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  • 2021-05-13 发布

全国各地中考数学模拟试题汇编压轴题

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‎2010全国各地中考模拟数学试题汇编 压轴题 ‎1.(2010年广州中考数学模拟试题一)如图,以O为原点的直角坐标系中,A点的坐标为(0,1),直线x=1交x轴于点B。P为线段AB上一动点,作直线PC⊥PO,交直线x=1于点C。过P点作直线MN平行于x轴,交y轴于点M,交直线x=1于点N。‎ ‎  (1)当点C在第一象限时,求证:△OPM≌△PCN;‎ ‎  (2)当点C在第一象限时,设AP长为m,四边形POBC的面积为S,请求出S与m间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;‎ A B C N P M O x y x=1‎ 第1题图 ‎  (3)当点P在线段AB上移动时,点C也随之在直线x=1上移动,△PBC是否可能成为等腰三角形?如果可能,求出所有能使△PBC成为等腰直角三角形的点P的坐标;如果不可能,请说明理由。‎ 答案:(1)∵OM∥BN,MN∥OB,∠AOB=900,‎ ‎  ∴四边形OBNM为矩形。‎ ‎  ∴MN=OB=1,∠PMO=∠CNP=900‎ ‎  ∵,AO=BO=1,‎ ‎  ∴AM=PM。‎ ‎  ∴OM=OA-AM=1-AM,PN=MN-PM=1-PM,‎ ‎  ∴OM=PN,‎ ‎  ∵∠OPC=900,‎ ‎  ∴∠OPM+CPN=900,‎ ‎  又∵∠OPM+∠POM=900  ∴∠CPN=∠POM,‎ ‎  ∴△OPM≌△PCN.                            ‎ ‎  (2)∵AM=PM=APsin450=,‎ ‎  ∴NC=PM=,∴BN=OM=PN=1-;‎ ‎  ∴BC=BN-NC=1--=‎ ‎  ‎ ‎  (3)△PBC可能为等腰三角形。                   ‎ ‎  ①当P与A重合时,PC=BC=1,此时P(0,1)‎ ‎  ②当点C在第四象限,且PB=CB时,‎ ‎  有BN=PN=1-,‎ ‎  ∴BC=PB=PN=-m,‎ ‎∴NC=BN+BC=1-+-m,                      ‎ ‎  由⑵知:NC=PM=,‎ ‎  ∴1-+-m=,  ∴m=1.                  ‎ ‎  ∴PM==,BN=1-=1-,‎ ‎  ∴P(,1-).‎ ‎∴使△PBC为等腰三角形的的点P的坐标为(0,1)或(,1-)‎ ‎2. (2010年广州中考数学模拟试题(四))关于x的二次函数y=-x2+(k2-4)x+2k-2以y轴为对称轴,且与y轴的交点在x轴上方.‎ ‎(1)求此抛物线的解析式,并在直角坐标系中画出函数的草图;‎ ‎ (2)设A是y轴右侧抛物线上的一个动点,过点A作AB垂直x轴于点B,再过点A作x轴的平行线交抛物线于点D,过D点作DC垂直x轴于点C, 得到矩形ABCD.设矩形ABCD的周长为l,点A的横坐标为x,试求l关于x的函数关系式;‎ ‎ (3)当点A在y轴右侧的抛物线上运动时,矩形ABCD能否成为正方形.若能,请求出此时正方形的周长;若不能,请说明理由.‎ 答案:(1)根据题意得:k2-4=0,‎ ‎∴k=±2 .‎ 第2题图 A1‎ A2‎ B1‎ B2‎ C1‎ D1‎ C2‎ D2‎ x y 当k=2时,2k-2=2>0,‎ 当k=-2时,2k-2=-6<0.‎ 又抛物线与y轴的交点在x轴上方,‎ ‎∴k=2 .‎ ‎∴抛物线的解析式为:y=-x2+2.‎ 函数的草图如图所示:‎ ‎(2)令-x2+2=0,得x=±.‎ 当0<x<时,A1D1=2x,A1B1=-x2+2‎ ‎∴l=2(A1B1+A1D1)=-2x2+4x+4.‎ 当x>时,A2D2=2x,A2B2=-(-x2+2)=x2-2, ‎ ‎∴l=2(A2B2+A2D2)=2x2+4x-4.‎ ‎∴l关于x的函数关系式是:‎ ‎ ‎ ‎(3)解法①:当0<x<时,令A1B1=A1D1,得x2+2x-2=0.‎ 解得x=-1-(舍),或x=-1+.‎ 将x=-1+代入l=-2x2+4x+4,得l=8-8,‎ 当x>时,A2B2=A2D2‎ 得x2-2x-2=0,‎ 解得x=1-(舍),或x=1+,‎ 将x=1+代入l=2x2+4x-4,‎ 得l=8+8.‎ 综上所述,矩形ABCD能成为正方形,且当x=-1+时,正方形的周长为8-8;当x=1+时,正方形的周长为8+8. ‎ 解法②:当0<x<时,同“解法①”可得x=-1+,‎ ‎∴正方形的周长l=‎4A1D1=8x=8-8 .‎ 当x>时,同“解法①”可得x=1+,‎ ‎∴正方形的周长l=‎4A2D2=8x=8+8 .‎ 综上所述,矩形ABCD能成为正方形,且当x=-1+时,正方形的周长为8-8;当x=1+时,正方形的周长为8+8.‎ 解法③:∵点A在y轴右侧的抛物线上,‎ ‎∴当x>0时,且点A的坐标为(x,-x2+2).‎ 令AB=AD,则=2x,‎ ‎∴-x2+2=2x, ①‎ 或-x2+2=-2x, ②‎ 由①解得x=-1-(舍),或x=-1+,‎ 由②解得x=1-(舍),或x=1+.‎ 又l=8x,∴当x=-1+时,l=8-8;‎ 当x=1+时,l=8+8.‎ 综上所述,矩形ABCD能成为正方形,且当x=-1+时,正方形的周长为8-8;当x=1+时,正方形的周长为8+8.‎ ‎3.(2010年河南省南阳市中考模拟数学试题)如图所示, 在平面直角坐标系xoy中, 矩形OABC的边长OA、OC分别为‎12cm、‎6cm, 点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上, 抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B, 且‎18a + c = 0.‎ 第3题图 ‎(1)求抛物线的解析式. ‎ ‎(2)如果点P由点A开始沿AB边以‎1cm/s的速度向终点B移动, 同时点Q由点B开始沿BC边以‎2cm/s的速度向终点C移动.‎ ‎①移动开始后第t秒时, 设△PBQ的面积为S, 试写出S与t之间的函数关系式, 并写出t的取值范围.‎ ‎②当S取得最大值时, 在抛物线上是否存在点R, 使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在, 求出R点的坐标, 如果不存在, 请说明理由.‎ 答:(1)设抛物线的解析式为,‎ 由题意知点A(0,-12),所以,‎ 又‎18a+c=0,,‎ ‎∵AB∥CD,且AB=6,‎ ‎∴抛物线的对称轴是.‎ ‎∴.‎ 所以抛物线的解析式为.‎ ‎(2)①,.‎ ‎②当时,S取最大值为9。这时点P的坐标(3,-12),点Q坐标(6,-6).‎ 若以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形,有如下三种情况:‎ ‎(Ⅰ)当点R在BQ的左边,且在PB下方时,点R的坐标(3,-18),‎ 将(3,-18)代入抛物线的解析式中,满足解析式,所以存在,‎ 点R的坐标就是(3,-18);‎ ‎(Ⅱ)当点R在BQ的左边,且在PB上方时,点R的坐标(3,-6),‎ 将(3,-6)代入抛物线的解析式中,不满足解析式,所以点R不满足条件.‎ ‎(Ⅲ)当点R在BQ的右边,且在PB上方时,点R的坐标(9,-6),‎ 将(9,-6)代入抛物线的解析式中,不满足解析式,所以点R不满足条件.‎ 综上所述,点R坐标为(3,-18).‎ ‎4.(2010年江西省统一考试样卷)已知二次函数y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B(1,0)两点.‎ ‎(1)求这个二次函数的关系式;‎ ‎(2)若有一半径为r的⊙P,且圆心P在抛物线上运动,当⊙P与两坐标轴都相切时,求半径r的值.‎ ‎(3)半径为1的⊙P在抛物线上,当点P的纵坐标在什么范围内取值时,⊙P与y轴相离、相交? ‎ 答案:解:(1)由题意,得 解得 ‎ ‎ ∴二次函数的关系式是y=x2-1. ‎ ‎ (2)设点P坐标为(x,y),则当⊙P与两坐标轴都相切时,有y=±x. ‎ ‎ 由y=x,得x2-1=x,即x2-x-1=0,解得x=.‎ ‎ 由y=-x,得x2-1=-x,即x2+x-1=0,解得x=.‎ ‎ ∴⊙P的半径为r=|x|=. ‎ ‎ (3)设点P坐标为(x,y),∵⊙P的半径为1,‎ ‎∴当y=0时,x2-1=0,即x=±1,即⊙P与y轴相切,‎ ‎ 又当x=0时,y=-1,‎ ‎∴当y>0时, ⊙P与y相离;‎ ‎ 当-1≤y<0时, ⊙P与y相交. ‎ 第5题图 ‎5.(2010年山东宁阳一模)如图示已知点M的坐标为(4,0),‎ 以M为圆心,以2为半径的圆交x轴于A、B,抛物线 过A、B两点且与y轴交于点C.‎ ‎(1)求点C的坐标并画出抛物线的大致图象 ‎(2)已知点Q(8,m),P为抛物线对称轴上一动点,‎ 求出P点坐标使得PQ+PB值最小,并求出最小值.‎ ‎(3)过C点作⊙M的切线CE,求直线OE的解析式.‎ 答案:(1)将A(2,0)B(6,0)代入中 ‎ ‎ ‎∴‎ 将x=0代入,y=2‎ ‎∴C(0,2)‎ ‎(2)将x=8代入式中,y=2‎ ‎∴ Q(8,2)‎ 过Q作QK⊥x轴 过对称轴直线x=4作B的对称点A PB+PQ=QA 在Rt△AQK中,AQ= 即,PB+PQ= ‎ PM∥KQ 即△APM∽△AQK ∴PA= P(4,)‎ ‎6.(2010年河南中考模拟题1)如图,在中,∠°,, 的面积为,点为边上的任意一点(不与、重合),过点作∥,交于点.设以为折线将△翻折,所得的与梯形重叠部分的面积记为y.‎ ‎(1).用x表示∆ADE的面积;‎ ‎(2).求出﹤≤时y与x的函数关系式;‎ ‎(3).求出﹤﹤时y与x的函数关系式;‎ ‎(4).当取何值时,的值最大?最大值是多少?‎ 答案:解:(1) ∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C ‎ ‎ ∴△ADE∽△ABC ∴‎ 即 ‎ ‎(2)∵BC=10 ∴BC边所对的三角形的中位线长为5‎ ‎∴当0﹤ 时 ‎ ‎(3)﹤10时,点A'落在三角形的外部,其重叠部分为梯形 ‎∵S△A'DE=S△ADE=‎ ‎ ∴DE边上的高AH=AH'=‎ 由已知求得AF=5‎ ‎∴A'F=AA'-AF=x-5‎ 由△A'MN∽△A'DE知 ‎∴‎ ‎(4)在函数中 ‎∵0﹤x≤5‎ ‎∴当x=5时y最大为: ‎ ‎ 在函数中 当时y最大为: ‎ ‎∵﹤‎ ‎∴当时,y最大为: ‎ ‎7.(2010年河南中考模拟题2)如图,直线和x轴y轴分别交与点B、A,点C是OA的中点,过点C向左方作射线CM⊥y轴,点D是线段OB上一动点,不和B重合,DP⊥CM于点P,DE⊥AB于点E,连接PE。‎ (1) 求A、B、C三点的坐标。‎ (2) 设点D的横坐标为x,△BED的面积为S,求S关于x的函数关系式。‎ (3) 是否存在点D,使△DPE为等腰三角形?若存在,请直接写出所有满足要求的x的值。‎ ‎ ‎ 答案:解:(1)将x=0代入y=x+3,得y=3,故点A的坐标为(0,3),‎ 因C为OA的中点,故点C的坐标为(0,1.5)‎ 将y=0代入y=x+3,得x=-4,故点B的坐标为(-4,0)‎ 所以A、B、C三点坐标为(0,3),(-4,0),(0,1.5)‎ ‎(2)由(1)得OB=4,OA=3则由勾股定理得AB=5‎ 因P点的横坐标为x,故OD=-x,则BD=4+x ‎ 又由已知得∠DEB=∠AOD=900 ,‎ ‎∴sin∠DBE=sin∠ABO===,,DE=(4+x),‎ cos∠DBE=cos∠ABO=,,BE,‎ S=××(4+x)=(4+x)2 (-40),则N(R+1,R),‎ 代入抛物线的表达式,解得 ‎②当直线MN在x轴下方时,设圆的半径为r(r>0),‎ 则N(r+1,-r),‎ 代入抛物线的表达式,解得 ‎ ‎∴圆的半径为或. ‎ ‎(4)过点P作y轴的平行线与AG交于点Q,‎ 易得G(2,-3),直线AG为.‎ 设P(x,),则Q(x,-x-1),PQ.‎ ‎ ‎ 当时,△APG的面积最大 此时P点的坐标为,. ‎ ‎22.(2010年武汉市中考拟)抛物线与直线y=x+1交于A、C两点,与y轴交于B,AB∥x轴,且,(1)求抛物线的解析式。‎ ‎(2)P为x轴负半轴上一点,以AP、AC为边作,是否存在P,使得Q点恰好在此抛物线上?若存在,请求出P、Q的坐标;若不存在,请说明理由。‎ ‎(3)AD⊥X轴于D,以OD为直径作⊙M,N为⊙M上一动点,(不与O、D重合),过N作AN的垂线交x轴于R点,DN交Y轴于点S,当N点运动时,线段OR、OS是否存在确定的数量关系?写出证明。‎ 答案:(1)‎ ‎(2)联立得A(-2,-1)C(1,2)‎ 设P(a,0),则Q(4+a,2)‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴Q(-3,2)或(1,2)‎ ‎(3)∵△AND~△RON,∴‎ ‎∵△ONS~△DNO,∴‎ ‎∴‎ ‎23.(黑龙江一模)(本小题满分10分)‎ 如图,已知抛物线与x轴交于点A(-2,0),B(4,0),与y轴交于点C(0,8).‎ ‎(1)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标;‎ ‎(2)设直线CD交x轴于点E.在线段OB的垂直平分线上是否存在点P,使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;‎ ‎(3)过点B作x轴的垂线,交直线CD于点F,将抛物线沿其对称轴平移,使抛物线与线段EF总有公共点.试探究:抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?‎ 答案:‎ ‎(1)设抛物线解析式为,把代入得.‎ ‎,‎ 顶点 ‎(2)假设满足条件的点存在,依题意设,‎ 由求得直线的解析式为,‎ 它与轴的夹角为,设的中垂线交于,则.‎ 则,点到的距离为.‎ 又.‎ ‎ .‎ 平方并整理得:‎ ‎.‎ 存在满足条件的点,的坐标为.‎ ‎(3)由上求得.‎ A B C O x y D F H P E ‎①若抛物线向上平移,可设解析式为.‎ 当时,.‎ 当时,.‎ 或.‎ ‎. (8分)‎ ‎②若抛物线向下移,可设解析式为.‎ 由,‎ 有.‎ ‎,.‎ 向上最多可平移72个单位长,向下最多可平移个单位长. (10分)‎ ‎24.(济宁师专附中一模)‎ 如图,直线 ‎(1)求两点的坐标;‎ ‎(2)如果点在线段上,将沿直线折叠,点恰好落在轴上的点,求直线的解析式.‎ ‎(3)如果点在坐标轴上,以点为圆心,‎ ‎,求点的坐标。‎ 答案:‎ 解(1)M(3,0) N(0,4);‎ ‎(2)‎ ‎ ‎ ‎(3)第一种情况:当P1在y轴上且在点N下方时,P1坐标是(0,0)‎ 第二种情况:当P2在x轴且在M点的左侧时,P2坐标是(0,0)‎ 第三种情况:当P3在x轴且在M点右侧时,P3坐标是(6,0)‎ 第四种情况:当P4在y轴且在点N上方时,P4的坐标是(0,8)‎ 综上,P坐标是(0,0)(6,0)(0,8)‎ A B O C ‎-1‎ ‎1‎ y x 第25题图 ‎25. (2010三亚市月考)(本题满分13分)如图,抛物线y=ax2 + bx + c 交x轴于A、B两点,交y轴于点C,对称轴为直线x=1,已知:A(-1,0)、C(0,-3)。‎ ‎(1)求抛物线y= ax2 + bx + c 的解析式;‎ ‎(2)求△AOC和△BOC的面积比;‎ ‎(3)在对称轴上是否存在一个P点,使△PAC的周长最小。‎ 若存在,请你求出点P的坐标;若不存在,请你说明理由。‎ 解:(1)∵抛物线与x轴交于A(-1,0)、B两点,且对称轴为直线x=1,‎ ‎∴点B的坐标为(3,0),∴可设抛物线的解析式为y= a(x+1)(x-3)‎ y A B O C ‎-1‎ ‎1‎ x 第25题图 P D 又∵抛物线经过点C(0,-3),∴ -3=a(0+1)(0-3) ‎ ‎ ∴a=1,∴所求抛物线的解析式为y=(x+1)(x-3),‎ 即y=x2-2x-3 ‎ ‎(2)依题意,得OA=1,OB=3,‎ ‎∴S△AOC∶S△BOC=OA·OC∶OB·OC=OA∶OB ‎=1∶3 ‎ (1) 在抛物线y=x2-2x-3上,存在符合条件的点P 。‎ 解法1:如图,连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC。‎ ‎∵AC长为定值,∴要使△PAC的 周长最小,只需PA+PC最小。‎ ‎∵点A关于对称轴x=1的对称点是点B(3,0),抛物线y=x2-2x-3与y轴交点C的坐标为(0,3)‎ ‎∴由几何知识可知,PA+PC=PB+PC为最小。‎ 设直线BC的解析式为y=kx-3 ,将B(3,0)代入得 3k-3=0 ∴k=1。‎ ‎∴y=x-3 ∴当x=1时,y=-2 .∴点P的坐标为(1,-2) ‎ 解法2:如图,连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC。设直线x=1交x轴于D ‎∵AC长为定值,∴要使△PAC的 周长最小,只需PA+PC最小。‎ ‎∵点A关于对称轴x=1的对称点是点B(3,0),抛物线y=x2-2x-3与y轴交点C的坐标为(0,3)∴由几何知识可知,PA+PC=PB+PC为最小。‎ ‎∵OC∥DP ∴△BDP∽△BOC 。∴即 ‎ ‎∴DP=2‎ ‎∴点P的坐标为(1,-2)‎