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- 2021-05-13 发布
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中考复习31 平行四边形单元
知识考点:理解并掌握平行四边形的判定和性质
精典例题:
【例1】已知如图:在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,点E、F分别在BC和AD边上,AF=CE,EF和对角线BD相交于点O,求证:点O是BD的中点。
分析:构造全等三角形或利用平行四边形的性质来证明BO=DO
略证:连结BF、DE
在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC,AD=BC
又∵AF=CE
∴FD∥BE,FD=BE
∴四边形BEDF是平行四边形
∴BO=DO,即点O是BD的中点。
【例2】已知如图:在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点,求证:四边形EFGH是平行四边形。
分析:欲证四边形EFGH是平行四边形,根据条件需从边上着手分析,由E、F、G、H分别是各边上的中点,可联想到三角形的中位线定理,连结AC后,EF和GH的关系就明确了,此题也便得证。(证明略)
变式1:顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形。
变式2:顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形。
变式3:顺次连结正方形四边中点所得的四边形是正方形。
变式4:顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形。
变式5:若AC=BD,AC⊥BD,则四边形EFGH是正方形。
变式6:在四边形ABCD中,若AB=CD,E、F、G、H分别为AD、BC、BD、AC的中点,求证:EFGH是菱形。
变式7:如图:在四边形ABCD中,E为边AB上的一点,△ADE和△BCE都是等边三角形,P、Q、M、N分别是AB、BC、CD、DA边上的中点,求证:四边形PQMN是菱形。
探索与创新:
【问题】已知如图,在△ABC中,∠C=900
,点M在BC上,且BM=AC,点N在AC上,且AN=MC,AM和BN相交于P,求∠BPM的度数。
分析:条件给出的是线段的等量关系,求的却是角的度数,为此,我们由条件中的直角及相等的线段,可联想到构造等腰直角三角形,从而应该平移AN。
略证:过M作ME∥AN,且ME=AN,连结NE、BE,则四边形AMEN是平行四边形,得NE=AM,ME∥AN,AC⊥BC
∴ME⊥BC
在△BEM和△AMC中,
ME=CM,∠EMB=∠MCA=900,BM=AC
∴△BEM≌△AMC
∴BE=AM=NE,∠1=∠2,∠3=∠4,∠1+∠3=900
∴∠2+∠4=900,且BE=NE
∴△BEN是等腰直角三角形
∴∠BNE=450
∵AM∥NE
∴∠BPM=∠BNE =450
跟踪训练:
一、填空题:
1、一个平行四边形的两条对角线的长度分别为5和7,则它的一条边长的取值范围是 。
2、□ABCD的周长是30,AC、BD相交于点O,△OAB的周长比△OBC的周长大3,则AB= 。
3、已知□ABCD中,AB=2AD,对角线BD⊥AD,则∠BCD的度数是 。
4、如图:在□ABCD中,AE⊥BD于E,∠EAD=600,AE=2,AC+BD=16,则△BOC的周长为 。
5、如图:□ABCD的对角线AC、BD相交于O,EF过点O,且EF⊥BC于F,∠1=300,∠2=450,OD=,则AC的长为 。
6、如图:过□ABCD的顶点B作高BE、BF,已知BF=BE,BC=16,∠EBF=300,则AB= 。
7、如图所示,□ABCD的周长为30,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,且AE∶AF=2∶3,∠C=1200,则平行四边形ABCD的面积为 。
二、选择题:
1、若□ABCD的周长为28,△ABC的周长为17cm,则AC的长为( )
A、11cm B、5.5cm C、4cm D、3cm
2、如图,□ABCD和□EAFC的顶点D、E、F、B在同一条直线上,则下列关系中正确的是( )
A、DE>BF B、DE=BF C、DE<BF D、DE=FE=BF
3、如图,已知M是□ABCD的AB边的中点,CM交BD于E,则图中阴影部分的面积与□ABCD的面积之比是( )
A、 B、 C、 D、
4、如图,□ABCD中,BD=CD,∠C=700,AE⊥BD于E,则∠DAE=( )
A、200 B、250 C、300 D、350
5、在给定的条件中,能作出平行四边形的是( )
A、以60cm为对角线,20cm、34cm为两条邻边
B、以20cm、36cm为对角线,22cm为一条边
C、以6cm为一条对角线,3cm、10cm为两条邻边
D、以6cm、10cm为对角线,8cm为一条边
6、如图,□ABCD中,E、F分别是AD、BC边上的中点,直线CE交BA的延长线于G点,直线DF交AB的延长线于H点,CG、DH交于点O,若□ABCD的面积为4,则=( )
A、3.5 B、4 C、4.5 D、5
7、在□ABCD中,AB=6,AD=8,∠B是锐角,将△ACD沿对角线AC折叠,点D落在△ABC所在平面内的点E处,如果AE过BC的中点O,则□ABCD的面积等于( )
A、48 B、 C、 D、
三、解答题:
1、如图,在□ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥DC于F,∠ADC=600,BE=2,CF=1,连结DE交AF于点P,求EP的长。
2、在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点,且====(>0),阅读下列材料,然后回答下面的问题:
如上图,连结BD
∵=,=
∴EH∥BD,FG∥BD
①连结AC,则EF与GH是否一定平行,答: ;
②当值为 时,四边形EFGH是平行四边形;
③在②的情形下,对角线AC和BD只需满足 条件时,EFGH为矩形;
④在②的情形下,对角线AC和BD只需满足 条件时,EFGH为菱形;
3、已知,在四边形ABCD中,从①AB∥DC;②AB=DC;③AD∥BC;④AD=BC;⑤∠A=∠C;⑥∠B=∠D中取出两个条件加以组合,能推出四边形ABCD是平行四边形的有哪几种情形?请你具体写出这些组合。
4、如图,在△ABC中,∠ACB=900,D、F分别为AC、AB的中点,点E在BC的延长线上,∠CDE=∠A。
(1)求证:四边形DECF是平行四边形;
(2)若,四边形EBFD的周长为22,求DE的长。
跟踪训练参考答案
一、填空题:
1、1<<6;2、9;3、600;4、12;5、8;6、或12.8;7、cm2;
二、选择题:DBCABCC
三、解答题:
1、提示:由∠B=∠ADC=600,BE=2,AE⊥BC可得AB=4,再证DF=DC-CF=3,∴AD=6,EC=BC-BE=4=DC,又∠BCD=1200,∴∠EDC=300,求得∠APE=∠
EAP=600,△AEP为等边三角形,EP=AE=。
2、①是;②任意正数;③BD⊥AC;④AC=BD
3、①和②;③和④;⑤和⑥;①和⑤;①和⑥;③和⑤;③和⑥;②和④;①和③
4、(1)证EC∥DF,ED∥CF;(2)DE=5