点 D 作 DE／／AC 交 BC 的延长线于 E，则 图中-与 AABC 全等的 三角形共有(．▲) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】D 9．（2010 浙江义乌）下列说法不正确．．．的是（ ▲ ） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形 【答案】D 10．（2010 重庆）已知：如图，在正方形 ABCD 外取一点 E ，连接 AE ， BE ， DE ．过点 A 作 AE 的垂线交 ED 于点 P ． 若 1AE AP  ， 5PB  ．下列结论： ①△ APD ≌△ AEB ；②点 B 到直线 AE 的距离为 2 ； ③ EB ED ；④ 1 6APD APBS S    ；⑤ 4 6ABCDS  正方形 ． 10 题图 其中正确结论的序号是（ ） A．①③④ B．①②⑤ C．③④⑤ D．①③⑤ 【答案】D 11．（2010 山东聊城）如图，点 P 是矩形 ABCD 的边 AD 的一个动点，矩形的两条边 AB、BC 的长分别为 3 和 4，那么点 P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和是（ ） A． 12 5 B． 6 5 C． 24 5 D．不确定 【答案】A 12．（2010 福建晋江）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到 4 个小正方形，称为第一次操作； 然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到 7 个小正方形，称为第二次操作；再将其中的 一个正方形再剪成四个小正方形，共得到 10 个小正方形，称为第三次操作；...，根据以上操作，若要 得到 2011 个小正方形，则需要操作的次数是( ) . 第 7 题图 A. 669 B. 670 C.671 D. 672 【答案】B 13．（2010 山东济南） 如图所示，两个全等菱形的边长为 1 厘米，一只蚂蚁由 A 点开始按 ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动，行走 2010 厘米后停下，则这只蚂蚁停在 点． CA F D E B G 【答案】C 14．（2010 江苏连云港）如图，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 互相垂直，则下列条件能判定四边形 ABCD 为菱形的是（ ） A B C D 第 7 题 A．BA＝BC B．AC、BD 互相平分 C．AC＝BD D．AB∥CD 【答案】B 15．（2010 福建宁德）如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个 直角三角形，展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是（ ）. A．2＋ 10 B．2＋2 10 C．12 D．18 【答案】B 16．（2010 江西）如图，已知矩形纸片 ABCD，点 E 是 AB 的中点，点 G 是 BC 上的一点，∠BEG>60°，现沿 直线 EG 将纸片折叠，使点 B 落在纸片上的点 H 处，连接 AH，则与∠BEG 相等的角的个数为( ) A．4 B．3 C．2 D．1 ① ②3 410 B A G C DH E (第 8 题图) 【答案】B 17．（2010 山东滨州） 如图,把一个长方形纸片对折两次,然后剪下一个角.为了得到一个正方形,剪刀与 折痕所成的角的度数应为( ) A.60° B.30° C.45° D.90° 【答案】C 18．（2010 山东潍坊）如图，已知矩形 ABCD，一条直线将该矩形 ABCD 分割成两个多边形（含三角形），若 这两个多边形的内角和分别为 M 和 N，则 M＋N 不可能是（ ）． 【答案】D 19．（2010 北京） 若菱形两条对角线的长分别为 6 和 8，则这个菱形的周长为（ ） A．20 B．16 C．12 D． 10 【答案】A 20．（2010 浙江省温州）下列命题中，属于假命题的是(▲) A．三角形三个内角的和等于 l80° B．两直线平行，同位角相等 C．矩形的对角线相等 D．相等的角是对顶角． 【答案】D 21．（2010 浙江义乌）下列说法不正确．．．的是（ ▲ ） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形 【答案】D 22．（2010 陕西西安）若一个菱形的边长为 2，则这个菱形两条对角线长的平方和为 A．16 B．8 C．4 D．1 【答案】A 23．（2010 江西省南昌）如图，已知矩形纸片 ABCD ，点 E 是 AB 的中点，点G 是 BC 上的一点，  60BEG ，现沿直线 EG 将纸片折叠，使点 B 落在约片上的点 H 处， 连接 AH ，则与 BEG 相等的角的个数为 ( ) A.4 B. 3 C.2 D.1 （第 10 题） 【答案】B 24．（2010 湖北襄樊）下列命题中，真命题有（ ） （1）邻补角的平分线互相垂直 （2）对角线互相垂直平分的四边形是正方形 （3）四边形的外角和等于 360° （4）矩形的两条对角线相等 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 25．（2010 湖北襄樊）菱形的周长为 8cm，高为 1cm，则菱形两邻角度数比为（ ） A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1 【答案】C 26．（2010 四川泸州）如图 1，四边形 ABCD 是正方形，E 是边 CD 上一点，若△AFB 经过逆时针旋转角θ后 与△AED 重合，则θ的取值可能为（ ） A．90° B．60° C．45° D．30° 【答案】A 27．（2010 山东淄博）如图所示，把一长方形纸片沿 MN 折叠后，点 D，C 分别落在 D′，C′的位置．若 ∠AMD′＝36°，则∠NFD′等于 （A）144° A B C D D′ C′ N M F (第 10 题) （B）126° （C）108° （D）72° 【答案】B 28．（2010 天津）下列命题中正确的是 （A）对角线相等的四边形是菱形 （B）对角线互相垂直的四边形是菱形 （C）对角线相等的平行四边形是菱形 （D）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【答案】D 29．（2010 湖南湘潭）下列说法中,你认为正确的是 A．四边形具有稳定性 B．等边三角形是中心对称图形 C．任意多边形的外角和是 360o D．矩形的对角线一定互相垂直 【答案】C 30．（2010 福建泉州南安）已知四边形 ABCD 中， 90A B C   ∠ ∠ ∠ ，如果添加 一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）． A． 90D  ∠ B． AB CD C． AD BC D． BC CD 【答案】D 31．（2010 四川自贡）边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30°得到正方形 AB′C′D′，两图 叠成一个“蝶形风筝”（如图所示阴影部分），则这个风筝的面积是（ ）。 A．2－ 3 3 B． 3 32 C．2－ 4 3 D．2 【答案】A 32．（2010 山东荷泽）如图，矩形纸片 ABCD 中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使 AD 边与对角线 BD 重合，折 痕为 DG，记与点 A 重合点为 A＇，则△A＇BG 的面积与该矩形的面积比为 A． 12 1 B． 9 1 C． 8 1 D． 6 1 A B CD G A＇ 【答案】C 33．（2010 山东荷泽） 如图，菱形 ABCD 中，∠B＝60°，AB＝2 ㎝，E、F 分别是 BC、CD 的中点，连结 AE、 EF、AF，则△AEF 的周长为 A． 32 ㎝ B． 33 ㎝ C． 34 ㎝ D．3 ㎝ 8 题图 A B C D E F 【答案】B 34．（2010 青海西宁） 矩形 ABCD 中，E、F、M 为 AB、BC、CD 边上的点，且 AB=6,BC=7,AE=3,DM=2,EF⊥FM, 则 EM 的长为 A．5 B． 25 C．6 D． 26 【答案】B 35．（2010 广西南宁）正方形 ABCD 、正方形 BEFG 和正方形 RKPF 的位置如图所示，点G 在线段 DK 上，正方形 BEFG 的边长为 4，则 DEK 的面积为： （A）10 （B）12 （C）14 （D）16 【答案】D 36．（2010 广东茂名）如图，边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 45 度后得到正方形 ''' DCAB ，边 ''CB 与 DC 交于点 O，则四边形 ODAB' 的周长．．是 A． 22 B．3 C． 2 D． 21 (第 10 题图) 【答案】A 37．（2010 广西柳州）如图 4，在正方形 ABCD 的外侧作等边△ADE，则∠AEB 的度数为 A．10° B．12.5° C．15° D．20° 【答案】C 38．（2010 广西柳州）如图 6，四边形 ABCD 是边长为 9 的正方形纸片，将其沿 MN 折叠，使点 B 落在 CD 边 上的 B 处，点 A 对应点为 A ，且 CB =3，则 AM 的长是 A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5 A B A C A D ] M A N A A B 图 6 【答案】B 39．（2010 湖北宜昌）如图，菱形 ABCD 中，AB=15, 120ADC  °，则 B、D 两点之间的距离为（ ）。 40．（2010 广西河池）如图 5 是用 4 个全等的直角三角形与 1 个小正方形镶嵌而成的 正方形图案，已知大正方形面积为 49，小正方形面积为 4，若用 x ， y 表示直角三角形的两直角边（ x y ），下列四个说法： ① 2 2 49x y  ，② 2x y  ，③ 2 4 49xy   ，④ 9x y  . 其中说法正确的是 【 】 A．①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ y x 图 5 【答案】B 41．（2010 广东肇庆）菱形的周长为 4，一个内角为 60°，则较短的对角线长为( ) A．2 B． 3 C．1 D．1 2 【答案】C 42．（2010 吉林）如图，在矩形 ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm，点 E、F 分别在 AB、CD 上，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 A、D 分别落在矩形 ABCD 外部的点 A’，D’处，则整个阴影部分图形的周长．．为（ ） A．18cm B．36cm C．40cm D．72cm 【答案】B A.15 B.15 32 C.7.5 D.15 3 【答案】A http://www.21cnjy.com/ 二、填空题 1．（2010 江苏盐城）小明尝试着将矩形纸片 ABCD（如图①，AD>CD）沿过 A 点的直线折叠，使得 B 点落在 AD 边上的点 F 处，折痕为 AE（如图②）；再沿过 D 点的直线折叠，使得 C 点落在 DA 边上的点 N 处，E 点落在 AE 边上的点 M 处，折痕为 DG（如图③）．如果第二次折叠后，M 点正好在∠NDG 的平分线上， 那么矩形 ABCD 长与宽的比值为 ▲ ． 【答案】 2 2．（2010 山东威海）从边长为 a 的大正方形纸板中间挖去一个边长为 b 的小正方形后，将其截成四个 相同的等腰梯形﹙如图①﹚，可以拼成一个平行四边形﹙如图②﹚． 现有一平行四边形纸片 ABCD﹙如图③﹚，已知∠A＝45°，AB＝6，AD＝4．若将该纸片按图②方式截 成四个相同的等腰梯形，然后按图①方式拼图，则得到的大正方形的面积为 ． （第 13 题） A B C D A B C D E F ① ② A B C D E G M N ③ 图 ②图 ① a b A 图 ③ B CD （第 18 题图） 【答案】 2611 ． 3．（2010 浙江嘉兴）如图，已知菱形 ABCD 的一个内角  80BAD ，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 在 AB 上，且 BOBE  ，则 EOA = ▲ 度． （第 15 题） A B D C O E 【答案】25 4．（2010 年上海）已知正方形 ABCD 中，点 E 在边 DC 上，DE = 2，EC = 1（如图 4 所示） 把线段 AE 绕点 A 旋转，使点 E 落在直线 BC 上的点 F 处，则 F、C 两点的距离为___________. C D A B E 图 4 E D C B A F F 【答案】CF=1 或 5 5．（2010 山东青岛）把一张矩形纸片（矩形 ABCD）按如图方式折叠，使顶点 B 和点 D 重合，折痕为 EF．若 AB = 3 cm，BC = 5 cm，则重叠部分△DEF 的面积是 cm2． A B CF E 'A 第 13 题图 （ 'B ）D 【答案】5.1 6．（2010 福建德化）已知菱形的两对角线长分别为 6 ㎝和 8 ㎝，则菱形的面积为 ㎝ 2. 【答案】24 7．（2010 湖南邵阳）如图（九）在等腰梯形 ABCD 中，AB∥DC，AD=BC=CD，点 E 为 AB 上一点，连结 CE， 请添加一个你认为合适的条件 ，使四边形 AECD 为菱形． A E D C B 图（九） 【答案】AE＝CD 或 AD∥CE 或 CE=BC 或∠CEB＝∠B 的任意一个都可 8．（2010 山东临沂） 正方形 ABCD 的边长为 a ,点 E 、F 分别是对角线 BD 上的两点，过点 E 、F 分别 作 AD 、 AB 的平行线，如图所示，则图中阴影部分的面积之和等于 . 【答案】 21 2 a 9．（2010 四川宜宾）如图，点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，PE⊥BC 于点 E，PF⊥CD 于点 F，连接 EF 给出下列五个结论：①AP =EF；②AP⊥EF；③△APD 一定是等腰三角形； ④∠PFE=∠BAP；⑤PD= 2EC．其中正确结论的序号是 ． （第 18 题图） 【答案】①、②、④、⑤． 10．（2010 江苏连云港）矩形纸片 ABCD 中，AB＝3，AD＝4，将纸片折叠，使点 B 落在边 CD 上的 B’处， 折痕为 AE．在折痕 AE 上存在一点 P 到边 CD 的距离与到点 B 的距离相等，则此相等距离为________． 第 18 题 AB CB’D E P 【答案】 11．（2010 黄冈）如图矩形纸片 ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD 上有一点 E，ED＝2cm，AD 上有一点 P，PD ＝3cm，过 P 作 PF⊥AD 交 BC 于 F，将纸片折叠，使 P 点与 E 点重合，折痕与 PF 交于 Q 点，则 PQ 的长 是____________cm. 【答案】 3 4 12．（2010 河北）把三张大小相同的正方形卡片 A，B，C 叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡 片覆盖的部分用阴影表示．若按图 10-1 摆放时，阴影部分的面积为 S1；若按图 10-2 摆放时，阴影部 分的面积为 S2，则 S1 S2（填“＞”、“＜”或“=”）． 图 10-1 A C B C B A 图 10-2 【答案】= 13．（2010 山东省德州）在四边形 ABCD 中，点 E，F，G，H 分别是边 AB，BC，CD，DA 的中点，如果四 边形 EFGH 为菱形，那么四边形 ABCD 是 （只要写出一种即可）． 【答案】答案不唯一：只要是对角线相等的四边形均符合要求．如：正方形、矩形、等腰梯形等． 14．2010 广东珠海）如图，P 是菱形 ABCD 对角线 BD 上一点，PE⊥AB 于点 E，PE＝4cm， 则点 P 到 BC 的距离是_____cm. 【答案】4 15．（2010 四川巴中）如图 5 所示，已知□ABCD，下列条件：①AC=BD，②AB=AD，③∠1=∠2，④AB⊥BC 中，能说明□ABCD 是矩形的有 （填写番号）。 图 5 【答案】①④ 16．（2010 江苏淮安）已知菱形 ABCD 中,对角线 AC=8cm，BD=6cm，在菱形内部(包括边界)任取一点 P，使 △ACP 的面积大于 6 cm2 的概率为 ． 【答案】 1 4 17．（2010 湖南株洲）如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC 和 BD 相交于点 O ， 4AC cm ， 8BD cm ，则这个菱形的面积是 2cm ． O D C B A 第 14 题图 【答案】16 18．（2010 广东中山）如图（1），已知小正方形 ABCD 的面积为 1，把它的各边延长一倍得到新正方形 1111 DCBA ；把正方形 1111 DCBA 边长按原法延长一倍得到正方形 2222 DCBA （如图（2））；以此下去，则 正方形 nnnn DCBA 的面积为 ． 【答案】625 19．(2010 江苏苏州)如图，四边形 ABCD 是正方形，延长 AB 到 E， 使 AE=AC，则∠BCE 的度数是 ▲ °． 【答案】22.5 20．（2010 湖北恩施自治州）如图，在矩形 ABCD 中，AD =4，DC =3，将△ADC 按逆时针方向绕点 A 旋转到 △AEF（点 A、B、E 在同一直线上），连结 CF，则 CF = . 【答案】5 2 21．（2010 山东泰安）如图，将矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使 D 点与 BC 边的中点 D/重合，若 BC=8，CD=6， 则 CF= . 【答案】 3 5 22．（2010 云南楚雄）如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点O ，在不添加任何辅助线和字母的 情况下，请添加一个条件，使得□ABCD 变为矩形，需要添加的条件是 ．（写出一个即可） A B C D O 【答案】AC＝BD 或∠ABC＝90°等． 23．（2010 湖北随州）如图矩形纸片 ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD 上有一点 E，ED＝2cm，AD 上有一点 P， PD＝3cm，过 P 作 PF⊥AD 交 BC 于 F，将纸片折叠，使 P 点与 E 点重合，折痕与 PF 交于 Q 点，则 PQ 的 长是____________cm. 【答案】 3 4 24．（2010 黑龙江哈尔滨）如图，将矩形纸片 ABC（D）折叠，使点（D）与点 B 重合，点 C 落在点C 处， 折痕为 EF，若 20ABE ，那么 CEF  的度数为 度。 【答案】125 25．（2010 广东东莞）如图⑴，已知小正方形 ABCD 的面积为 1，把它的各边延长一倍得到新正方形 A1B1C1D1； 把正方形 A1B1C1D1 边长按原法延长一倍后得到正方形 A2B2C2D2（如图⑵）；以此下去…，则正方形 A4B4C4D4 的面积为 ． A B CD A1 B1 C1 D1 第 10 题图（1） C D A1 B1 C1 D1 A B A2 B2 C2 D2 第 10 题图（2） 【答案】625 26．（2010 四川绵阳）已知菱形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，若 AB = 6，∠BDC = 30 ，则菱形 的面积为 ． 【答案】18 3 27．（2010 广东汕头）如图（1），已知小正方形 ABCD 的面积为 1，把它的各边延长一倍得到新正方形 A1B1C1D1； 把正方形 A1B1C1D1 边长按原法延长一倍得到正方形 A2B2C2D2（如图（2））；以此下去···，则正方形 A4B4C4D4 的面积为__________ 第 13 题图（1） A1 B1 C1 D1 A B CD D2 A2 B2 C2 D1 C1 B1 A1 A B CD 第 13 题图（2） 【答案】625 28．（2010 山东淄博）在一块长为 8、宽为 32 的矩形中，恰好截出三块形状相同、大小不等的直角 三 角 形 ， 且 三 角 形 的 顶 点 都 在 矩 形 的 边 上 ． 其 中 面 积 最 小 的 直 角 三 角 形 的 较 短 直 角 边 的 长 是 ． 【答案】2 29．（2010 天津）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 3， E 为 CD 边上一点， 1DE  ．以点 A 为中心，把△ ADE 顺时针旋转90 ，得 △ ABE ，连接 EE ，则 EE 的长等于 ． 第（14）题 E A D E B C 【答案】 2 5 30．（2010 甘肃）如图，在 ABC△ 中，点 D、E、F 分别在边 AB 、BC 、CA 上，且 DE CA∥ ，DF BA∥ ．下 列四种说法： ①四边形 AEDF 是平行四边形； ②如果 90BAC   ，那么四边形 AEDF 是矩形； ③如果 AD 平分 BAC ，那么四边形 AEDF 是菱形； ④如果 AD BC 且 AB AC ，那么四边形 AEDF 是菱形. 其中，正确的有 .（只填写序号） Ａ Ｆ ＣＤＢ Ｅ 第 18 题图 【答案】①②③④ 31．（2010 福建泉州南安）如图，大正方形网格是由 25 个边长为 1 的小正方形组成， 把图中阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形， 那么新正方形的边长是 ． （第 16 题图） 【答案】 5 32．（2010 广西梧州）如图 3，边长为 6 的正方形 ABCD 绕点 B 按顺时针方向旋转 30°后得到正方形 EBGF， EF 交 CD 于点 H，则 FH 的长为______（结果保留根号）。 图 3 A B CD F E H G 全品中考网 【答案】6-2 3 33．（2010 广西河池）如图 2，矩形 ABCD 中，AB＝8cm，BC＝4cm，E 是 DC 的 中点，BF＝ 4 1 BC，则四边形 DBFE 的面积为 2cm ． CD E F BA 图 2 【答案】10 34．（2010 贵州铜仁）已知菱形的两条对角线的长分别为 5 和 6，则它的面积是________． 【答案】15 35．（2010 云南曲靖）如图，活动衣帽架由三个菱形组成，利用四边形的不稳定性，调整菱形的内角 ， 使衣帽架拉伸或收缩，当菱形的边长为 18cm， =1200 时，A、B 两点的距离为 cm. 【答案】54 36．（2010 黑龙江绥化）如图所示，E、F 是矩形 ABCD 对角线 AC 上的两点，试添加一个条件： ， 使得△ADF≌△CBE． 【答案】AF=CE 或 AE=CF 或 DF∥BE 或∠ABE=∠CDF 等 37．（2010 黑龙江绥化）如图，在平面直角坐标系中，边长为 1 的正方形 OA1B1C 的对角线 A1C 和 OB1 交于 点 M1；以 M1A1 为对角线作第二个正方形 A2A1B2M1，对角线 A1M1 和 A2B2 交于点 M2；以 M2A1 为对角线作第三个 正方形 A3A1B3M2，对角线 A1M2 和 A3B3 交于点 M3；……依此类推，这样作的第 n 个正方形对角线交点 Mn 的 坐标为 . 【答案】 1 11 ,2 2n n     38．（2010 内蒙呼和浩特）如图，矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠，使点 C 落在C 处， CB  交 AD 于点 E，AD = 8，AB = 4，则 DE 的长为 ． 【答案】5 三、解答题 1．（2010 安徽省中中考）如图，AD∥FE，点 B、C 在 AD 上，∠1＝∠2，BF＝BC ⑴求证：四边形 BCEF 是菱形 ⑵若 AB＝BC＝CD，求证：△ACF≌△BDE 【答案】 2．（10 湖南益阳）如图 7，在菱形 ABCD 中，∠A=60°, AB =4,O 为对角线 BD 的中点，过 O 点作 OE⊥AB， 垂足为 E． (1) 求∠ABD 的度数； (2)求线段 BE 的长． D A B C O E 60 7图 【答案】解:⑴ 在菱形 ABCD 中, ADAB  ，  60A ∴ ABD 为等边三角形 ∴  60ABD ……………………………4 分 ⑵由（1）可知 4 ABBD 又∵O 为 BD 的中点 ∴ 2OB ……………………………6 分 又∵ ABOE  ，及  60ABD ∴  30BOE ∴ 1BE ……………………………8 分 3．（10 湖南益阳）我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形 环四周的宽度相等．．．．. 一条直线 l 与方形环的边线有四个交点 M 、 'M 、 'N 、 N ．小明在探究线段 'MM 与 NN' 的 数量关系时，从点 'M 、 'N 向对边作垂线段 EM ' 、 FN' ，利用三角形全等、相似及锐角三角函数 等相关知识解决了问题．请你参考小明的思路解答下列问题： ⑴当直线 l 与方形环的对边相交时（如图 18  ），直线 l 分别交 AD 、 DA  、 CB  、 BC 于 M 、 'M 、 'N 、 N ，小明发现 'MM 与 NN' 相等，请你帮他说明理由； ⑵当直线 l 与方形环的邻边相交时（如图 28  ），l 分别交 AD 、 DA  、 CD ' 、DC 于 M 、 'M 、 'N 、 N ，l 与 DC 的夹角为 ，你认为 'MM 与 NN' 还相等吗？若 相等，说明理由；若不 相等，求出 NN MM ' ' 的值（用含 的三角函数表示）. M A CD 'N B 'C E 'B 'M 'A 'D NF l ( 'N A CD E B M N 'A 'D F'M 'C 'B l 18 图 【答案】 ⑴解: 在方形环中， ∵ ADBCFNADEM ,',  ∥ BC ∴ NFNMEMFNNEMMFNEM ',90','   ∴△ EMM ' ≌△ FNN' ∴ NNMM ' ……………………………5 分 ⑵解法一：∵  MMENFNMMENNF ,90 ∴ NNF  ∽ EMM  ……………………………8 分 ∴ NF EM NN MM  ' ∵ FNEM  ∴ tan' '  NF FN NN MM （或   cos sin ）……………………………10 分 ①当  45 时，tan =1,则 NNMM  ②当  45 时， NNMM  则 tan  NN MM （或   cos sin ） ……………………………12 分 解法二：在方形环中，  90D 又∵ CDFNADEM  ', ∴ EM  ∥ EMFNDC ', ∴  NFNEMM ' 在 FNNRt  与 EMMRt  中， MM EM NN FN    cos,'sin NN MM EM MM NN FN    ' cos sintan   即 tan  NN MM （或   cos sin ） ……………………………10 分 ①当  45 时， NNMM  28 图 ②当  45 时， NNMM  则 tan  NN MM （或   cos sin ） ……………………………12 分 4．（2010 江苏南京）（8 分）如图，正方形 ABCD 的边长是 2，M 是 AD 的中点，点 E 从点 A 出发，沿 AB 运 动到点 B 停止，连接 EM 并延长交射线 CD 于点 F，过 M 作 EF 的垂线交射线 BC 于点 G，连结 EG、FG。 （1）设 AE= x 时，△EGF 的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）P 是 MG 的中点，请直接写出点 P 的运动路线的长。 【答案】 解:（1）当点 E 与点 A 重合时，x=0，y= 1 2 ×2×2=2； 当点 E 与点 A 不重合时，0＜x≤2． 在正方形 ABCD 中，∠A=∠ADC=90°， ∴∠MDF=90°，∴∠A=∠MDF． ∵AM=DM，∠AMF=∠DMF， ∴△AME≌△DMF， ∴ME=MF． 在 Rt△AME 中，AE=x，AM=1，ME= 2 1x  ． ∴EF=2MF=2 2 1x  ． 过点 M 作 MN⊥BC，垂足为 N（如图）． 则∠MNG=90°，∠AMN=90°，MN=AB=AD=2AM． ∴∠AME+∠EMN=90°． ∵∠EMG=90°， ∴∠GMN+∠EMN=90°， ∴∠AME=∠GMN， ∴Rt△AME∽Rt△NMG， A B C D E G F P M · N ∴ AM ME NM MG  ，即 1 2 ME MG  ， ∴MG=2ME=2 2 1x  ， ∴y= 1 2 EF·MG= 1 2 ×2 2 1x  ×2 2 1x  =2x2+2， ∴y =2x2+2，其中 0≤x≤2． （2）点 P 运动路线的长为 2． 5．（2010 辽宁丹东市） 如图，已知矩形 ABCD 中，E 是 AD 上的一点，F 是 AB 上的一点，EF⊥EC，且 EF=EC， DE=4cm，矩形 ABCD 的周长为 32cm，求 AE 的长． 第 20 题图 B C A E D F 【答案】解：在 Rt△AEF 和 Rt△DEC 中， ∵EF⊥CE， ∴∠FEC=90°， ∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°， ∴∠AEF=∠ECD． ··································································· 3 分 又∠FAE=∠EDC=90°．EF=EC ∴Rt△AEF≌Rt△DCE． ··································································5 分 AE=CD． ··································································6 分 AD=AE+4． ∵矩形 ABCD 的周长为 32 cm， ∴2（AE+AE+4）=32． ··································································8 分 解得， AE=6 （cm）． 10 分 6．（2010 山东济宁）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如 图1，正方形 ABCD 的边长为12 ， P 为边 BC 延长线上的一点， E 为 DP 的中 点，DP 的垂 直平分线交边 DC 于 M ，交边 AB 的延长线于 N .当 6CP  时， EM 与 EN 的比值是多少？ 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过 E 作直线平 行 于 BC 交 DC ， AB 分别于 F ， G ，如图 2 ，则可得： DF DE FC EP  ，因为 DE EP ， 所以 DF FC .可求出 EF 和 EG 的值，进而可求得 EM 与 EN 的 比值. (第 22 题) (1) 请按照小明的思路写出求解过程. (2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了 DP MN 的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正 确，请给予证明；如果不正确，请说明理由. 【答案】 （1）解：过 E 作直线平行于 BC 交 DC ， AB 分别于点 F ，G ， 则 DF DE FC EP  ， EM EF EN EG  ， 12GF BC  . ∵ DE EP ，∴ DF FC .·····························································2 分 ∴ 1 1 6 32 2EF CP    ， 12 3 15EG GF EF     . ∴ 3 1 15 5 EM EF EN EG    . ································································· 4 分 （2）证明：作 MH ∥ BC 交 AB 于点 H ，·······················································5 分 则 MH CB CD  ， 90MHN   . ∵ 180 90 90DCP       ， ∴ DCP MHN   . ∵ 90MNH CMN DME CDP         ， 90DPC CDP     ， ∴ DPC MNH   .∴ DPC MNH   .········································7 分 ∴ DP MN .············································································ 8 分 7．（2010 山东青岛）已知：如图，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在 BC 和 CD 上，AE = AF． （1）求证：BE = DF； （2）连接 AC 交 EF 于点 O，延长 OC 至点 M，使 OM = OA，连接 EM、FM．判断四边形 AEMF 是什么特殊 四边形？并证明你的结论． (第 22 题) H B C D E M N A P 【答案】 证明：（1）∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB＝AD,∠B = ∠D = 90°． ∵AE = AF， ∴ Rt RtABE ADF△ ≌ △ ． ∴BE＝DF． ·························· 4 分 （2）四边形 AEMF 是菱形． ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BCA = ∠DCA = 45°，BC = DC． ∵BE＝DF， ∴BC－BE = DC－DF. 即 CE CF ． ∴ OE OF ． ∵OM = OA， ∴四边形 AEMF 是平行四边形． ∵AE = AF， ∴平行四边形 AEMF 是菱形． ·························· 8 分 8．（2010 山东日照）如图，四边形 ABCD 是边长为 a 的正方形，点 G，E 分别是边 AB，BC 的中点，∠AEF=90o， 且 EF 交正方形外角的平分线 CF 于点 F． （1）证明：∠BAE=∠FEC； （2）证明：△AGE≌△ECF； （3）求△AEF 的面积． A D B E F O C M第 21 题图 【答案】 （1）证明：∵∠AEF=90o， ∴∠FEC+∠AEB=90o．………………………………………1 分 在 Rt△ABE 中，∠AEB+∠BAE=90o， ∴∠BAE=∠FEC；……………………………………………3 分 （2）证明：∵G，E 分别是正方形 ABCD 的边 AB，BC 的中点， ∴AG=GB=BE=EC，且∠AGE=180o－45o=135o． 又∵CF 是∠DCH 的平分线， ∠ECF=90o+45o=135o．………………………………………4 分 在△AGE 和△ECF 中，       FECGAE ECFAGE ECAG o ,135 , ∴△AGE≌△ECF； …………………………………………6 分 （3）解：由△AGE≌△ECF，得 AE=EF． 又∵∠AEF=90o， ∴△AEF 是等腰直角三角形．………………………………7 分 由 AB=a，BE= 2 1 a，知 AE= 2 5 a， ∴S△AEF= 8 5 a2．…………………………………………………9 分 9．（2010 四川眉山）如图，O 为矩形 ABCD 对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD． （1）试判断四边形 OCED 的形状，并说明理由； （2）若 AB=6，BC=8，求四边形 OCED 的面积． 【答案】 解：（1）四边形 OCED 是菱形．…………（2 分） ∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形 OCED 是平行四边形，…………（3 分） 又 在矩形 ABCD 中，OC=OD， ∴四边形 OCED 是菱形．…………………（4 分） （2）连结 OE．由菱形 OCED 得：CD⊥OE， …………（5 分） ∴OE∥BC 又 CE∥BD ∴四边形 BCEO 是平行四边形 ∴OE=BC=8……………………………………………（7 分） ∴S 四边形 OCED= 1 1 8 6 242 2OE CD     ……………（8 分） 10．（2010 浙江宁波）如图 1，有一张菱形纸片 ABCD，AC=8， BD=6. (1)请沿着 AC 剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一 个平行四边形，在图 2 中用实线画出你所拼成的平行四边形；若 沿着 BD 剪开，请在图 3 中用实线画出拼成的平行四边形.并直接 写出这两个平行四边形的周长. (2)沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形， 请在图 4 中用实线画出拼成的平行四边形. (注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等) (第 21 题) (图 2) (图 3) (图 4) 周长为 ▲ 周长为 ▲ (图 1) 【答案】 解：(1) 1 分 周长为 26 2 分 3 分 周长为 22 4 分 (2) 6 分 注:画法不唯一. 11．（2010 浙江绍兴） (1) 如图 1,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别在边 BC, CD 上,AE,BF 交于点 O,∠AOF＝90°. 求证：BE＝CF. (2) 如图 2,在正方形 ABCD 中,点 E,H,F,G 分别在边 AB, BC,CD,DA 上,EF,GH 交于点 O,∠FOH＝90°, EF ＝4.求 GH 的长. (3) 已知点 E,H,F,G 分别在矩形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 上，EF,GH 交于点 O, ∠FOH＝90°,EF＝4. 直接写出下列两题的答案： ①如图 3,矩形 ABCD 由 2 个全等的正方形组成,求 GH 的长； ②如图 4,矩形 ABCD 由 n 个全等的正方形组成,求 GH 的长(用 n 的代数式表示). 【答案】 (1) 证明：如图 1，∵ 四边形 ABCD 为正方形， ∴ AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°， ∴ ∠EAB+∠AEB=90°. ∵ ∠EOB=∠AOF＝90°, ∴ ∠FBC+∠AEB=90°，∴ ∠EAB=∠FBC， ∴ △ABE≌△BCF ， ∴ BE=CF． (2) 解：如图 2,过点 A 作 AM//GH 交 BC 于 M， 过点 B 作 BN//EF 交 CD 于 N,AM 与 BN 交于点 O/， 则四边形 AMHG 和四边形 BNFE 均为平行四边形， ∴ EF=BN,GH=AM， ∵ ∠FOH＝90°, AM//GH，EF//BN, ∴ ∠NO/A=90°, 故由(1)得, △ABM≌△BCN， ∴ AM=BN， 第 23 题图 1 第 23 题图 2 第 23 题图 3 第 23 题图 1 第 23 题图 2 O′ N M ∴ GH=EF=4． (3) ① 8．② 4n． 12．（2010 浙江省温州市）(本题 10 分)如图，在□ABCD 中，EF∥BD，分别交 BC，CD 于点 P，Q，交 AB， AD 的延长线于点 E．F．已知 BE=BP． 求证：(1)∠E=∠F(2)□ABCD 是菱形． 【答案】 13．（2010 重庆市潼南县）(10 分) 如图,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，点 G 是 BC 延长线上一点，连 结 AG，点 E、F 分别在 AG 上，连接 BE、DF，∠1=∠2 ， ∠3=∠4. A CB D E F G 14 2 3 题图24 （1）证明：△ABE≌△DAF； （2）若∠AGB=30°，求 EF 的长. 【答案】解：（1）∵四边形 ABCD 是正方形 ∴AB=AD 在△ABE 和△DAF 中       34 12 DAAB ∴△ABE≌△DAF-----------------------4 分 （2）∵四边形 ABCD 是正方形 ∴∠1+∠4=900 ∵∠3=∠4 ∴∠1+∠3=900 ∴∠AFD=900----------------------------6 分 在正方形 ABCD 中， AD∥BC ∴∠1=∠AGB=300 在 Rt△ADF 中，∠AFD=900 AD=2 ∴AF= 3 DF =1----------------------------------------8 分 由(1)得△ABE≌△ADF ∴AE=DF=1 ∴EF=AF-AE= 13  -----------------------------------------10 分 14．（2010 山东聊城）如图，在等边△ABC 中，点 D 是 BC 边的中点，以 AD 为边作等边△ADE． （1）求∠CAE 的度数； （2）取 AB 边的中点 F，连结 CF、CE，试证明四边形 AFCE 是矩形． 第 22 题图 【答案】（1）在等边△ABC 中，∵点 D 是 BC 边的中点，∴∠DAC＝30º，又∵等边△ADE，∴∠DAE＝60º， ∴∠CAE＝30º （2）在等边△ABC 中，∵F 是 AB 边的中点，D 是 BC 边的中点，∴CF＝AD，∠CFA＝90º，又∵AD＝AE，∴ AE＝CF，由（1）知∠CAE＝30º，∴∠EAF＝60º+30º＝90º，∴∠CFA＝∠EAF，∴CF∥AE，∵AE＝CF，∴四 边形 AFCE 是平行四边形，又∵∠CFA＝90º，∴四边形 AFCE 是矩形． 15．（2010 湖南长沙）在正方形 ABCD 中，AC 为对角线，E 为 AC 上一点，连接 EB、ED （1）求证：△BEC≌△DEC； （2）延长 BE 交 AD 于 F，当∠BED＝120°时，求 EFD 的度数． 【答案】解：（1）∵四边形 ABCD 是正方形， ∴BC＝DC 又∵AC 为对角线，E 为 AC 上一点， ∴∠BCE＝∠DCE＝45°． ∵EC＝EC, ∴△BEC≌△DEC(SAS)； （2）∵△BEC≌△DEC, ∠BED＝120°, ∴∠BEC＝∠DEC＝60°． ∵∠DAC＝45°， ∴∠ADE＝15° ∴∠EFD＝∠BED－∠ADE＝120°－15°＝105° 16．（2010 浙江金华(本题 12 分)如图，把含有 30°角的三角板 ABO 置入平面直角坐标系中，A，B 两点坐 标分别为 （3，0）和(0，3 3 ）.动点 P 从 A 点开始沿折线 AO-OB-BA 运动，点 P 在 AO，OB， BA 上运动的 面四民﹒数学兴趣小组对捐款情况进行了抽样调查，速度分别为 1， 3 ，2 (长度单位/秒)﹒一直尺 的上边缘 l 从 x 轴的位置开 始以 3 3 (长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持 l∥x 轴），且分别与 OB， AB 交于 E，F 两点﹒设动点 P 与动直线 l 同时出发，运动时间为 t 秒，当点 P 沿折线 AO-OB-BA 运动一周时，直线 l 和动点 P 同时停止运动． 请解答下列问题： （1）过 A，B 两点的直线解析式是 ▲ ； （2）当 t﹦4 时，点 P 的坐标为 ▲ ；当 t ﹦ ▲ ，点 P 与点 E 重合； （3）① 作点 P 关于直线 EF 的对称点 P′. 在运动过程中，若形成的四边形 PEP′F 为 菱形，则 t 的值是多少？ ② 当 t﹦2 时，是否存在着点 Q，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点 Q 的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】 解：（1） 333  xy ； （2）（0, 3 ）， 2 9t ； （3）①当点 P 在线段 AO 上时，过 F 作 FG ⊥ x 轴， G 为垂足（如图 1） B F AP E O x y G P′P′ (图 1) ∵ FGOE  , FPEP  ,∠ EOP ∠ FGP 90° ∴△ EOP ≌△ FGP ，∴ PGOP  ﹒ 又∵ tFGOE 3 3 ,∠ A 60°,∴ tFGAG 3 1 60tan 0  而 tAP  ，∴ tOP  3 , tAGAPPG 3 2 由 tt 3 23  得 5 9t ； 当点 P 在线段 OB 上时，形成的是三角形，不存在菱形； 当点 P 在线段 BA 上时， 过 P 作 PH ⊥ EF ， PM ⊥OB ， H 、 M 分别为垂足（如图 2） B F AP E O x y l ( 第 24 题 B F A P E O x y M P′ H ∵ tOE 3 3 ,∴ tBE 3 333  ,∴ 33 60tan 0 tBEEF  ∴ 6 9 2 1 tEFEHMP  ， 又∵ )6(2  tBP 在 Rt△ BMP 中， MPBP  060cos 即 6 9 2 1)6(2 tt  ，解得 7 45t ． ②存在﹒理由如下： ∵ 2t ，∴ 33 2OE , 2AP ， 1OP 将△ BEP 绕点 E 顺时针方向旋转 90°，得到 △ ECB （如图 3） ∵ OB ⊥ EF ，∴点 B在直线 EF 上， C 点坐标为（ 33 2 ， 33 2 －1） 过 F 作 FQ ∥ CB ，交 EC 于点 Q, 则△ FEQ ∽△ ECB 由 3 QE CE FE EB FE BE ，可得 Q 的坐标为（－ 3 2 ， 3 3 ） 根据对称性可得，Q 关于直线 EF 的对称点 Q （－ 3 2 ， 3 ）也符合条件。 17．（2010 江苏泰州）如图，四边形 ABCD 是矩形，∠EDC=∠CAB，∠DEC=90°． (1)求证：AC∥DE； (2)过点 B 作 BF⊥AC 于点 F，连结 EF，试判断四边形 BCEF 的形状，并说明理由． 【答案】⑴在矩形 ABCD 中，AC∥DE，∴∠DCA=∠CAB，∵∠EDC=∠CAB， y B F AP E O x Q′ B′ QC C1 D1 (图 3) ∴∠DCA=∠EDC，∴AC∥DE； ⑵四边形 BCEF 是平行四边形． 理由：由∠DEC=90°，BF⊥AC，可得∠AFB=∠DEC=90°， 又∠EDC=∠CAB，AB=CD， ∴△DEC≌△AFB，∴DE=AF，由⑴得 AC∥DE， ∴四边形 AFED 是平行四边形，∴AD∥EF 且 AD=EF， ∵在矩形 ABCD 中，AD∥BC 且 AD=BC， ∴EF∥BC 且 EF=BC， ∴四边形 BCEF 是平行四边形． 18．（2010 江苏无锡） （1）如图 1，在正方形 ABCD 中，M 是 BC 边（不含端点 B、C）上任意一点，P 是 BC 延长线上一点，N 是∠DCP 的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN． 下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明． 证明：在边 AB 上截取 AE=MC，连 ME．正方形 ABCD 中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC． ∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE． （下面请你完成余下的证明过程） 图 1 图 2 （2）若将（1）中的“正方形 ABCD”改为“正三角形 ABC”（如图 2），N 是∠ACP 的平分线上一点，则 当∠AMN=60°时，结论 AM=MN 是否还成立？请说明理由． （3）若将（1）中的“正方形 ABCD”改为“正 n 边形 ABCD……X”，请你作出猜想：当∠AMN= °时，结论 AM=MN 仍然成立．（直接写出答案，不需要证明） 【答案】解：（1）∵AE=MC，∴BE=BM， ∴∠BEM=∠EMB=45°， ∴∠AEM=135°， ∵CN 平分∠DCP，∴∠PCN=45°，∴∠AEM=∠MCN=135° 在△AEM 和△MCN 中：∵ , , = CMN, AEM MCN AE MC EAM         ∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN （2）仍然成立． 在边 AB 上截取 AE=MC，连接 ME ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°， ∴∠ACP=120°． ∵AE=MC，∴BE=BM ∴∠BEM=∠EMB=60° ∴∠AEM=120°． ∵CN 平分∠ACP，∴∠PCN=60°， ∴∠AEM=∠MCN=120° ∵∠CMN=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠BAM ∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN （3） ( 2)180n n   19．（2010 山东临沂）如图 1，已知矩形 ABCD ，点C 是边 DE 的中点，且 2AB AD . (1)判断 ABC 的形状，并说明理由； (2)保持图 1 中的 ABC 固定不变，绕点C 旋转 DE 所在的直线 MN 到图 2 中的位置（当垂线段 AD 、BE 在直线 MN 的同侧）.试探究线段 AD 、 BE 、 DE 长度之间有什么关系？并给予证明； （3）保持图 2 中的 ABC 固定不变，继续绕点 C 旋转 DE 所在的直线 MN 到图 3 中的位置（当垂线段 AD 、 BE 在直线 MN 的异侧）.试探究线段 AD 、 BE 、 DE 长度之间有什么关系？并给予证明. 【答案】 解：（1） △ABC 是 等 腰 直 角 三 角 形。 如图（1）在矩形 ABED 中， 因为点 C 是边 DE 的中点，且 AB=2AD, 所以 AD=DC=CE=EB, ∠D=∠E=90°. ∴Rt△ADC≌Rt△BEC. E D C B A 图1 E D C B A 图2 M N N M 图3 A B C D E （第 25 题图） ∴AC=BC, ∠1=∠2=45°. ∴∠ACB=90°. ∴△ABC 是等腰直角三角形。 （2）DE=AD+BE. 如图（2），在 Rt△ADC 和 Rt△BEC 中， ∵∠1=∠CAD=90°, ∠1+∠2=90°. ∴∠CAD=∠2. 又∵AC=BC, ∠ADC=∠CEB=90°, ∴Rt△ADC≌Rt△CEB. ∴DC=BE,CE=AD. ∴DC+CE= BE+AD, 即 DE=AD+BE. （3）DE=BE-AD. 如图（3），在 Rt△ADC 和 Rt△CEB 中，∵∠1+∠CAD=90°, ∠1+∠2=90°， ∴∠CAD=∠2. 又∵∠ADC=∠CBE=90°,AC=CB, ∴Rt△ADC≌Rt△CBE. ∴DC=BE,CE=AD.∴DC-CE=BE-AD, 即 DE=BE-AD. (第25题图1) A B C D E 1 2 N M (第25题图2) A B C D E 1 2 N M (第25题图3) A B C D E 1 2 20．（2010 四川宜宾） 已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，过点 B 作 BD∥AC，且 BD=2AC，连接 AD． 试判断△ABD 的形状，并说明理由． 21 题图 【答案】过点 A 作 AE 垂直 BD 与点 E，则四边形 ACBE 为矩形，所以 CB=EA，AC=BE，且 BD=2AC，所以 BE=ED=AC，在 Rt⊿ACB 和 Rt⊿AED 中， ED=AC，CB=EA，∠ACB=∠AED= 90°，所以 Rt⊿ACB≌ Rt⊿AED（SAS）． 所以 AB=AD，所以三角形 ABD 为等腰三角形． 21．（2010 湖南衡阳）如图，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在 BC、CD 上移动，但 A 到 EF 的距离 AH 始终保持与 AB 长相等，问在 E、F 移动过程中： （1）∠EAF 的大小是否有变化？请说明理由． （2）△ECF 的周长是否有变化？请说明理由． 【答案】不变，理由是：在 Rt△ABE 和 Rt△AHE 中，AB=AH，AE=AE，所以 Rt△ABE∽Rt△AHE，所以 HE=BE， 同理 HF=DF.所以△ECF 的周长=EF+CE+CF=BC+DC.可见△ECF 的周长等于正方形边长的两倍. 22．（2010 黄冈）（6 分）如图，一个含 45°的三角板 HBE 的两条直角边与正方形 ABCD 的两邻边重合，过 E 点作 EF⊥AE 交∠DCE 的角平分线于 F 点，试探究线段 AE 与 EF 的数量关系，并说明理由。 第 18 题图 【答案】提示：由∠H＝∠FCE，AH＝CE，∠HAE＝∠FCE 可证△HAE≌△CEF，从而得到 全品中考网 AE＝EF. 23．（2010 山东莱芜）在平行四边形 ABCD 中，AC、BD 交于点 O，过点 O 作直线 EF、GH，分别交平行四边 形的四条边于 E、G、F、H 四点，连结 EG、GF、FH、HE. （1）如图①，试判断四边形 EGFH 的形状，并说明理由； （2）如图②，当 EF⊥GH 时，四边形 EGFH 的形状是 ； （3）如图③，在（2）的条件下，若 AC=BD，四边形 EGFH 的形状是 ； （4）如图④，在（3）的条件下，若 AC⊥BD，试判断四边形 EGFH 的形状，并说明理由. 【答案】解：（1）四边形 EGFH 是平行四边形． 证明：∵ ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O． ∴点 O 是 ABCD 的对称中心． ∴EO=FO，GO=HO． ∴四边形 EGFH 是平行四边形． （2）菱形． （3）菱形． （4）四边形 EGFH 是正方形． 证明：∵AC=BD，∴ ABCD 是矩形． 又∵AC⊥BD， ∴ ABCD 是菱形． ∴ ABCD 是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°．OB=OC． ∵EF⊥GH ，∴∠GOF=90°．∴∠BOG=∠COF． ∴△BOG≌△COF．∴OG=OF，∴GH=EF． 由（1）知四边形 EGFH 是平行四边形，又∵EF⊥GH，EF=GH. H G F E O D CB A 图① HG F E O D CB A 图② A B C D O E F G H 图③ A B C D O E F G H 图④ （第 23 题图） ∴四边形 EGFH 是正方形． 24．（2010 福建宁德）如图，四边形 ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上 任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN，连接 EN、AM、CM. ⑴ 求证：△AMB≌△ENB； ⑵ ①当 M 点在何处时，AM＋CM 的值最小； ②当 M 点在何处时，AM＋BM＋CM 的值最小，并说明理由； ⑶ 当 AM＋BM＋CM 的最小值为 13  时，求正方形的边长. E A D B C N M 【答案】解：⑴∵△ABE 是等边三角形， ∴BA＝BE，∠ABE＝60°. ∵∠MBN＝60°， ∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN. 即∠BMA＝∠NBE. 又∵MB＝NB， ∴△AMB≌△ENB（SAS）. ………………5 分 ⑵①当 M 点落在 BD 的中点时，AM＋CM 的值最小. ②如图，连接 CE，当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时， AM＋BM＋CM 的值最小. 理由如下：连接 MN.由⑴知，△AMB≌△ENB， ∴AM＝EN. ∵∠MBN＝60°，MB＝NB， ∴△BMN 是等边三角形. ∴BM＝MN. ∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM. 根据“两点之间线段最短”，得 EN＋MN＋CM＝EC 最短 ∴当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AM＋BM＋CM 的值最小，即等于 EC 的长. F E A D B C N M ⑶过 E 点作 EF⊥BC 交 CB 的延长线于 F， ∴∠EBF＝90°－60°＝30°. 设正方形的边长为 x，则 BF＝ 2 3 x，EF＝ 2 x . 在 Rt△EFC 中， ∵EF2＋FC2＝EC2， ∴（ 2 x ）2＋（ 2 3 x＋x）2＝  2 13  . 解得，x＝ 2 （舍去负值）. ∴正方形的边长为 2 . 25．（2010 浙江湖州）如图，已知在矩形 ABCD 中，AB＝2，BC＝3，P 是线段 AD 边上的任意一点（不含端 点 A，D），连接 PC，过点 P 作 PE⊥PC 交 AB 于 E． （1）在线段 AD 上是否存在不同于 P 的点 Q，使得 QC⊥QE？若存在， 求线段 AP 与 AQ 之间的数量关系；若不存在，请说明理由； （2）当点 P 在 AD 上运动时，对应的点 E 也随之在 AB 上运动，求 BE 的取值范围． 【答案】（1）存在，理由如下：假设存在这样的点 Q，∵FE⊥PC，∴∠APE＋∠DPC＝90°，∵∠D＝90°， ∴∠DPC ＋ ∠DCP ＝ 90° ， ∴△PAE∽△PDC ， ∴ AE AP DP CD  ， ∴ AP DP AE DC   ， 同 理 可 得 AQ DQ AE DC   ，∴ AQ DQ AP DP   ，即 3 3AQ AQ AP AP    （ ） （ ）， ∴ 2 23 3AQ AQ AP AP   ，∴ 2 2 3 3AP AQ AP AQ   ， ∴ 3AP AQ AP AQ AP AQ   （ ）（ ） （ ） ∵AP≠AQ，∴AP＋AQ＝3.∵AP≠AQ，∴AP≠ 3 2 ，即 P 不能是 AD 的中点，∴当 P 是 AD 的中点时，满足条件 的 Q 点不存在，故，当 P 不是 AD 的中点时，总存在这样的点 Q 满足条件，此时 AP＋AQ＝3． （2）设 AP＝x，BE＝y，则 DP＝3－x，AE＝2－y，又 PE⊥PC，∴△PAE∽△PDC，∴ AE AP DP CD  ，即 2 3 2 y x x   ， （第 25 题） ∴ 21 3 22 2y x x   ，当 3 32 1 22 2 x     时，y 有最小值，y 的最小值为 1 94 2 72 4 1 84 2      ，又 E 在 AB 上运 动，且 AB＝2，∴BE 的取值范围是 7 8 ≤BE＜2． 26．（2010 江苏常州）如图，在△ABC 中，AB=AC，D 为 BC 中点，四边形 ABDE 是平行四边形。求证：四边 形 ADCE 是矩形。 【答案】 27．（2010 四川成都）已知：在菱形 ABCD 中，O 是对角线 BD 上的一动点． （1）如图甲，P 为线段 BC 上一点，连接 PO 并延长交 AD 于点Q ，当O 是 BD 的中点时，求证：OP OQ ； （ 2 ） 如 图 乙 ， 连 结 AO 并 延 长 ， 与 DC 交 于 点 R ， 与 BC 的 延 长 线 交 于 点 S ． 若 4 60 , 10AD DCB BS  ，∠ ，求 AS 和OR 的长． 【答案】（1）证明：∵ABCD 为菱形，∴AD∥BC。 ∴∠OBP=∠ODQ ∵O 是是 BD 的中点， ∴OB=OD 在△BOP 和△DOQ 中， ∵∠OBP=∠ODQ，OB=OD，∠BOP=∠DOQ ∴△BOP≌△DOQ（ASA） ∴OP=OQ。 （2）解：如图，过 A 作 AT⊥BC，与 CB 的延长线交于 T. ∵ABCD 是菱形，∠DCB=60° ∴AB=AD=4，∠ABT=60° ∴AT=ABsin60°= 2 3 TB=ABcos60°=2 ∵BS=10，∴TS=TB+BS=12， ∴AS= 2 2 2 39AT TS  。 ∵AD∥BS，∴△AOD∽△SOB。 ∴ 4 2 10 5 AO AD OS SB    ， 则 2 5 AS OS OS   ,∴ 7 5 AS OS  ∵AS= 2 39 ，∴ 7 10 39 5 7OS AS  。 同理可得△ARD∽△SRC。 ∴ 4 2 6 3 AR AD RS SC    , 则 2 3 AS SR RS   ,∴ 5 3 AS RS  ， ∴ 3 6 39 5 5RS AS  。 ∴OR=OS-RS=10 39 6 39 8 39 7 5 35   。 28．（2010 湖南常德）如图 5， 已知四边形 ABCD 是菱形， DE⊥AB，DF⊥BC. 求证:△ADE≌△CDF. A B C D E F 图 5 【答案】证明：在△ADE 和△CDF 中, ∵四边形 ABCD 是菱形, ∴∠A=∠C，AD=CD. 又 DE⊥AB，DF⊥BC, ∴∠AED=∠CFD=900. ∴△ADE≌△CDF. 29．（2010 湖南常德）如图 10，若四边形 ABCD、四边形 GFED 都是正方形，显然图中有 AG=CE，AG⊥CE. （1）当正方形 GFED 绕 D 旋转到如图 11 的位置时，AG=CE 是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请 说明理由. （2）当正方形 GFED 绕 D 旋转到如图 12 的位置时，延长 CE 交 AG 于 H，交 AD 于 M. ① 求证：AG⊥CH； ②当 AD=4，DG= 2 时，求 CH 的长. A B C D E F G 图 11 A B C D EF G 图 10 B A C D E F GH 图 12 M 【答案】解：（1） AG CE 成立． 四边形 ABCD 、四边形 DEFG 是正方形， ∴ , ,GD DE AD DC  ∠ GDE  ∠ 90ADC   . ∴∠ GDA  90°-∠ ADE  ∠ EDC . ∴△ AGD  △ CED . ∴ AG CE . A B C D E F G 图 11 B A C D E F G 1 2 图 12 H PM （2）①类似（1）可得△ AGD  △ CED ， ∴∠1＝∠2 又∵∠ HMA ＝∠ DMC . ∴∠ AHM  ∠ ADC ＝ 90 . 即 .AG CH ② 解法一: 过G 作 GP AD 于 P , 由题意有 2 sin 45 1GP PD     , ∴ 3AP  ，则 tan ∠1＝ 1 3 GP AP  . 而∠1＝∠2，∴ tan ∠2＝ DM DC ＝ tan ∠1＝ 1 3 . ∴ 4 3DM  ，即 8 3AM AD DM   . 在 Rt DMC 中， 2 2CM CD DM  ＝ 2 2 44 3      ＝ 4 10 3 , 而 AMH ∽ CMD ,∴ AH AM DC CM  , 即 8 3 4 4 10 3 AH  , ∴ 4 10 5AH  . 再连接 AC ，显然有 4 2AC  , ∴   2 22 2 4 10 8 104 2 5 5CH AC AH          . 所求 CH 的长为 5 108 . 解法二：研究四边形 ACDG 的面积 过 G 作 GP AD 于 P , 由题意有 2 sin 45 1OGP PD    , B A C D E F G 1 2 图 12 H PM ∴ 3AP  , 10AG  . 而以 CD 为底边的三角形 CDG 的高=PD=1, AGD ACD ACG CGDACDGS S S S S      四边形 , ∴4×1+4×4= 10 ×CH+4 ×1. ∴ CH = 5 108 . 30．（2010 江苏扬州）如图，四边形 ABCD 是菱形，点 G 是 BC 延长线上一点，连接 AG，分别交 BD、CD 于 点 E、F，连接 CE． （1）求证：∠DAE＝∠DCE； （2）当 AE＝2EF 时，判断 FG 与 EF 有何等量关系？并证明你的结论？ A B C D E F G 【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD 是菱形 ∴∠ADE=∠CDE，AD=CD ∵DE 是公共边 ∴△ADE≌△CDE（SAS） ∴∠DAE=∠DCE (2)FG=3EF 解法一：∵四边形 ABCD 是菱形 ∴AD∥BC，∠DAE=∠G ∵∠DAE=∠DCE ∴∠DCE=∠G ∵∠CEF=∠GEC ∴△ECF∽△EGC ∴ EC EG EF EC  ∵△ADE≌△CDE ∴EA=EC ∴ EC EG EF EA  ∵AE=2EF ∴EG=2EC=4EF ∴FG=3EF 解法二：∵四边形 ABCD 是菱形 ∴AB∥CD ∴△ABE∽△FDE ∴ 2 EF AE DE BE 同理△BEG∽△DEA ∴ 2 DE BE EA EG ∴EG=2AE=4EF ∴FG=3EF 31. （2010 北京）阅读下列材料： 小贝遇到一个有趣的问题：在矩形 ABCD 中，AD＝8cm，AB＝6cm．现有一动点 P 按下列方式在矩形内 运动：它从 A 点出发，沿着与 AB 边夹角为 45°的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变 运动方向，沿着与这条边夹角为 45°的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当 点 P 碰到 BC 边，沿着与 BC 边夹角为 45°的方向作直线运动，当点 P 碰到 CD 边，再沿着与 CD 边夹角 为 45°的方向作直线运动，…，如图 1 所示．问 P 点第一次与 D 点重合前与边相碰几次，P 点第一次 与 D 点重合时所经过的路径的总长是多少． 小贝的思考是这样开始的：如图 2，将矩形 ABCD 沿直线 CD 折叠，得到矩形 A1B1CD．由轴对称的知识， 发现 P2P3＝P2E，P1A＝P1E． 图 1 图 2 请你参考小贝的思路解决下列问题： （1）P 点第一次与 D 点重合前与边相碰______次；P 点从 A 点出发到第一次与 D 点重合时所经过的路 径的总长是________cm； （2）进一步探究：改变矩形 ABCD 中 AD、AB 的长，且满足 AD＞AB．动点 P 从 A 点出发，按照阅读材 料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形 ABCD 相邻的两边上．若 P 点 第一次与 B 点重合前与边相碰 7 次，则 AB∶AD 的值为________． 【答案】解：（1）5，24 2 错误！未指定书签。错误！未指定书签。 （2）4∶5 解题思路示意图： 32. 如图 ，△ABC 是等腰直角三角形，∠A=90ｏ，点 P、Q 分别是 AB、AC 上 的动点，且满足 BP=AQ，D 是 BC 的中点. （１） 求证：△PDQ 是等腰直角三角形； （２） 当点 P 运动到什么位置时，四边形ＡPDQ 是正方形，说明 理由. 解：（1）证明：连结 AD ∵△ABC 是等腰直角三角形，D 是 BC 的中点 ∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠DAQ=∠B 又∵BP=AQ ∴△BPD≌△AQD ∴PD=QD，∠ADQ=∠BDP ∵∠BDP+∠ADP=90ｏ ∴∠ADQ+∠ADP=∠PDQ=90ｏ ∴△PDQ 为等腰直角三角形. （2）当 P 点运动到 AB 的中点时，四边形ＡPDQ 是正方形. 由（１）知△ABD 为等腰直角三角形. 当 P 点运动到 AB 的中点时，DP⊥AB，即∠APD=90ｏ 又∵∠A=90ｏ，∠PDQ=90ｏ ∴四边形ＡPDQ 为矩形 图6 F E D C B A 2 1 又∵DP=AP=AB ∴四边形ＡPDQ 是正方形. 33. （2010 云南红河哈尼族彝族自治州）如图 6，在正方形 ABCD 中，G 是 BC 上的任意一点，（G 与 B、C 两点不重合），E、F 是 AG 上的两点（E、F 与 A、G 两点不重合），若 AF=BF+EF，∠1=∠2，请判断线段 DE 与 BF 有怎样的位置关系，并证明你的结论. 【答案】解：根据题目条件可判断 DE//BF. 证明如下： ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=AD，∠BAF+∠2=90°. ∵AF=AE+EF，又 AF=BF+EF ∴AE=BF ∵∠1=∠2，∴△ABF≌△DAE（SAS）. ∴∠AFB=∠DEA，∠BAF=∠ADE. ∴∠ADE+∠2=90°， ∴∠AED=∠BFA=90°. ∴DE//BF. 34. （2010 湖北随州）如图，一个含 45°的三角板 HBE 的两条直角边与正方形 ABCD 的两邻边重合，过 E 点作 EF⊥AE 交∠DCE 的角平分线于 F 点，试探究线段 AE 与 EF 的数量关系，并说明理由。 第 18 题图 【答案】提示：由∠H＝∠FCE，AH＝CE，∠HAE＝∠FCE 可证△HAE≌△CEF，从而得到 AE＝EF. 35. （2010 江苏徐州）如图，在△ABC 中，D 是 BC 边的中点，E、F 分别在 AD 及其延长线上， CE∥BF， 连接 BE、CF． (1)求证：△BDF≌△CDE； (2)若 AB=AC，求证：四边形 BFCE 是菱形． 【答案】 36. （2010 江 苏徐州）如图①，将边长为 4cm 的正方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠(点 E、F 分别在边 AB、CD 上)，使点 B 落在 AD 边上的点 M 处，点 C 落在点 N 处，MN 与 CD 交于点 P， 连接 EP． (1)如图②，若 M 为 AD 边的中点， ①,△AEM 的周长=_____cm； ②求证：EP=AE+DP； (2)随着落点 M 在 AD 边上取遍所有的位置(点 M 不与 A、D 重合)，△PDM 的周长是否发生变化?请说明理 由． 【答案】 37. （2010 陕西西安）如图，A、B、C 三点在同一条直线上，AB=2BC。分别以 AB、BC 为边作正方形 ABEF 和正方形 BCMN，连接 FN， EC。 求证：FN=EC。 【答案】证明：FN=EC。 证明：在正方形 ABEF 和正方形 BCMN 中， AB=BE=EF，BC=BN，∠FEN=∠EBC=90° ∵AB=2BC ∴EN=BC ∴△FEN≌△EBC ∴FN=EC。 38. （2010 广东东莞）如图（1），（2）所示，矩形 ABCD 的边长 AB＝6，BC＝4，点 F 在 DC 上，DF＝2．动 点 M、N 分别从点 D、B 同时出发，沿射线 DA、线段 BA 向点 A 的方向运动（点 M 可运动到 DA 的延长线 上），当动点 N 运动到点 A 时，M、N 两点同时停止运动．连接 FM、MN、FN，当 F、N、M 不在同一直线 时，可得△FMN，过△FMN 三边的中点作△PQW．设动点 M、N 的速度都是 1 个单位／秒，M、N 运动的 时间为 x 秒．试解答下列问题： ⑴说明△FMN ∽ △QWP； ⑵设 0≤ x ≤4（即 M 从 D 到 A 运动的时间段）．试问 x 为何值时，△PQW 为直角三角形？当 x 在何范围 时，△PQW 不为直角三角形？ ⑶问当 x 为何值时，线段 MN 最短？求此时 MN 的值． 【答案】⑴∵P、Q、W 分别为△FMN 三边的中点 ∴PQ∥FN，PW∥MN ∴∠MNF＝∠PQM＝∠QPW 同理：∠NFM＝∠PQW ∴△FMN ∽ △QWP ⑵ 由⑴得△FMN ∽ △QWP，所以△FMN 为直角三角形时，△QWP 也为直角三角形．如图，过点 N 作 NECD 于 E，根据题意，得 DM＝BM＝ x ，∴AM＝4－ x ，AN＝DE＝6－ x ∵DF＝2，∴EF＝4－ x ∴MF2＝22＋x2＝x2＋4，MN2＝（4－x）2＋（6－x）2＝2x2－20x＋52，NF2＝（4－x）2＋42＝x2－8x ＋32, 1 如果∠MNF＝90°，则有 2x2－20x＋52＋x2－8x＋32＝x2＋4，解得 x1＝4，x2＝10（舍去）； ②如果∠NMF＝90°，则有 2x2－20x＋52＋x2＋4＝x2－8x＋32，化简，得：x2－6x＋12＝0，△＝ －12＜0，方程无实数根； ③如果∠MFN＝90°，则有 2x2－20x＋52＝x2＋4＋x2－8x＋32，解得 x＝ 3 4 ． ∴当 x 为 4 或 3 4 时，△PQW 为直角三角形，当 0≤ x ＜ 3 4 或 3 4 ＜ x ＜4 时，△PQW 不为直角三角形 ⑶∵点 M 在射线 DA 上，点 N 在线段 AB 上，且 AB⊥AD，∴当 M 点运动到与 A 点重合时，NM⊥AD， 根据垂线段最短原理，此时线段 MN 最短，DM＝4，则 BN＝4． ∴当 x ＝4 时，线段 MN 最短，MN＝２． 39. （2010 福建三明）正方形 ABCD 中，点 O 是对角线 AC 的中点，P 为对角线 AC 上一动点，过点 P 作 PF⊥DC 于点 F，如图 1，当点 P 与点 O 重合时，显然有 DF=CF。 （1）如图 2，若点 P 在线段 AO 上（不与 A、O 重合 0，PE⊥PB 且 PE 交 CD 点 E。 ①求证：DF=EF；②写出线段 PC、PA、CE 之间的一个等量关系式，并证明 你的结论； （2）若点 P 在线段 CA 的延长线上，PE⊥PB 且 PE 交直线 CD 于点 E。请完成图 3 并判断（1）中的结论①、②是否成立？ 若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明） 【答案】（1）证明：延长FP交AB于点Q，证明 BQP ≌ PFE 即可得出………… 4 分 （2）解：PC-PA= CE2 理 由 如 下 CEDFCFPAPCDFPACFPC 2)(2,2,2  ……8 分 （3）正确完成图 3 得 1 分，结论①仍成立，②不成立 … … … … 11 分 此时②中三条线段的数量关系是 PBPCPA 2 ………… 40．（2010 广东汕头）如图（1），（2）所示，矩形 ABCD 的边长 AB＝6，BC＝4，点 F 在 DC 上，DF＝2．动 点 M、N 分别从点 D、B 同时出发，沿射线 DA、线段 BA 向点 A 的方向运动（点 M 可运动到 DA 的延长线上）， 当动点 N 运动到点 A 时，M、N 两点同时停止运动．连接 FM、FN，当 F、N、M 不在同一直线时，可得△FMN， 过△FMN 三边的中点作△PWQ．设动点 M、N 的速度都是 1 个单位/秒，M、N 运动的时间为 x 秒．试解答下 列问题： （1）说明△FMN∽△QWP； （2）设 0≤x≤4（即 M 从 D 到 A 运动的时间段）．试问 x 为何值时，△PWQ 为直角三角形？当 x 在何范围 时，△PQW 不为直角三角形？ （3）问当 x 为何值时，线段 MN 最短？求此时 MN 的值． A B CD F A B M CFD N W P Q N WP 【答案】解：（1）∵P、Q、W 分别是△FMN 的中点 ∴PQ∥NF，QW∥MF，PW∥MN ∴四边形 PQWF、MQWP、PQNW 都是平行四边形， ∴∠F＝∠PQW，∠M＝∠PWQ ∴△FMN∽△QWP． （2）∵△FMN∽△QWP，△PWQ 为直角三角形 ∴△FMN 也是直角三角形 ∵MF2＝4＋x2，MN2＝（4－x）2＋（6－x）2，MF2＝42＋（4－x）2， ∴①若 MF 为斜边，则 4＋x2＝（4－x）2＋（6－x）2＋42＋（4－x）2 解得 177 x ，因 0≤x≤4 得， 177 x ； ②若 MN 为斜边，则（4－x）2＋（6－x）2＝4＋x2＋42＋（4－x）2 解得 3 4x ； ③若 NF 为斜边，则 42＋（4－x）2＝（4－x）2＋（6－x）2＋4＋x2 此方程无实数解． 综上，当 177 x 或 3 4x 时，△PWQ 为直角三角形；而当 3 40  x 或 1773 4  x 或 4177  x 时，△PQW 不为直角三角形． （3）①当 0≤x≤4 时，易知当 x＝4 时，MN 有最小值为 2． ②4＜x≤6 时，MN2＝（x－4）2＋（6－x）2， 故 2)5(252202 22  xxxMN ，此时，当 x＝5 时，MN 有最小值为 2 ． 综上，x＝5 时，MN 有最小值为 2 ． 41．（2010 山东淄博）已知：如图，E 为正方形 ABCD 的边 BC 延长线上的点，F 是 CD 边上一点，且 CE＝ CF，连接 DE，BF．求证：DE＝BF． F E D CB A (第 19 题) 【答案】证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴BC=DC，∠BCD=90º ∵E 为 BC 延长线上的点，∴∠DCE=90º，∴∠BCD=∠DCE． ∵CE＝CF，∴△BCF≌△DCE，∴DE＝BF． 42．（2010 天津） 在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A、B 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上， 3OA  ， 4OB  ，D 为边 OB 的中点. （Ⅰ）若 E 为边 OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点 E 的坐标； 全品中考网 （Ⅱ）若 E 、F 为边OA上的两个动点，且 2EF  ，当四边形 CDEF 的周长最小时，求点 E 、F 的坐 标. 【答案】解：（Ⅰ）如图，作点 D 关于 x 轴的对称点 D，连接CD 与 x 轴交于点 E，连接 DE . 第（25）题 y B O D C A xE D y B O D C A x 温馨提示：如图，可以作点 D 关于 x 轴 的对称点 D，连接 CD 与 x 轴交于点 E， 此时△CDE 的周长是最小的.这样，你只需 求出 OE 的长，就可以确定点 E 的坐标了. 若在边 OA上任取点 E （与点 E 不重合），连接CE 、 DE 、 D E  . 由 DE CE D E CE CD D E CE DE CE              ， 可知△ CDE 的周长最小. ∵ 在矩形OACB 中， 3OA  ， 4OB  ， D 为 OB 的中点， ∴ 3BC  ， 2D O DO   ， 6D B  . ∵ OE∥BC， ∴ Rt△ D OE ∽Rt△ D BC ，有 OE D O BC D B   . ∴ 2 3 16 D O BCOE D B      . ∴ 点 E 的坐标为（1，0）. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 分 （Ⅱ）如图，作点 D 关于 x 轴的对称点 D，在 CB 边上截取 2CG  ，连接 D G 与 x 轴交于点 E ，在 EA 上截取 2EF  . ∵ GC∥EF， GC EF ， ∴ 四边形GEFC 为平行四边形，有 GE CF . 又 DC 、 EF 的长为定值， ∴ 此时得到的点 E 、 F 使四边形 CDEF 的周长最小. ∵ OE∥BC， ∴ Rt△ D OE ∽Rt△ D BG , 有 OE D O BG D B   . ∴ ( ) 2 1 1 6 3 D O BG D O BC CGOE D B D B          . ∴ 1 723 3OF OE EF     . ∴ 点 E 的坐标为（ 1 3 ，0），点 F 的坐标为（ 7 3 ，0）. ．．．．．．．．．．．．．．．10 分 43．（2010 湖南湘潭）Rt△ABC 与 Rt△FED 是两块全等的含 30o、60o 角的三角板，按如图（一）所示拼在 一起，CB 与 DE 重合． （1）求证：四边形 ABFC 为平行四边形； （2）取 BC 中点 O，将△ABC 绕点 O 顺时钟方向旋转到如图（二）中△ CBA  位置，直线 CB  与 AB、 CF 分别相交于 P、Q 两点，猜想 OQ、OP 长度的大小关系，并证明你的猜想． (3)在(2)的条件下,指出当旋转角至少为多少度时,四边形 PCQB 为菱形(不要求证明). y B O D C A xE D G F y B O D C A xE E D A' C' B' 图(二) 图(一) Q P O A F C(E) A F C(E) B(D) B(D) 【答案】证：（1） ABC FCB   ……………………1 分 ∴AB=CF，AC=BF ……………………2 分 ∴四边形 ABCF 为平行四边形 ……………………3 分 （用其它判定方法也可） （2）OP=OQ ……………………4 分 理由如下： PBOOCQBOPCOQOBOC  ,, BOPCOQ  ……………………6 分 ∴OP=OQ ……………………7 分 (用平行四边形对称性证明也可) (3)90o ……………………8 分 44．（2010 广西桂林）求证：矩形的对角线相等． 【答案】已知：四边形 ABCD 是矩形, AC 与 BD 是对角线 ……………2 分 求证：AC=BD ………………………………………3 分 A B C D 证明： ∵四边形 ABCD 是矩形 ∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°…………4 分 又∵BC=CB …………………………5 分 ∴△ABC≌△DCB …………6 分 ∴AC=BD ……………………7 分 所以矩形的对角线相等. …………8 分 45．（2010 四川自贡）如图，在□ABCD 中，BE⊥AD 于点 E，BF⊥CD 于点 F，AC 与 BE、BF 分别交于点 G，H。 23 题图 （1）求证：△BAE∽△BCF （2）若 BG＝BH，求证四边形 ABCD 是菱形 【答案】 证明（1）∵BE⊥AD，BF⊥CD ∴∠BEA＝∠BFC＝90° ………………（1＇） 又 ABCD 是平行四边形， ∴∠BAE＝∠BCF ……………………（2＇） ∴△BAE∽△BCF ……………………………………………………（3＇） （2）∵△BAE∽△BCF ∴∠1＝∠2 ………………………………………………………………（4＇） 又 BG＝BH ∴∠3＝∠4 ∴∠BGA＝∠BHC ……………………………………………………（5＇） ∴△BGA≌△BHC（ASA） …………………………………………（6＇） ∴AB＝BC ………………………………………………………………（7＇） ∴□ABCD 为菱形 ……………………………………………………（8＇） 46．（2010 宁夏回族自治区）已知：正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 CD、DA 上的点，且 CE=DF，AE 与 BF 交于 点 M． （1）求证：△ABF≌△DAE； （2）找出图中与△ABM 相似的所有三角形（不添加任何辅助线）． 【答案】(1)证明：在正方形 ABCD 中： M F E D C B A AB=AD=CD, 且∠BAD=∠ADC= 090 ∵CE=DF ∴AD-DF=CD-CE 即：AF=DE 在△ABF 与△DAE 中       已证） 已证） 已证） ( ( ( DEAF ADEBAF DAAB ∴△ABF≌△DAE（SAS） （2）与△ABM 相似的三角形有：△FAM; △FBA; △EAD 47．（2010 宁夏回族自治区）在△ABC 中，∠BAC=45°，AD⊥BC 于 D，将△ABD 沿 AB 所在的直线折叠，使点 D 落在点 E 处；将△ACD 沿 AC 所在的直线折叠，使点 D 落在点 F 处，分别延长 EB、FC 使其交于点 M． (1)判断四边形 AEMF 的形状，并给予证明． (2)若 BD=1，CD=2，试求四边形 AEMF 的面积． 【答案】解：（1）∵AD  BC △AEB 是由△ADB 折叠所得 ∴∠1=∠3，∠E=∠ADB= 090 ，BE=BD, AE=AD 又∵△AFC 是由△ADC 折叠所得 ∴∠2=∠4，∠F=∠ADC= 090 ，FC=CD，AF=AD ∴ AE=AF---------------------------------------------2 分 又∵∠1+∠2= 045 ， ∴∠3+∠4= 045 A B C D 4 3 2 1 M F E D C B A ∴∠EAF= 090 --------------------------------------3 分 ∴四边形 AEMF 是正方形。---------------------5 分 （2）方法一：设正方形 AEMF 的边长为 x 根据题意知：BE=BD, CF=CD ∴ BM=x － 1; CM=x － 2-------------------------------------------------------------------7 分 在 Rt△BMC 中,由勾股定理得： 222 BMCMBC  ∴ 9)2()1( 22  xx 0232  xx 解之得： 2 173 1 x 2 173 2 x (舍去) ∴ 2 17313)2 173( 2 AEMFS正方形 ------------------------------------------10 分 方法二：设：AD=x ∴ ADBCS ABC  2 1 = x2 3 ∴ xSS ABCAEBCF 32  五边形 -----------------------------------------------------------7 分 ∵ )2)(1(2 1 2 1  xxCMBMS BMC 且 BMCAEBCFAEMF SSS  五边形正方形 ∴ )2)(1(2 132  xxxx 即 0232  xx 解之得： 2 173 1 x 2 173 2 x (舍去) ∴ 2 17313)2 173( 2 AEMFS正方形 ---------------------------------------------10 分 48．（2010 广西钦州市）如图，梯形 ABCD 中，AB∥CD，AC 平分∠BAD， CE∥AD 交 AB 于点 E．求证：四边形 AECD 是菱形． A B CD E 【答案】证明： ∵AB∥CD，CE∥AD， ∴四边形 AECD 是平行四边形.………3 分 ∵AC 平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC.…………4 分 又∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC＝∠DAC.…………5 分 ∴AD＝DC.…………6 分 ∴四边形 AECD 是菱形.…………8 分 49．（2010 广西钦州市）如图，将 OA = 6，AB = 4 的矩形 OABC 放置在平面直角坐标系中，动点 M、N 以 每秒１个单位的速度分别从点 A、C 同时出发，其中点 M 沿 AO 向终点 O 运动，点 N 沿 CB 向终点 B 运 动，当两个动点运动了 t 秒时，过点 N 作 NP⊥BC，交 OB 于点 P，连接 MP． （1）点 B 的坐标为 ▲ ；用含 t 的式子表示点 P 的坐标为 ▲ ；(3 分) （2）记△OMP 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式（0 < t < 6）；并求 t 为何值时，S 有最大值？(4 分) （3）试探究：当 S 有最大值时，在 y 轴上是否存在点 T，使直线 MT 把△ONC 分割成三角形和四边形两 部分，且三角形的面积是△ONC 面积的 1 3 ？若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由．(3 分) 【答案】解：（1）（6，4）；（ 2, 3t t ）.（其中写对 B 点得 1 分）································· 3 分 （2）∵S△OMP = 1 2 ×OM× 2 3 t ，·································································· 4 分 ∴S = 1 2 ×（6 -t）× 2 3 t = 21 3t +2t． ＝ 21 ( 3) 33 t   （0 < t <6）．·················································6 分 A B CD E O A BC P N M x y O A BC x y （备用图） ∴当 3t  时，S 有最大值．··························································· 7 分 （3）存在． 由（2）得：当 S 有最大值时，点 M、N 的坐标分别为：M（3，0），N（3，4）， 则直线 ON 的函数关系式为： 4 3y x ． 设点 T 的坐标为（0，b），则直线 MT 的函数关系式为： 3 by x b   ， 解方程组 4 3 3 y x by x b       得 3 4 4 4 bx b by b       ∴直线 ON 与 MT 的交点 R 的坐标为 3 4( , )4 4 b b b b  ． ∵S△OCN ＝ 1 2 ×4×3＝6，∴S△ORT ＝ 1 3 S△OCN ＝2．················································ 8 分 ① 当点 T 在点 O、C 之间时，分割出的三角形是△OR1T1，如图，作 R1D1⊥y 轴，D1 为垂足，则 S△OR1T1＝ 1 2 ••••RD1•OT ＝ 1 2 • 3 4 b b •b＝2. ∴ 23 4 16 0b b   ， b = 2 2 13 3  . ∴b1 ＝ 2 2 13 3  ，b2 ＝ 2 2 13 3  （不合题意，舍去） 此时点 T1 的坐标为（0， 2 2 13 3  ）.·····························································9 分 ② 当点 T 在 OC 的延长线上时，分割出的三角形是△R2NE，如图，设 MT 交 CN 于点 E，由①得点 E 的横 坐标为 3 12b b  ，作 R2D2⊥CN 交 CN 于点 D2，则 S△R2NE＝ 1 2 •EN•R2D2 = 1 2 • 3 12(3 )b b  • 4(4 )4 b b   96 (4 )b b   ＝2. ∴ 2 4 48 0b b   ，b= 4 16 4 48 2 13 22        . ∴b1＝ 2 13 2 ，b2＝ 2 13 2  （不合题意，舍去）． ∴此时点 T2 的坐标为（0， 2 13 2 ）． 综上所述，在 y 轴上存在点 T1（0， 2 2 13 3  ），T2（0， 2 13 2 ）符合条件． O A BC x y （备用图） N M PR2T1 T2 R1 E D2 D1 50．（2010 吉林长春）（1）在图①中。以线段 m 为一边画菱形，要求菱形的顶点均在格点上。（画一个即可） （3 分） （2）在图②中，平移 a、b、c 中的两条线段，使它们与线段 n 构成以 n 为一边的等腰直角三角形。（画一 个即可）（3 分） 【答案】 51．（2010 吉林长春）如图,四边形 ABCD 与四边形 DEFG 都是矩形,顶点 F 在 BA 的延长线上,边 DG 与 AF 交 于点 H,AD=4,DH=5,EF=6,求 FG 的长. 【答案】 52．（2010 新疆乌鲁木齐）如图 5，在平行四边形 ABCD 中，BE 平分∠ABC 交 AD 于点 E，DF 平分∠ADC 交 BC 于点 DF。 求证：（1）△ABE≌△CDF （2）若 BD⊥EF，则判断四边形 EBFD 是什么特殊 四边形，请证明你的结论。 【答案】证明：（1）四边形 ABCD 是平行四边形 ADCABCCDABCA  ,, BE 平分 ABC ，DF 平分 ADC CDFABE  …………2 分 CDFABE  （ASA） …………4 分 （2）由 CDFABE  ，得 AE=CF …………5 分 在平行四边形 ABCD 中，AD//BC，AD=BC  ,,// BFDEBFDE 四边形 EBFD 是平行四边形 …………6 分 若 EFBD  ，则四边形 EBFD 是菱形 …………8 分 53．（2010 新疆乌鲁木齐）如图 9，边长为 5 的正方形 OABC 的顶点 O 在坐标原点处，点 A、C 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上，点 E 是 OA 边上的点（不与点 A 重合），EF⊥CE，且与正方形外角平分线 AG 交于点 P。 （1）当点 E 坐标为（3，0）时，试证明 CE=EP； （2）如果将上述条件“点 E 坐标为（3，0）”改为“点 E 坐标 为 )0)(0,( tt ”，结论 CE=EP 是否仍然成立，请说明理由； （3）在 y 轴上是否存在点 M，使得四边形 BMEP 是平行四边 形？若存在，用 t 表示点 M 的坐标；若不存在，说明理由。 【答案】解：（1）过点 P 作 xPH  轴，垂足为 H 439012  CFEF ∴△COE∽△EHP HP EH OE CO  ………………2 分 由题意知：CO=5 OE=3 EH=EA+AH=2+HP 532 3 5  EHHPHP HP 得 ………………3 分 3434 2222   PHEHEPOECOCE EHPRtCOERt 中和在 故 CE=EP ………………5 分 （2）CE=EP 仍成立。 同理△COE∽△EHP HP EH OE CO  ………………6 分 由题意知：CO=5 OE=t HPtEH  5 中和在 重合不与点点 整理得 EHPRtCOERt EHtHPtAE ttHPtHP HPt t    505 )5()5(55  EPCEtEPtCE  22 2525 …………8 分 （3）y 轴上存在点 M，使得四边形 BMEP 是平行四边形 …………9 分 过点 B 作 BM//EP 交 y 轴于点 M 46905  CEP 在△BCM 和△COE 中       COEBCM OCBC 46 ∴△BCM≌△COE ∴BM=CE 而 CE=EP ∴BM=EP 由于 BM//EP ∴四边形 BMEP 是平行四边形 …………11 分 由△BCM≌△COE 可得 CM=OE=t ∴OM=CO—CM=5—t 故点 M 的坐标为 )5,0( t ………………12 分 54．（2010 年山西）如图 1，已知正方形 ABCD 是边 CD 的正方形 DEFG 的边 DE 上，连接 AE，GC。 （1）试猜想 AE 与 GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论。 （2）将正方形 DEFG 绕点 D 按顺时针方向旋转，使点 E 落在 BC 边上，如图 2，连接 AE 和 GC，你认为 （1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明：若不成立，请说明理由。 【答案】（1）答： .GCAE  …………（1 分） 证明：延长 GC 交 AE 于点 H 在正方形 ABCD 与正方形 DEFG 中，  90, CDGADEDCAD ., CDGADEDGDE  .21  …………（3 分）  9031,9032 )31(180  AHG  9090180 .GCAE  …………（5 分） （2）答：成立…………（6 分） 证明：延长 AE 和 GC 相交于点 H。 在正方形 ABCD 和正方形 DEFG 中，  90,, EDCBADBDCBADCDGDEDCAE 39021  CDGADE  45  …………（8 分） 又  9065  906,74 AEB又 ， CEHAEB  .,90,907 GCAEEHCCEH  …………（10 分） 55．（2010 广东茂名）如图，已知 OA⊥OB，OA＝4，OB＝3，以 AB 为边作矩形 ABCD，使 AD＝ a ，过点 D 作 DE 垂直 OA 的延长线交于点 E． （1）证明：△OAB∽△EDA； （3 分） （2）当 a 为何值时，△OAB 与△EDA 全等？请说明理由；并求出此时点 C 到 OE 的距离． (第 22 题图) (第 22 题备用图) 【答案】（1）证明：如图示， ∵OA⊥OB ，∴∠1 与∠2 互余， 又∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠BAD＝90o， ∴∠2 与∠3 互余，∴∠1＝∠3，·········1 分 ∵OA⊥OB，DE⊥OA，∴∠BOA＝∠DEA＝90o··2 分 ∴△OAB∽△EDA．···························3 分 (2) 解：在 Rt△OAB 中，AB＝ 543 22  ，········· 4 分 由（1）可知∠1＝∠3，∠BOA＝∠DEA＝90o， ∴当 a ＝AD=AB=5 时，△OAB 与△EDA 全等．···5 分 当 a ＝AD=AB=5 时，可知矩形 ABCD 为正方形， ∴BC＝AB，如图，过点 C 作 CH⊥OE 交 OE 于点 H， 则 CH 就是点 C 到 OE 的距离，过点 B 作 BF⊥CH 交 CH 于点 F， 则∠4 与∠5 互余，∠1 与∠5 互余，∴∠1＝∠4，·························6 分 又∵∠BFC＝∠BOA，BC＝AB，∴△OAB≌△FCB（AAS），···············7 分 ∴CF＝OA＝4，BO＝BF，∴四边形 OHFB 为正方形， ∴HF＝OB＝3，∴点 C 到 OE 的距离 CH＝CF+HF＝4+3＝7．················8 分 56．（2010 辽宁大连）如图 15，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，动点 P 从点 A 出发沿 AB 向点 B 移动，（点 P 与点 A、B 不重合），作 PD//BC 交 AC 于点 D，在 DC 上取点 E，以 DE、DP 为邻边作平行四边形 PFED，使点 F 到 PD 的距离 1 6FH PD ，连接 BF，设 AP x （1）△ABC 的面积等于 （2）设△PBF 的面积为 y ，求 y 与 x 的函数关系，并求 y 的最大值； （3）当 BP=BF 时，求 x 的值 F HP A CB E D 图 15 【答案】 57．（2010 贵州遵义）如图（1），在⊿ABC 和⊿EDC 中，AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，AB 与 CE 交于 F， ED 与 AB、BC 分别交于 M、H. (1)求证：CF=CH； (2)如图（2），⊿ABC 不动，将⊿EDC 绕点 C 旋转到∠BCE=45° 时，试判断四边形 ACDM 是什么四边形？ 并证明你的结论。 【答案】解：（1）（5 分）证明：△ ACB 和△ECD 中 ∵∠ACB=∠ECD=90° ∴∠1+∠ECB=∠2+∠ECB ∴∠1=∠2 又∵AC=CE=CB=CD ∴∠A=∠D=45° ∴△ACF≌△DCH ∴CF=CH （2）（5 分）答：四边形 ACDM 是菱形 证法一：∵∠ACB=∠ECD=90°，∠BCE=45°， ∴∠1=45°，∠2=45° 又∵∠E=∠B=45°，∴∠1=∠E，∠2=∠B ∴AC//MD，CD//AM 又∵AC=CD ∴ACDM 是菱形 证法二：∵∠ACB=∠ECD=90°，∠BCE=45°， ∴∠1=45°，∠2=45° ∴∠ACD=∠1+∠BCE+∠2=135° 又∵∠A=45°，∠D=45° ∴∠A+∠ACD=180°，∠D+∠ACD=180° ∴AC//MD，CD//AM 又∵AC=CD ∴ACDM 是菱形 58．（2010 辽宁沈阳）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E、F 分别为边 AB、AD 的中点， 连接 EF、OE、OF．求证：四边形 AEOF 是菱形． 【答案】证明： ∵点 E、F 分别为 AB、AD 的中点 ∴AE= 2 1 AB，AF= 2 1 AD 又∵四边形 ABCD 是菱形 ∴AB=AD， ∴AE=AF，………………………4 分 又∵菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ∴O 为 BD 的中点， ∴OE、OF 是⊿ABD 的中位线………………………6 分 ∴OE∥AD，OF∥AB ∴四边形 AEOF 是平行四边形………………………8 分 ∵AE=AF 四边形 AEOF 是菱形。………………………10 分 59．（2010 辽宁沈阳）如图 1，在△ABC 中，点 P 为 BC 边中点，直线 a 绕顶点 A 旋转，若点 B、P 在直线 a 的异侧，BM⊥直线 a 于点 M，CN⊥直线 a 于点 N，连接 PM、PN。 （1）延长 MP 交 CN 于点 E（如图 2）。①求证：△BPM≌△CPE；②PM=PN； （2）若直线 a 绕点 A 旋转到图 3 的位置时，点 B、P 在直线 a 的同侧，其它条件不变，此时 PM=PN 成立吗？ 若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由； （3）若直线 a 绕点 A 旋转到与 BC 边平行的位置时，其它条件不变。请直接判断四边形 MBCN 的形状及此 时 PM=PN 还成立吗？不必说明理由. 【答案】（1）证明：①如图 2 ∵BM⊥直线 a 于点 M，CN⊥直线 a 于点 N ∴∠BMN=∠CNM=90° ∴BM∥CN ∴∠MBP=∠ECP 又∵P 为 BC 边中点 ∴BP=CP 又∵∠BPM=∠CPE ∴△BPM≌△CPE………………………………3 分 ②∵△BPM≌△CPE ∴PM=PE ∴PM= 2 1 ME ∴在 Rt△MNE 中，PN= 2 1 ME ∴PM=PN……………………………………5 分 （2）成立。如图 3…………………………………6 分 证明：延长 MP 与 NC 的延长线相交于点 E ∵BM⊥直线 a 于点 M，CN⊥直线 a 于点 N ∴∠BMN=∠CNM=90° ∴∠BMN+∠CNM=180° ∴BM∥CN ∴∠MBP=∠ECP…………………………………7 分 又∵∠BPM=∠CPE ∴△BPM≌△CPE ∴PM=PE ∴PM= 2 1 ME 则在直角三角形中，PM= 2 1 ME ∴PM=PN……………………………………10 分 (3)四边形 MBCN 是矩形……………………………………11 分 PM=PN 成立……………………………………12 分 60．（2010 福建南平）如图 1，在△ABC 中，AB=BC，P 为 AB 边上一点，连接 CP，以 PA、PC 为邻边作□APCD， AC 与 PD 相交于点 E，已知∠ABC=∠AEP=α（0°<α<90°）. （1）求证：∠EAP=∠EPA； （2）□APCD 是否为矩形？请说明理由； （3）如图 2，F 为 BC 中点，连接 FP，将∠AEP 绕点 E 顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN（点 M、N 分别 是∠MEN 的两边与 BA、FP 延长线的交点）.猜想线段 EM 与 EN 之间的数量关系，并证明你的结论. 图 1 A B D C E P 图 2 A B D C E PM N F 【答案】(1)证明：在ΔABC 和ΔAEP 中 ∵∠ABC=∠AEP，∠BAC=∠EAP ∴ ∠ACB=∠APE 在ΔABC 中，AB=BC ∴∠ACB=∠BAC ∴ ∠EPA=∠EAP 1. 答：□ APCD 是矩形 ∵四边形 APCD 是平行四边形 ∴ AC=2EA, PD=2EP ∵ 由（1）知 ∠EPA=∠EAP ∴ EA=EP 则 AC=PD ∴□APCD 是矩形 2. 答： EM=EN ∵EA=EP ∴ ∠EPA=90°－ 1 2 α ∴∠EAM=180°-∠EPA=180°-(90°- 1 2 α)=90°+ 1 2 α 由（2）知∠CPB=90°,F 是 BC 的中点，∴ FP=FB ∴∠FPB=∠ABC=α ∴ ∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90°- 1 2 α+α=90°+1 2 α ∴ ∠EAM=∠EPN ∵ ∠AEP 绕点 E 顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN ∴ ∠AEP=∠MEN ∴∠AEP- ∠AEN=∠MEN-∠AEN 即 ∠MEA=∠NEP ∴ ΔEAM≌ΔEPN ∴ EM=EN 61．（2010 天门、潜江、仙桃）正方形 ABCD 中，点 O 是对角线 DB 的中点，点 P 是 DB 所在直线上的一个动 点，PE⊥BC 于 E，PF⊥DC 于 F. (1)当点 P 与点 O 重合时(如图①)，猜测 AP 与 EF 的数量及位置关系，并证明你的结论； (2)当点 P 在线段 DB 上 (不与点 D、O、B 重合)时(如图②)，探究(1)中的结论是否成立？若成立，写出 证明过程；若不成立，请说明理由； (3)当点 P 在 DB 的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断(1)中的结论是否成立？若成立，直接写 出结论；若不成立，请写出相应的结论. 【答案】（1）AP=EF，理由是：连接 PC，易知△ABP≌△CBP，所以 AP=PC，因为四边形 PE=CF 是正方 形，所以 PC=EF，所以 AP=EF. （2）AP=EF，理由是：连接 PC，易知△ABP≌△CBP，所以 AP=PC，因为四边形 PE=CF 是矩形，所以 PC=EF， 所以 AP=EF. （3）AP=EF，图形如图. 62．（2010 年福建省泉州）如图, 正方形 ABCD 中, E 是 CD 上一点, F 在 CB 的延长线上,且 BFDE  。 (1)求证: ADE ≌ ABF ； (2)问：将 ADE 顺时针旋转多少度后与 ABF 重合，旋转中心是什么？ 【答案】（1）证明：在正方形 ABCD 中  90ABCD ， ABAD  …………（1 分）  90ABF ， ABFD  ………（3 分） 又 BFDE  ……………………………（4 分） ∴ ADE ≌ ABF …………………………（5 分） （2）将 ADE 顺时针旋转 90 后与 ABF 重合， …………………………………（7 分） 旋转中心是点 A ．…………………………………（9 分） 63．（2010 广东肇庆）如图 4，四边形 ABCD 是平行四边形，AC、BD 交于点 O，∠1=∠2. （1） 求证：四边形 ABCD 是矩形； （2） 若∠BOC=120ｏ，AB=4 cm,求四边形 ABCD 的面积. 【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行加边形，AC、BD 交于点 O ∴OA=OC，OB=OD 又∵∠1=∠2 ∴OB=OC ∴OA=OB=OC=OD ∴AC=BD ∴四边形 ABCD 是矩形 （2）∵四边形 ABCD 是矩形，∠BOC=120ｏ，AB=4 ∴∠1=∠2=30ｏ，BC=4 3 ∴S 四边形 ABCD=AB BC＝16 3 cm２ 64．（2010 四川广安）已知：如右图，在矩形 ABCD 中，BE=CF，求证：AF=DE． 【答案】在矩形 ABCD 中，AB=AC，∠B=∠C=90°，又∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即 BF=CE∴△ABF≌△DCE， ∴AF=DE。 65．（2010 吉林）正方形 ABCD 与正方形 CEFG 的位置如图所示，点 G 在线段 CD 或 CD 的延长线上，分别连 接 BD、BF、FD，得到△BFD。 （1）在图①~图③中，若正方形 CEFG 的国长分别为 1、3、4，且正方形 ABCD 的边长均为 3，请通过计算 填写下表： 正方形 CEFG 的边长 1 3 4 △BFD 的面积 （2）若正方形 CEFG 的边长为 a，正方形 ABCD 的边长为 b，猜出 S△BFD 的大小，并结合图③证明你的猜想。 【答案】 66．（2010 四川达州）如图 8，将一矩形纸片 ABCD 折叠，使点 C 与点 A 重合，点 D 落在点 E 处，折痕 为 MN，图中有全等三角形吗？若有，请找出并证明. 图 8 【答案】解：有,△ABN≌△AEM. 证明：∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AB=DC，∠B=∠C=∠DAB=90° ∵四边形 NCDM 翻折得到四边形 NAEM， ∴AE=CD，∠E=∠D=90°,∠EAN=∠C=90° ∴AB=AE，∠B=∠E， ∠DAB=∠EAN， 即：∠BAN+∠NAM=∠EAM+∠NAM， ∴∠BAN=∠EAM. 在△ABN 与△AEM 中， B E, AB AE, BAN EAM,         ∴△ABN≌△AEM. 67．（2010 广东清远）如图 6，在菱形 ABCD 中，∠A=60°，E、F 分别是 AD、CD 上的两点，且 AE=DF. 求证：△ABE≌△DBF. F C D E B A 图 6 证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB=BC=CD=DA. 又∵∠A=60°， ∴△ABD 和△BCD 都是等边三角形. ∴AB=DB，∠A=∠BDF = 60°. 又∵AE=DF， ∴△ABE≌△DBF. 68．（2010 内蒙赤峰）两块完全相同的三角板 I（△ABC）和Ⅱ（△A’B’C’）如图（1）所示放置在同一 平面上 （∠C=∠C’=90o，∠ABC=∠A’B’C’ =60 o），斜边重合，若三角板Ⅱ不动，三角板 I 在三角板Ⅱ所在的 平面上向右滑动，图（2）是滑动过程中的一个位置。 （1）连结 BC’、B’C，（图（2）），求证△A’BC’≌△AB’C。 （2）三角板 I 滑动到什么位置（点 B’落在 AB 边的什么位置）时，四边形 BCB’C’是菱形？ 说明理由。 【答案】 69．（2010 广西百色）已知矩形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于点 O ， E 、 F 是对角线 BD 上的两点， 且 DEBF  . （1）按边分类， AOB 是 三角形； （2）猜想线段 AE 、 CF 的大小关系，并证明你的猜想. 第 22 题 【答案】（1）等腰 …………………………………………2′ （2）猜想： CFAE  …………………………1′ 证法一：∵四边形 ABCD 是矩形 ∴ AD ∥ BC 且 AD = BC ………………1′ ∴∠ ADB =∠ CBD …………………1′ ∵ DE = BF ∴ ADE ≌ CBF （ SAS ） ………2 ∴ CFAE  ……………1′ 证法二：∵四边形 ABCD 是矩形 ∴ ODOBOCOA  , ∵ DE = BF ∴ OFOE  又∠ AOE =∠ COF ∴ AOE ≌ COF ( SAS ) ∴ CFAE  证法三：如图，连结 AF 、 CE 由 ABCD 是矩形得 ODOBOCOA  , ∵ DE = BF ∴ OFOE  ∴四边形 AECF 是平行四边形. ∴ CFAE  70．（2010 湖北黄石）如图，正方形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、BC 边上的点，且 AE＝BF，求证 AF⊥DE. 【答案】